ПРИРУЧНИК ЗА УЧЕНИКЕ ОСНОВНЕ ШКОЛЕ
Борис Чекрлија
МАТЕМАТИКА УКРАТКО (СВЕ
ШТО ТРЕБА ЗНАТИ ИЗ МАТЕМАТИКЕ)
Рецензенти: мр Владимир Стојановић, Саобраћајни факултет у Београду Мирјана Талијан, наставник у ОШ “Иво Андрић” Бања Лука
ПРЕДГОВОР Овај приручник садржи кратак, информативни преглед основних појмова, дефиниција, правила, формула и теорема из математике, који се уче у основној школи. Ријешени примјери имају за циљ да укажу на примјену наведених правила, формула и теорема као и на поступке рјешавања задатака. Приручник Математика укратко је намијењен ученицима као подсјетник који им омогућава могућност да се поред стицања математичких знања, вјештина и навика оспособљавају и за самосталан рад. Пријатна ми је дужност да се захвалим рецензентима, мр Владимиру Стојановићу и наставници Мирјани Талијан, који су својим приједлозима и суге стијама допринијели побољшању овог приручника. Аутор
Садржај Преглед стандардних симбола и знакова ........... 7 Скупови ................................................................. 11 Бројеви. Рачунске операције са бројевима .......................................................... 18 Дјељивост бројева ................................................ 24 Процентни, промилни и каматни рачун ............. 31 Степени са природним изложиоцем ................... 33 Квадратни коријен ................................................ 36 Рационални изрази ............................................... 38 Правоугли Декартов координатни систем .......... 41 Пропорционалност ............................................... 43 Линеарна функција ............................................... 48 Једначине ............................................................... 51 Неједначине ........................................................... 55 Системи линеарних једначина са двије непoзнате ................................................ 59 Угао ........................................................................ 63 Троугао .................................................................. 68 Питагорина теорема ............................................. 74 Подударност троуглова ........................................ 77 Круг ........................................................................ 79 Четвороугао ........................................................... 81 Многоугао .............................................................. 87
Пропорционалност дужи ..................................... Сличност ............................................................... Призма ................................................................... Пирамида ............................................................... Ваљак ..................................................................... Купа ........................................................................ Лопта ...................................................................... Римске цифре ........................................................ Мјерне јединице ................................................... Таблица бројева .................................................... Таблица простих бројева ..................................... Грчки алфабет ....................................................... Литература ............................................................
90 91 95 98 103 104 106 107 109 113 119 124 125
Преглед стандардних симбола и знакова Примјер коришћења симбола
Симбол
Значење
је елемент, припада
xS
х је елемент скупа S
није елемент, не припада
xS
х није елемент скупа S
... скуп
1, 2, 3 скуп чији су
елементи 1, 2 и 3
је (прави) подскуп од A B А је прави подскуп од В
је подскуп од
A B А је подскуп од В
унија скупова
A B унија скупова А и В
пресјек скупова
A B пресјек скупова
\
разлика скупова
A \ B разлика скупова
АиВ
АиВ
C A B комплемент скупа В у односу на скуп А
{ x | x N и x 2 2}
празан скуп
k ( ) кардинални број скупа k (А) кардинални број скупа A
( , ) прво значење: уређени пар друго значење: отворени интервал
( а , b ) уређени пар
елемената a и b
( 1 , 2 ) скуп свих реалних
бројева између 1 и 2
7
Симбол
Примјер коришћења симбола
Значење
[ , ]
затворени интервал
[ 1 , 2 ] скуп свих реалних бројева између 1 и 2 укључујући 1 и 2
једнако
a b a једнако b
различито
a b a различито од b
је мање
a b a је мање од b
мање или једнако
a b a мање или једнако b
је веће
a b a је веће од b
веће или једнако
a b a веће или једнако b
||
је паралелан
p | | q права p је пара-
је нормалан
a b права a је нормална
угао
лелна са правом q
на праву b
pOq угао pOq AB
лук
лук АВ
прави угао
AB
дуж AB
подударан
AB CD
дуж АВ је подударна са дужи CD
8
Симбол
Примјер коришћења симбола
Значење
троугао
ABC троугао АВС
~
сличан
ABC ~ PQR троугао АВС
сабирање (знак опера- a b ције сабирања)
a “плус” b
одузимање (знак операције одузимања)
a “минус” b
множење (знак опера- a b ције множења)
a пута b
:
дијељење (знак опера- a : b ције дијељења)
a подијељено са b
квадратни (други) коријен
5
други коријен из 5
је сличан троуглу PQR
a b
3
трећи (кубни) коријен
34
трећи коријен из 4
%
проценат
3%
3 посто (3 процента)
‰
промил
a‰
а промила
дијели (садржи се)
m|n
m дијели n
|
D(a,b) највећи заједнички дјелилац природних бројева a и b
D (12,6,21) највећи заједнички дјелилац бројева 12, 6 и 21
S (a,b) најмањи заједнички садржилац бројева aиb
S (10,3,15) најмањи заједнички садржилац бројева 10, 3 и 15
| | апсолутна вриједност
2 апсолутна вриједност броја – 2 9
Слова са сталним значењем N – Скуп свих природних бројева 1, 2, 3, ... No – Скуп свих природних бројева и нуле 0, 1, 2, 3, ... Z – Скуп свих цијелих бројева 0, 1, –1, 2, – 2, 3, – 3, ... – Скуп свих позитивних цијелих бројева 1, 2, 3, ... – Скуп свих негативних цијелих бројева –1, – 2, –3, ... Q – Скуп свих рационалних бројева I – Скуп свих ирационалних бројева R – Скуп свих реалних бројева
10
СКУПОВИ Скуп обично означавамо великим латиничним словима: A, B, C, ... , P, Q, R, ... , а елементе скупа малим словима: a, b, c, d, …, x, y, z. Примјер Запис S={ a, b, c} означава да скуп *) елементе a, b и c. Ñ
S
има
Ако је х елемент скупа А, онда то записујемо: x A
и читамо: х је елемент скупа А, или х припада скупу А, или х је члан скупа А. Ако у није елемент скупа А, онда то записујемо: yA и читамо: у није члан скупа А, или у не припада скупу А.
Представљање скупова 1. Елементи скупа могу бити редом наведени у тзв. великим ( ”витичастим” ) заградама. Примјер A={1, 2, 3 }; N={1, 2, 3, 4, ...}. Ñ Напомена Иза сваког елемента, осим посљедњег, ставља се запета. Ако је при навођењу чланова скупа послије неколико елемената јасно који су његови сљедећи елементи, онда пишемо три тачке и оне значе и тако даље. *) Знаком Ñ означавамо гдје се завршава текст Примјера.
11
2. Елементи скупа су задани описом. Примјер * Записом A x | x N и x 3 је представљен скуп A свих природних бројева мањих од 3. * Скуп B свих природних бројева дјељивих са 5 представљен је записом B n | n N и 5 | n или записом B 5n | n N . * Скуп свих римских цифара S={ I, V, X, L, C, D, M } можемо задати описом елемената: S={r | r је римска цифра }. Ñ 3. Елементи скупа су представљени графички (Ојлер-Венов дијаграм) S 1 3
2 5
Скуп S чији су елементи 1, 2, 3 и 5.
Скуп од три дјечије играчке.
Сл. 1
На слици 1 сваки елемент скупа S={1, 2, 3, 5} представљен је тачком и бројем у унутрашњости затворене линије. 12
Једнакост скупова За два скупа кажемо да су једнаки ако се састоје од истих елемената. Примјер Скупови A={1, 1, 2} и B = {1, 2, 2, 2, 2 } се састоје од истих елемената и пишемо A = B. Ñ Кардинални број скупа Кардинални број скупа S јe број елемената скупа S. Ознака: k (S). Кардинални број може бити и бесконачно велики. Такав скуп се назива бесконачан скуп. Скуп свих природних бројева N={1, 2, 3, 4, …} је бесконачан скуп. Примјер За A={a, b, c} је k (A) = 3. Ñ Кажемо да су скупови A и B еквивалентни ако је k (A) = k (B). Примјер Скупови A = {a, b, c, d} и B = {1, 2, 4, 5} су еквивалентни јер је k (A) = k (B) = 4 . Ñ Празан скуп
Скуп који не садржи ниједан елемент назива се празан скуп. Ознака празног скупа је: . 13
Подскуп Скуп A је подскуп скупа B ако сваки елемент скупа A припада и скупу B. Да је A подскуп скупа B означавамо: A B или A B .
Празан скуп је подскуп сваког скупа S : За сваки скуп S важи
.
Унија скупова Унија скупова A и B је скуп који се састоји од свих елемената скупа A и скупа B. Унију скупова A и B означавамо: Примјер
A
A = {1, 2, 3} B = {3, 4, 6}
1
.
B
3
2
4 6
={1, 2, 3, 4, 6} (сл.2).Ñ
A
B Сл. 2
Напомена На сл. 2 сваки елемент скупова A и B приказан је тачком и бројем у унутрашњости затворене линије. Ако не желимо навести поједине елементе, скуп представљамо омеђеним осјенченим дијелом равни (cл. 3). 14
Својства уније
B
A
Сл. 3 Графичка интерпретација уније скупова A и B помоћу Ојлер-Веновог дијаграма
Пресјек скупова Пресјек скупова A и B је скуп који се састоји од заједничких елемената скупова A и B. Пресјек скупова A и B означавамо:
.
Примјер A
={b, c} (сл. 4). Ñ
d
a b e c
A
B
f
U
A={a, b, c, d, e}; B={ b, c, f }
Сл. 4 A
B
Сл. 5 Графичка интерпретација пресјека скупова A и B помоћу Ојлер-Веновог дијаграма 15
Дисјунктни скупови Два скупа A и B су дисјунктни ако немају заједничких елемената, тј. ако им је пресјек празан скуп: . Примјер A={1, 2, 3}; B={4, 5, 6} . Ñ Својства пресјека
Разлика скупова Разлика скупова A и B је скуп који садржи само оне елементе скупа A који не припадају скупу B. Разлику скупова A и B означавамо:
.
Примјер A={1, 2, 3} B={3, 4, 5}
A
= {1, 2}, а
1 3 2 A\B
= {4, 5} (сл. 6). Ñ
Сл. 6 16
4 B 5 B\A
A
B A\B
B\A
Сл. 7 Графичка интерпретација разлике скупова A и B помоћу Ојлер-Веновог дијаграма.
Својства разлике
Комплемент скупа Ако је B подскуп скупа A, онда се скуп назива комплемент скупа B у односу на скуп A и означава се . Примјер
A
A={1, 2, 3, 4, 5} B={1, 2, 4}
1 B
2 4
3 5 CA B
CAB = {3, 5} (cл. 8). Ñ
Сл. 8
A CA B
B
Сл. 9 Графичка интерпретација комплемента скупа B у односу на скуп A помоћу Ојлер-Веновог дијаграма 17
БРОЈЕВИ РАЧУНСКЕ ОПЕРАЦИЈЕ СА БРОЈЕВИМА разлика
збир
8– 3=5
5+3=8 сабирак
количник
количник
24 : 6 = 4
4 6 = 24
дјељеник дјелилац
чинилац производ
именилац
умањилац
умањеник
збир
производ
бројилац
разлика
3 5 18
разломачка црта разломак
Реални бројеви Скуп свих природних бројева N = {1, 2, 3, …, n, …} Најмањи природни број је 1. Не постоји највећи природни број. Сваки паран природни број може се приказати у облику 2k, гдје k N. 2, 4, 6, 8, 10, … Сваки непаран природни број може се приказати у облику 2k –1, гдје k N . 1, 3, 5, 7, 9, 11, ... Сви природни бројеви и нула чине скуп који означавамо No : No = {0, 1, 2, 3, …, n, …}
Скуп свих цијелих бројева Z = {0, 1, – 1, 2, – 2, 3, – 3, …} или Z = {…, – 3, – 2, – 1, 0, 1, 2, 3, …} Скуп свих позитивних цијелих бројева ={1, 2, 3, …, n, …} Скуп свих негативних цијелих бројева ={ –1, –2, –3, …, –n, …} Нула није ни позитиван ни негативан цијели број. 19
N Ì No NÌZ No Ì Z
Z=
È {0} È
Скуп свих рационалних бројева p Q x | x , p Z, q N q Рационални бројеви су: –2, 0, 1, 14,
1
3
,
100 101
, 0,35
NÌZÌQ Бројеви као што су: 2 , 3 , 5 , 11 итд. не могу p се представити у облику , гдјe p, q Z , q 0 , и q они нису рационални бројеви. Скуп свих таквих бројева обиљежава се са I и представља скуп свих ирационалних бројева. Не постоји број који је рационалан и ирационалан. Дакле, важи Q Ç I = Æ . Унија скупа свих рационалних и скупа свих ирационалних бројева зове се скуп реалних бројева. Обиљежава се са R. Елементе тог скупа зовемо реалним бројевима. Дакле, важи N Ì Z Ì Q Ì R, R = Q È I. 20
За x, y, z R важи: x y yx x y yx
}
( x y) z x ( y z) ( x y) z x ( y z)
комутативност
}
асоцијативност
x0 x x 1 x x ( x) 0
x0 0
1 1 x x ( y z) x y x z
за x 0: x
Дистрибутивност множења у односу на сабирање
За свака два реална броја x, y важи само једна од три релације: x < y или x = y или x > y. Апсолутна вриједност реалног броја x, у ознаци |x|, је x, за x 0 x, за x 0 x 0, за x 0 или краће x x, за x 0 x, за x 0
21
Разломци Једнакост разломака
a c ако је a d b c ( b 0 и d 0 ) b d a c ако је a d b c ( b 0 и d 0 ) b d Проширивање и скраћивање разломака Проширивање разломака је множење бројиоца и имениоца истим природним бројем већим од 1. Скраћивање разломка вршимо тако што бројилац и именилац разломка подијелимо заједничким дјелиоцем већим од 1. Проширивањем и скраћивањем разломка
m добије n
се разломак једнак датом разломку:
mk m m:d , ( d, k, n N ) . nk n n:d
Сабирање и одузимање разломака 1. Ако је c 0 , онда је a c
b
c
ab
a
и
c
c
b c
ab
.
