CÁLCULO DE LA PENDIENTE DE UNA CARRETERA
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Uno de los debates más tradicionales en esto del cálculo de la pendiente de un puerto es si a la hora de medir 1 km es correcto hacerlo sobre el terreno realmente recorrido por la carretera, o si se debe tomar 1 km de avance sobre la horizontal del terreno, o sea, sobre la proyección del terreno sobre un mapa. Tomando Tomando el método más purista y exacto segn los los topógra!os y geógra!os, se debe tomar el kilómetro recorrido sobre la horizontal, esto es, la base del triángulo "ue !orman la distancia recorrida por la carretera #"ue ser$a la hipotenusa%, la altitud ascendida #"ue ser$a el cateto opuesto% y la distancia sobre el mapa #"ue ser$a el cateto contiguo%.
El cálculo de la pendiente se!n el "#todo topo$á%ico& &a pendiente es la relación "ue existe entre el desnivel "ue debemos superar y la distancia en horizontal "ue debemos recorrer, lo "ue e"uivale a la tangente del ángulo "ue !orma la l$nea a medir con el e'e x, "ue ser$a el plano. &a distancia horizontal se mide en el mapa. &a pendiente se expresa en tantos por ciento, o en grados. (ara calcular calcular una pendiente en e n tantos por ciento basta con resolver re solver la siguiente regla de tres) *istancia en horizontal es a 1++ como distancia en vertical es a , o sea)
Distancia en 'e$tical ( )**+Distancia en ,o$i-ontal . Pendiente/
(ara calcular la pendiente en grados basta con resolver el triángulo rectángulo con los dos catetos conocidos.
Tanente A . Altu$a+Distancia
Un ángu ángulo lo de - -/ / es un una a pendi pendien ente te del del 1++ 1++0, 0, ya "ue cada cada 1++ metros metros en horizontal se recorren 1++ metros en altura. uando medimos una distancia en el mapa lo hacemos sobre una super!icie plana. &a "ue medimos en el mapa se llama distancia planimétrica, "ue no es otra cosa "ue la proyección en el mapa de la distancia real. &a distancia planimétrica coincide con la real sólo si en la realidad hay una llanura, pero si hay una pendiente la di!erencia entre la distancia real y la planimétrica puede ser notable. (ara calcular la distancia real debemos hallar el valor de la hipotenusa de un triángulo rectángulo. 2l valor de un cateto es la distancia en metros entre dos puntos, el valor del otro cateto es el valor en metros de la di!erencia en altitud entre los dos puntos. &a distancia real es pues)
$0 . ,0 1 a0 *onde)
$ 3 distancia real , 3 distancia horizontal en la realidad entre los dos puntos a 3 di!erencia de altura en la realidad entre dos puntos (ara medir la distancia entre dos puntos en l$nea recta basta con usar una regla. (ero en un plano pocos trazados son rectos. (ara medir trazados sinuosos entre dos puntos se pueden usar dos métodos, uno rudimentario, "ue consiste en colocar un hilo sobre el recorrido y luego medir la longitud del hilo, el otro es usando un instrumento creado al para esto, llamado curv$metro.
El cálculo de la pendiente se!n nuest$o "#todo& (or razones de comodidad y de simpli!icación, nosotros tomamos la altitud a cada kilómetro recorrido realmente sobre la carretera. *e esta !orma la pendiente en porcenta'e es)
Pendiente/ . 2"et$os ascendidos + "et$os $eco$$idos ( )**
*e esta !orma en nuestras altigra!$as se re!le'a la altitud en intervalos de 1 km y la pendiente media de ese km recorrido. on nuestro método un ángulo de 4+/ es una pendiente del 1++0 ya "ue cada 1++ metros avanzados se recorren 1++ metros en altura, y un ángulo de -/ e"uivaldr$a a una pendiente de 5+,50. 6i bien el anterior método es más exacto y sobre todo más académico, consideramos "ue es más sencillo hacerlo en la práctica a nuestro modo en lugar de tener "ue resolver en cada km el triángulo !ormado con la horizontal para as$ determinar cual ha sido en realidad la distancia horizontal avanzada en cada km de carretera. 7 esto lo consideramos as$ por"ue el error real "ue cometemos es muy pe"ue8o debido a "ue las pendientes de las carreteras, incluso en las más empinadas, no son lo su!icientemente grandes como para "ue la di!erencia de resultados de un método u otro sean importantes. omo e'emplo se puede apuntar "ue en si en 1 km de avance real sobre la carretera ascendemos 9++ m #lo "ue ser$a segn nosotros un 9+0 de desnivel%, al resolver el triángulo la base de éste, o sea la distancia en horizontal recorrida, es de 4:+ m #lo "ue ser$a un desnivel del 9+,-0 segn el método topográ!ico%. (ara porcenta'es más usuales en las carreteras, bastante menores al 9+0, nos de un error muy pe"ue8o. 2s más, seguramente tendremos mayores errores por acumulación de pe"ue8as inexactitudes debidas al alt$metro o al cuentakilómetros "ue por el método utilizado.
