TRANSFER FUNGSI DAN MODEL INPUT-OUTPUT
Penggunaan Penggunaan transforma transformasi si Laplace Laplace memungkinkan memungkinkan kitau ntuk membentuk representas representasii yang sangatsederha sangatsederhana, na, lebih mudah dan bermakna dari dinamika dinamika proses kimia. kimia. Hal ini sederhana karena hanya menggunakan menggunakan persamaan persamaan aljabar(buk aljabar(bukan an persamaan persamaan diferensia diferensial, l, seperti seperti yang kita lihat di BagianII). Ini lebih mudah karena memungkinkan analisis cepat dari dinamika proses dan pada akhirnya, itu sangat penting karena memberikan langsung dalam hubungan antara input(gangguan, ariabelyang dimanipulasi) dan output(ariabel terkontrol) dari suatu proses.
9.1 Transfer Fungsi Proses dengan sau ou!u !mati sistem pengolahan pengolahan sederhana sederhana dengan satu input dan satu output(gambar output(gambar ".la). Perilaku dinamis dinamis dari proses dijelaskan oleh linear n th#order th#order (atau linierisasi linierisasi nonlinear) persamaan persamaan diferensial$ f(t)
y(t)
process
f(s)
y(t) G(s)
input
output (a)
(b)
%ambar ".&(a) 'ingle#input, proses single#output (b) diagram blok n−1
n
d y d y dy an + an−1 n−1 + … + a1 + a 0 y =bf ( ( t ) n dt d t dt
(".&)
etika f(t) dan y(t) adalah input dan output dari proses, berturutan. eduanya dinyatakan dalam ariabel deiasi. !sumsikan bah*a sistem ini a*alnya di steady state. emudian
[ ] [ ]
dy y ( 0 )= dt
[ ]
2
=
t t =0
d y 2
dt
=… =
t t =0
d
n− 1
y
=0
n−1
dt
t t =0
(".+)
'etelah 'etelah mengambil mengambil transformasi transformasi Laplace Laplace dari kedua sisi(".&) sisi(".&) dan menggunakan menggunakan kondisi kondisi a*al(".+), kita menemukan bah*a ȳ ( (s )
´ ( ( s ) f
=G ( s )=
b n
n− 1
a n s + an−1 s
+…+ a s+ a 1
0
(".)
G(s) disebut fungsi transfer dari sistem di atas, dan dalam bentuk aljabar sederhana berkaitan output dari proses untuk input(gambar ".lb). -iagram dari angka ".lb juga dikenal sebagai diagram blok untuk sistem. ika proses memiliki dua input,f&(t) danf+(t), seperti yang ditunjukkan pada gambar ".+a, model dinamiknya adalah n−1
n
an
d y d y dy + a + … + a + a y =b1 f 1 ( t ) +b 2 f 2 (t ) 1 1 n − n n−1 dt 0 d t dt
("./)
-engan kondisi a*al yang sama(",+). 0orm("./) kita ambil ȳ ( s )=
b n
an s + an −1 s
n− 1
+ …+a s+ a 1
f 1 ( s ) 0
+b f 2 ( s ) an s + an−1 s + … + a1 s + a0 n
n−1
!tau, dengan kata lain,
ȳ ( s )=G 1 ( s ) f 1 ( s ) + G2 ( s ) f 2 ( s )
(".1)
-engan,
G1 ( s ) =
G2 ( s ) =
b n
an s + an−1 s
n −1
+…+ a s + a 1
0
dan
b n
an s + an−1 s
n −1
+ …+ a s + a 1
0