c
2. Ако је b 0 и d 0 , онда је a b a b
c d c d
ad bd ad bd
bc bd bc bd
ad bc bd ad bc bd
и .
(Разломке који немају заједничке имениоце прво доведемо на заједнички именилац, па их затим сабирамо или одузимамо.)
22
Множење и дијељење разломака a c ac b d bd
1.
(b 0,
d 0)
2. За c 0 је: a c a d ad : b d b c bc 3. За c 0 je:
(b 0,
d0
)
a
a a
c
a d ad b : c b d b c bc
или краће
d
ad b c bc d
( b 0, d 0 ) Примјери:
1.
4
7
2.
5
7 8
6
5
11 6
46
10
53
63
1
7
7
9
7
3.
6
75 11 6
82 92
3 7
15
18
16 18
35 66
3 7 3 9 3 9 27 : 5 9 5 7 5 7 35
4.
1
5.
3 1 : 2 1 15 1 15 2 3 15 3 2 3 ( 2) 15
15 15 3 1 2 2 6 6 6 2
23
Ñ
15 16 18
1 18
ДЈЕЉИВОСТ БРОЈЕВА Дјељивост у скупу No Ако су n и q цијели бројеви, а d природан број и n d q , тада је n дјељив са d. Користимо ознаку d | n ( d дијели n). Број n је дјељеник, d је дјелилац и q је количник. Ако је и q 0 , тада су d и q чиниоци броја n, а број n је садржилац бројева d и q. Примјер Бројеви 3 и 5 су дјелиоци броја 135, јер је 45 3 135 односно 27 5 135 . Дакле, број 135 је дјељив са 3 и 5, јер је 135:3=45 односно 135:5=27. Ñ Ако m|n и n|p, онда и m|p. Ако m|a и m|b, онда и m|(a+b), m|(a – b) и m | k a . Ако m n | a , онда m|a и n|a. 1|n и n|n, за природан број n. Нула је дјељива сваким природним бројем. Дијељење нулом није дефинисано. Дијељење са остатком Ако број a није дјељив бројем b, b 0 , тада је a b q r , гдје је q количник, а r, 0 < r < b, је остатак дијељења. Разлика два броја, који при дијељењу са b дају једнаке остатке, дјељива је са b. Број a је дјељив са b ако је остатак дијељења 0. Тада је
a bq . 24
Примјер Број 195 се може написати у облику 195 6 32 3 . Дакле, при дијељењу броја 195 са 6 добије се количник 32 и остатак 3. Број 195 се може написати у облику 195 7 27 6 . Дакле, при дијељењу броја 195 са 7 добије се количник 27 и остатак 6. Број 195 се може написати у облику 195 5 39 . Дакле, број 195 је дјељив са 5 односно са 39. Ñ
Парни бројеви (дјељиви са 2) су бројеви облика 2 k , гдје k N .
Непарни бројеви су облика 2 k 1 , гдје k No.
Бројеви дјељиви са 7 су облика 7 k . Бројеви који се могу написати у облику 7 k 3 при дијељењу са 7 дају остатак 3.
25
Дјељивост декадним јединицама Декадне јединице су: 1, 10, 100, ..., 10 k (10 има k нула).
k
Сви бројеви су дјељиви са 1. Број је дјељив са 10 ако му је цифра јединица 0. Број је дјељив са 100 ако су му двије посљедње цифре нуле. k
Број је дјељив са 10 ако му је k посљедњих цифара 0 (нула). Број који се завршава цифром 0 дијели се са 10 тако што му се избрише посљедња цифра. Остатак дијељења природног броја са 10 је једноцифрен број одређен његовом цифром јединица. Примјер 13860 : 10 = 1386; 5068200 : 10 = 506820; 5068200 : 100 = 50682. Ñ Примјер Остатак дијељења броја 623581 са 10 је једноцифрен број 1 одређен његовом цифром јединица. Остатак дијељења броја 623581 са 100 је његов двоцифрени завршетак: 81. Остатак дијељења броја 623581 са 1000 је његов троцифрени завршетак: 581. Ñ 26
2
Број је дјељив са 2 ако му је цифра јединица дјељива са 2, тј. ако му је цифра јединица 0, 2, 4, 6 или 8.
3
Број је дјељив са 3 ако му је збир цифара дјељив са 3.
4
Број је дјељив са 4 ако му је двоцифрени завршетак број који је дјељив са 4.
5
Број је дјељив са 5 ако му је цифра јединица 0 или 5.
6 8
Број је дјељив са 6 ако је дјељив са 2 и 3. Број је дјељив са 8 ако му је троцифрени завршетак број који је дјељив са 8.
9
Број је дјељив са 9 ако му је збир цифара дјељив са 9.
11
Број је дјељив са 11 ако се збир цифара на непарним и збир цифара на парним мјестима разликују за број који је дјељив са 11.
25
Број је дјељив са 25 ако му је двоцифрени завршетак 00, 25, 50 или 75.
125
Број је дјељив са 125 ако му је троцифрени завршетак број који је дјељив са 125.
Ако је број n дјељив са 2, онда је број n2 дјељив са 4. Ако је број n дјељив са 3, онда је број n2 дјељив са 9. 27
Прости и сложени бројеви Број p који има тачно два дјелиоца (1 и p) је прост број. Број k који представља производ два броја m и n већа од 1 је сложен број: k m n , m > 1 и n > 1. Најмањи прост број и једини паран прост број је 2. Број 1 није ни прост ни сложен. Сваки прост број већи од 5 може се представити у облику 6 k 1 или 6 k 5 , односно 6 k 1. Примјер Прост број 31 се може представити у облику 31 6 5 1 . Прост број 53 се може представити у облику 53 6 8 5.Ñ
Заједнички дјелиоци Ако су природни бројеви m и n дјељиви природним бројем d, онда је d заједнички дјелилац бројева m и n. Примјер Бројеви 60 и 108 се могу представити у облику односно 108 12 9 .
60 12 5 ,
Дакле, 12 је заједнички дјелилац бројева 60 и 108. Такође, заједнички дјелиоци ових бројева су 2, 3, 4 и 6. Ñ
Највећи од свих заједничких дјелилаца датих бројева назива се највећи заједнички дјелилац датих бројева, у ознаци D = D (a, b, c) за бројеве a, b и c. 28
Примјер Дати су бројеви 24, 30 и 168. Одредити њихов највећи заједнички дјелилац. Дјелиоци броја 24 су: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24. Дјелиоци броја 30 су: 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30. Дјелиоци броја 168 су: 1, 2, 3, 4, 6, 7, 21, 24, 28, 42, 56, 84, 168. Заједнички дјелиоци ових бројева су: 1, 2, 3 и 6, па је D (24, 30, 168) = 6. Ñ Ако је b|a, онда је D (a, b) = b. Ако је D (m, n) = 1, онда су m и n узајамно прости бројеви. Примјер Бројеви 81 и 100 су узајамно прости, јер је D (81, 100) = 1. Ñ Заједнички садржиоци Ако је s истовремено садржилац природних бројева a, b, c, …, онда кажемо да је s заједнички садржилац природних бројева a, b, c, … Најмањи заједнички садржилац (скраћено НЗС) за природне бројеве a и b је најмањи од свих зајед ничких садржилаца тих бројева, у ознаци S = S (a, b).
29
Примјер Садржиоци броја 6 су: 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60, 66, ... Садржиоци броја 15 су: 15, 30, 45, 60, 75, ... Заједнички садржиоци бројева 6 и 15 су: 30, 60, 90, ... Најмањи заједнички садржилац бројева 6 и 15 је број 30, у ознаци S (6, 15) = 30. Ñ Ako je D (a, b) = d и a m d и b n d , тада је S m n d , односно S (a, b) m n D(a, b). Ако је a|b, онда је S (a, b) = b. Ако је D (a, b) = 1, онда је S (a, b) a b .
Сложен број n p1k p2k p3k , 1
2
3
гдје су p1, p2, p3 различити прости чиниоци, има (k1 1)(k 2 1)(k3 1) дјелилаца. Примјер 360 23 32 5 Број 360 има (3 1) (2 1) (1 1) 24 дјелиоца. Ñ 30
ПРОЦЕНТНИ, ПРОМИЛНИ И КАМАТНИ РАЧУН
Процентни рачун Проценат је стоти дио: 1%
1 0,01 . 100
1 0,5 50% 2
1 0,25 25% 4
1 0,2 20% 5
3 0,75 75% 4
2,3%
2,3 0,023 100
100%
100 1 100
100 I p
37 0,37 37% 100 200%
200 2 100
G - главница I - процентни износ p - проценат
G:I=100:p
G
1 0,125 12,5% 8
I
G p 100
p
100 I G
Примјер Цијена једне књиге је била 40 КМ, па је снижена за 15%. Колика је цијена књиге послије снижења? 15 40 6 . Рјешење: 15% од 40 је 100 Цијена књиге снижена је за 6 КМ; њена цијена послије снижења износи 34 КМ. Ñ 31
Промилни рачун 1 0,001 1000
Промил: 1 ‰
G - главница I - промилни износ p - промил
G : I = 1000 : p
G
1000 I p
I
G p 1000
p
1000 I G
Каматни рачун за годину (g)
за мјесец (m)
за дане (d)
K:I=100:pg
K:I=1200:pm
K:I=36000:pd
K
100 I pg
K pg 100 100 I p Kg
I
g
100 I K p
K
1200 I pm
I
K pm 1200
p
1200 I Km
m
1200 I K p
K
36000 I pd
K pd 36000 36000 I p Kd
I
d
36000 I K p
G - главница (капитал)
g - вријеме (у годинама)
I - добит (интерес)
m - вријеме (у мјесецима)
p - проценат
d - вријеме (у данима) 32
СТЕПЕНИ СА ПРИРОДНИМ ИЗЛОЖИОЦЕМ a n a a a a n пута
Производ а · а · а · ... · а , гдје се реалан број а појављује n пута, назива се nn-ти -ти степен броја а и записује се кратко : a n . n изложилац степена a
основа степена a n
an n-ти степен броја а
Примјер
54 5 5 5 5 625 .
