4. Fungsi Transfer

BAB 4 FUNGSI TRANSFER DAN DIAGRAM BLOK SISTEM

Bab 4 membahas tentang fungsi transfer dan diagram blok sistem serta peranannya dalam pemodelan, analisis, dan sintesis sistem kendali. Uraiannya meliputi pengertian fungsi transfer, penurunan fungsi transfer dari sebuah sistem yang diketahui model matematisnya, serta membuat diagram blok dari model sistem. Setelah mempelajari bab ini, mahasiswa memiliki kompetensi untuk u ntuk : • mendefinisikan fungsi transfer. • menurunkan fungsi transfer dari sebuah sistem yang dinyatakan dalam bentuk persamaan diferensial. • memahami diagram blok sistem dan menurunkan bentuk diagram blok dari model sistem yang diketahui fungsi transfer masing-masing subsistemnya. • Membangun diagram blok untuk sistem-sistem dalam rangkaian listrik, elektromekanis, sistem termal, atau sistem fluida.

1. Fungsi transfer Fungsi transfer didefinisikan sebagai perbandingan transformasi Laplace sinyal output terhadap transformasi Laplace sinyal input dengan menganggap seluruh kondisi mulanya nol. Dengan mengetahui fungsi transfer sistem, maka kita dapat mengetahui ”relasi” langsung antara masukan dan keluaran dari sistem. Untuk menurunkan fungsi transfer sistem yang dimodelkan dengan persamaan diferensial, kita memanfaatkan sifat transformasi Laplace berikut : f ⇒ F (s ) f ′ ⇒ sF (s ) f ′′ ⇒ s F (s ) 2

(1)

M

1

∫ f (τ) d τ ⇒ s F (s) Perhatikan rangkaian listrik berikut.

Asep Najmurrokhman – Catatan Kuliah Sistem Kendali

1|

Gambar 1. Rangkaian seri RLC Dengan menggunakan hukum Kirchhoff tentang tegangan pada rangkaian tersebut didapat persamaan L

di dt

+ Ri +

1 C

∫ i dt = e

i

(2)

dan 1 C

∫ i dt = e

(3)

0

Transformasi Laplace persamaan (2) berbentuk sLI (s ) + RI (s) +

I (s ) sC

= E i (s )

atau 1   (4)  sL + R +  I (s ) = E i (s) sC   serta transformasi Laplace persamaan (3) berbentuk I (s ) sC

= E 0 (s )

(5)

Dengan membagi persamaan (5) dan (4) didapat fungsi transfer rangkaian E 0 (s ) E i (s )

=

1 2

s LC + sRC + 1

(6)

Contoh lainnya, perhatikan model mekanis sistem pegas dengan u(t) adalah perpindahan dari dasar, y(t) adalah perpindahan massa, k konstanta pegas, m massa total sistem, dan b koefisien gesekan, yang digambarkan secara skematik sebagai berikut :

Gambar 2. Model Sistem Suspensi Persamaan diferensial untuk sistem tersebut berbentuk m y ′′ + b y ′ + ky = bu ′ + ku

(7)


2|

Dengan mengambil transformasi Laplace persamaan (7) didapat bentuk ms 2Y (s ) + bsY (s) + kY ( s) = bsU ( s) + kU ( s)

atau

(ms

2

)

+ bs + k Y (s ) = (bs + k )U ( s)

(8)

sehingga fungsi transfer sistem mekanis tersebut berbentuk Y (s ) U (s )

bs + k

=

2

ms + bs + k

(9)

2. Diagram Blok Sistem Representasi sebuah proses dalam sistem dapat digambarkan melalui diagram blok. Sebuah diagram blok dapat menginformasikan urutan proses yang terjadi dalam sistem secara kualitatif. Selain itu, secara kuantitatif sebuah diagram blok menyatakan fungsi transfer suatu sistem. Dengan pengertian tersebut, rangkaian listrik pada gambar 1 dapat digambarkan dengan diagram blok berikut E i

G(s)

E o

Gambar 3. Diagram blok rangkaian dengan G(s) menyatakan fungsi transfer rangkaian seperti yang ditunjukkan oleh persamaan (6). Variabel yang dituliskan dalam representasi diagram blok adalah bentuk transformasi Laplace dari sinyal-sinyalnya. Seperti pada gambar 3, input Ei adalah transformasi Laplace dari sinyal input ei(t) dan output Eo adalah transformasi Laplace sinyal output eo(t). Sementara itu, sistem suspensi pada gambar 2 dapat dituliskan dalam bentuk diagram blok berikut U

