BAB 4 FUNGSI KUADRAT Tania Tri Septiani 06081381520056 PENDAHULUAN Abu’abdallah Muhammad Ibnu Musa al-Khwarizmi, kerap dijuluki sebagai bapak Aljabar karena sumbangan ilmu pengetahuan Aljabar dan Aritmatika. Ia merupakan seorang ahli matematika dari Persia yang dilahirkan pada tahun 780 M. Tepatnya di Khawarizm, Uzbeikistan. Selain terkenal sebagai seorang ahli matematika yang agung, ia juga adalah astronomer dan geografer yang hebat. Berkat kehebatanya, Khawarizmi terpilih sebgai ilmuan penting dipusat keilmuan yang paling bergengsi pada zamannya, yakni Baital Hikmah atau House of Wisdom yang didirikan Khalifah Abbasiyah di Metropolis Intelektual World, Baghdad. Kitab Al-Jabr Wat Muqabalah merupakan kitab pertama dalam selrah dimana istilah aljabar muncul dalam konteks disiplin ilmu. Sumbangan Al-Khwarizmi dalam ilmu ukur sudut juga luar biasa. Tabel ilmu ukur sudutnya yang berhubungan dengan fungsi sinus dan garis singgung tangen telah membantu para ahli Eropa memahami lebih jauh tentang ilmu ini. Ia mengembangkan tabel rincian trigonometri yang memuat fungsi sinus,konsinus, dan kotangen serta konsep diferensiasi. Kitab yang telah ditulisnya yaitu 1) Al-Jabr wa’I Muqabalah : waktu beliau mencipta pemakaian secans dan tangens dalam penyelidikan trigonometri dan astronomi, 2) Hisab Al-Jabr wa al-Muqabalah : Beliau mengajukan contohcontoh persoalan matematika dan mengemukakan 800 buah masalah yang sebagian besar merupakan persoalan yang dikemukakan oleh Neo. Babylian dalam bentuk dugaan yang telah dibuktikan kebenarannya oleh al-Khawarizmi, 3) Sistem Nomor : Beliau telah memperkenalkan konsep sifat dan ia penting dalam sistem Nomor pada zaman sekarang. Karyanya yang satu ini memuat Cos, Sin, dan Tan dalam penyelesaian persamaan Trigonometri, teorema segitiga sama kaki dan perhitungan luas segitiga,segi empat, dan lingkaran dalam trigonometri. Setelah mempelajari BAB 4 ini, siswa diharapkan dapat memahami konsep pada materi fungsi kuadrat. Secara terperinci siswa diharapkan dapat ; 1. Menentukan koefisien fungsi kuadrat 2. Menentukan diskriminan fungsi kuadrat 3. Menggambarkan grafik fungsi kuadrat 4. Membuat model matematika dari masalah berkaitan dengan fungsi kuadrat 5. menyelesaikan masalah kontekstual dengan menggunakan sifat-sifat fungsi kuadrat Untuk mencapai tujuan di atas, Kalian dituntut untuk membaca setiap uraian materi dengan cermat, mencatat kata-kata kuncinya, serta mengerjakan latihan dan tes formatif secara disiplin.Selain itu untuk membantu serta mempermudah dalam pemahaman mengenai grafik fungsi kuadrat kalian dapat menggunakan applikasi GeoGebra Dengan mengikuti petunjuk ini, mudah-mudahan mempelajari modul akan menjadi pekerjaan yang menyenangkan bagi Kalian dan kesuksesan menanti Kalian.
Sub Unit FUNGSI KUADRAT I.