изложилац степена 54
основа степена 54
54 4-ти степен броја 5
Ñ
= 625 вриједност степена 54
33
За све реалне бројеве a и b и све природне бројеве m и n важи:
1. a m a n a m n n n n 2. (a b) a b
3. (a m ) n a mn n
an a 4. n , b 0 b b
5. Ако је a 0 и m > n , тада је
a m : a n a m ,n
am an
amn
6. a 2n 0 7. За a 0 је a 2n 1 0 . 2n 1 0 . 8. За a 0 је a 0 За степен a n , a 0 , ако је n = 0, усвајамо да је a 1.
n
n
n
a + a = 2a (сабирање “сличних” степена) m n a + a , за m n не сабира се n n a + b , за a b не сабира се 34
Примјер 4
1. 2 2 2 2 2 16 3 3 3 3 3 81 2. 51=5 3. (1) 2 (1)3 (1) 2 3 (1)5 (1) (1) (1) (1) (1) 1 4. a5:a3=a5 – 3=a2, a 0 5.
( x 3 ) 2 x 32 x 6
6.
( x y)4 x 4 y 4
7.
23 8 2 3 125 5 5
8.
13 = 1
9.
(- 0,25) = 1
3
0
0
Ñ
Примјер 4
4
1. x + x = 2x
4
2. t 3 + t 2 не сабира се 3
3. x + y
3
не сабира се Ñ
35
КВАДРАТНИ КОРИЈЕН Квадратни коријен ненегативног реалног броја а, у ознаци a , је ненегативан број чији је квадрат једнак броју а. a k, k 0
Дакле,
вриједност коријена
a k коријен
поткорјена величина
За реалне бројеве a и b важи: a , за a 0
.
a 2 | a | 0 , за a 0 ; a , за а 0
. . .
a
2
а, за a 0 ;
a b a b , тј. a b a b ( a 0, b 0)
a b
a ; тј. b
a a b b
36
за a 0 и b 0 .
Примјер 1.
132 13
2.
(5) 2 | 5 | 5 2
3. 3 3 7 7
4.
6 15 6 15 90 9 10 9 10 3 10
5.
18 18 29 2 9 2 3 3 2 25 5 5 5 5 25
37
Ñ
РАЦИОНАЛНИ ИЗРАЗИ Симболи константи и симболи промјенљивих повезани основним рачунским операцијама сабирање, одузимање, множење и дијељење називају се рационални изрази. Примјери рационалних израза: 1 3 2 –2, , 2а , x , 4x – 3, 3x – y +1, 3 5 3x 2 3 x2+3xy+y – 5x , , . x 1 x2 Симболи константи и симболи промјенљивих повезани основним рачунским операцијама сабирање, одузимање и множење називају се цијели рационални изрази или полиноми. Примјери полинома: 0, 2 , x, 3x2y, 5 x 3 y , x2–y2, 7 3 2 2 a –2ab+b , 2x – 3y + 4xy, –1–2x + x2–3x3 . Једночлани полиноми (без операција сабирања и одузимања) називају се мономи. Примјери монома: 3,
3 2 , a, 6a 2bc 5, ab3 , 0,25x 3y 2. 7 5
Коефицијенти (константе које множе промјенљиве) ових монома су редом: 3,
2 7
, 1, 6,
38
3 5
, 0,25.
Мономи који се разликују само у коефицијентима називају се слични мономи. Примјери сличних монома: 3x 2y,
1 2 2 x y , 0,8x y . 4
Слиједећи полиноми нису слични: 3ab, 3a 2b, -5ab 2, 6a 2b 2 . Само слични мономи се сабирају. Збир датих сличних монома је моном њима сличан, чији је коефицијент једнак збиру коефицијената датих монома. Примјер 2
2
2
2
2
x y – 5 x y + 8 x y = (1–5+8) x y = 4 x y . Ñ Производ монома је моном производа коефицијената и промјенљивих. Примјер 4a 2 b c 3·(–3a 2 b 2c) = –12a 4b 3c 4. Ñ Двочлани полиноми (збирови два неслична монома) називају се биноми. Примјери бинома: 1+a, 3x–2y, x 2–y 2. Трочлани полиноми називају се триноми. Примјери тринома: a + b + c, 3x – 4y + z, a 2–2ab + b 2. 39
Основне формуле: (a + b) 2 = a 2 + 2 a b + b 2 2
2
(a – b) = a – 2 a b + b
квадрат збира
2
квадрат разлике
}
квадрат бинома
(a+b+c) 2 = a 2+b 2+c 2+2ab+2ac+2bc
квадрат тринома
(a+b) 3 = a 3+3a 2 b+3a b 2+ b 3
куб збира
(a–b) 3 = a 3 – 3a 2 b + 3 a b 2 – b3
куб разлике
3
3
2
2
a + b = (a+b)(a – a b + b )
збир кубова
a 3 – b 3 = (a–b)(a 2 + a b + b 2 )
разлика кубова
a·(b+c) = a·b + a·c
закон дистрибуције (извлачење пред заграду)
Примјери 1. (x+2a)2=x2+2·x·2a+(2a)2= x2+4xa+4a2 2
2 2
2
2 2
(квадрат збира)
2
2
2. (3a– b ) = (3a) – 2·3ab +(b ) = 9a – 6ab +b 2
2
2
2
4
(квадрат разлике) 2
3. (x+2y – 5z) = (x+2y+(– 5z)) = x +(2y) +(– 5z) + 2·x·2y+ +2·x·(– 5z) +2·2y ·(– 5z) = x2 + 4y2 + 25z2 + 4xy – 10xz – 20yz (квадрат тринома) 4. (x+3)3=x3+3x2·3+3x·32+33 = x3+9x2+27x+27 2
3
2 3
2
4
2
3
(куб збира) 6
5. (a – 4b) = (a ) – 3a ·4b+3a ·(4b) – (4b) = a –12a4b+48a2b2 – 64b3 (куб разлике) 3
3
3
2
2
2
6. t +8 = t +2 = (t+2)(t – t·2+2 )= (t+2)(t – 2t+4) 3
3 3
3
2
(збир кубова) 2
7. 1– 27b =1 – 3 b =1 –(3b) =(1 –3b)(1 +1·3b+(3b) ) = =(1–3b)(1+3b+9b2) 2
2
(разлика кубова)
2
(извлачење пред заграду) Ñ
8. 3a b+6a x =3a (b+2x)
40
ПРАВОУГЛИ ДЕКАРТОВ КООРДИНАТНИ СИСТЕМ вертикална оса ордината оса y
y координатне осе
II квадрант
хоризонтална оса апсциса оса x
I квадрант
x
O координатни почетак
III квадрант
.
x и y координате x – апсциса (удаљеност од осе Oy) y – ордината (удаљеност од осе Ox) y 4
Све тачке у I квадранту имају позитивне апсцисе и ординате: x > 0 и y > 0.
3 S(0,3) 2 1
Све тачке у II квадранту имају негативне апсцисе и позитивне ординате: x < 0 и y > 0. Све тачке у III квадранту имају негативне апсцисе и ординате: x < 0 и y < 0.
апсциса A(3,4) ордината
A(x,y)
IV квадрант
O(0,0)
-2 -1
1
T(4,0) 2
3
4
5
x
-1 B(-2,-2)
-2
Ако је тачка на оси x, онда је њена ордината 0. Ако је тачка на оси y, онда је њена апсциса 0. Координатни почетак има обје координате нула: О(0,0).
Све тачке у IV квадранту имају позитивне апсцисе и негативне ординате: x > 0 и y < 0.
41
Удаљеност између двије тачке А (x1,y1) и В(x2,y2) d ( x x )2 ( y y )2 2 1 2 1 y
B(x2,y2)
y2
2
|
d
( x 2 x1 )
d d
y1
2
( y 2 y1 )
2
2
| x2 - x1 |
x
1 O
( x 2 x1 )
( y 2 y1 )
|
A(x1,y1)
2
x2
x1
1
Cл. 10
Површина троугла АВС, заданог координатама тјемена А(x1 , y1), В(x2 , y2), С(x3 , y3) P
1 2
| x (y y ) x (y y ) x (y y ) | 1 2 3 2 3 1 3 1 2
y C(x3 , y3)
y3
B(x2 , y2)
y2 y1
A(x1 , y1)
x
1 O
1
x1
x3
Cл. 11 42
x2
ПРОПОРЦИОНАЛНОСТ Директна пропорционалност Двије узајамно зависне величине x и y, различите од нуле, су директно пропорционалне ако је y = k x, гдје је k константа различита од нуле. Ако је x = 0, онда је и y = 0. y За k 0 и x 0 количник k има сталну вриx једност k, која се назива коефицијент директне пропорционалности. График функције y = k x је права која пролази кроз координатни почетак (или полуправа ограничена неким условом), слика 12. y 4 3 2 1 -2 -1 0 1 2 -1 -2 -3
y 4 3 2 1
y= 2x
3
y= 4x , x 0
-2 -1 0 1 2 -1 -2 -3
x
3
x
Сл. 12
Ако су x и y управо пропорционалне величине, тј. y = k x, k је константа, тада је y1 : y2 = k x1 : k x2, односно y1 : y2 = x1 : x2.
43
Примјер Са 12 литара воде може се напунити 16 боца. Колико је пуних боца исте величине потребно за 18 литара воде? Рјешење: Нека је x непознати број. Количина воде и број пуних боца су директно пропорционалне величине, па је
12 16 , односно 12 x 16 18 , x = 24. Ñ 18 x
Обрнута пропорционалност Двије узајамно зависне величине x и y су обрнуто k пропорционалне ако је x y = k или y , x 0 , гдје x је k константа различита од нуле. Примјер 1 График функције за k = 1, y за x > 0 дат x је на слици 13. Ñ y 4 3 2 1 ½ 0
½ 1
2
3
Сл. 13 44
4 x
Ако су x и y обрнуто пропорционалне величине, k тј. y , k је константа, тада је x 1 1 y1 : y 2 = : , односно y1 : y2 = x2 : x1. x1 x2 Примјер Из једног балона пуног воде може се напунити 16 боца од 0,75 литара. Колико се боца од 1 литра може напунити из истог пуног балона? Рјешење: Производ боца и њихове запремине је у оба случаја исти и једнак запремини балона, што значи да су ове величине обрнуто пропорционалне. Ако са x обиљежимо тражени број боца, онда важи 12 1 , односно x = 16 · 0,75 ; x = 12. Ñ x 0,75
Размјера Размјера је количник двију истоимених величина, сведен на узајамно просте (природне) бројеве. Примјер Ако је број a три пута већи од броја b, онда је a : b = 3 : 1, или b : a = 1:3, или a 3, или b 1 .Ñ b 1 a 3 Примјер Ако је a : b = 5 : 3, онда је a = 5k и b = 3k, гдје је k заједничка мјера («заједнички дио») за a и b. Ñ 45
Размјерa више природних бројева, на примјер a : b : c, гдје a, b, c немају заједничких дијелова већих од 1, је продужена размјера. Примјер Ако је a : b : c = 1 : 2 : 3, онда је a = k, b = 2k и c = 3k, гдје је k заједничка мјера («заједнички дио») за a, b и c. Ñ Пропорције Ако су a, b, c, d реални бројеви различити од нуле, такви да је a · d = b · c, онда ова четири броја образују пропроцију a : b = c : d. Спољашњи чланови пропорције: a, d Унутрашњи чланови пропорције: b, c. Спољашњи чланови
a:b=c:d и a .d=b.c Унутрашњи чланови
Напомена Пропорција је једнакост двију (једнаких) размјера, па из
a c k , слиједи a = k b и c = k d, гдје је k b d
коефицијент пропроционалности. 46
Ако је a : b = c : d и abcd 0 , онда важи: 1. a · d = b · c 2. a : c = b : d 3. b : a = d : c 4. d : b = c : a 5. d : c = b : a 6. (k a) : (kb) = c : d
7. (a : k) : (b : k) = c : d , k 0 8. (ka) : b = (kc) : d 9. (a+b) : (c+d) = a : c 10. (a+b) : (c+d) = b : d 11. (a –b) : (c– d) = a : c 12. (a –b) : (c–d) = b : d
Једнакост више (једнаких) размјера се назива продужена пропорција. a b c k , x y z гдје је k коефицијент пропроционалности, тј.
