Fungsi Bernilai Vektor
Definisi Fungsi bernilai vektor adalah suatu aturan yang memadankan setiap t ∈ R dengan tepat satu vektor −
F (t ) ∈ R 2 ( 3)
Notasi :
f : R → R 2 ( 3) t a F (t ) = f1 (t ) i →
+ f 2 (t ) j = →
→
f1 (t ), f 2 ( t) →
t a F (t ) = f1 (t ) i + f 2 (t ) j + f3 (t ) k dengan
f1 (t ), f 2 (t ), f 3 (t ) fungsi bernilai real
"ontoh : −1 1. F (t ) = t − 2 iˆ + (t − 3) 3) ˆj r
2 ˆ 3. F (t ) = ln ÷ i − t
F (t ) = cos t iˆ + sin t ˆj + kˆ
6 − t ˆj
Daerah Asal (DF )
F (t ) = f 1 (t )i + f 2 (t ) j ⇒ F (t ) = f 1 (t )i
2.
+
f 2 (t ) j
+
D F
= {t ∈ R | t ∈ D ∩ D }
f 3 (t )k ⇒ D F r
f 1
f 2
= { t ∈ R | t ∈ D f ∩ D f ∩ D f } 1
2
Daerah Hasil (R F )
R F
=
2
F (t ) ∈ R | t ∈ D F
atau R Fr
={
r
F (t ) ∈ R | t ∈ DF r } 3
3
→
"ontoh : $entukan %omain dari F (t ) =
→
t − 2 i + (t − 3)
&a'ab : f1 (t ) = t − 2 → D f 1 = [2, ∞)
f 2 (t ) = (t − 3) −1 → D f 2
= R − {3}
&adi
{
D F r = t ∈ R t ∈ D f 1 ∩ D f 2
}
= { t ∈ R t ∈ [2, ∞) ∩ R − { 3} } = { t ∈[2, ∞) − { 3} } = [2,3) ∪ (3, ∞)
→ −1
j
2 ˆ 2. F (t ) = ln ÷ i − t
6 − t ˆj
&a'ab: 2 f1 (t ) = ln ÷ → D f = (0, ∞) t f 2 (t ) = − 6 − t → D = (−∞, 6 f 1
2
{
D F = t ∈ R t ∈ D f 1 ∩ D f 2
}
= { t ∈ R t ∈ (0, ∞) ∩ (−∞, 6} = (0,6
Latihan Tentukan DF(daerah asal) dari fungsi vektor berikut 1.
F (t ) = (t − #) iˆ + t ˆj r
2.
F (t ) = −t iˆ − # − t 2 ˆj r
3.
F (t ) = r
4.
F (t ) =
1 (t − #)
iˆ + t ˆj
1 # − t
2 iˆ + t ˆj
Persamaan Parameter Persamaan kurva di bidang dalam bentuk parameter: x = f 1 (t ) % y = f 2 (t ) , t ∈ I
Persamaan kurva di ruang dalam bentuk parameter:
x = f1 (t ) % y = f 2 (t ) % z = f3 (t ) , t ∈ I "ontoh : 1.
F (t ) = cos t iˆ + sin t ˆj + t kˆ
→ x = cos t , y = sin t , z = t
2.
F (t ) = (t − #) iˆ + t ˆj
→ x = (t − #) , y =
t
Garis aris adalah himpunan semua titik ( sehingga P P 0
(0)*+0,y0,0.
(*+,y,.
'
'0
+
y
r
=tv
r
r
P0 P = t v r
v = vektor yang seaar dengan garis
r
−w0 + w = t v r
r
w = w0 + t v
*(ersamaan garis dalam bentuk vektor.
