ANALISIS ESTRUCTURAL ESTRUCTURAL
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Método pendiente-desviación pendiente-desviación Se conoce también como método de los desplazamientos, ya que las ecuaciones de equilibrio empleadas se expresan en función de los desplazamientos desconocidos de los nudos. Es aplicable solamente a vigas continuas y a marcos indeterminados de sección constante o variable en donde no se incluye el efecto efecto de deformaciones por carga axial, que son las que que producen esfuerzos en las armaduras. Sus antecedentes refieren a H. Manderla (1880), posteriormente a O. Mohr (1892) y en 1915 G.A. Maney dio conocerlo en la forma actual. Planteamiento general: general:
Consiste en expresar los momentos flexionantes finales de extremo en un elemento estructural, mediante unas ecuaciones denominadas de “Pendiente-Desviación”, formulados en base a la
superposición de los momentos producidos por el sistema real de cargas (considerando un claro típico AB de una viga continua) y a los momentos adicionales desconocidos, que se escriben en términos de los desplazamientos desplazamientos de los extremos del del elemento restringido (incluye (incluye tanto rotación como traslación perpendicular con respecto al eje longitudinal del elemento). Convención de signos:
Tomaremos en cuenta que los momentos y desplazamientos angulares se considerarán positivo cuando actúan en sentido de las manecillas del reloj como se muestra en la siguiente siguiente figura. El desplazamiento desplazamiento lineal se considerara positivo ya que el ángulo de la cuerda del claro gira en sentido horario. ( = /L)
Desarrollo:
1.- Indeterminación cinemática. - En este método las incógnitas son los desplazamientos posibles o “grados de libertad” y su número depende tanto de la l a forma estructural, es tructural, como de las
cargas y condiciones de apoyo; de aquí que la indeterminación cinemática, contempla las deformaciones por flexión, traducidas en giros y desplazamientos lineales o traslaciones. .- Un apoyo empotrado no permite giros ni desplazamientos lineales. .- Un apoyo articulado permite el giro pero no el desplazamiento lineal. .- Un apoyo de rodillo permito el giro y el desplazamiento lineal simultáneamente simultáneamente
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En la viga mostrada, la viga continua tiene 5 nodos, de los cuales los nodos (2), (3) y (4) tienen capacidad de girar, pero no de trasladarse, en virtud de los nodos (1) y (5) están empotrados. Por lo tanto, se clasifica como cinemática mente indeterminada de grado 3 2.- Momentos finales de extremos . -
Se deducen mediante la aplicación del Principio de Superposición, sumando el efecto independiente del sistema real de cargas y de los desplazamientos desconocidos. 2.1.- Momentos de extremos producidos por el sistema de cargas . -Se restringe la estructura en
todos los nudos que tengan posibilidad de girar o desplazarse linealmente, introduciendo apoyos ficticios de tal suerte que se transforme en cinemáticamente determinada. El efecto del sistema real de cargas se transmite a los nudos por medio de momentos de extremos llamados “ momentos de empotramiento perfecto ó momento de empotramientos fijos (MEF)…….(*) (para los casos
frecuentes de cargas se verán los tabulados en los libros)
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2.2.- Momentos adicionales de extremo en términos de los desplazamientos : como la estructura
fue restringida, debemos permitir que la estructura se deforme, por lo que adicionalmente actuarán momentos de extremo en términos de los desplazamientos, con tal fin, supondremos en primer término; a).- una estructura fija, donde los nodos giren sin desplazarse linealmente y luego b).- una estructura que se desplace linealmente sin que gire . se estima que la suma de ambas condiciones, restituye el estado real de la estructura. 2.2.(a).- Estructura fija donde los nodos giren sin desplazarse linealmente .- obtención de los
giros que se producen al actuar los momentos extremos; adicionales desconocidos, empleando el método del trabajo virtual. (pueden emplearse otros tales como: viga conjugada, área de momentos, integración directa, etc...)
1 = . − .…………(1) ∅ = ∫ = ∫ − + − 6 = − . .…………(2) ∅ = ∫ = ∫ − + − 6 . . ∅ = − 6
……(1’)
. …….(2’) ∅ = − . 6
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Resolviendo (1’) y (2’) obtenemos:
′= ∅ ∅……… (3) ′= ∅ ∅……… (4) 2.2.(b).- estructura que se desplaza linealmente sin que gire: suponiendo el mismo elemento que se desplaza linealmente una distancia +Δ sin girar, las reacciones en
ese punto consisten en un momento que llamaremos M”ab y una fuer za T”ab que origina el desplazamiento. Para valuar el ese momento expresado en términos del desplazamiento, es necesario relacionarlo con la fuerza que lo produce. Esto se logra mediante el artificio de suponer un giro y luego anularlo. Aplicamos de nuevo el método del trabajo virtual:
Giro:
∅ = ∫ = ∫"abT".(1) = ab.LT. …….(5) Como se supuso que el elemento en A no gira θA= 0:
." =0
de donde.