На примјер, ако је
a = k x, b = k y, c = k z, тада продужену пропорцију записујемо a : b : c = x : y : z. За продужену пропорцију a : b : c = x : y : z важи (a+b+c) : (x+y+z) = a : x = b : y = c : z = k. Геометријска средина Ако је a > 0, b > 0 и a : x = x : b или x : a = b : x, онда је број x геометријска средина бројева a и b:
x2 = a · b ; x ab . 47
ЛИНЕАРНА ФУНКЦИЈА Функција задана формулом y = k x+ n , k 0 , гдје су k и n реални бројеви, а x независна промјенљива (аргумент) назива се линеарна функција. Овакав облик задавања линеарне функције назива се експлицитни облик (рјешење по y). Облик задавања линеарне функције ax+by+c=0, a,b,c R , a 0 и b 0, назива се имплицитни облик. Вриједност независне промјенљиве x за коју је вриједност функције једнака нули (y=0) назива се нула функције. Скуп тачака T(x,y), чије координате у правоуглом координатном систему задовољавају једнакост y = k x + n , пр едстављају график линеарне функције y = k x + n. Линеарна функција y = k x + n је растућа ако је k > 0, а опадајућа ако је k < 0. е
Примјер y=x–2
k=1 k>0 функција растућа
k=1
x -1 0 1 2 3 y -3 -2 -1 0 1
y 3 2
y=x-2
1 (3,1) (2,0) -1 0 1 2 3 x -2 -1 (1,-1) -2 (0,-2) (-1,-3)
-3
Сл.14 48
нула функције
Примјер k=–2
y=–2x+3
k<0
опадајућа функција
x 0 3/2 1 2 y 3 0 1 –1
y
y= – 2x+3 3 (0,3) 2 (1,1) 1
x
3/2
2 -1 0 1 2 -1 -2 -3
3
нула функције
Сл. 15
Права y=kx+n сијече осу Oy у тачки T(0,n). Примјер График функције y = 2x + 4 је права која сијече осу Ox у тачки А(–2,0), а осу Oy у тачки Т(0,4), слика 16.Ñ y
T(0,4) 3 2
A(–2,0)
1
x
-2 -1 0 1 2 -1 -2
Сл. 16 49
3
Специјално, једначина x=a представља праву паралелну оси Oy, а једначина y=b праву паралелну оси Ox. Примјер y y=3
3
x = –2
2
x=4
y=3 y = –1 x=4 x = –2
1
-2 -1 0 -1 -2 -3
1
2
3
x 4
y = –1
Сл. 17
Графици функција y = k1 x + n1 и y = k2 x + n2 су паралелне праве ако је k1= k2. Примјер Графици функција y = 2x+2, y = 2x – 3 су паралелне праве, слика 18. Ñ 3 y= 2x -
3 2
y= 2x+ 2
y
1 -2 -1 0 1 -1 -2 -3
Сл. 18 50
2
3
x
ЈЕДНАЧИНЕ Једнакост два израза A(x) и B(x), од којих бар један садржи једну промјенљиву x, A(x) = B(x) назива се једначина са једном непознатом (једначина са непознатом x). Примјер 3 x –12=x, x2 – x=0, –5x=10 су једначине са непознатом x. Ñ Рјешење једначине је сваки број a који уврштен у једначину A(x)=B(x) умјесто непознате x: A(а)=B(а) даје тачну бројевну једнакост. Ако је а рјешење једначине A(x)=B(x), тада кажемо да “x=а је рјешење једначине A(x)=B(x)”. Ријешити неку једначину значи одредити сва рјешења, или утврдити да једначина нема рјешења. Примјер а) Рјешење једначине 3 x –12=x је број 6, јер је 3 · 6 –12=6 тачна бројевна једнаkост. Дакле, x=6 је рјешење једначине 3 x –12=x. б) Једначина 0 · x =5 нема рјешења, јер сваки број уврштен у једначину даје нетачну бројевну једнакост: 0 = 5. Ñ
Сва рјешења неке једначине чине скуп њезиних рјешења. Двије једначине су еквивалентне ако имају једнаке скупове рјешења. Примјер Једначине 3+5x=13 и x=2 су еквивалентне једначине јер имају једнаке скупове рјешења. Ñ 51
Линеарне једначине Једначина A(x)=B(x) је линеарна, ако се еквивалентним трансформацијама може свести на једначину облика a x = b, гдје су a и b дати реални бројеви. Рјешавањем линеарне једначине a x = b могу наступити три случаја: 1* Ако је a 0 , тада једначина има јединствено рјешење b x . a 2* Ако је а = 0 и b 0 , тада једначина нема рјешења , тј. немогућа је. 3* Ако је а = 0 и b = 0 , тада једначина има бесконачно много рјешења, тј. рјешење једначине 0·x=0 је сваки реалан број x, (једначина постаје идентитет: 0 = 0). x3 2 x 3 2 12 2( x 3) 3(2 x)
4( х 7) 4 х 28
2
12 2 x 6 6 3 x 6 2 x 6 3x 2 x 3x 6 6 x 12
(x–2)(x–3) = x (x–5)–5 x2–3x–2x + 6 = x2–5 x–5 – 5x+ 6 = –5x– 5 –5x+5 x = –5 – 6 0 · x = – 11 Једначина нама рјешења
4 х 28 4 х 28 4 х 4 х 28 28 0 х 0 Рјешење једначине је сваки реалан број х, тј. једначина је идентитет.
Број 12 је јединствено рјешење једначине.
52
Једначина
x+a=b
x=b–a
x – a=b
x=b+a
a – x=b
x=a–b
a·x=b , a 0
x a a x
има рјешење
b
x
a
b, a 0
x=b·a
b , a 0, b 0
x
a b
Рјешавање неких једначина које нису линеарне 1.
A(x) · B(x) = 0
Рјешења једначине облика A(x) · B(x) = 0 добијамо рјешавањем једначина A(x) = 0 и B(x) = 0. 2.
A( x ) B( x)
0
Рјешeњa једначине облика
A( x )
0 добијамо B( x) рјешавањем једначине A(x) = 0 уз услов B ( x ) 0 .
3.
х2 = а
Једначина облика х2=а, гдје је a 0 дати реалан број, има рјешења: x a и x a . 4.
|x| = a
Једначина облика |x|=a, гдје је a 0 дати реалан број, има рјешења: х = а и х = – а. 53
(2 3x) (4 2 x) 0
x 1
2 3 x 0 или 4 2 x 0 3 x 2 x
2
0 x2 x 1 0; x 2 0; x 2
или 2 x 4 или
x2
x 1
3
x 2 25 x 25 x5
x2 3
или x 25 или x 5
| x | 3 x 3 или x 3
За примјену линеарних једначина потребно је поједина тврђења записати у виду математичких формула. Најчешћи су сљедећи случајеви: Нека је број а позитиван реалан број. Тада: 1. за 10 већи број од а је број: а + 10, 2. за 10 мањи број од а је број: а – 10, 3. 10 пута већи број од а је број: 10а, a
1
a, 10 10 5. за 10 пута већи број од а је број: а + 10а, односно 11а, 3 3 6. броја а је број: a , 7 7 6. два пута (дупло) већи број од а је број: 2а, a 7. два пута (упола) мањи број од броја а је број: , 2 13a 8. 13% броја а је број: 0,13а или , 100 113a 9. број а увећан за 13% је број: 1,13а или , 100 10. број а умањен за 13% је број: а – 0,13 а или 0,87а.
4. 10 пута мањи број од а је број: а:10, односно
54
или
НЕЈЕДНАЧИНЕ Линеарна неједначина по непознатој x је свака неједначина која се еквивалентним трансформацијама може свести на неједначине облика a x < b, a x > b, a x b , a x b , гдје су a и b реални бројеви. Рјешење неке неједначине је сваки број a који уврштен у ту неједначину умјесто непознате x даје тачну бројевну неједнакост. Ријешити неку неједначину значи одредити сва рјешења, или утврдити да неједначина нема рјешења.
Сва рјешења неке неједначине чине скуп њезиних рјешења. Двије неједначине су еквивалентне ако имају једнаке скупове рјешења. A) Рјешавањем линеарних неједначина облика ax
0, тада је рјешење сваки реалан број
x
b . a
2. Ако је a < 0, тада је рјешење сваки реалан број
x
b . a
3. Ако је a = 0 и b>0, рјешење је сваки реалан број x. 4. Ако је a= 0 и b 0 , неједначина нема рјешења. 55
Б) Рјешавањем линеарних неједначина облика ax>b могу наступити сљедећи случајеви: 1. Ако је a>0, тада је рјешење сваки реалан број
x
b . a
2. Ако је a<0, тада је рјешење сваки реалан број
b . a 3. Ако је a = 0 и b 0 , неједначина нема рјешења. x
4. Ако је a = 0 и b < 0 , рјешење неједначине је сваки реалан број x.
В) Рјешавањем линеарних неједначина облика
ax b могу наступити сљедећи случајеви: 1. Ако је a > 0, тада је рјешење сваки реалан број
x
b . a
2. Ако је a < 0, тада је рјешење сваки реалан број
b . a 3. Ако је a = 0 и b 0 , рјешење неједначине је x
сваки реалан број x.
56
Г) Рјешавањем линеарних неједначина облика
ax b . могу наступити сљедећи случајеви: 1. Ако је a > 0, тада је рјешење сваки реалан број
x
b . a
2. Ако је a < 0, тада је рјешење сваки реалан број
x
b . a
3. Ако је a = 0 и b=0, рјешење неједначине је сваки реалан број x 4. Ако је a = 0 и b>0, неједначина нема рјешења. 5. Ако је a = 0 и b < 0, рјешење неједначине је сваки реалан број x.
Рјешења неједначине се могу приказати графички, коришћењем бројевне праве или помоћу интервала (слика 19 ).
0
1
2
1 x 2 x2 x>–1
x 1
x<3
3
x (,3)
-1
0
1
2
x [1,)
-1
0
1
2
x (1,2]
Тачком смо означили да – 1 припада скупу рјешења неједначине.
Тачком смо означили да 2 припада скупу рјешења неједначине.
x 1
1 x 2 Сл. 19
57
Примјер: 2x+1<5 2x<5–1 2x<4 x<2
0
1
x>2x x–2x>0 –x>0 x<0
0
2
x (,2)
1
4 x 1
5x 2 2x 1
x 1 4
5x 2x 1 2
x 4 1
3x 3
x 3
x 1
-3
x (,0)
0
x [3,)
1
x [1,)
0 x 3 0 x 3 0 x 0 Рјешење неједначине 0 x 1
је сваки реалан број x.
0 x 0 0 x 4
0 x 3 0 x 0 Неједначина
0 x 2 0 x 2 0 x 0 0 x 2 58
нема рјешења.
СИСТЕМИ ЛИНЕАРНИХ ЈЕДНАЧИНА СА ДВИЈЕ НЕПОЗНАТЕ Уређени пар реалних бројева (x0, y0) је рјешење линеарне једначине a x + b y = c ако је тачна једнакост ax0 + by0 = c. Примјер Уређени пар (–1, 2) је рјешење линеарне једначине 3x+4y=5, јер је тачна бројевна једнакост 3(- 1)+4·2=5.Ñ Систем линеарних једначина
a1 x b1 y c1 a2 x b2 y c2
je сагласан
ако постоји бар једно заједничко рјешење (x0,y0) ових двију једначина. Ако такво рјешење не постоји, тада систем није сагласан; кажемо још и да је противрјечан.
коефицијенти уз непознату x
2x+3y=4 5x+4y=7
слободни чланови
коефицијенти уз непознату y
Рјешење система a1 x + b1 y = c1 a2 x + b2 y = c2 је сваки уређени пар реалних бројева (x0, y0) за који важе једнакости a1 x0 +b1 y0=c1 и a2 x0+b2 y0=c2 . 59
Два система линеарних једначина су еквивалентна ако је свако рјешење једног уједно и рјешење другог система, и обрнуто. За рјешавање система a1 x + b1 y = c1 a2 x + b2 y = c2 користићемо, углавном три методе: метода замјене, метода супротних коефицијената, графичка метода. Метода замјене састоји се у томе да се из једне једначине једна непозната изрази помоћу друге, па у другу једначину умјесто те непознате уврстимо нађени израз; једна непозната ће бити елиминисана и остаће једначина са само једном непознатом. Примјер x + 4y = 14 x – 5y = –13 x + 4y = 14 x = 5y –13
Из друге једначине изражен је x.)
(5y – 13) + 4y = 14 x = 5y – 13
( Израз x = 5y – 13 је уврштен у прву једначину.)