%&(s) dan %+(s) adalah dua fungsi transfer yang menghubungan output dari proses untuk masing#masing dari dua input. adi %&(s) menghubungkan ȳ (s) ke input pertama f& (s) dan %+(s) menghubungkan ȳ (s) ke input lain f+(s). Hubungan ini ditunjukkan oleh diagram blok gambar ".+b. 'ebuah prosedur yang sama dapat diterapkan padasistem apapun dengan satu output dan beberapa masukan. %ambar ".menunjukkan diagram blok untuk sistem tersebut. -ari ringkasan dari semua penjelasan diatas, kita dapat menentukan fungsi transfer antara input dan output yaitu sebagai berikut$ 2ransfer function 3 % (s)
¿
Transformasi Laplacedarioutputdalam bentukdeviasi Transformasi Laplace dariinput , dalam bentukdeviasi
eterangan &. 0ungsi transfer memungkinkan pengembangan model input#output sederhana dari itu dibahas dalam bagian1.& +. Ini menggambarkan sepenuhnya perilaku dinamis dari output ketika perubahan input yang sesuai diberikan. adi, untuk ariasi tertentu dari f masukan (t), kita dapat menemukan yang
mengubah f(s), dan dari (",4) kita melihat bah*a respon dari sistem ini adalah ȳ(s) 3 %(s)
!mbil iners 2ransformasi Laplace dari %(s)
´f
´f ( s ) (s) dan !nda memiliki respon y(t) dalam
domain *aktu. . 5ntuk menemukan fungsi transfer untuk sistem nonlinear, terlebih dahulu harus linierisasi sekitar steady state dan dinyatakan dalam istilah ariabel deiasi. Contoh 9.1: Transfer Fungsi dari adukan tangki pemanas
6ode lmatematika dari tangki pemanas diaduk dalam hal ariabel deiasi dikembangkan dalam 7ontoh 1.& dan diberikan oleh persamaan. (1.)$
dT ' 1 + aT ' = T ' 1+ K T ' st dt τ ʹ
ʹ
ʹ
ʹ
-imana 28, 28&, dan28st adalah ariabel deiasi, dan 1
a = + K τ
1
F i
τ
V
=
K =
U At V ! "
!mbil transformasi Laplace dari kedua sisi (1.)$
( s + a ) T ´ʹ i ( s ) + K T ´ʹ st ( s ) !tau
T´ ' ( s ) = ʹ
1 / τ
s+ a
´ ( s) + T ʹ
K ´ T (s ) s + a st ʹ
Penentuan dua fungsi transfer
´ ( s) T G1 ( s ) = T ´ i ( s ) ʹ
ʹ
´ (s ) T G2 ( s ) = and T ´ st ( s )
Lalu
´ ʹ ( s )=G 1 ( s ) T ´ʹ i ( s ) + G2 T ´ ʹ st ( s ) T
ʹ
ʹ
-an gambar "./menunjukkan diagram blok untuk tangki pemanas. %&(s) berhubungan
-engan suhu cairan dalam tangki dengan yang ada pada aliran inlet, sedangkan %+ (s) berhubungan suhu cairan di dalam tangki dengan yang uap.
Catatan . Bandingkan model input#output yang diberikan oleh persamaan. (".9) dan mencari ",/ ke model yang lebih kompleks dikembangkan dalam contoh 1.& :e;. (1.1) dan mencari 1.+<.
9." Me#inda$%an fungsi #ari%s dari !roses dengan &an'a% ou!u !mati proses ( %ambar ".1a ) dengan dua masukan f &(t) dan f +(t), dan dua keluaran y&(t) dan y+(t). Biarkan model matematika diselesaikan dengan + persamaan linear differensial, dengan semua ariable dalam bentuk penyimpangan $
ondisi a*al adalah $
%unakan persamaan Laplace untuk mengubah dari kedua sisi e;s ("."a) dan (i."b) dan menyelesaikannya dengan y´ dan contoh 9.+ ) emudian
(s) dan y´
&
+
(s). ( untuk rincian prosedur ini, lihat bagian 9.
