CAPÍTULO DEFORMACIONES ANGULARES CHRISTIAN OTTO MOHR (08/10/1835 (08/10/1835 – 02/10/1918)
VIII
Nació en una familia de terratenientes en Wesselburen en el Holstein Alemania. Entró en el Instituto Politécnico Hannover, a la edad de 16 años y se graduó con una licenciatura en 1855. En 1868 Otto Mohr se convirtió en profesor de Ingeniería Mecánica en la Polytechnicum Stuttgart. Otto Mohr fue uno de los ingenieros más laureados de Europa en el siglo 19. En 1868, a la edad de 32 años, Mohr fue invitado a ser el profesor de ingeniería mecánica en la Polytechnicum Stuttgart. A pesar de un parto sin pulir, sus conferencias fueron bien recibidas por los estudiantes debido a su simplicidad, claridad y concisión. Ser a la vez teórico y la práctica de ingeniería civil, Mohr sabía de su tema a fondo y siempre fue capaz de traer algo fresco e FUENTE: www.pacific.math.ualberta.ca interesante para la atención de sus estudiantes. En 1873, Mohr se trasladó a la Polytechnicum Dresde, y enseñó allí hasta la edad de 65 años (1900). Después de su retiro, se quedó en el área de Dresden, donde continuó su labor científica hasta su muerte. un valioso aporte para el cálculo de deformaciones deformaciones en estructuras es así que tenemos lo siguiente: Los
Teoremas
de
representan Mohr
1er. Teorem Teorem a:
“El ángulo comprendido entre las tangentes en dos puntos cualesquiera de la línea elástica, es igual al área total del trozo correspondiente del diagrama de momentos flectores, dividido por el módulo de rigidez “. 2do. Teorem Teorem a:
“La ordenada de un punto de la elástica, respecto a la tangente en otro punto, es igual al momento estático de la superficie de momentos flectores, comprendida entre las ordenadas de ambos puntos, respecto al punto primero, dividido por el módulo de rigidez E.I ".
ING. RONALD SANTANA TAPIA
INTRODUCCIÓN El método pendiente-deflexión (PD) representa el punto de inicio en la evolución del método matricial de rigidez como este es conocido actualmente. actualmente. El método pendiente- deflexión “PD” puede ser utilizado para analizar todo tipo de vigas y pórticos estáticamente indeterminados. Las ecuaciones clásicas de pendientedeflexión son derivadas por medio del teorema del momento-área considerando la deformación causada sólo por los momentos de flexión y despreciando los debidos por fuerzas de cortantes y axiales. Básicamente, un número de ecuaciones simultáneas simultáneas son planteadas con incógnitas como las rotaciones angulares y los desplazamientos de cada nodo. Una vez que estas ecuaciones han sido solucionadas, los momentos en todos los nudos pueden ser determinados. El método pendiente- deflexión “PD” es simple de explicar y aplicar ya que se basa en el equilibrio de los nudos y de los elementos. El método pendiente- deflexión “PD”
clásico es enseñado en cursos elementales elementale s de
“AN ÁLISIS ESTRUCTURAL I” y empleados en el diseño estructural porque este provee
una perspectiva clara y completa de cómo los momentos internos y las deformaciones están interrelacionados, interrelacionados, conceptos que son esenciales en la ingeniería ingeniería estructural.
OBJETIVOS
Identificar Identif icar adecuadamente las variables, los casos y las restricciones restricc iones para las estructuras a analizar para luego resolver correctamente las estructuras que cumplan todas las condiciones y requisitos previos en los que se aplicará el método, para de esta manera lograr llevar a cabo un buen y adecuado análisis.
Identificar adecuadamente adecuadamente las ecuaciones y demás variables que se han han de utilizar durante la resolución de las estructuras planteadas para de esta manera tener la lucidez adecuada y solucionar correctamente correctame nte los problemas del capítulo.
Interpretar Interpret ar adecuadamente los resultados obtenidos por el método y plasmarlos adecuadamente el los diagramas correspondientes (de momentos flectores y fuerzas cortantes) para su posterior utilización en trabajos de diseño de concreto armado, diseño en acero, entre otras aplicaciones.
Dar la respectiva y adecuada solución a los problemas propuestos del capítulo en base al conocimiento adquirido en la parte teórica y práctica del capítulo que a continuación se procede a desarrollar.
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DEFORMACIONES ANGULARES
TEOREMA DE LAS DEFORMACIONES DEFORMACIONES ANGULARES (SLOPE – DEFLECTION) (Pendiente – Deflexión) El método pendiente-deflexión se basa en expresar los momentos de los extremos de los miembros de estructuras estáticamente indeterminadas en función de los giros y deflexiones observadas en los nudos, teniendo como supuesto que si bien los nudos pueden girar o deflectarse, los ángulos entre los elementos que convergen en el nudo se mantienen constantes.