9y = 27 x = 5y – 13 y=3 x = 5y –13 y=3 x = 5·3 –13 y=3 x=2
Рјешење система је уређени пар (2,3). Ñ
60
Метода супротних коефицијената састоји се у томе да се једна или обје једначине система помноже бројевима различитим од нуле тако да коефицијенти уз једну непознату буду супротни, а затим се једначине саберу и тако добијена једначина је једначина с једном непознатом. Примјер: ( Прву једначину смо помножили са 3, а другу са 2.)
3x + 2y = 4 2x 3y
1 2
9x + 6y = 12 4x - 6y = 1 9x + 6y = 12 13x = 13
( Сабирањем једначина система добије се једначина 13x=13, а једна једначина је преписана. )
9x + 6y = 12 x=1 9·1 + 6y = 12 x=1 y
1 2
x=1
1
Рјешење система је уређени пар (1, ) . Ñ 2
Рјешавање система једначина графичком методом своди се на цртање графика одговарајућих линеарних функција и одређивање координата њихове пресјечне тачке. Примјер Ријеши графичком методом систем линеарних једначина 2x + y = 4 x + 2y = 5 Рјешење: Једначинама датог система одговарају линеарне функције система
61
y = –2x + 4
1 5 y x 2 2 Графици ових функција су праве (слика 20). Пресјечна тачка ових графика је Т(1,2). Ñ
y = –2x + 4 x y
0 4
1 2
2 0
1 5 y x 2 2 x y
1 2
3 1
y
4
y = –2x + 4 Т(1,2)
2
1 5 y x 2 2
1 0
1
2
3
x
Сл. 20 Примјер Ријеши графичком методом систем линеарних једначина 2x + y = 1 6x + 3y = 3. Једначинама датог система одговарају еквивалентне једначине система y = – 2x + 1 3y = – 6x + 3, односно y = – 2x + 1 y = – 2x + 1. Из експлицинтних облика једначина закључујемо да су њихови графици једна те иста права. Зато су координате сваке тачке праве једно рјешење овог система. Дакле, систем има бесконачно много рјешења; кажемо да је систем неодређен. Ñ
62
УГАО Угаона линија је унија д в и ј е п ол у п р а ве с а заједничком почетном тачком. Угаона линија одређена полуправима Sm и Sn означава се mSn (слика 21).
n S m Cл. 21 Угаона линија mSn
Примјер Угаона линија aOb одређује два угла. Унутрашњост једног угла садржи тачку А, а унутрашњост другог угла садржи тачку В (слика 22). Ñ b B O
A a Сл. 22 q
Угао је унија угаоне линије и једне од двије области одређених том угаоном линијом.
O
тјеме угла
ла к уг кра унутрашња област угла крак угла p
Cл.23 Угао pOq 63
Напомена Да бисмо назначили која је од двије области унутрашњост угла, у тој области цртамо кружни лук са центром у тјемену угла и крајевима на крацима угла (слика 24) q b O a
S
p Сл. 24
Угао је конвексан ако је за сваке двије тачке А и В тог угла и цијела дуж АВ садржана у том углу. У супротном, кажемо да је угао неконвексан. q
b
B O
S
p
конвексан угао
A
a
неконвексан угао Сл. 25 64
Означавање углова Углове често обиљежавамо малим словима грчког алфабета: a, b, g, d, ... (на примјер: a= pOq ) q
a
R
O
Q P
p
pOq
PQR
Cл. 26 Начини означавања углова
Угао чији краци образују праву назива се опружен угао. c b
q
O
p O
Cл. 27 Oпружен угао
a
Сл. 28 Сусједни углови: aOb и bOc
Опружен угао дијели раван на двије полуравни. Опружен угао је конвексан. Два угла су сусједни ако имају заједничко тјеме и један крак, а немају заједничких унутрашњих тачака. Унија сусједних углова aOb и bOc је угао aOc (сл. 28.). За угао aOc кажемо да је збир углова aOb и bOc. 65
Углови a и b су упоредни ако су сусједни и њихов збир је опружен угао. a b
b a
Cл. 29 Упоредни углови: a и b Cл. 30 Унакрсни углови: a и b
Пар несусједних углова одређених пресјеком двију правих назиивамо унакрсни углови. Унакрсни углови су једнаки. Прав угао је једнак свом упоредном углу. Оштар угао је угао мањи од правог угла. Туп угао је угао већи од правог угла, а мањи од опруженог.
d
aOb - оштар угао
c
aOc - прав угао
b
aOd - туп угао
e O
a
aOe - опружен угао
Cл. 31 Врсте углова
66
Мјерење углова Основна јединица за мјерење угла је степен, у ознаци . 1o степен је 360 пута мањи од пуног угла.
Мање јединице од степена су минута и секунда, у ознаци и .
1o = 60 ’ ,
’ = 60 ” , 1o = 3600 ”
Примјер
57° 24’ 32” је угао од 57 степени, 24 минуте и 32 секунде. Ñ
мјера угла
угао (a)
o
оштар угао
a<90
прав угао
a=90o
туп угао
90o
опружен угао неконвексан угао
a=180o 180o
пун угао
67
ТРОУГАО Ознаке (cлика 32): Тјемена: A, B, C. Странице: a, b, c ( a = BC, b = AC, c = AB ). Унутрашњи углови: a, b, g ( a = A , b = B , g = C ). Спољашњи углови: a1 , b1 , g1.
C g1
b
g
a
r
O
a1 a
A
c
b
b1
R
B
Сл. 32
* Збир двије странице троугла већи је од треће странице троугла: a+b>c, b+c>a, c+a>b. * Збир унутрашњих углова троугла једнак је опруженом углу: 180o
* Збир спољашњих углова троугла једнак је пуном углу: 1 1 1 360o * Спољашњи угао троугла једнак је збиру два њему несусједна унутрашња угла. 68
C a
hc
b H
Ако је D подножје нормале из тјемена C на праву AB, CDA 90 0 , тада дуж CD називамо висином троугла из тјемена C и означавамо је са hc (сл. 32)
ha hb
D c
A
B
Сл. 32
Тачка H - ортоцентар троугла
Висине: ha , hb , hc
* Праве које садрже висине троугла сијеку се у једној тачки (ортоцентар троугла) C N
tc
M T
b
tb
a
ta A
P c Сл. 33
B
Ако је M средиште странице BC , тада je дуж AM тежишна линија из тјемена A и означавамо je са ta (сл. 33)
Тежишне линије: ta , tb ,tc . Тачка Т - тежиште троугла * Тежишне линије сијеку се у једној тачки (тежиште троугла). * У сваком троуглу тежиште дијели тежишну линију у размјери 2:1, CT=2 TP . (сл. 33)
.
69
* Симетрале страница сваког троугла се сијеку у једној тачки, која је једнако удаљена од тјемена троугла (центар описаног круга).
C Тачка О - центар описаног круга R - полупречник описаног круга
Y
R
X
O
A
Z
B
R = OA = OB = OC Сл. 34
* Симетрале унутрашњих углова сваког троугла сијеку се у једној тачки, која је једнако удаљена од свих страница троугла (центар уписаног круга)
Тачка S - центар уписаног круга;
C
r - полупречник уписаног круга,
L
M
r S
r = SL = SM = SN
A
N
Сл. 35 70
B
Средња линија троугла * Средња линија троугла је дуж чији су крајеви средишта двију страница троугла. * Средња линија троугла је паралелна наспрамној страници и једнака половини наспрамне странице. C
MN || AB
N
1 MN AB 2
M
A P
B
Сл. 36
* У сваком троуглу ортоцентар H, тежиште T и центар O описане кружнице леже на истој правој, коју зовемо Ојлерова права
T H
Ојлерова права O
e
R
Сл. 37 71
C
Обим троугла:
r O= a + b + c
b
Полуобим троугла: A
abc s 2
Површина троугла:
a
S ha hc O c
hb R
B
Сл. 38
1 1 1 a ha ; P b hb ; P c hc 2 2 2
P
P s ( s a )( s b)( s c)
(гдје је r полупречник уписаног круга троугла, а s половина обима троугла)
P rs
P
a b c 4R
(гдје је R је полупречник описаног круга троугла)
Напомена Из формула за површину троугла добија се:
ha
r
bc ; 2R
P ; s
r
hb
ac ; 2R
hc
a b ; 2R
a bc ( s a )( s b)( s c) ; R . 4r s s
72
Једнакостранични троугао Обим:
C
O 3a
Површина: P
a
2
r
3
a
R
4 A
Висина:
h
h
a
B
a
a 3 2
Сл. 39
1 a 3 или r h 3 6 2 a 3 Полупречник описаног круга: R или R h 3 3
Полупречник уписаног круга: r
Правоугли троугао Ознаке (cлика 40): Катете: a , b . Хипотенуза: c . Хипотенузина висина: hc . Унутрашњи ( оштри ) углови: a, b .
C b A
a q
r a S hc b D p O c
R
Сл. 40 Напомена Хипотенузина висина дијели правоугли троугао АВС на два правоугла троугла . Нека су одсјечци на хипотенузи p и q, тада важи p + q = c (сл. 40).
73
B
Обим: O a b c 2 s Површина: *
P
1 c hc или 2
P
1 a b 2
90o
* Полупречник уписаног круга: r
abc P sc 2 s R
* Полупречник описаног круга:
c 2
a b c ПИТАГОРИНА ТЕОРЕМА
* Хипотенузина висина:
hc
За сваки правоугли троугао важи Питагорина теорема:
Квадрат над хипотенузом једнак је збиру квадрата над катетама.
c2 a 2 b2 b2
c a 2 b2
A
a c2 b2
C
a2 a
b c
c2 a2 b2
b c2 a2
Сл. 41 74
B
Обрнута Питагорина теорема: Ако су странице троугла a, b, c повезане 2 2 2 једнакошћу c = a + b , онда је тај троугао правоугли, са правим углом наспрам странице c. Једнакокраки правоугли троугао C a
Обим:
45
O 2a c
o
1 2 a 2
45o
c
A
Површина: P
a
hc
B
Сл. 42
или
* Хипотенуза:
P
1 2 c 4
ca 2
* Хипотенузина висина:
hc
* Полупречник уписаног круга: * Полупречник описаног круга:
75
c 2
или
hc
r a
R
a 2 2
c 2
a 2 2
Правоугли троугао са угловима 60о и 30о Висина дијели једнакостранични троугао на два правоугла троугла (са угловима 60о и 30о), слика 43. Ознаке (cлика 43): Хипотенуза: a Катета насупрот угла од 60о: Катета насупрот угла од 30о: Хипотенузина висина:
Обим:
O
ha
a 3 2
h a 2
a 3 4
C
a (3 3 ) 2
о
30
2 Површина: P a 3 8
a
a
h
ha 60о A
a 2
M
Сл. 43
Питагорина тројка бројева ( a 2 b 2 c 2, c < 100 )
a b c
3 5 7 8 9 11 12 13 4 12 24 15 40 60 35 84 5 13 25 17 41 61 37 85
a 16 20 28 33 36 39 48 65 b 63 21 45 56 77 80 55 72 c 65 29 53 65 85 89 73 97
76
a 2
B
ПОДУДАРНОСТ ТРОУГЛОВА Два троугла ABC и A1B1C1 сматрамо подударним троугловима ако се могу неким кретањем довести у положај да им се поклопе одговарајућа тјемена: A са A1, B са B1, C са C1 . Поклапањем тјемена поклопиће се и странице и углови. Ако су троуглови ABC и A1B1C1 подударни, онда пишемо: D ABC @ D A1B1C1. (Читамо: «Троугао ABC је подударан троуглу A1B1C1 «.) Подударни троуглови имају једнаке све одговарајуће елементе; из тврђења D ABC @ D A1B1C1 слиједи: a=a1, b=b1, c=c1, a =a1, b=b1 и g=g1. Ставови о подударности троугла Први став (СУС): Два троугла су подударна ако имају једнаке по двије странице и угао захваћен тим страницама. C1
C
b1
b A
a c
a1
B
A1
Cл.44 77
c1
B1
Други став (УСУ): Два троугла су подударна ако имају једнаку по једну страницу и оба угла налегла на ту страницу. C1
C
b
a
A
B
c
A1
b1
a1 c1
B1
Cл. 45
Трећи став (ССС): Два троугла су подударна ако су све странице једног троугла једнаке одговарајућим страницама другог троугла. C1
C a
b
a1
b1 A
B
c
A1
B1
c1
Cл. 46
Четврти став (ССУ): Два троугла су подударна ако имају једнаке по двије странице и угао наспрам једне од њих, а углови наспрам другог пара једнаких страница су оба тупа, или оба права, или оба оштра. b A
a
C
b1
a A1 B
a1
C1 a1 B1
Cл. 47 78
КРУГ Ознаке (cл. 48) О - центар круга r - полупречник круга t = AB - тетива a = POQ - централни угао који одговара тетиви PQ
b - периферијски угао над тетивом PQ l = PQ - кружни лук који одговара централном углу a= POQ d = OC - централно растојање праве AB
B
t C
A
t r2 d 2 2
d r
b
O
a r
P
2
a = 2b Q
l Сл. 48
Обим круга: O=2rp Површина круга: P=r 2p
Дужина кружног лука: r 180 Пoвршина кружног исјечка: r l r 2 или Pi Pi 2 360 l
79
Однос централног и периферијског угла (сл. 48): a = 2b или 2 Периферијски угао над пречником је прав.