P(s) adalah karakteristik polynomial, dijelaskan dengan P(s) 3 s+ = (a&&>a++) = (a&+a+& = a&&a++). Persamaan (".&?a) dan (".&?b) dapat ditulis sebagai berikut $
-imana transfer fungsi %&&, %&+, %+&, dan %++ yang didefinisikan sebagai berikut( dari persamaan ".&?a dan ".&?b )
Blok diagram dari system ditampilkan dalam persamaan ".1b
eterangan $ Persamaan (".&&a) dan (".&&b) dapat ditulis sebagai berikut dalam sebuah notasi matriks $
6atriks dari fungsi transfer ini disebut dengan matri@ fungsi transfer 5ntuk sistem dengan dua masukan dan dua keluaran, seperti yang dibahas diatas, kita punya fungsi transfer +@+3/ untuk menguhubungkan semua keluaran untuk semua masukan. 5ntuk proses ini 6 sebagai masukan dan A sebagai keluaran, kita akan mempunyai A @6 sebagai
fungsi transfer atau fungsi transfer matrik dengan baris A (jumlah keluaran ) dan 6 kolom ( jumlah masukan ). Contoh 9.2 Memindahkan fungsi dengan sebuah CSTR
-alam contoh ./ kami mengembangkan model linear yang diaduk tank reactor dalam hal penyimpangan ariable , diberikan oleh persamaan . dan .4 . 'etelah menyusunnya dalam persamaan ini, kita dapat mengambil $
6enyederhanakan notasi yang digunakan dengan menetapkan $
Lalu persamaan (".&a) dan (".&b) menjadi $
ondis ia*al $
!mbil persamaan Laplace ubah dari persamaan ".&/a dan".&/b $
5ntuk menyelesaikan 7a (') dan 2(') dan mengambilpersamaan $
-imana P(s)3 s+ = (a&&>a++) = (a&+a+& = a&&a++). -alam sebuah bentuk matrik persamaan ".&1a dan ".&1b ditulis sebagai berikut $
Pada table ".& kita melihat enam fungsi transfer sesuai dengan 7'2C. Ini dapat diturunkan dengan mudah dari persamaan ".&1a dan ".&1b. 0ungsi transfer matrik ini adalah nons;uare, karena jumlah masukan tidak sama dengan jumlah hasil $
0ungsi transfer matriks $
%ambar ". menampilkan masukan#keluaran model untuk 7'2C pada bentuk blok diagram
9.(. Ni)ai a% $ingga dan no) !ada fungsi ransfer 6enurut definisi fungsi transfer, memiliki persamaan $
y ( s ) =G ( s ) f ( s ) 'ecara umum fungsi transfer akan menjadi rasio dua polinomial(suku banyak),
# (s) G ( s )= " ( s ) 'atu#satunya pengecualian adalah system dengan penundaan *aktu yang memperkenalkan istilah eksponensial. 5ntuk realisasi fisik sistem, polinomial D (s) akan selalu menjadi susunan yang lebih rendah daripada polynomial P(s). !lasan akan menjadi jelas dalam bab#bab berikutnya. 5ntuk *aktu, 'emua contoh yang kita telah membahas memuaskan pembatasan ini. !kar polinomial D(s) disebut fungsi transfer nol , atau sistem nol yang dinamis dijelaskan oleh fungsi transfer %(s). etika ariabel s mengambil sebagai nilai#nilai nol %(s), transfer fungsi menjadi nol. !kar polinomial P(s) disebut fungsi transfer tak hingga, atau ekuialen, sistem tak hingga. -i sIstem tak hingga fungsi transfer menjadi tanpa batas. 'istem takhingga dan system nol memainkan peran penting dalam analisis dinamis sistem dan desain efektif pengendalian proses. 'eperti kita lanjutkan, kegunaan mereka akan menjadi lebih jelas.
Contoh9.3 : nilai tak hingga dan nol pada adukann tangki pemanas.
model input#output tangki pemanas dikembangkan dalam contoh, dan dirumuskan$
T ( s )=G1 ( s ) T 1( s )+ G 2 ( s ) T st ( s ) '
'
'
0ungsi transfer % adalah$ 1
G 1 ( s )=
τ s+ a
2idak ada nilai nol dan satu nilai tak hingga pada saat s 3#a. -emikian pula fungsi transfer %, yang dirumuskan dengan$
G 2=
K s +a
2idak ada nilai nol dan satu nilai tak hingga pada saat s 3#a. Perhatikan bah*a dua fungsi transfer memiliki nilai tak hingga yang umum. Contoh 9. :nilai tak hingga dan nol pada CTSR
0ungsi transfer sesuai dengan 7'2C dikembangkan dalam contoh ".+ dan diringkas dalam tabel ".&. 'emua fungsi transfer memiliki denominator umum,
" ( s )=s + ( a11 + a22 ) s +( a 11 a22−a12 a21 ) 2
-an juga nilai tak hingga pada umumnya. arena polinominal P urutan kedua, sistem memiliki dua nilai tak hingga , yang dirumuskandengan$