→
&ika
→
→
w =< x, y, z >
w0
=<
x 0 , y 0 , z 0
>
v =< a, b, c >
aka persamaan garis dalam bentuk parameter:
x
=
x 0
+
at
y = y 0 + bt z = z 0 + ct
Contoh 13 $entukan persamaan garis yang melalui titik *#,-5,2. dan seaar vektor4-1,2,! &a'ab:
x, y , z
=
#,−!, 2
+ t − 1, 2, 3
(ersamaan parameter garis itu:
x = # − t y
= −
! + 2t
z = 2 + 3t
Contoh 23 $entukan persamaan garis yang melalui titik *2,-!,-1. dan *5,-1,-#. &a'ab: 7ektor yang seaar dengan garis tersebut adalah r
v
= ! − 2, −1 + 3, − # + 1 =
3, 2, −3
(ilih titik *2,-!,-1. 6ehingga (ersamaan parameter garis tersebut:
x = 2 + 3t % y = −3 + 2t % z = −1 − 3t
Latihan 1 Tentukan persamaan parameter dari garis
!ang melalui pasangan titik !ang diberikan: (1" #$" %)" (& " '" ) b ($" #1" ')" (" #$" %) * (&" $" %)" (" $" #1) a
$ Tuliskan persamaan parameter garis !ang
melalui titik !ang diberikan dan se+a+ar terhadap vektor !ang diberikan a (&"#"%)" ,#$"1"'b ($"'"#%) " ,"#1"&"$-
Gra.k Fungsi /ernilai 0ektor r isalkan
F (t ) = f1 (t ) iˆ + f 2 (t ) ˆj
Df =[a,b] 9
8 a≤t≤b
y
c f *a.
f *t. f *b.
x
&ika t berubah sepanang 9a,b8 uung-uung * ( ) menelaahi lengkungan *kurva. " dengan arah tertentu f *a. disebut titik pangkal lengkungan " f *b. disebut titik uung lengkungan " Jika f *a. = f *b. kurva " disebut kurva tertutup
Gra.k fungsi vektor
Gra.k fungsi bernilai vektor berupa lengkungan2kurva di 3$(%) dengan arah tertentu
Cara menggambar gra.k fungsi vektor : 1 Tentukan persamaan parameter dari kurva $ Tentukan persamaan Cartesius kurva
%
(eliminasi parameter t ) dan gambarkan Tentukan arahn!a
Conto h
Gambarkan gra.k fungsi vektor
1. F (t ) = 3cos t iˆ + 2sin t ˆj % 0 ≤ t ≤ 2π (ersamaan parameternya: + ) ! os t +/! ) os t y ) 2 sin t
y/2 ) sin
t
F *0. = ! = i = *!, 0. π F * . = 2 = j = *0, 2. 2 F *π . = −! = i = *−!, 0. !π F * . = −2 = j = *0, − 2. 2 F *2π . = ! = i = *!, 0.
os2 t ; sin2 t =1 2
2
x + y = 1 3÷ 2÷ y
2
C
!
-! -2
*ellips.
x
2.
F (t ) = (t − #) iˆ + t jˆ % 0 ≤ t ≤ #
(ersamaan parameternya:
x = t − #
→t = x+#
y = t
y =
x+#
→ x = y 2 − # *parabola.
y
C
2
F (0) = −# iˆ = ( −#, 0) -#
F (#) = 2 ˆj = (0, 2)
x
Latiha n
Gambarkan gra.k fungsi vektor berikut: r
1.
F (t ) = t iˆ − # − t 2 ˆj %
2. F (t ) = # − t 2 iˆ + t ˆj %
− 2 ≤ t ≤ 2 − 2 ≤ t ≤ 2
r
3.
F (t ) = ( #t − 1) ˆi − 2t ˆj % 0 ≤ t ≤ 3
#. F (t ) = ( t r
5.