Q R
P
APB AQB ARB 90 0
A
B
O
Сл. 49
Кружни прстен Обим:
r1
O=2p(r1+r2)
o
Површина:
r2
P (r12 r22 ) Сл. 50
Кружни одсјечак
r
A l
O B Сл. 51
Површина: Po Pi P Pi површина кружног исјечка P површина троугла ABO 80
ЧЕТВОРОУГАО Квадрат Обим:
C
D
O 4a
d O
Површина: A
P a2
r
a
Дијагонала:
a
R B
Сл. 52
d a 2 r
Полупречник уписаног круга:
Полупречник описаног круга: R
d 2
a 2
или R
a 2 2
Правоугаоник Обим:
C
D
O 2(a b)
d
Површина: P a b Дијагонала: d a 2 b 2
A
a Сл. 53
81
b B
Паралелограм D
C hb b
ha A
B
a Сл. 54
Обим:
O 2(a b)
Површина:
или
P a ha
P b hb
Ромб D
C d2
h
A
O
a
2
d1 r
a
d d a2 1 2 2 2
B Сл. 55
Обим:
O 4a
Површина: P d1 d 2 или P a h 2 h r Полупречник уписаног круга: 2 82
2
Четвoроугао са нормалним дијагоналама D
Обим: d
O abcd
c
d2
A
C
Површина: d1
a
d d P 1 2 2
B Сл. 56
Трапез b
D d
A
a
d h
g
m
C c
b a
B
Сл. 57 o o * 180 ; 180
* Средња линија трапеза: Обим:
m
ab 2
O abcd
Површина:
P
ab h 2 83
или
P mh
b
D
b
C
d
h
d E a
A
c B
a–b
b d
c
d a–b
b
Ако је тачка Е веће основице трапеза ABCD, таква да је CE||AD, тада дуж CE разлаже дати трапез на паралелограм AECD и троугао BCE. Странице троугла BCE су краци трапеза, c и d и дуж a–b.
b
D d A
C
d1 d2
c
h
d1
B
a
b
F
Ако основицу a трапеза ABCD продужимо за дуж b=BF, тада добијемо троугао AFC чије су странице дијагонале d1 , d2 датог трапеза и AF =a+b.
84
Једнакокраки трапез 180 o
*
* Средња линија трапеза: m b
D b
C
2
a b 2 c2 h 2
b
m
c
c h
A
a
a a
ab 2
B
ab 2
Сл. 58
Обим:
O a b 2c
Површина:
P
ab h 2
P mh
или
Правоугли трапез D
b
C
d A
h
ab
a
h=d
c
c 2 ( a b) 2 h 2 B
Сл. 59
Обим:
O abcd ab h или Површина: P 2 85
P mh
Тетивни четвороугао D c
d d
* 180 o
R
* 180 o
d2 g
C
Обим: O abcd
d1
A a a
b b
Полуобим: abcd s 2
B
Сл. 60
Површина:
s a s b s c s d
P
Тангентни четвороугао C
c
*
D
a+c=b+d
Обим:
d
r
O
b
O 2(a c)
или A
O 2(b d )
a
B
Сл. 61
Површина: P (a c) r
или
P (b d ) r
(r – полупречник уписаног круга)
86
МНОГОУГАО A5
b5
a5
b4
a4 A
4
an
An
bn
3
a1
a
A1
a2
b1
A2
b3
A
b2
3
Сл. 62
Број дијагонала Dn многоугла који има n страница: n(n 3) 2 Збир Sn унутрашњих углова a1 , a2 , a3 , ... , an многoугла који има n страница: Dn
o
Sn=(n - 2)180 . Збир S спољашњих углова многоугла који има n o страница: S=360 . Правилни многоугао * Правилан многоугао има све једнаке странице и једнаке све унутрашње углове и једнаке све спољашње углове. * Правилан многоугао има описани и уписани круг. * Сваки правилни многоугао који има n страница састоји се од n подударних једнакокраких троуглова (карактеристични троуглови) са заједничким тјеменом O (центар описаног и уписаног круга). 87
* Краци карактеристичног троугла су полупречници описаних кругова - Rn, а висина на основицу (апотема) је полупречник уписаног круга - rn. * Унутрашњи угао правилног многоугла који има n страница:
(n 2) 180 o n
* Спољашњи угао правилног многоугла који има n страница:
360 o n
* Централни угао правилног многоугла који има n страница:
n
360 o n
r R
r
S
S j
r
R
2
R
r
R
j
a b a
a 2
Правилни петоугао
R r
a b
a Правилни шестоугао
Сл. 63
Дужина странице правилног многоугла који има n страница:
an 2 Rn2 rn2 88
Обим правилног многоугла који има n страница: On n an
Површина правилног многоугла који има n страница: Pn
n an rn 2
Углови неких правилних многоуглова Број страница
Унутрашњи угао
Централни угао
Спољашњи угао
n 3
a a = 60o
j j = 120o
b b = 120o
4
a = 90o
j = 90o
b = 90o
5
a = 108o
j = 72o
b = 72o
6
a = 120o
j = 60o
b = 60o
7 8
α 128 34' 17" 51 25' 43" 51 25' 43" a = 135o
j = 45o
b = 45o
Површина неких правилних многоуглова (дужина странице а ) Површина правилног петоугла : Површина правилног шестоугла : Површина правилног осмоугла :
89
a2 25 10 5 4 3 P a2 3 2
P
P 2a 2 (1 2 )
ПРОПОРЦИОНАЛНОСТ ДУЖИ Размјера двије дужи је размјера њихових мјерних бројева. Ако су a, b, c, d такве дужи да је a : b = c : d, кажемо да су парови a, b, и c, d пропорционални. Талесова теорема Ако се двије праве a и b сијеку у тачки S и ако њих сијеку двије паралелне праве p и q у тачкама А1 , А2 и В1, В2, тада је SA1 SB1 A1 B1 SA2 SB2 A2 B2 S A1
SA1 SB1 A1 B1 SA2 SB2 A2 B2
p
B1
q
B2
одговарајући одсјечци су пропорционални
A2 a
b
Cл. 64
Обрнута Талесова теорема Ако су двије праве a и b са заједничком тачком S, пресјечене са двије праве p и q, у тачкама А1, А2 и B1, B2 и ако је SA1 SB1 , тада су праве p и q SA2
SB2
паралелне међу собом. 90
СЛИЧНОСТ Пресликавање којим се једна фигура F пресликава у другу фигуру F1 назива се сличност ако је размјера одговарајућих, било којих, дужи константна. Пише се: F~F1 За сличне фигуре важи: - одговарајуће дужи су пропорционалне, - одговарајући углови су једнаки, - површине су пропорционалне квадратима одговарајућих страница Ставови о сличности троуглова Први став: Два троугла су слична ако су им два угла једнака са два одговарајућа угла другог троугла. Примјер Ако је: a=a1 и b=b1, онда је D ABC ~ D A1B1C1. Ñ C
A
a
C1
b
a1 A1
B
Cл.65 91
b1
B1
Други став: Два троугла су слична ако су им двије странице једног троугла пропорционалне са двије одговарајуће странице другог троугла, а углови захваћени овим страницама су једаки. Примјер Ако је a:b=a1:b1, и g=g1, онда је D ABC ~ D A1B1C1. Ñ C b
C1
g b1
a
a1
B1
A1
B
A
g1
Cл. 66
Трећи став: Два троугла су слична ако су им све странице једног троугла пропорционалне одговарајућим страницама другог троугла. Примјер Ако је a:b:c= a1:b1:c1, онда је D ABC ~ D A1B1C1. Ñ C C1 a b
b1 A
c
B A1
Cл. 67 92
a1 c1
B1
Четврти став: Два троугла су слична ако су двије странице једног троугла пропорционалне са двије одговарајуће странице другог троугла и угао наспрам једне од ових страница првог троугла једнак одговарајућем углу другог троугла, а углови наспрам другог пара страница су оба оштра, или оба тупа, или оба права. Примјер Ако је a:b=a1:b1, a =a1, b и b1 су оштри углови, онда је D ABC ~ D A1B1C1. Ñ C
b
C1
a
a
A
A1
b
b1 a1
B
a1 b1
B1
Cл. 68
Примјена сличности на правоугли троугао 1. ABC ~ BCD
B p
AB : BC=BC : BD, тј. a 2 c p
D c
a hc C
2. ABC ~ ACD
q b
Сл. 69
AC : AB=AD : AC, тј. b 2 c q A
3. ACD ~ CBD CD : AD=BD : CD, тј. h 2 p q c
93
Конструкција геометријске средине Ако су a и b дате дужи, конструисати дуж x тако да је
x 2 a b или x a b . a
b
n X
ADX ~ XDB
k
AD : DX = XD : DB a:x=x:b
x a A
x2 a b
b S
B
D
Cл. 70 Конструишемо: 1. дуж AB=AD+DB, гдје је AD=a и DB=b; 2. полукруг k полупречника AS (АS=SB); 3. нормалу n из тачке D на пречник AB 4. дуж x=DX (тачка X је пресјек нормале n и кружнице k)
x = DX је геометријска средина за дужи a и b. Теорема о симетрали угла троугла Симетрала унутрашњег угла троугла дијели наспрамну страницу у размјери страница које захватају тај угао. C
a
b
AM : MB = b : a
s A
94
M
B
ПРИЗМА Призма (коса)
Површина: Запремина:
B H
P = 2B+M V = B·H
B Сл. 71
Правилна призма B
Површина: P = 2B+M
H
Запремина: V = B·H
B
Сл. 72 D1
Коцка Површина:
P = 6 a2
Запремина: V = a Дијагонала коцке:
C1
d D
A1
a B1
D
3
Da 3
Дијагонала стране коцке:
C
A
a Сл. 73
d =a 2
Површина дијагоналног пресјека ACC1A1: Pp a 2 2 95
a
d B
Квадар Површина: d1
P=2(ab+ac+bc)
c
D
Запремина:
d3
d2
V=abc
b
d1
Дијагонала квадра:
a
D a2 b2 c2
Cл. 74
Дијагонале страна квадра (cлика 75): d1 a 2 b 2 , D1
C1 d2
c
B1
A1
C
B
C
b
b B
a
d3
d3 D
C
d2 A
C1 c
A1
D
b
d1
D1
c
A1
D a
D1
C1 d1
A
d 2 a 2 c 2 , d3 b2 c 2
A
a
B
Cл. 75
Површина дијагоналног пресјека ACC1A1 (cлика 75): P1 a 2 b 2 c
Површина дијагоналног пресјека BCD1A1 (cлика 75): P2 a 2 c 2 b
Површина дијагоналног пресјека ABC1D1 (cлика 75): P3 b 2 c 2 a 96
Правилна тространа призма Површина:
a
a2 3 P 3aH 2 Запремина: V
a
H
a2 3 H 4
H
a Сл. 76
Правилна четвoространа призма Површина: 2
P=2 a + 4aH H
D
Запремина:
H d
V = a 2H a
Дијагонала:
Сл. 77 2
D 2a H
2
Површина дијагоналног пресјека: Pp a 2 H
97
a
Правилна шестострана призма Поbршина:
D1
E1 F1
P 3a 2 3 6aH
C1 H A1
Запремина: V
B1 E
3a 2 3 H 2
H
D a
F
C
a a
Површина дијaгоналног
A
B
a
пресјека ADD1A1 (cлика 78):
Сл. 78
PADD1A1 2aH
Површина дијагоналног пресјека DBB1D1 (cлика 78): PDBB1D1 a 3 H
ПИРАМИДА Површина: s
P=B+M
h
H
Запремина: B
1 V BH 3
Сл. 79 98
Правилна четворострана пирамида Ознаке (слика 80): a - дужина основне ивице s - дужина бочне ивице h - висина бочне стране (апотема) H - висина пирамиде a s2 h2 2
2
a 2 H2 s2 2
s
h
H
s