a
√ (¿ ¿ 11 +a ) + 4 a −(a + a )$ 2 2
22
11
12
a21
22
p 1,2=¿ 'ehubungan dengan nilai nol, fungsi transfer berbeda. %&+ (s), %& (s) dan %+&(s) tidak punya nol %++ (s) dan %+ (s) memiliki satu nol 5mum s 3#a %&& (s) punya satu no lpada s 3#a++
9.* Ana)isis +ua)iaif dari Res!on Suau Sise# Cespon dinamis y output diberikan oleh
y´ ( s )=G ( s ) ´f ( s )
untuk diberikan masukan f(t) kita dapat denagn mudah menemukan transformasi laplacenya
´f
(s), sementara fungsi transfer %(s) dikenal untuk sistem tertentu. Eleh karena itu, tanggapan y(t)
´ dalam *aktu domain dapat ditemukan jika kita balikkan istilah %(s) f (s). 'elanjutnya secara umum,
# (s) G ( s )= " ( s ) 'ementara itu transformasi Laplace dari semua input umum juga dapat dinyatakan sebagai rasio dari dua polynomial(lihat contoh pada bab 4 dan 9 seperti halnya pada table .& dan 9.&)$
´f ( s )= r ( s ) % ( s) !kibatnya,
# ( s ) r ( s) y´ ( s )= " ( s ) % ( s )
(".&)
untuk membalikkan sisi kanan (".&) menggunakan metode pecahan parsial, kita perlu tahu akar P(s) polinomial dan akar ;(s) polinomial. 'yarat#syarat yang dihasilkan dari inersi oleh pecahan parsial unik dicirikan oleh sistem nilai tak hingga dan akar ;(s). Eleh karena itu, jika kita tahu mana tempat sistem tak hingga, kita dapat menentukan karakteristik kualitatif dari tanggapan sistem masukan tertentu, tanpa tambahan perhitungan. 6ari kita gunakan contoh umum berikut untuk memperjelas pernyataan di atas. !nggaplah bah*a fungsi transfer sistem yang diberikan oleh$
¿
-imana p&, p+, p, p/,
p4
dan p1 adalah akar P(s) (lihat gambar ".4). Perluasan parsial pecahan
%(s) akan menghasilkan persyaratan berikut ini$
Pengamatan berikut dapat dilakukan untuk lokasi nilai tak hingga$ &. nilai tak hingga nyata, berbeda, seperti p& dan p+, terletak pada sumbu nyata (gambar ".4).
'elama inersi, mereka menimbulkan e@ponential terms seperti 7&e p&t dan 7+e p+t. 'ejak p& F ? &' 7&e p&t meluruh secara eksponensial ke nol sebagai t
(gambar ".9a). -an juga, karena p+ G ? 7+e p+t tumbuh secara eksponensial hingga tak terbatas dengan *aktu (gambar ".9b). Eleh karena itu, nilai#nilai tak hingga yang berbeda pada sumbu nyata negatif menghasilkan istilah yang pembusukan nol dengan *aktu, sementara nilai tak hingga nyata yang positif membuat respon sistem bertumbuh kearah *aktu tanpa batas. +. beberapa nialai tak hingga nyata, seperti p, yang diulang sebanyak m kali. Ailai tak hingga tersebut menimbulkan istilah seperti$
Istilah dalam tanda kurung tumbuh ke arah tanpa batas *aktu. Perilaku istilah eksponensial tergantung pada nilai p tak hingga$ ika p G ? maka e pt
& sebagai t &
ika p F ? maka e pt ? sebagai t & ika p 3 ? maka e pt 3 & untuk semua *aktu. Eleh karena itu, beberapa nilai tak hingga nyata menimbulkan istilah yang baik tumbuh tanpa batas jika nilai tak hingga positif atau nol, atau kerusakan ke nol jika nilai tak hingga negatif. ¿
p4
. konjugat kompleks tiang, seperti p/ dan
. ami harus menekankan bah*a nilai tak
hingga yang kompleks selalu muncul di konjugat pasang dan tidak pernah sendirian. Biarkan p/ 3
( + )*
¿
dan
p4 =( − )*
. -alam bagian 9.+ kita telah melihat pasangan konjugat kompleks
e
akar menimbulkan istilah#istilah seperti
e
fungsi berosilasi, sementara perilaku
(t
(t
sin
( *t + ∅ )
( *t + ∅ ) . ' in
adalah
periodik,
tergantung pada nilai bagian yang nyata. -engan
demikian$ # ika
( >¿
?, maka
e
(t
&'
sebagai
&'
dan
e
(t
sin
( *t + ∅ )
tumbuh hingga tak
terbatas secara berosilasi (gambar "."a) # ika
( < 0 , maka
e
(t
? sebagai t & dan
e
(t
sin
( *t + ∅ ) kemudian meluruh
menjadi Aol secara berosilasi dengan amplitudo yang terus menurun (gambar"."b) # ika 3?, makaad 3 & untuk setiap saat, dan ead sin(Jt >Ѳ) 3 sin(Jt >Ѳ), yang berosilasi terus menerus(gambar"."c) dengan amplitudo konstan.