(or todo ello, y para los resultados "ue nosotros "ueremos, nuestro método es su!icientemente válido como para "ue cual"uier cicloturista lo pueda aceptar como bueno
Pendiente Uno de los conceptos con el que la mayoría de los profesionales de la planificación del paisaje o de la topografía están familiarizados es el de medir pendientes. La pendiente es una forma de medir el grado de inclinación del terreno. A mayor inclinación mayor valor de pendiente. La pendiente se mide calculando la tangente de la superficie. La tangente se calcula dividiendo el cambio vertical en altitud entre la distancia orizontal. !i visualizáramos la superficie en sección transversal" podríamos ver un triángulo rectángulo#
Fig. 1 Pendiente
$ormalmente la pendiente se e%presa en planimetría como un porcentaje de pendiente que equivale al valor de la tangente &pendiente' multiplicado por ()). Porcentaje de Pendiente = Altura / Base * 100 *sta forma de e%presar la pendiente es muy com+n" aunque puede ser algo confusa porque por ejemplo un valor de pendiente del ()), se corresponde con un ángulo de - grados ya que la altura y la base de un ángulo de - grados coinciden y al dividirlos da como resultado ( que si se multiplica por ()) es igual a una pendiente del ()),. /e eco el porcentaje de pendiente tiende al infinito en tanto en cuanto la pendiente se apro%ime a una superficie vertical &la distancia base se apro%ima a )'. *n la práctica esto es imposible en una base de datos de tipo raster porque la base nunca es menor que el valor del anco de la celda &pi%el'. 0tra forma de e%presar la pendiente es en grados. 1ara calcular los grados se utiliza el valor de arcotangente de la pendiente# Pendiente en Grados = ArcTangente (Altura / Base) $ota# ArcVie2 calcula la pendiente en grados. Lo importante es que podemos medir la pendiente de cualquier superficie" en t3rminos de topografía" temperatura" coste u otras variables. 1odemos tomar la pendiente de una superficie definida en unidades de presión de aire en un mapa meteorológico para buscar las zonas donde se producen rápidos cambios de presión4esto nos revela la localización de los frentes meteorológicos. !i tomamos el valor de un mapa de pendientes" nos indicará cómo de rápido varía dica pendiente. *s el equivalente a calcular la segunda derivada de la superficie. *n un mapa topográfico es una medida de la rugosidad de la superficie" factor importante a la ora de estimar los efectos de enfriamiento de las brisas en los microclimas.&!uperficies rugosas crean turbulencias y mezcla de masas de aire de temperaturas diferentes. *sto genera mayor efecto de enfriamiento sobre el suelo'. Analizando estos ejemplos vemos la utilidad de considerar la pendiente como una medida del cambio en una superficie. 5uando en un !67 medimos la pendiente" el mapa de entrada debe ser un mapa de intervalos que
represente una superficie como un conjunto de valores continuos &coma flotante'. 83todos para calcular la pendiente" la orientación y el sombreado del relieve en un !67 raster# Gradiente de pendiente *l gradiente de pendientes se calcula a partir de una ventana de 9%9 celdas como se muestra en el esquema inferior. La ventana inferior representa la altitud de los : vecinos más pró%imos que rodean a lacelda de columna i !ila j. La ;igura < muestra la ventana &o =ernel' utilizada en el cálculo de las derivadas de las matrices de elevación. *sta ventana 9%9 se desplaza sucesivamente por encima del mapa para calcular las variables derivadas> la pendiente y la orientación.
Fig ". #entana utili$ada para calcular las deri%adas de las matrices de ele%aci&n
!i se precisa la media de la pendiente" los gradientes este'oeste se calculan de la siguiente manera# d= (+i,1-j,1 , "+i,1-j , +i,1-j'1) ' (+i'1-j,1 , "+i'1-j , +i'1-j'1)/d *l gradiente norte'sur se calcula# d2 = (+i,1-j,1 , "+i-j,1 , +i'1-j,1) ' (+i,1-j'1 , "+i-j'1 , +i'1-j'1)/d /onde d3 ? la distancia este4oeste a trav3s de la celda &ancura de la celda' d ? la distancia norte4sur a trav3s de la celda &altura de la celda' *l Porcentaje de Pendiente se calcula# 4Pendiente = 100 * (d)5"*(d2)5"51/" La pendiente en grados se calcula# Pendiente (en grados) = ArcTangente(d)5" ,(d2)5"51/" pciones 26G normales *l valor de má%ima pendiente se calcula a partir del má%imo valor de gradiente de los : vecinos más pró%imos. $ota# ArcVie2 calcula la pendiente de este modo en grados. La má%ima pendiente acia abajo se calcula a partir del má%imo gradiente de la celda o celdas que son menores o iguales al valor de elevación de la celda central. !i no e%iste un vecino de valor inferior se asigna el valor de @( a la celda central.
Fig.7 Pendientes de la Pen8nsula de Belllarine