Y K (s)

Gambar 4. Diagram blok sistem suspensi dengan K(s) menyatakan fungsi transfer sistem yang ditunjukkan oleh persamaan (9). Visualisasi diagram blok memudahkan kita dalam memahami sistem kompleks yang tersusun oleh lebih dari satu subsistem atau komponen. Misalnya sistem elektromekanis dalam motor listrik yang menggabungkan Asep Najmurrokhman – Catatan Kuliah Sistem Kendali

3|

subsistem elektrik dengan subsistem mekanis (gerak). Gambar skematik sebuah motor listrik arus searah (motor DC) dengan pengendalian arus bagian jangkar (armature) beserta variabel dan parameternya diperlihatkan pada gambar 5.

Gambar 5. Motor DC dengan pengendalian arus jangkar Persamaan rangkaian pada bagian jangkar (sisi input) berbentuk Rm ia + Lm

dia dt

+ em = ea

(10)

em adalah tegangan yang muncul di bagian rotor akibat perputaran konduktor yang menembus daerah bermedan magnet, yang disebut back electromotive force (gaya gerak listrik balik), dan besarnya berbanding lurus dengan kecepatan putar motor. Karena simpangan sudut putar adalah θo, maka gaya gerak listrik balik dapat dituliskan menjadi d θ0

em = k m

(11)

dt

dengan km menyatakan konstanta tegangan motor. Torsi ( T ) yang dihasilkan oleh motor berbanding lurus dengan besar arus jangkar ia, sehingga dapat dituliskan menjadi (12)

T = k T ia

dengan kT adalah konstanta torsi. Sementara itu, pada beban berlaku persamaan J

d 2 θ0 2

dt

+ B

d θ0 dt

= T

(13)


4|

dengan J menandai inersia beban, B koefisien redaman/gesekan, dan T adalah torsi yang dihasilkan oleh motor. Untuk mendapatkan fungsi transfer sistem elektromekanis tersebut, yaitu bentuk

Θ 0 (s )

E a (s )

, langkah pertama adalah menyatakan transformasi Laplace

dari persamaan (10) – (13), kemudian lakukan langkah-langkah berikut : •

Substitusi persamaan (11) ke (10) sehingga didapat Rm I a (s ) + Lm sI a (s) + k m sΘ 0 ( s) = E a ( s)

atau

( Rm + Lm s ) I a (s) + k m sΘ 0 ( s) = E a ( s) •

(14)

Substitusi persamaan (12) ke (13) sehingga dihasilkan Js 2 Θ0 (s ) + BsΘ 0 (s) = k T I a ( s)

atau

( Js •

2

)

+ Bs Θ0 (s ) = k T I a ( s)

(15)

Ganti suku I a pada persamaan (14) dengan bentuk yang diperoleh dari persamaan (15), sehingga didapat fungsi transfer berikut Θ0 (s )

=

E a (s )

k T JLm s + ( Rm J + Lm B )s + ( Rm B + k m k T )s 3

2

Diagram blok sistem elektromekanis tersebut dapat digambarkan dengan langkah-langkah sebagai berikut : • Diagram blok persamaan (10) E a-E m

dengan G (s ) = •

G(s)

I a

1 R m + Lm s

Diagram blok persamaan (11) Θ0

M (s)

E m


5|

dengan M (s ) = k m s •

Diagram blok persamaan (12) T

I a •

k T

Diagram blok persamaan (13) T N (s)

dengan N (s ) =

Θ0

1 2

Js + Bs

Dari bentuk-bentuk diagram blok tersebut didapat skema keseluruhan sebagai berikut : E a

+

G(s)

I a

_

k T

T

Θ 0 (s )

N (s)

E m M (s)


6|

Soal latihan : Tentukan bentuk fungsi transfer untuk sistem-sistem berikut dan representasi diagram bloknya. 1. Rangkaian listrik

2. Gerak rotasi Variabel-variabel dan parameternya adalah sebagai berikut : • T menyatakan torsi motor • J adalah momen inersia • w adalah kecepatan putar dalam satuan rad/s b menyatakan koefisien • gesekan •θ adalah sudut putaran dalam radian 3. Sistem elektromekanis

4. Sistem termal cairan panas pemanas cairan dingin


7|

4. Fungsi Transfer

Recommend Documents