MA 2081 Statistika Dasar Utriwe Utriweni ni Mukhai Mukhaiya yarr 24 Febr Februar uarii 2014 2014
Ilustrasi Suatu perusahaan properti memiliki banyak gedung/bangunan yang ditawarkan . Misalkan diperhatikan komponen-k komponen-komponen omponen yang dimiliki suatu bangunan. Banyak lantai Kekuatan bangunan
•
Tinggi bangunan Luas bangunan Luas taman/daerah hijau
•
•
•
•
Banyak pintu/tangga darurat Banyak ruangan ....
•
•
•
... KONTINU
•
DISKRIT
Misal peubah acak X menyatakan kekuatan bangunan, dan peubah acak Y . Distribusi peluang dari kejadian serentak serentak kedua peubah acak tersebut t ersebut dinyatakan oleh f ( x, ), yang disebut sebagai fungsi peluang gabungan X dan Y . x, y ), erma na s r us pe uang ar e ua an angunan ern a ec x a, y a satuan kekuatan dan tinggi bangunan bernilai kecil dari b satuan tinggi.
ar
Ilustrasi Misalkan peubah acak X 1 menyatakan banyak lantai gedung, peubah acak X 2 menyata an anya i t, peu a aca 3 menyata an anya ruangan. f ( x x 1 , x 2 , x 3) = P(X 1=x 1, X 2=x 2, X 3=x 3) menyatakan distribusi peluang dari kejadian bers bersam amaa /ser /seren enta takk dari dari keti eti a euba eubah h acak acak ters terseb ebut ut atau atau fun fun si elua eluan n abun abun an dari X 1, X 2, dan X 3.
(10 , 15 , 50) menyatakan peluang bahwa pada gedung terdapat 5 lantai, 15 lift dan f (10 ruangan.
ungs D I S K I T
e u an g
a u n ga n
1. P( X=x, X=x, Y=y) 0 untuk semua ( x, x, y)
P ( X x, Y y ) 1
2. x
.
y
n u se se arang ae a e ra P[( X , Y ) A]
a am aaeera f ( x, y )
e n s xy er a u,
A
K O T I N U
1. f ( x, x, y) 0 untuk semua ( x, x, y)
2.
x
dxd 1
3. Untuk sebarang sebarang daerah daerah A dalam daerah daerah definis definisii xy berlaku, P[( X , Y ) A]
A
f ( x, y ) dxdy
onto
Dalam sebuah kotak buah terdapat 3 buah jeruk, 2 apel dan , . banyaknya buah jeruk dan Y adalah banyaknya buah apel yang terambil, terambil, hitung: a. Fungsi peluang gabungan f ( x x y ,y ) b. P [( [( X X ,Y ) A] dimana A adalah daerah {( x,y)|x x,y)|x + y 2}
Jawab: Jawab: a. Pasangan ni nilai (x,y ) yang mungkin dari kasus di atas adalah; (0,1), (0,2), (1,0), (1,1), (1,2), (2,0), (2,1), (2,2), (3,0), (3,1). , artinya pe uang teram i jeru an pisang. Banyak cara yang mungkin, pengambilan 4 sampel dari 8 adalah : 8C4 = 70. , Sehingg a f (3,0)=3/70. (3,0)=3/70. 3C3.3C1=1.3=3. Sehingga
Solusi 1
2C y 3C 4 x y 8 C 4
istri usi ungsi pe uan x gnya: y
,
b.
3 C x
,
3 2 3 x y 4 x y , 8 4
f ( x,y x,y )
0
1
2
3
h( y y )
0
0
3/70
9/70
3/70
15/70
1
2/70
18/70
18/70
2/70
40/70
2 g ( x x )
3/70 5/70
9/70 30/70
3/70 30/70
0 5/70
15/70 1
P( X 0, Y 1) P( X 0, Y 2) P( X 1, Y 0) P( X 1, Y 1) P( X 2, Y 0) 2) f (1, 00)) f (1,1) f (2, 00)) f (0,1) f (0, 2) 2 3 3 18 18 9 35 1 70 70 70 70 70 70 2
, , , ,
, ,
Contoh 2
Suatu restoran cepat saji menyediakan menyediakan fasilitas pemesanan untuk dibawa dibawa pulang melalui drive in dan walk in. Pada suatu hari yang dipilih secara acak, diperhatikan waktu yang dibutuhkan untuk menyiapkan pemesanan (dalam satuan waktu pelayanan) masingmasing untuk drive in dan walk in, yang berturut-turut ber turut-turut dinotasikan sebagai peubah acak X dan Y . Misalkan fungsi kepadatan peluang gabungan dari kedua peubah acak tersebut adalah:
2 ( x 2 y ), 0 x 1, 0 y 1 f ( x, y ) 3 , , a. Selidiki aap pakah f ( x x y ,y ) adalah fungsi peluang. b. Hitung Hitung peluang peluang bahwa bahwa pada pada suatu suatu hari hari ditemu ditemukan kan waktu waktu pelayanan pelayanan pada .
Solusi 2
1 1
f ( x, y)dxdy
a.
2
1
( x 2 y)dxdy
0 0
1
( y 2 y ) 2
1
1
0
0
( x 4 yx) dy 2
0
1
1
1 (1 2) 0
1 x,y a a a
ungs pe pe uang. 1/ 2 1/ 2
. ,
.