Bentuk Umum Fungsi
Fungsi kuadrat adalah suatu fungsi
f
pada himpunan bilangan real (R), sebelum
membahas tentang bentuk umum dari fungsi kuadrat perhatikan beberapa fungsi berikut : 2 f ( x )=x +6
f ( x )=2 x 2−6
f ( x )=x 2−4 x+ 3
f ( x )=−3 x + 4 x−3
2
Dari fungsi-fungsi diatas dapat dilihat bahwa pangkat tertinggi dari fungsi diatas adalah dua. Fungsi dengan ciri tersebut disebut fungsi kuadrat peubah x . Maka bentuk umum dari fungsi kuadrat dapat didefinisikan sebagai berikut ; Definisi Bentuk Umum Fungsi Kuadrat ; f ( x )=ax 2 +bx +c dengan a , b , c ∈ R dan a≠ 0 Keterangan : x=variabel fungsi kuadrat o o
a=koefisien x
o
b=koefisien x
o
c=konstanta
2
Grafik fungsi kuadrat berbentuk parabola yang memiliki nilai Optimum. Dalam aplikasi pada dunia nyata hal ini sangat berguna.
II. Diskriminan Fungsi Nilai diskriminan sangat mempengaruhi titik potong parabola dengan sumbu adalah rumus dari diskriminan fungsi kuadrat. Rumus Diskriminan Fungsi Kuadrat : 2 D = b −4 ac
x . Berikut
Nilai D akan mempengaruhi titik potong parabola terhadap sumbu x
1. Jika a > 0 dan D > 0 maka grafiknya memotong di sumbu
x
;
di dua titik yang
bebeda. Jenis titik baliknya minimum
2. Jika a > 0 dan D = 0 , maka grafinya memotong sumbu (menyinggung sumbu
x disatu titik
x ). Jenis titik baliknya minimum
3. Jika a > 0 dan D < 0 maka grafiknya tidak memotong sumbu positif) . Jenis titik baliknya minimum
x
(dikatakan definit
4. Jika a < 0 dan D > maka grafiknya menyinggung sumbu
x . Jenis titik baliknya
minimum.
5. Jika a < 0 dan D = 0 maka grafiknya menyinggung sumbu
x . Jenis titik baliknya
maximum.
6. Jika a < 0 dan D < 0 grafik tidak memotong sumbu Jenis titik baliknya maksimum.
x (dikatakan definit negatif).
Dari penjelasan sebelumnya dapat dibuat bagan yang lebih sederhana sebagai berikut :
III. Grafik Fungsi Kuadrat Grafik fungsi kuadrat bila digambarkan pada koordinat cartesius maka akan berbentuk parabola serta memiliki nilai optimum.Menggambar grafik fungsi kuadrat dapat dilakukan dengan menentukan titik-titik penting itu adalah titik potong grafik dengan sumbu x , titik potong grafik dengan sumbu
y
dan titik balik. Untuk menentukan titik-titik penting
tersebut diperlukan penyelesian berupa persamaan kuadrat. Berikut adalah langkah-langkah 2
menggambar garfik f (x)=ax +bx +c
:
1) Mencari Titik Potong Grafik Dengan Sumbu
x
Syarat :
y=f ( x ) =0. Penyelesaian ax 2+ bx+ c=0 menggunakan pemfaktoran
sehinga diperoleh
x1
dan
x2
x ,0 koordinat titik potongnya adalah ( 1 )
dan
( x2, 0) 2) Mencari Titik Potong Grafik Dengan Sumbu
y
x=0 atau menentukan f (0) koordinat titik potongnya adalah
Syarat : nilai (0, y)
3) Menentukan Pasangan Koordinat titik balik Cara 1 : Absis titik
p adalah
x p=
dengan mensubtitusikan
x1 + x 2 2
x p=
p( xp , y p )
Ordinat titik
x1 + x 2 2
p , yaitu
kedalam fungsi kuadrat
yp
diperoleh
y p=f
( x +2 x ) 1
2
Cara 2 : Abisi titik
p adalah x p= p adalah
Ordinat titik
−b 2a
disebut juga persamaan sumbu simetris
y p=
−D 4a
dimana D merupakan diskriminan fungsi
2 kuadrat dengan rumus D = b −4 ac
Contoh Soal : 2 Gambarlah grafik fungsi f ( x )=x +4 x−12 pada himpunan bilanga nyata :