"= − " …….(6)
Desplazamiento:
Sustituyendo (6) en la ecuación del momento real, tenemos:
".……..(7) ()=− ∆= ∫ = ∫ "− ". 6 "=− .∆ …….(8) pág. 4
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El signo negativo indica que el momento tiene sentido contrario al supuesto, sustituyendo (8) en (6) encontramos la fuerza que causa el desplazamiento lineal:
"= − − 6 .∆ = .∆ ¨= .∆……() Las reacciones en el extremo opuesto se deducen por equilibrio estático.
=− .∆……(10) "= − ∆……(11)
Podemos señalar que cuando el elemento tiene un desplazamiento lineal sin que gire, los momentos extremos tienen el mismo valor y signo. Si superponemos los efectos analizados independientemente, es decir, los momentos inducidos por el sistema de cargas, los giros y desplazamiento lineal (ecuaciones (*, 3,4,8,11) 3.-
Ecuaciones
Pendiente-
=" ="
Deflexión:
= + − ∆………(12) = + − ∆………(13)
las ecuaciones 12 y 13 se les conoce como ecuaciones pendiente-deflexión, y proporcionan el valor de los momentos finales de extremo de un elemento estructural, que gira y se desplaza linealmente en forma simultánea. En virtud de que estas dos ecuaciones son similares, el resultado puede ser expresado como una sola ecuación: si referimos a uno de los extremos del claro como el extremo cercano (N) y al otro extremo como el extremo lejano (F), se puede escribir:
3∆ = 2 − [2 ] ……(14) pág. 5
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4.- Ecuaciones de equilibrio : En cada nodo, excepto en los empotramientos, se escribe la
ecuación de equilibrio de momentos, la cual establece que la suma de momentos (aplicados por los miembros que se unen en el nudo) es igual a cero. Las ecuaciones de equilibrio en empotramiento se reducen a la identidad 0=0, por lo que no proporcionan información útil. El número de ecuaciones de equilibrio tiene que ser igual al número de desplazamientos desconocidos.
ΣM2=0 ; ΣM3=0 ; ΣM4=0 ;
M21 + M23 =0 M32 + M34 =0 M43 + M45 =0
…(14)
Sustituyendo en la ecuación (14) las ecuaciones Pendiente-Deflexión, obtenemos las ecuaciones de equilibrio expresados en términos de los giros. 5.- Cálculo de desplazamientos : resolviendo el sistema de ecuaciones formado en el paso (4), obtenemos los de splazamientos o “grados de libertad”. 6.- Momentos finales: Se sustituyen los valores de los desplazamientos o “grados de libertad” en
las ecuaciones Pendiente-Deflexión para calcular los momentos finales. Hecho esto, la estructura se transforma en estáticamente determinada.
MIEMBROS CON UN EXTREMO ARTICULADO
Las Ecuaciones de Pendiente-Deflexión deducidas anteriormente (12) y (13) pueden sufrir modificaciones, cuando uno de los extremos del miembro (extremo final (F)) está conectado mediante una articulación o un rodillo Cuando esto ocurre el momento en el pasador o rodillo debe ser cero y si el desplazamiento angular θ B en este soporte no deba determinarse, es posible modificar las condiciones generales de la ecuación pendiente-deflexión. Para deducir la nueva expresión consideremos una viga AB como se muestra en la figura:
Si el extremo B está articulado, entonces M BA = MF = 0 reescribiendo, obtenemos:
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= 2+ − ∆ 0 = 2 + − ∆0
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…...15 …...16
Aquí MEFF es igual a cero, puesto que el otro extremo esta fijo. MEF N lo obtenemos de las tablas. Si multiplicamos por 2 la ecuación (15) y le restamos la segunda ecuación, se elimina la incógnita θF y se obtiene:
= − ∆ …...(17) QUE ES SOLO PARA UN CLARO FINAL CON EL EXTREMOS LEJANO ARTICULADO O SOPORTADO POR UN RODILLO
Resumiendo, si tomamos la siguiente viga continua de 3 claros mostrada n la figura:
La ecuación (14) puede aplicarse dos veces para cada tramo, es decir: de A-B, de B-A; de B-C, de C-B; y de C-D y de D-C. Estas ecuaciones involucrarían a las cuatro rotaciones desconocidas: θA, θB. θC y θD; sin embargo, como los momentos en A y D son articulados, los momentos extremos en A y D son iguales a cero, no es necesario θA y θD. Por lo tanto
tendríamos una solución más simple al aplicar la ecuación (17) de B-A y de C-D para después aplicar la ecuación (14) de B-C y de C-B. Este análisis es opcional y solo simplifica el manejo de ecuaciones.