a 2 2
a 2
a Сл. 80
Површина: Запремина:
P a 2 2ah 1 V a2H 3 99
a
2
a h H 2 2
2
2
Правилна тространа пирамида Ознаке (слика 81): a - дужина основне ивице s - дужина бочне ивице H - висина пирамидe h - висина бочне стране (апотема) r - полупречник уписаног круга R - полупречник описаног круга 2
2
s H R
a s2 h2 2
2
s s
r
h2 H 2 r 2 H
a 3 6
h
R
R
r
a 3 3
2
a
a Сл. 81
Површина: P
a 2 3 3ah 4 2
V
a2 3 H 12
Запремина:
100
a 2
Правилни тетраедар (једнакоивична тространа пирамида) Ознаке (слика 82): a - дужина ивице H - висина пирамидe h - висина бочне стране (апотема) r - полупречник уписаног круга R - полупречник описаног круга
h
a 3 2
a
a
a 3 r 6 R
H
H
a 3 3
h
R
a 2
a 2
r
r
a
a
3 Сл. 82
Површина: P a2 3
Запремина: V
a3 2 12 101
Правилна шестострана пирамида Ознаке (слика 83): a - дужина основне ивице s - дужина бочне ивице H - висина пирамидe h - висина бочне стране (апотема) r - полупречник уписаног круга R - полупречник описаног круга
s2 H 2 a2
a s2 h2 2
h2 H 2 r 2
2
s s H
h
r a 2
R r
R a Сл. 83
Површина: Запремина:
3a 2 3 3ah 2 a2 3 V H 2 P
102
a 3 2
Ra
ВАЉАК Ознаке (слика 84):
АB - изводница ваљка r = AO - полупречник основе ваљка H = ОО1 - висина ваљка
B
O1 r
r
r H
H O
2rp r
r
A
Сл. 84 Ваљак
Сл. 85 Мрежа ваљка
Омотач ваљка у мрежи представља правоугаоник чије су дужине страница једнаке обиму круга (основе ваљка) и висине ваљка: 2rp и H. Површина основе ваљка: B = r 2p Површина омотача ваљка: M = 2rpH Површина:
P = 2B+M ; P = 2 r p (r + H )
Запремина:
V = r 2p H
103
Једнакостранични ваљак (H=2r)
H r
H=2r
Површина:
P = 6r 2 p
Запремина:
V=2r p
3
Површина осног пресјека:
r
PP = 4 r 2 Сл. 86
КУПА Ознаке (слика 87): S - врх купе H = SO - висина купе SA - изводница купе s = SA - дужина изводнице купе r = AO - полупречник основе купе S
s
s
s
s
s2 H 2 r 2
H
2rp r
A
r O
r
Сл. 88 Мрежа купе
Сл. 87 Купа
Омотач купе у мрежи представља кружни исјечак из круга чији је полупречник једнак дужини изводнице купе: s. 104
Површина основе купе: B = r 2p Површина омотача купе: M = rps 2
Површина:
P = B+M ; P = r p+rps 1 2 1 Запремина: V BH ; V r H 3 3 Површина осног пресјека: PP = r H Једнакостранична купа (s=2r)
H r 3
s=2r
s=2r
H r
s=2r
r
Сл. 89 2
Површина:
P = 3r p
Запремина:
V
3 3 r 3
Површина осног пресјека:
105
PP r 2 3
ЛОПТА Ознаке (слика 90): Тачка О - средиште лопте Дуж ОА - полупречник лопте Дуж АВ - пречник лопте R - дужина полупречника лопте Све тачке сфере (омотача лопте) су једнако удаљене од средишта центра лопте - тачке О. Пресјек лопте и равни је круг. Пресјек лопте и равни која садржи центар лопте је велики круг лопте, полупречника R. S B1
O1
A
R R
O
R
Сл. 90
Површина лопте:
P 4R 2
Запремина лопте:
V
106
4 3 R 3
B
РИМСКЕ ЦИФРЕ За римске цифре је узето седам латиничких слова: I, V, X, L, C, D , M. римске цифре:
I V
одговарајућа вриједност: 1 5
X
L
C
D
M
10 50 100 500 1000
Бројеви се записују комбиновањем ових цифара (знакова). Допринос који поједина цифра у запису неког броја даје укупној вриједности зависи од њеног положаја према другим цифрама. Записивање јединица, десетица и стотина римским цифрама: јединице десетице стотине
I 1
II 2
III 3
IV 4
X XX XXX XL 10 20 30 40
V 5
VI 6
VII 7
VIII 8
IX 9
L LX LXX LXXX XC 50 60 70 80 90
C CC CCC CD D DC DCC DCCC CM 100 200 300 400 500 600 700 800 900
Римским цифрама I, V, X пишу се бројеви од 1 до 39.
107
Правила писања бројева римским цифрама 1. Ако се римска цифра пише између двије цифре веће вриједности, онда она означава број са цифром са десне стране. На примјер, CXL=140 или CIX=109. 2. Цифре I, X, C и M се могу понављати највише три пута. На примјер, број 34 није правилно написати XXXIIII, већ је исправно XXXIV. XXIX=29; CIII=103; DCCLXXXII=782 3. Цифре V, L и D се никад не понављају. 4. С лијеве стране неке цифре не може се писати више него једна цифра мање вриједности, а та цифра не може бити V, L, D. На примјер, број 95 није правилно писати VС, већ је исправно ХСV. 5. Цифра I се не пише лијево од цифара L, C, D и М, нити се цифра Х пише лијево од цифара D и М. Број 49 се пише XLIX, а број 990 се пише СМХС.
6. Број надвучен једном цртом значи да је он увећан хиљаду (1 000) пута, а број надвучен са двије црте је увећан милион (1 000 000) пута LIX=59, али LIX 59 000 ; LIX 59 000 000 . 108
МЈЕРНЕ ЈЕДИНИЦЕ Мјерне јединице за дужину Јединица
Ознака
милиметар центиметар дециметар метар декаметар хектометар километар
mm cm dm m dam hm km
1 km = 1000 m 1 m = 10 dm 1 m = 100 cm 1 m = 1000 mm
Износ у метрима 0,001 m 0,01 m 0,1 m 1m 10 m 100 m 1000 m
1 dm = 10 cm 1 dm = 100 mm 1 cm = 10 mm
1 m = 0,001 km 1 dm = 0,1 m 1 cm = 0,01 m 1 mm = 0,001 m
Мјерне jединице за површину Јединица квадратни милиметар квадратни центиметар квадратни дециметар квадратни метар квадратни декаметар квадратни хектометар квадратни километар
Ознака
Износ у квадратним метрима
mm 2 cm 2 dm 2 m2 dam 2 hm 2 km 2
0,000 001 m 2 0,0001 m 2 0,01 m 2 1 m2 100 m 2 10 000 m 2 1 000 000 m 2
109
1 dm 2 = 100 cm 2 1 dm 2 = 10 000 mm 2 1 cm 2 = 100 mm 2
1 km 2 = 1 000 000 m 2 1 m 2 = 100 dm 2 1 m 2 = 10 000 cm 2 1 m 2 = 1 000 000 mm 2
1 m 2 = 0,000 001 km 2 1 dm 2 = 0,01 m 2 1 cm 2 = 0,000 1 m 2 1 mm 2 = 0,000 001 m 2
Мјерне јединице за запремину Јединица
Ознака
Износ у кубним метрима
кубни милиметар
mm 3
0,000 000 001 m 3
кубни центиметар
cm 3
0,000 001 m 3
кубни дециметар
dm
кубни метар
m3
3
0,001 m 3 1 m3
кубни декаметар
dam 3
1 000 m 3
кубни хектометар
hm 3
1 000 000 m 3
кубни километар
km 3
1 000 000 000 m 3
1 m 3 = 1 000 dm 3 1 m 3 = 1 000 000 cm 3 1 m 3 = 1 000 000 000 mm 3 1 dm 3 = 1 000 cm 3 1 dm 3 = 1 000 000 mm 3 1 cm 3 = 1 000 mm 3 1 km 3 = 1 000 000 000 m 3
110
1 m 3 = 0,000 000 001 km 3 1 dm 3 = 0,001 m 3 1 cm 3 = 0,000 001 m 3 1 mm 3 = 0,000 000 001 m 3
Мјерне јединица за текућину Јединица
Ознака
хектолитар
hl
100 l
декалитар
dal
10 l
l
1l
литар
Износ у литрама
децилитар
dl
0,1 l
центилитар
cl
0,01 l
милилитар
ml
0,001 l 1 l = 0,01 hl 1 dl = 0,1 l 1 cl = 0,01 l 1 ml = 0,001 l
1 l =10 dl 1 l = 100 cl 1 l = 1000 ml 1 dl = 10 cl 1 dl = 100 ml 1 cl = 10 ml 1 hl = 100 l
Веза између мјерних јединица за текућину и мјерних јединица за запремину 10 hl= 1 m 3 1 l = 1 dm 3 1 dal = 10 dm 3 1 dl = 100 cm 3 1 ml = 1 cm 3 111
Мјерне јединица за масу Јединица
Ознака
Износ у килограмима
тона
t
1000 kg
квинтал
q
100 kg
килограм
kg
1 kg
декаграм
dag
0,01 kg
g
0,001 kg
грам
1 kg = 100 dag 1 kg = 1000 g 1 dag = 10 g 1 kg = 0,001 t 1 dag = 0,01 kg 1 g = 0,001 kg Мјерне јединице за вријеме 1 дан = 24 h
1s
1 min 60
1s
1 h 3600
1 h = 60 min 1 h = 3600 s 1 min = 60 s
1 min
112
1 h 60
ТАБЛИЦА БРОЈЕВА ОД 1 ДО 100 Квадратни и кубни степени и коријени и реципрочне вриједности
n3
n2
n
3
n
1 n
n
1
1
1
1
1
1,0000
2
4
8
1,414
1,260
0,5000
3
9
27
1,732
1,442
0,3333
4
16
64
2
1,587
0,2500
5
25
125
2,236
1,710
0,2000
6
36
216
2,449
1,817
0,1667
7
49
343
2,646
1,913
0,1429
8
64
512
2,828
2
0,1250
9
81
729
3,000
2,080
0,1111
10
100
1000
3,162
2,154
0,1000
11
121
1331
3,317
2,224
0,0909
12
144
1728
3,464
2,289
0,0833
13
169
2197
3,606
2,351
0,0769
14
196
2744
3,742
2,410
0,0714
15
225
3375
3,873
2,466
0,0667
16
256
4096
4
2,520
0,0625
17
289
4913
4,123
2,571
0,0588
18
324
5832
4,243
2,621
0,0556
19
361
6859
4,359
2,668
0,0526
20
400
8000
4,472
2,714
0,0500
21
441
9261
4,583
2,759
0,0476
22
484
10648
4,690
2,802
0,0455
23
529
12167
4,796
2,844
0,0435
24
576
13824
4,899
2,884
0,0417
25
625
15625
5
2,924
0,0400
114
3
n
n2
n3
n
26
676
17576
5,099
27
729
19683
28
784
21952
29
841
30 31
1 n
n
2,962
0,0385
5,196
3
0,0370
5,292
3,037
0,0357
24389
5,385
3,072
0,0345
900
27000
5,477
3,107
0,0333
961
29791
5,568
3,141
0,0323
32
1024
32768
5,657
3,175
0,0313
33
1089
35937
5,745
3,208
0,0303
34
1156
39304
5,831
3,240
0,0294
35
1225
42875
5,916
3,271
0,0286
36
1296
46656
6
3,302
0,0278
37
1369
50653
6,083
3,332
0,0270
38
1444
54872
6,164
3,362
0,0263
39
1521
59319
6,245
3,391
0,0256
40
1600
64000
6,325
3,420
0,0250
41
1681
68921
6,403
3,448
0,0244
42
1764
74088
6,481
3,476
0,0238
43
1849
79507
6,557
3,503
0,0233
44
1936
85184
6,633
3,530
0,0227
45
2025
91125
6,708
3,557
0,0222
46
2116
97336
6,782
3,583
0,0217
47
2209
103823
6,856
3,609
0,0213
48
2304
110592
6,928
3,634
0,0208
49
2401
117649
7
3,659