1) Menentukan titik potong dengan sumbu
x ; y =f ( x )=0
f ( x )=x 2 +4 x−12=0 ⇔ ( x +6 ) ( x−2 )=0 ⇔ x +6=0 atau ⇔ x=−6
atau
x−2=0 x=2
Jadi, titik potong dari sumbu
x adalah A(-6,0) dan B(2,0)
2) Menentukan titik potong dengan sumbu f ( x )=x 2 +4 x−12=0
y ; x =o atau f (0)
2
⇔ f ( 0 )=0 + 4.0−12 ⇔ f ( 0 )=0+ 0−12 ⇔ y =−12
Jadi, titik potong dengan sumbu
y adalah C(0,-12)
3) Menentukan Pasangan Koordinat titik balik Cara 1 −6+ 2 x p= 2
=
p( xp , y p )
−4 =−2 2
y p=f (−2 ) 2
¿(−2) + 4 (−2 )−12 ¿ 4−8−12=−16 Cara 2 x p=
−4 −4 = =−2 2.1 2
2 −D −( ( 4 ) −4. (1 ) .(−12) ) y p= = 4a 4.1
¿
−( 16+ 48 ) 4
¿
−64 4
¿−¿ 16
Jadi, titik balik P(-2,-16)
Selain dengan menentukan titik-titik penting tersebut menggambar grafik fungsi f ( x )=x 2 +4 x−12 dapat digambar dengan menentukan titik koordinat kartesius melalui tabel kartesisus berikut; x
y
-2
-16
-1
-15
0
-12
1
7
2
0
3
9
Perhatikan Ilustrasi Berikut; Kegiatan 4.1 2 Gambarlah grafik fungsi f ( x )=ax
dengan b = c = 0 dan a=1,a=-1,a=2 , lalu amati apa
2 pengaruh koefisien a terhadap grafi fungsi f ( x )=ax
Penyelesaian ; Untuk menyelesaikan permasalahan diatas siswa dapat melakukan langkah-langkah berikut; a. Buatlah tabel koordinat kartesius lalu subtitusikan nilai a ke dalam tabel koordinat kartesius,berikut tabel koordinat kartesius;
b. Tepatkan titik-titik koordinat pada tabel ke bidang koordinat kartesius (berikan warna yang berbeda) c. Sketsa grafik sesuai dengan titik-titik pada bidang kartesius (sesuai warna yang diberikan) d. Amati grafik berikut;
Dari kegiata 4.1 diperoleh kesimpulan nilai a mempengaruhi grafik fungsi
y=ax2 , jika;
1. a > 0 maka grafiknya terbuka keatas memiliki titik puncak minimum 2. a < 0 maka grafinya terbuka kebawah memiliki titik puncak maksimum 3. a > 0 dan nilai a semakin besar maka grafiknya kana semakin “kurus” . 4. a < 0 dan nilai a semakin kecil maka grafinya akan semakin “gemuk”.
IV. Model Matematika Yang Berkaitan Dengan Fungsi Kuadrat Dalam kehidupan sehari-hari sering dijumpai permasalahan yang berkaitan dengan fungsi kuadrat. Nilai ekstrim (maksimum dan minimum) sangat erat kaitannya dalam pemecahan
masalah pada Matematika. Dalam kehidupan sehari-hari maksimum dan minimum diungkap dengan menggunakan bahasa atau istilah yang berbeda-beda,misalnya; a. terbesar, terjauh, tertinggi, terpanjang, terluas, atau yang sama artinya dengan kata-kata itu, dapat dikaitkan dengan konsep nilai maksimum fungsi kuadrat. b. terkecil, terdekat, terendah, terpendek, tersempit, atau yang sama artinya dengan kata-kata itu, dapat dikaitkan dengan konsep nilai minimum fungsi kuadrat. Jika suatu permasalahan Matematika menggunakan bahasa atau istilah diatas, dapat dipecahkan menggunakan model Matematika yang berbentuk fungsi kuadrat. Setelah diketahui bahwa permasalahan tersebut dapat dipecahkan dengan menggunakan model Matematika yang berbentuk fungsi kuadrat, langkah-langkah pemecahan masalah selanjutnya adalah sebagai berikut; a. Nyatakan besaran yang ada dalam masalah sebagai variabel (dilambangkan dengan huruf-huruf) untuk mendapatkan hubungan atau