2
+ 2t ) iˆ + ( t − 3)
F (t ) = −t iˆ − a 2 − t 2 ˆj %
jˆ %
− 2 ≤ t ≤ 3
−a ≤t ≤ a
4kivalen r
r
Fungsi f (t ) dan g (t ) disebut ekivalen ika f (t ) dan g (t )
menelaahi suatu lengkungan " yang sama dengan arah yang sama pula3
"ontoh:
f (t ) = a cos t iˆ + a sin t ˆj , 0 ≤ t ≤ π r
g (t ) = −t iˆ + a 2 − t 2 ˆj , − a ≤ t ≤ a f (t ) +an g (t ) adalah dua vektor yang ekivalen3 Norm
*tunukkan>.
isalkan f (t ) = f1 (t ) iˆ + f 2 (t ) ˆj + f 3 (t ) k ˆ maka norm dari f (t ) r
f (t )
= (
f1 (t ) )
2
+(
f 2 (t ) )
2
+(
f3 (t ) )
2
5ifat fungsi vektor = = dan g*t . = g1*t . = = + g! *t . k = + f ! *t . k i + g2 *t . j isalkan f *t . = f 1*t . =i + f 2*t . j
13 f *t .3 g*t . = f 1*t . g1*t . + f 2 *t . g2 *t . + f ! *t . g!*t . = f *t . g*t . :os α α adalah
sudut antara dua vektor tersebut = i
= j
= k
f 1*t . f ! *t . f 1*t . f 2 *t . = = = 23 f *t . x g*t . = f 1*t . f 2*t . f ! *t . = i − j + k g2 *t . g! *t . g1*t . g! *t . g1*t . g2 *t . g1*t . g2 *t . g! *t .
(
!3 c f *t . ± g*t .
f 2 *t .
f ! *t .
= = + c ( f !*t . ± g!*t .) k = c ( f 1*t . ± g1*t .) =i + c ( f 2 *t . ± g2 *t .) j
)konstanta
Limit De.nisi r
li f (t ) = L → ∀ε t →a
> 0 ∃δ > 0 ∋ 0 < t − a < δ →
r
f (t ) − L
y
?lustrasi
* () - * ()
3
* a-δ a
. a;δ
ε
x
<ε
Teorem a isalkan f (t ) = f1 (t ) iˆ + f 2 (t ) jˆ , maka f (t ) mempunyai limit di a ↔ f 1*t.
dan f 2*t. mempunyai limit di a, dan r
(→
) (→
)
li f (t ) = li f1 (t ) iˆ + li f 2 (t ) ˆj t →a
t
a
t
a
"ontoh: @itung limit *fungsi vektor. berikut ika ada, *&ika tidak ada beri alasan.:
t 2 − = t 2 + t − A = 13 lim i + 2 j t → −! t − t + ! sin t = t = 23 lim i + t j t →0 t e
!3 lim+ ln*t 2 ., t ln t t →0
6a7ab t 2 − = t 2 + t − A = t 2 − = t 2 + t − A = 13 lim i + 2 j = lim i + lim j 2 t → −! t t → − → − ! ! t + ! t − t − t + ! ( t − ! )( t + ! ) = (t + ! )(t − 2 ) = i + lim j = t lim t → −! → − ! ( t + !)(t − !) t + ! t − 2 = ( t − !) =i + lim j = t lim t → −! t − ! → −! 5 A
= = − A =i + j sin t = t = 23 lim i + t j t →0 e t
= lim t →0
sin t = t
=== i = =i + 0 j
t = i + lim t j t →0 e
!3 lim+ ln*t 2 ., t ln t = t →0
karena lim+ ln*t 2 . t →0
lim+ ln*t 2 ., lim+ t ln t
t →0
= −∞
t →0
*tidak ada.