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ANALISIS DE MARCOS SIN DESPLAZAMIENTO LATERAL:
El método pendiente-deflexión también se usan para analizar armazones, y como generalmente las deformaciones axiales de los miembros de las armazones son muchos menores que las deformaciones por flexión, éstas se desprecian en el análisis y se supone que los miembros son inextensibles (es decir, no pueden sufrir alargamiento o acortamientos axiales). CONDICIÓN: Un marco no se desplazará hacia la derecha o hacia la izquierda: a).- si está totalmente restringido. b).- si es simétrico en geometría y carga.
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En esta figura notamos que los nodos fijos A y B no pueden girar ni trasladarse, en tanto que el nodo C que está en el apoyo de rodillo puede girar, pero no trasladarse, en tanto que el nodo D tiene libertad de girar (θD) pero no de trasladarse ya que los miembros AD y CD al suponerse inextensibles le impiden trasladarse, algo similar le ocurre al nodo E el cual si puede girar (θE) pero no trasladarse, ya que los miembros BE y DE no se pueden deformar axialmente y como los nodos B y D no se trasladan, el nodo E queda restringido. Por lo tanto, el procedimiento para el análisis de las armazones sin ladero es casi idéntico al aplicado al análisis de las vigas continuas, ya que solo constan de las rotaciones desconocidas en los nodos. Sin embargo, a diferencia de las vigas continuas, más de dos miembros pueden estar conectados a un nodo de un armazón y las condiciones de equilibrio de este nodo comprenderían mas de dos momentos en los extremos de esos miembros. Retomando el método pendiente-deflexión, los momentos finales de extremo en un elemento estructural sometido a cargas de flexión resultan de superponer los mismos efectos que se vieron en las vigas: a).- los momentos de empotramiento derivados del sistema de cargas.(MEF) b).- los momentos debidos a los giros producidos por la acción transmitida de los demás elementos. c).- los momentos originados por la acción de un desplazamiento lineal relativo: pero en este análisis, los desplazamientos lineales, Δ=0, y la ecuación adopta la forma:
= 2 2 ……(18)
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ANALISIS DE MARCOS CON DESPLAZAMIENTO LATERAL:
Aquí las condiciones son inversas al caso anterior, es decir un marco se ladea o desplaza lateralmente, porque ya no tiene restricciones o porque la carga que actúa sobre él no es simétrica.
En la figura que se muestra, los nodos A y D están por completos restringidos contra la rotación y traslación, los nodos B y C tienen la libertad de girar y trasladarse debido a que la carga P al no ser simétrica, provoca momentos desiguales M BC > MCB, y si suponemos que las columnas AB y DC son inextensibles así como la viga maestra BC; entonces los nodos B y C solo pueden trasladarse en la dirección horizontal y puesto que MBC es mayor que M CB el resultado neto es un desplazamiento lateral de las dos juntas B y C, Por lo tanto el armazón tiene tres desplazamientos desconocidos o grados de libertad: ΘB, Θc y . Al aplicar la ecuación de pendientedeflexión a cada columna de este marco debe considerarse la rotación de la columna AC = DC= /h En estos tipos de problemas, como se producen desplazamientos lineales en las juntas (o rotaciones del claro), se requiere escribir las ecuaciones de equilibrio de fuerzas (ΣFx=0) en cada columna para obtener la solución completa: Px + VAB + VDC=0 Sin embargo, las incógnitas en estas ecuaciones sólo deben incluir los momentos internos que actúan en los extremos de las columnas, puesto que las ecuaciones de pendiente-deflexión involucran a estos momentos.: ΣMB=0 ΣMC=0
de la columna AB de la columna DC
Las técnicas para resolver los problemas de marcos con desplazamientos laterales lo ilustraremos de mejor manera mediante ejemplos directos.
Fuente: Analisis Estructural.- 2ª. Edición.- Aslan Kassimali.- Thomsom- Learrning-Inc. Editores.-2001. Analisis de Estructuras.- 3a. Edición.- James K. Nelson Jr, Jack C. McCormac.-AlfaOmega.2006 Analisis Estructural.- 8ª. Edición.- Hibbeler R.C. Pearson Educación.- México.- 2012 pág. 10
