BI5106 Analisis Biostatistik 18 Se Se tember 20 2012 Utriweni Mukhaiyar
Ilustrasi Suatu perusahaan properti memiliki banyak gedung/bangunan yang ditawarkan dengan . Misalkan diperhatikan komponen-komponen yang dimiliki suatu bangunan. Banyak lantai Kekuatan bangunan ngg angunan Banyak pintu/tangga darurat Luas bangunan Banyak ruangan Luas taman/daerah hijau .... bangunan ... KONTINU DISKRIT •
•
•
•
•
•
•
•
•
Misal peubah acak X menyatakan kekuatan bangunan, dan peubah acak Y menyatakan . Distribusi peluang dari kejadian serentak kedua peubah acak tersebut dinyatakan oleh f (x, y), yang disebut sebagai fungsi peluang gabungan X dan Y . erma na s r us pe uang ar e ua an angunan ern a ec satuan kekuatan dan tinggi bangunan bernilai kecil dari b satuan tinggi. x a, y
ar a
Ilustrasi Misalkan peubah acak X 1 menyatakan banyak lantai gedung, peubah acak X 2 menyatakan banyak lift, peubah acak X 3 menyatakan banyak ruangan. f (x1, x2, x3) = P(X 1=x1, X 2=x2, X 3=x3) menyatakan distribusi peluang dari kejadian
bersama /serentak dari ketiga peubah acak tersebut atau fungsi peluang gabungan dari X 1, X 2, dan X 3. f (10, 15 , 50) menyatakan peluang bahwa pada gedung terdapat 5 lantai, 15 lift dan 50
ruangan.
ungs e uang D I S K I T
a ungan
1. P( X=x, Y=y) 0 untuk semua ( x, y)
P ( X x, Y y ) 1
2. x
.
y
n u se arang aera P[( X , Y ) A]
a am aera f ( x, y )
e n s xy er a u,
A
K O T I N U
1. f ( x, y) 0 untuk semua ( x, y)
2.
x
dxd 1
3. Untuk sebarang daerah A dalam daerah definisi xy berlaku, P[( X , Y ) A]
A
f ( x, y ) dxdy
onto
Dalam sebuah kotak buah terdapat 3 buah jeruk, 2 apel dan 3 pisang, diambil secara acak 4 buah. Jika X adalah banyaknya buah jeruk dan Y adalah banyaknya buah apel yang terambil, a. Fungsi peluang gabungan f (x,y) b. P[ X ,Y A] dimana A adalah daerah x, |x +
2
Jawab: a. Pasangan nilai (x,y) yang mungkin dari kasus di atas adalah; (0,1), (0,2), (1,0), (1,1), (1,2), (2,0), (2,1), (2,2), (3,0), (3,1). ( , ) artinya peluang terambil jeruk dan 1 pisang. Banyak cara yang mungkin, pengambilan 4 sampel dari 8 adalah : 8C4 = 70. anya cara yang mung n, eram nya eru an p sang a a a : 3C3.3C1=1.3=3. Sehingga f (3,0)=3/70.
3 2
Solusi 1
f ( x, y )
3
x
2
y
3
4 x y
8 C 4
x
y
3
x y , x 0,1, 2,3, y 0,1, 2 8 4
istri usi ungsi pe uangnya: x
y
,
b.
f (x,y)
0
1
2
3
h(y)
0
0
3/70
9/70
3/70
15/70
1
2/70
18/70
18/70
2/70
40/70
2 g (x)
3 70
9 70
3 70
0
5/70
30/70
30/70
5/70
15 70 1
P( X 0, Y 1) P( X 0, Y 2) P( X 1, Y 0) P( X 1, Y 1) P( X 2, Y 0) f (0,1) f (0, 2) f (1, 0) f (1,1) f (2, 0) 2 3 3 18 9 35 1 70 70 70 70 70 70 2
Contoh 2
Suatu restoran cepat saji menyediakan fasilitas pemesanan untuk dibawa pulang melalui drive in dan walk in. Pada suatu hari yang dipilih secara acak, diperhatikan waktu yang dibutuhkan untuk menyiapkan pemesanan (dalam satuan waktu pelayanan) masingmasing untuk drive in dan walk in, yang berturut-turut dinotasikan sebagai peubah acak X dan Y . Misalkan fungsi kepadatan peluang gabungan dari kedua peubah acak tersebut adalah:
2 ( x 2 y ), 0 x 1, 0 y 1 f ( x, y ) 3 , , a. Selidiki apakah f (x,y) adalah fungsi peluang. b. Hitung peluang bahwa pada suatu hari ditemukan waktu pelayanan pada fasilitas .
Solusi 2
1 1
f ( x, y )dxdy
a.