0,0204
50
2500
125000
7,071
3,684
0,0200
115
3
1 n
n
n2
n3
n
51
2601
132651
7,141
3,708
0,0196
52
2704
140608
7,211
3,733
0,0192
53
2809
148877
7,280
3,756
0,0189
54
2916
157464
7,348
3,780
0,0185
55
3025
166375
7,416
3,803
0,0182
56
3136
175616
7,483
3,826
0,0179
57
3249
185193
7,550
3,849
0,0175
58
3364
195112
7,616
3,871
0,0172
59
3481
205379
7,681
3,893
0,0169
60
3600
216000
7,746
3,915
0,0167
61
3721
226981
7,810
3,936
0,0164
62
3844
238328
7,874
3,958
0,0161
63
3969
250047
7,937
3,979
0,0159
64
4096
262144
8
4
0,0156
65
4225
274625
8,062
4,021
0,0154
66
4356
287496
8,124
4,041
0,0152
67
4489
300763
8,185
4,062
0,0149
68
4624
314432
8,246
4,082
0,0147
69
4761
328509
8,307
4,102
0,0145
70
4900
343000
8,367
4,121
0,0143
71
5041
357911
8,426
4,141
0,0141
72
5184
373248
8,485
4,160
0,0139
73
5329
389017
8,544
4,179
0,0137
74
5476
405224
8,602
4,198
0,0135
75
5625
421875
8,660
4,217
0,0133
116
n
3
1 n
n
n2
n3
n
76
5776
438976
8,718
4,236
0,0132
77
5929
456533
8,775
4,254
0,0130
78
6084
474552
8,832
4,273
0,0128
79
6241
493039
8,888
4,291
0,0127
80
6400
512000
8,944
4,309
0,0125
81
6561
531441
9
4,327
0,0123
82
6724
551368
9,055
4,344
0,0122
83
6889
571787
9,110
4,362
0,0120
84
7056
592704
9,165
4,380
0,0119
85
7225
614125
9,220
4,397
0,0118
86
7396
636056
9,274
4,414
0,0116
87
7569
658503
9,327
4,431
0,0115
88
7744
681472
9,381
4,448
0,0114
89
7921
704969
9,434
4,465
0,0112
90
8100
729000
9,487
4,481
0,0111
91
8281
753571
9,539
4,498
0,0110
92
8464
778688
9,592
4,514
0,0109
93
8649
804357
9,644
4,531
0,0108
94
8836
830584
9,695
4,547
0,0106
95
9025
857375
9,747
4,563
0,0105
96
9216
884736
9,798
4,579
0,0104
97
9409
912673
9,849
4,595
0,0103
98
9604
941192
9,899
4,610
0,0102
99
9801
970299
9,950
4,626
0,0101
100
10000
1000000
10
4,642
0,0100
117
n
ТАБЛИЦА ПРОСТИХ БРОЈЕВА првих 500 простих бројева
2
101
233
383
547
701
877
1049
1229
1429
3
103
239
389
557
709
881
1051
1231
1433
5
107
241
397
563
719
883
1061
1237
1439
7
109
251
401
569
727
887
1063
1249
1447
11
113
257
409
571
733
907
1069
1259
1451
13
127
263
419
577
739
911
1087
1277
1453
17
131
269
421
587
743
919
1091
1279
1459
19
137
271
431
593
751
929
1093
1283
1471
23
139
277
433
599
757
937
1097
1289
1481
29
149
281
439
601
761
941
1103
1291
1483
31
151
283
443
607
769
947
1109
1297
1487
37
157
293
449
613
773
953
1117
1301
1489
41
163
307
457
617
787
967
1123
1303
1493
43
167
311
461
619
797
971
1129
1307
1499
47
173
313
463
631
809
977
1151
1319
1511
53
179
317
467
641
811
983
1153
1321
1523
59
181
331
479
643
821
991
1163
1327
1531
61
191
337
487
647
823
997
1171
1361
1543
67
193
347
491
653
827
1009
1181
1367
1549
71
197
349
499
659
829
1013
1187
1373
1553
73
199
353
503
661
839
1019
1193
1381
1559
79
211
359
509
673
853
1021
1201
1399
1567
83
223
367
521
677
857
1031
1213
1409
1571
89
227
373
523
683
859
1033
1217
1423
1579
97
229
379
541
691
863
1039
1223
1427
1583
120
1597
1783
1993
1261
2371
2579
2749
2957
3187
3373
1601
1787
1997
2179
2377
2591
2753
2963
3191
3389
1607
1789
1999
2203
2381
2593
2767
2969
3203
3391
1609
1801
2003
2207
2383
2609
2777
2971
3209
3407
1613
1811
2011
2213
2389
2617
2789
2999
3217
3413
1619
1823
2017
2221
2393
2621
2791
3001
3221
3433
1621
1831
2027
2237
2399
2633
2797
3011
3229
3449
1627
1847
2029
2239
2411
2647
2801
3019
3251
3457
1637
1861
2039
2243
2417
2657
2803
3023
3253
3461
1657
1867
2053
2251
2423
2659
2819
3037
3257
3463
1663
1871
2063
2267
2437
2663
2833
3041
3259
3467
1667
1873
2069
2269
2441
2671
2837
3049
3271
3469
1669
1877
2081
2273
2447
2677
2843
3061
3299
3491
1693
1879
2083
2281
2459
2683
2851
3067
3301
3499
1697
1889
2087
2287
2467
2687
2857
3079
3307
3511
1699
1901
2089
2293
2473
2689
2861
3083
3313
3517
1709
1907
2099
2297
2477
2693
2879
3089
3319
3527
1721
1913
2111
2309
2503
2699
2887
3109
3323
3529
1723
1931
2113
2311
2521
2707
2897
3119
3329
3533
1733
1933
2129
2333
2531
2711
2903
3121
3331
3539
1741
1949
2131
2339
2539
2713
2909
3137
3343
3541
1747
1951
2137
2341
2543
2719
2917
3163
3347
3547
1753
1973
2141
2247
2449
2729
2927
3167
3359
3557
1759
1979
2143
2351
2551
2731
2939
3169
3361
3559
1777
1987
2153
2357
2557
2741
2953
3181
3371
3571
121
Примјери представљања неких сложених бројева у облику производа простих бројева 49 = 7 · 7 77 = 7 · 11 91 = 7 · 13 119 = 7 · 17 121 = 11 · 11 133 = 17 · 19 143 = 11 · 13 161 = 7 · 23 169 = 13 · 13 187 = 11 · 17 203 = 7 · 29 209 = 11 · 19 217 = 7 · 31 221 = 13 · 17 247 = 13 · 19 253 = 11 · 23 259 = 7 · 37 287 = 7 · 41 289 = 17 · 17 299 = 13 · 23 301 = 7 · 43 319 = 11 · 29 323 = 17 · 19 329 = 7 · 47 341 = 11 · 31 343 = 7 · 7· 7 361 = 19 · 19 371 = 7 · 53 377 = 13 · 29 391 = 17 · 23 403 = 13 · 31 407 = 11 · 37 413 = 7 · 59
427 = 7 · 61 437 = 19 · 23 451 = 11 · 41 469 = 7 · 67 473 = 11 · 43 481 = 13 · 37 493 = 17 · 29 497 = 7 · 71 511 = 7 · 73 517 = 11 · 47 527 = 17 · 31 529 = 23 · 23 533 = 13 · 41 539 = 7 · 7 · 11 551 = 19 · 29 553 = 7 · 79 559 = 13 · 43 581 = 7 · 83 583 = 11 · 53 589 = 19 · 31 611 = 13 · 47 623 = 7 · 89 629 = 17 · 37 637 = 7 · 7 · 13 648 = 11 · 59 667 = 23 · 29 671 = 11 · 61 679 = 7 · 97 689 = 13 · 53 697 = 17 · 41 703 = 19 · 37 707 = 7 · 101 713 = 23 · 31
721 = 7 · 103 731 = 17 · 43 737 = 11 · 67 749 = 7 · 107 763 = 7 · 109 767 = 13 · 59 779 = 19 · 41 781 = 11 · 71 791 = 7 · 113 793 = 13 · 61 799 = 17 · 47 803 = 11 · 73 817 = 19 · 43 833 = 7 · 7 · 17 841 = 29 · 29 847 = 7 · 11 · 11 851 = 23 · 37 869 = 11 · 79 871 = 13 · 67 889 = 7 · 127 893 = 17 · 47 899 = 29 · 31 901 = 17 · 53 913 = 11 · 83 917 = 7 · 131 923 = 13 · 71 931 = 7 · 7 · 19 943 = 23 · 41 949 = 13 · 73 959 = 7 · 137 961 = 31 · 31 973 = 7 · 139 979 = 11 · 89
122
989 = 23 · 43 1001 = 7 · 11 · 13 1003 = 17 · 59 1007 = 19 · 53 1027 = 13 · 79 1037 = 17 · 61 1043 = 7 · 149 1057 = 7 · 151 1067 = 11 · 97 1073 = 29 · 37 1079 = 13 · 83 1081 = 23 · 47 1099 = 7 · 151 1111 = 11 · 101 1121 = 19 · 59 1127 = 7 · 7 · 23 1133 = 11 · 103 1139 = 17 · 67 1141 = 7 · 163 1147 = 31 · 37 1157 = 13 · 89 1159 = 19 · 61 1169 = 7 · 167 1177 = 11 · 107 1183 = 7 · 13 · 13 1189 = 29 · 41 1199 = 11 · 109 1207 = 17 · 71 1211 = 7 · 173 1219 = 23 · 53 1241 = 17 · 73 1243 = 11 · 113 1247 = 29 · 43
Напомена У табели су дати најмањи прости дјелиоци природних бројева мањих од 1248. Изостављени су бројеви дјељиви са 2, 3 или 5, јер је те чиниоце лако наћи користећи правила о дјељивости бројева са 2, 3, односно 5. Изостављени су и прости бројеви, јер је у приручнику дата Таблица простих бројева (стр. 117.). Примјер 1. Из таблице се види како се бројеви 781 и 1127 могу раставити на просте чиниоце: 781 = 11 · 71; 1127 = 7 · 7· 23. 2. Број 4998 је дјељив са два: 4998 = 2 · 2499. Број 2499 је дјељив са три: 2499 = 3 · 833. Користећи таблицу број 833 можемо приказати као продукт простих бројава: 833 = 7 · 7 · 17. Дакле, број 4998 се може написати као производ простих чиниоца 4998 = 2 · 3 · 7 · 7 · 17 . Ñ
123
Грчки алфабет
A B G D E Z H Q I K L M N X O P R S T U F C Y W
a b g d e z h i k l m n x o p r s t u j c y w
алфа бета гама делта епсилон зета ета тхета јота капа ламбда ми ни кси омикрон пи ро сигма тау ипсилон фи хи пси омега 124
Литература 1. Тошић, Р. и Стојановић, В., Математика за шести разред основне школе, Завод за уџбенике и наставна средства, Српско Сарајево, 2004 2. Аднађевић, Д. и Милић, Д., Математика за седми разред основне школе, Завод за уџбенике и наставна средства, Српско Сарајево, 2004 3. Аднађевић, Д. и Милић, Д., Математика за осми разред основне школе, Завод за уџбенике и наставна средства, Српско Сарајево, 2004 4. Живковић, Р., Математика за девети разред основне школе, Завод за уџбенике и наставна средства, Српско Сарајево, 2004 5. Стојановић, В., Збирка решених задатака из математике за V разред, Математископ, Београд, 2004 6. Стојановић, В., Збирка решених задатака из математике за VI разред, Математископ, Београд, 2004 7. Стојановић, В., Збирка решених задатака из математике за VII разред, Математископ, Београд, 2004 8. Стојановић, В., Збирка решених задатака из математике за VIII разред, Математископ, Београд, 2004
125
Борис Чекрлија МАТЕМАТИКА УКРАТКО ПРВО ИЗДАЊЕ
Лектор Војислав Гаковић
Ликовна обрада и припрема за штампу Борис Чекрлија