ekspresi matematikanya. b. Rumuskan fungsi kuadrat yang merupakan model matematika dari masalah. c. Tentukan penyelesaian dari model matematika fungsi kuadrat yang diperoleh pada langkah 2. d. Tafsirkan hasil-hasil yang diperoleh pada langkah 3 terhadap masalah semula. Contoh : Permasalahan; Jumlah dua buah bilangan adalah 10. Jika hasil kali dari kedua bilangan tersebut maksimum, maka tentukan model dari permasalahan tersebut Penyelesaian; Permasalahan diatas akan diselesaikan melalui langkah-langkah berikut; 1. Langkah pertama Misalkan kedua bilangan tersebut merupakan variabel x dan y, maka x + y =10 2. Langkah kedua Hasil kali kedua bilangan itu = x . y Rancang
x
sebagai variabel bebas dari permasalahan tersebut, maka variabel
dapat diubah menjadi
y
y=10−x
Selanjutnya, hasil kali kedua bilangan itu nyatakan sebagai fungsi H, maka H = x . y subtitusikan y=10−x ke persamaan H = x . y , maka diperoleh ; H= x (10−x ) H= 10x-x
Latihan Untuk memantapkan pemahaman kalian terhadap materi di atas, coba kerjakan latihan di bawah ini !
2
D = b −4 ac
1. Gambarlah grafik fungsi kuadrat dari y=x 2 +3 x+2 a. b.
y=x 2−3 x +2
c.
y=x 2 +5 x+6
d.
y=x 2−5 x +6
2. Gambarlah grafik fungsi dari b = c = 0 dengan a =1 a=-2 a=-1 , lalu berilah kesimpulan diakhir penyelesaian 3. Tentukan diskriminan dari y=x 2 +4 x +2 a. b.
y=x 2−6 x +2
c.
y=x 2 +2 x +3
d.
y=2 x 2+4 x +2
4. Jumlah dua buah bilangan sama dengan 20. Jika hasil kali kedua bilangan itu sama dengan75. Tentukan model matematika dari permasalahan tersebut....
Rangkuman : 1. 2. 3. 4.
Petunjuk pengerjaan soal ; 1. Bentuk umum fungsi kuadratmenggambar ; Cermati kembali langkah-langkah grafik yang sebelumnya telah anda pelajari Pahamani konsep-konsep fungsi kuadrat yang telah anda pelajari sebelumnya Amati kembali grafik fungsi kuadrat yang telah anda gambar dan berikan kesimpulan 2. Rumus fungsi kuadrat; Cermatilah soaldiskriminan sebelum menentukan model matematika yang akan digunakan
3. Absis titik 4. Ordinat titik
p adalah p adalah
x p=
x1 + x 2 2
y p=f
atau
( x +2 x ) 1
2
x p=
atau
−b 2a y p=
−D 4a
5. Permasalahan yang dapat dimisalkan menjadi suatu variabel dapat diselesaikan dengan fungsi kuadrat
Tes Formatif
1. Diketahui
x 2−10 x+ ( p+3 )=0 , salah satu akarnya empat kali akar yang lain,
hitunglah nilai p ? a. 13 b. 12 c. 10 d. 9 2 2. Tentukan jenis akar persamaan berikut : 4 x −20 x +25=0 , dengan memperhatikan
diskriminannya ? a. Akar-akarnya bilangan real b. Salah satu akarnya bilangan real c. Akar-akarnya bilangan kompleks d. Tidak dapat difaktorkan 3. Diketahui harga sepasang sepatu dua kali harga sepasang sandal. Seorang pedagang membeli 4 pasang sepatu dan 3 pasang sandal. Pedagang tersebut harus membayar Rp275.000,00. a. x = y dan 4x – y = 275000 b. x = 2y dan 4x + 3y = 275 000 c. 4x – 2y = 0 dan 4x + 3y = 275000 d. x = y dan 4x+3y = 275000 4. grafik fungsi kuadrat yang melalui tititk-titik A(-2, 17). B(1, 5) dan C(4, 11) mempunyai persamaan a. y = x2 + 3x – 7 b. y = x2 +3x – 3 c. y = x2 + 3x – 3 d. y = x2 – 3x + 7 2 2 5. Jika fungsi ax + 4 x +3 a mempunyai nilai maksimum 11 maka a −a adalah..
a.