Eleh karena itu, sepasang tiang konjugat kompleks menimbul kanosilasi, yang amplitudo dapat tumbuh terus menerus jika bagian nyata dari nilai tak hingga kompleks positif, penurunan ke nilai nol jika negatif, atau tetap tidak berubah jika bagian nyata dari nilai tak hingga adalah nol. /. Ailai tak hingga di a*al $ nilai tak hingga p1 terletak pada asal bidang kompleks. Eleh karena itu, 71K(s#p1) 371Ks dan setelah inersi memberikan istilah konstan 71.
eterangan &.pengamatan di atas bersifat umum dan dapat diterapkan pada sistem apapun. -engan demikian kita dapat menemukan karakteristik kualitatif dari respon sistem jika kita tahu di mana niali tak hingga dari fungsi transfer yang sesuai berada. Hal ini jelas bah*a untuk masukan tertentu kita harus mempertimbangkan akar tambahan yang diperkenalkan oleh penyebut dari f(s), sebelum kita dapat memiliki gambaran lengkap dari respon kualitatif dari suatu sistem.
+. Ailai tak hingga di sebelah kanan sumbu imajiner memberikan persyaratan kenaikan yang tumbuh hingga tak terbatas dengan *aktu. 'istem tersebut dengan perilaku tak terbatas disebut tidak stabil. Eleh karena itu, sistem akan stabil jika semua kutub dari fungsi transfer berlokasi di sebelah kiri sumbu imajiner(gambar".4). dalam bab#bab selanjutnya kita akan menentukan lebih tepatnya stabilitas sistem.
,a) 'ang !er)u di!i%ir%an
&. 2entukan fungsi transfer. 6engapa hal ini berguna +. 5ntuk proses dengan empat input(gangguan dan ariabel dimanipulasi) dan tiga output diukur, berapa banyak fungsi pengalihan harus !nda rumuskan, dan mengapa !pa yang sesuai fungsi transfer matriks . Pada bagian 1.&kita mengembangkan berbagai jenis model input#output. !pakah !nda lebih suka yang lebih modelinput#output berdasarkan konsep fungsi transfer 5raikan ja*aban !nda. /. !pa yang dimaksud diagram blok dari suatu proses enis informasi apakah yang disampaikan 1.Persamaan (/./a) dan (/.1b) merupakan model matematika lengkap adukan tangki pemanas. 6engembangkan model input output untuk memproses dengan merumuskan fungsi transfer yang diperlukan. %ambarkan diagram blok yang sesuai. !nalisis interaksi antara input danoutput. !pa yang !nda amati (Petunjuk$ mulai dengan melinierisasi persamaan pemodelan dan mengekspresikan ariabel dalam bentuk penyimpangan.) . %ambarkan diagram blok dari kolom distilasi yang ditunjukkan pada %ambar /.&?. dapatkah !nda mengembangkan analitis fungsi pengalihan di antara berbagai input dan output ika ya, jelaskan bagaimana, tapi jangan dilakukan. 4. Pertimbangkan tangki pemanas yang diaduk dari contoh".&. apakah sistemnya stabil atau tidak, dan mengapa 5ntuk nilai#nilai parameter , M, dan adalah stabil Bisakah menjadi tidak stabil 9. !pakah lokasi nol dari sistem mempengaruhi respon terhadap input eksternal 5raikan ja*aban !nda. ". 5langi pertanyaan 9, tetapi mengambil lokasi sistem nilai tak hingga ke sistem. &?. 2unjukkan bah*a sistem nilai tak hingga +@+ juga nilai#nilai eigen dari matriks kofisiennya konstan dalam model dinamis dari sistem. &&. -alam kondisi apa yang bisa 7'2C contoh".+ menjadi tidak stabil &+. Beberapa nilai tak hingga P yang diulang m kali menimbulkan istilah seperti yang diberikan dalam (".&9). Istilah didalam kurung tumbuh menuju batas dengan *aktu, terlepas dari mana p berada. emudian elaskan, mengapa istilah keseluruhan(".&9) menurun ke nol ketika p terletak pada sumbu negatif