aka lim+ ln*t 2 ., t ln t tidak ada t →0
Latiha n 8itung limit (fungsi vektor) berikut +ika ada" (6ika tidak ada beri alasan):
t − 2 = t 2 + t − A = 13 lim 2 i + j t →2 t − 2 t − #
sin t = t 2 + 1 = 23 lim i + 2 j 2t − !t t → ∞ t !3 lim+ e1 / t , t →0
1 t
Turuna n
ˆ %efinisi: isalkan f (t ) = f1 (t ) iˆ + f2 ( t) ˆj + f3 ( t) k
f1 (t + h) iˆ + f 2 (t + h) ˆj + f 3 (t + h) kˆ − f /(t ) = li r
h →0
f1 (t + h) − f1 (t ) ˆ = li i+ h →0 h
f1(t ) iˆ + f 2 (t ) ˆj + f 3(t) k ˆ
h
f 2 (t + h) − f 2 (t ) ˆ f 3 (t + h) − f 3 (t ) ˆ j+ k h h
f1 (t + h) − f1 (t ) ˆ f 2 (t + h) − f 2 (t ) ˆ f3 (t + h) − f 3 (t ) ˆ i + li j + li k = li 0 0 0 → → → h h h h h h
= f1 /(t ) iˆ + f 2 /(t ) ˆj + f3 /(t )k ˆ &adi f /(t ) = f1 /(t ) iˆ + f 2 /(t ) ˆj + f 3 /(t ) k ˆ
Conto 13h %iketahui f (t ) = (2t + 3) iˆ − e 2
&a'ab r i3 f /(t )
2 t
ˆj3 $entukan f /(0) dan f //(0)
= 2 ( 2 t + 3) 2 iˆ − 2e2t ˆj = ( & t + 12) iˆ − 2e
f /(0) = 12 iˆ − 2 ˆj ii3 f (t ) = & iˆ − #e2t ˆj
f //(0) = & iˆ − # ˆj
2 t
ˆj
Contoh t 23 %iketahui f (t ) = cos 2t iˆ + e ˆj
$entukan
a. f /(t ) dan f //(t )
b. sudut antara f /(0) dan f //(0)
&a'ab a3 f /(t ) = −2sin 2t iˆ + et ˆj , b3 f /(0) = ˆj %
f //(t ) = −# cos 2t iˆ + et ˆj
f (0) = −#iˆ + ˆj
f /(0). f (0)
cosθ = r r f /(0) f (0)
=
1 1$
θ = cos
−1
÷ 1$
1
Latiha n%iketahui f (t ) = an 13 $entukan f /(0) 23 %iketahui $entukan !3 $entukan a3
r
−1
t iˆ + t e
dan f //(0)
r
r (t ) = e2t iˆ + ln(t 3 ) ˆj r
r
Dt [r (t ).r /(t ) r /(t ) dan −t
r (t ) 2
t r (t ) = ( e + e ) iˆ − e ˆj
r
−2t
t
!" 3 ˆ ˆ j b3 r (t ) = an t i − 2t
ˆj + ln ( t 2 + 1) k ˆ
9rti Geometris
* ( + ) - * ()
z
!
Df =[a,b] 9 7ektor
c
* ()
8 a≤ t ≤b
f (t + h) − h
* ( + )
y
x f (t ) , h > 0 searah dengan vektor f (t + h) - f (t )
f (t + h) − f (t )
r
= f /(t ) &ika h 0, maka li h →0 h merupakan vektor singgung pada kurva " di titik ( pada saat t ∈ *
Garis 5inggung
z
! * / ( 0 )
Df =[a,b] 9
* ( 0 )
8 a≤t≤b
x
c
y
(ersamaan garis singgung pada kurva " pada titik ( adalah r
x (t ) = f (t0 ) + t f /(t 0 )
atau
< x, y, z >=<
f1 (t0 ), f 2 (t0 ), f 3 (t0 ) > +t < f1 /(t0 ), f 2 /(t 0), f 3 /(t 0 ) >
Conto h%iketahui f (t ) = cos t iˆ + sin t ˆj + t k ˆ $entukan persamaan garis singgung di titik ( *B1, 0, π.3 &a'ab: t0 ) 'aktu saat ( terapai, yaitu t 0 )
π
f /(t ) = − sin t iˆ + cos t ˆj + k ˆ f /(π ) = 0 iˆ + ( −1) ˆj + k ˆ f (π ) = ( −1) iˆ + 0 ˆj + π k ˆ
=< 0, − 1, 1 > =<− 1,0, π >
(ersamaan parameter garis singgung di titik ( *B1, 0, π. adalah + ) B1 , y ) B t , ) π ; t