2
1
( x 2 y )dxdy
0 0
1
( x 4 yx) 2
0
0
1
( y 2 y ) 2
1
1
1
dy 0
1 (1 2) 0
1 f(x,y) adalah fungsi peluang. 1/2 1/ 2
. ,
.
.
0 0
1/2
0
1/2
2 3
11 11 2 d 3 4 3 4
1 3 0 2
1/2 0
2
1/2 0
11 1 1 1 3 42 4 8
1
(1 4 y )dy
Fungsi Marjinal Misalkan peubah acak X dan Y memiliki fungsi peluang gabungan f (x,y). Notasikan fungsi peluang marjinal untuk X adalah g (x) dan fungsi peluang marjinal untuk Y adalah h(y). .
f ( x, y ) P ( X x , Y y ) h( y ) f ( x, y ) P ( X x, Y y ) g ( x)
x
x
Untuk X dan Y kontinu.
g ( x)
f ( x, y ) dy
dan
h( y )
f ( x, y )dx
Perhatikan Contoh 1. Tunjukkan bahwa total jumlah kolom dan baris dari distribusi peluang f (x,y) masing-masing adalah distribusi peluang . Jawab :
0
00
01
2 3 5 1 0 2 0 70 70 70 14
g (1) f (1,0) f (1,1) f (1,2)
3
18
9
30
3
9 18 3 30 3 70 70 70 70 7 3 2 5 1 g (3) f (3, 0) f (3,1) f (3, 2) 0 70 70 70 14
g (2) f (2, 0) f (2,1) f (2, 2)
Distribusi eluan
eubah acak X adalah :
x
0
1
2
3
g (x) = P(X=x)
1/14
6/14
6/14
1/14
Dengan cara yang sama diperoleh distribusi peluang peu a aca a aa : y
0
1
2
h(y) = P(Y=y)
3/14
8/14
3/14
onto
Perhatikan Contoh 2. Tentukan,
a.
fungsi peluang marjinal untuk X
b.
fungsi peluang marjinal untuk Y
c.
peluang bahwa fasilitas drive in membutuhkan waktu kurang dari satu setengah satuan waktu pelayanan.
awa : a. Misalkan fungsi peluang marjinal X adalah g (x)
g ( x)
1
f ( x, y )dy
( x 1), 3
3 ( x 2 y)dy 3 ( xy y ) 2
0
0 x 1
1 0
( x 1) 0 3
b. Misalkan fungsi peluang marjinal Y adalah h(y)
1
2 21 2 1 21 h( y ) f ( x, y )dx ( x 2 y )dx x 2 yx 2 y 0 3 32 0 32 0 1 4 y, 0 y 1 3 3
. membutuhkan waktu kurang dari satu setengah satuan < 1.5
1
2 1 2 2 P ( X 1.5) g ( x) dx ( x 1) dx x x 3 3 3 0
1
1 0
1 (1 2) 0 3
Peluan Bers arat kontinu. diberikan X=x adalah: f ( y | x)
, g ( x)
g ( x) 0
,
diberikan Y=y adalah: f ( x | y )
, h( y )
,
h( y) 0
Bebas Statistik kepadatan peluang gabungan f (x,y) dengan fungsi peluang marjinal masing-masingnya adalah g (x) dan h(y). Peubah acak X dan Y dikatakan saling bebas jika dan hanya jika,
f ( x, y ) g ( x) h( y) untuk semua ( x, y) di dalam daerah definisinya.
onto
Perhatikan Contoh 1. Tentukan distribusi peluang bersyarat dari X jika diberikan Y = 1. Hitung P(X=0|Y=1) Jawab : f ( x, y ) f ( x | y ) , h( y )
2 70 1 8 14 8 14 20 2 1 18 70 9 8 14 8 14 20
f (0 |1)
f (0,1)
h( y ) 0
yaitu , ,
f ( x |1)
f ( x,1)
8 14 9 f (1,1) 18 70 f (1|1) 8 14 8 14 20 3 1 2 70 1 8 14 8 14 20
Distribusi peluang bersyarat : P(X =0|Y =1)
x
0
1
2
3
f (x|1)
1/20
9/20
9/20
1/20
Contoh 6
Apakah peubah acak X dan Y saling bebas? , g ( x)h( y )
( x 1) (1 4 y ) (4xy 4 y x 1) 3 3 9 2 x y x, y 3
Maka X dan Y tidak saling bebas secara statistik.
Referensi 18
Ilmu Peluang dan Statistika untuk Insinyur dan Ilmuwan, Edisi 4, Bandun : Penerbit ITB, 1995. Walpole, Ronald E., et.al, 2007, Statistitic for Scientist and En ineerin , 8th Ed., New Jerse : Prentice Hall. Pasaribu, U.S., 2007, Catatan Kuliah Biostatistika.
edited 2011 by UM