. 0 0
1/ 2
0
1/ 2
2 3
1 1 11 2 d 3 4 3 4
1 3 0 2
1/2 0
2
1/ 2 0
11 1 1 1 3 42 4 8
1
(1 4 y)dy
Fungsi Marjinal Misalkan peubah acak X dan Y memiliki fungsi peluang gabungan ). Notasikan fungsi peluang marjinal untuk X adalah g ( x f ( x x y ,y ). x ) dan fungsi peluang marjinal untuk Y adalah h( y ). y ). .
f ( x, y ) P ( X x, Y y ) h( y ) f ( x, y ) P ( X x, Y y ) g ( x)
x
x
Untuk X dan Y kontinu.
g ( x)
f ( x , y ) dy
dan
h( y )
f ( x, y )dx
Perhatikan Contoh 1. Tunjukkan bahwa total jumlah kolom dan baris dari x y ,y ) masing-masing adalah distribusi distribusi peluang f ( x . Jawab Jawab :
0
00
01
2 3 5 1 0 2 0 70 70 70 14
g (1) f (1,0 ,0)) f (1,1) f (1, 2 )
3
18
9
30
3
9 18 3 30 3 70 70 70 70 7 3 2 5 1 (3,1) f (3 (3, 2) g (3) f (3, 0) f (3 0 70 70 70 14
0) f (2,1) f (2, 2) 2) g ( 2) f ( 2, 0)
Dist Distri ribu busi si elua eluan n
euba eubah h ac acak ak X adalah :
x
0
1
2
3
g ( x x ) = P( X=x X=x )
1/14
6/14
6/14
1/14
Dengan cara yang sama diperoleh distribusi peluang peu a ac aca a aa : y
0
1
2
h( y y ) = P(Y=y )
3/14
8/14
3/14
onto
Perhatikan Perhat ikan Contoh Contoh 2. Tentukan entukan,,
a.
fungsi peluang marjinal untuk X
b.
fungsi peluang marjinal untuk Y
c.
peluang bahwa fasilitas drive in membutuhkan waktu kurang dari satu setengah satuan waktu pelayanan. pelayanan.
awa : x ) a. Misalkan fungsi peluang marjinal X adalah g ( x
g ( x)
1
f ( x, y)dy 3 ( x 2 y)dy 3 ( xy y ) 2
( x 1), 3
0
0 x 1
1 0
( x 1) 0 3
b. Misalkan fungsi peluang marjinal Y adalah h( y y )
1
2 21 2 1 21 h( y) f ( x, y)dx ( x 2 y )dx x 2 yx 2 y 0 3 3 2 0 3 2 0 1 4 y, 0 y 1 3 3
. membutuhkan waktu kurang dari satu setengah satuan waktu pelayanan pelayanan adalah P ( X <1,5). X <1,5) 1.5
1
2 1 2 2 1 1 P( X 1.5) g ( x)dx ( x 1)dx dx x x (1 2) 0 3 3 3 0 3 0
1
Misalkan X dan Y adalah adalah eubah acak, diskrit atau kontinu. Peluan bers arat dari eubah acak Y ika diberikan X=x adalah: f ( y | x)
, g ( x)
,
g ( x) 0
e uang ersyara ar peu a aca diberikan Y=y adalah: f ( x | y )
f x, y ) h( y )
,
h( y) 0
a
Misalkan peubah acak X dan Y mempunyai ungs epa a an pe uang ga ungan x,y dengan fungsi peluang marjinal masingmasin n a adalah x dan h . Peubah acak X dan Y dikatakan saling bebas jika dan hanya jika,
x, y g x definisinya.
,
y
onto
Perhatikan Contoh 1. Tentukan distribusi peluang bersyarat dari X jika jika diberikan Y = 1. Hitung P( X= X=0|Y=1)
awa : f ( x, y ) f ( x,1) f ( x | y ) f ( x | 1) , h( y ) 0 yaitu 8 14 h( y ) 1 9 f (0,1) 2 70 f (1,1) 18 70 f (0 | 1) f (1 | 1) , 8 14 8 14 20 8 14 8 14 20 2 1 18 70 9 3 1 2 70 1 , 8 14 8 14 20 8 14 8 14 20 Distribusi peluang bersyarat :
P( X =0|Y =1) =1) X =0|
x
0
1
2
3
f ( x| x|1)
1/20
9/20
9/20
1/20
Perhatikan Contoh 2. Perhatikan Apakah peubah acak X dan Y saling bebas? Karena, 2 1 2 ( x 1) (1 4 y ) ( 4xy 4 y x 1) 3 3 9 2 ( x 2 y ) f ( x, y ) 3
g ( x)h( y )
Maka X dan Y tidak saling bebas secara statistik.
Wal ole, Ronald E. dan M ers, Raymond H., Ilmu Peluang dan Stat Statis isti tika ka untu untukk Ins Insin in ur da dan n Ilm Ilmuw uwan an, Edisi 4, Bandung: Penerbit ITB, 1995. Wal ole Ronald E. et.al 2007 Statist Statistitic itic for Scien Scientist tist and and Engineer Engineering ing, 8th Ed. New erse : Prentice Hall. Pasaribu, U.S., 2007, Catatan Kuliah . 18