1 6
b.
1 3
c. 3 d. 20
6. Fungsi kuadrat dari grafik di bawah ini adalah.....
2
a.
y=x −2 x−3
b.
y=x −3 x−4
c.
y=x +2 x −3
d.
y=x 2 +2 x ∓3
2 2
7. Jumlah dua kali sisi samping dengan sisi depan suatu segitiga siku-siku adalah 24 cm. Dengan menggunakan model matematika fungsi kuadrat,maka nilai terbesar untuk luas segitiga tersebut adalah..... a. 36 cm2 b. 32cm2 c. 26 cm2 d. 24 cm2 8. Perhatikan grafik fungsi kuadrat berikut
Fungsi kuadrat yang sesuai dengan gambar tersebut adalah.... 2 y=x +3 x+2 a. 2
b.
y=x −3 x +2
c.
y=x −4 x+ 2
d.
y=x 2−2 x+ 2
2
9. Dari pernyataan berikut manakah yang kecuali sifat-sifat fungsi kuadrat..... a. Jika a > 0 dan D > 0 maka grafiknya memotong di sumbu x di dua titik yang bebeda b. Jika a < 0 dan D > maka grafiknya menyinggung sumbu
x
c. Jika a > 0 dan D < 0 maka grafiknya tidak memotong sumbu definit positif) d. Jika a = 0 dan D =0 maka grafiknya memotong sumbu
x
(dikatakan
x
10. Perhatikan kalimat dibawah ini manakah yang merupakan pernyataan yang benar dari 2 pengaruh nilai a terhadap grafik f ( x )=ax +bx +c
a. a < 0 maka grafinya terbuka kebawah memiliki titik puncak minimum b. a > 0 maka grafiknya terbuka keatas memiliki titik puncak minimum c. a > 0 dan nilai a semakin besar maka grafiknya kana semakin “gemuk” . d. a < 0 dan nilai a semakin kecil maka grafinya akan semakin “kurus”.
Umpan Balik dan tindak lanjut Apabila Kalian telah mengerjakan tes formatif, cocokkanlah jawaban Kalian dengan kunci jawaban tes formatif yang terdapat pada bagian akhir unit ini, Kemudian hitunglah jumlah jawaban Kalian yang benar. Gunakan rumus berikut untuk mengetahui tingkat penguasaan Kalian terhadap materi ini. Rumus: Jumlah Jawaban Kalian yang Benar Tingkat Penguasaan =
x 100% .....................
Arti tingkat penguasaan yang Kalian capai: 90% − 100% = baik sekali 80% − 89% = baik 70% − 79% = cukup < 70%
= kurang
Bila tingkat penguasaan Kalian mencapai 80% ke atas, Bagus kalian dapat melanjutkan dengan mempelajari materi pada unit berikutnya. Tetapi, bila tingkat penguasaan Kalian kurang dari 80%, Kalian harus membaca kembali uraian materi , terutama pada bagian yang belum Kalian kuasai.
Daftar Pustaka Subchan, dkk. (2015). Matematika SMP/MTs Kelas IX Semester 2. Jakarta: Pusat Kurikulum dan Perbukuan, Balitbang, Kemdikbud. Subchan, dkk. (2015). Buku Guru Matematika SMP/MTs Kelas IX. Jakarta: Pusat Kurikulum dan Perbukuan, Balitbang, Kemdikbud. Wagiyo, A., & dkk. (2008). Pegangan Belajar Matematika Jilid 3 untuk SMP/MTs Kelas IX. Jakarta: Pusat Perbukuan Departemen Pendidikan.