RESTRICCIONES:
Este método considera sólo el efecto de la flexión sobre los elementos y omite el efecto del corte y axial. Este método es adecuado para el análisis de estructuras pequeñas, corresponde a un caso especial del método de las deformaciones o rigideces y proporciona una muy buena aproximación inicial para presentar la formulación matricial del método de la rigidez.
VENTAJAS:
Este método presenta la ventaja de proporcionar de manera inmediata un primer esbozo de la deformada.
Figura 8.1
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ING. RONALD SANTANA TAPIA
Figura 8.2
SE CALCULA:
Momentos flectores en los extremos de las barras deseadas y/o analizadas.
LAS VARIAB V ARIABLES: LES:
Las principales variables utilizadas durante el desarrollo del curso son los desplazamientos. Existen dos tipos de desplazamientos desconocidos: angulares y lineales. Las incógnitas angulares son los ángulos de giro de los nudos rígidos del sistema analizado. Las incógnitas lineales son los desplazamientos lineales de los nudos del sistema.
APLICACIÓN:
Sea una parte de la viga que sometida a un sistema de cargas cualquiera. Sean (i) y (j) dos secciones cualesquiera de la viga de sección constante con una longitud “Lij” y un momento de inercia de la sección igual “Iij”.
En la resolución por este método se consideran como incógnitas (variables) los desplazamientos en los nudos de la estructura. A fin de presentar la ecuaciones que definen este método considere el siguiente elemento estructural ubicado entre los puntos “i y j” con las constantes ya descritas así tenemos la siguiente gráfica.
Observación: Para la aplicación del método se asume para todos los efectos en sentido horario POSITIVO.
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DEFORMACIONES ANGULARES
Figura 8.3
OBJETIVO PRINCIPAL:
Calcular los momentos en los extremos:
Figura 8.4 En donde “Mij y Mji” son los momentos finales a determinar mediante el método.
DESCRIPCIÓN DEL MÉTODO:
Para cumplir con el objetivo trazado
primero debemos identificar adecuadamente adecuadament e
nuestras variables a partir del siguiente gráfico:
Figura 8.5
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del elemento en función de las cargas (Momentos de Empotramiento Empotramiento Perfecto: ) y de las deformaciones producidas por .Es así que las deformaciones (giros y desplazamientos) utilizadas por El método consiste en determinar “
estas “
el método son las siguientes:
Desplazamiento transversal transversal relativo del extremo (j) respecto del extremo (i) Rotación de la barra “i j”
La manera o forma de relacionar las deformaciones y desplazamientos ya mencionadas con los momentos finales a determinar (“Mij y Mji”) es mediante las ecuaciones de
Maney que presentamos a continuación.
ECUACIONES DE MANEY:
( ) ( )
En donde:
Momentos Momentos flectores con signos de Maney Momentos Momentos de empotramiento perfecto (MEP) Giros Giros en (i) y (j) respectivamente ij
Deformación angular (ROTACION) de la barra “ ”
Estas ecuaciones se utilizarán cuando sean conocidas las deformaciones:
de de
no ser así se recomienda trabajar con las expresiones simplificadas siguientes:
Rigidices relativas:
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DEFORMACIONES ANGULARES
Cambio de variable:
( ) ( ) Cuando los nudos solamente giran más no desplazan, como es común en sistema de vigas hiperestáticas, entonces:
Entonces las fórmulas simplificadas serían las siguientes:
( ) ( ) DEMOSTRACIÓN: Resolveremos por el Principio de Superposición de efectos, considerando 4 estados.
Estado “0”:
Momentos producidos por las cargas con extremos del elemento en la condición de perfectamente empotrados. º
M ij j
i
M jiº
Figura 8.6 Estado “1”:
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Momentos producidos por el giro elástico del extremo empotrado (i)
Figura 8.7
Estado “2”:
Momentos producidos por el giro elástico del extremo empotrado (i).
Figura 8.8 Estado “3”:
Momentos producidos por la rotación de la barra o debido al desplazamiento transversal relativo del extremo (j) respecto del extremo (i).
ji
Figura 8.9
Superponiendo:
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DEFORMACIONES ANGULARES
Resolviendo el estado: 1 Aplicando la la ecuación de los 3 momentos: momentos:
Figura 8.10
̅ ̅ Tramo: (0) – (1) – (2)
Tramo: (1) – (2) – (3)
De (1) y (2):
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Figura 8.11
Por lo tanto:
M ij
θi
i
Para el método
j
M ji Figura 8.12
Resolviendo el estado: 2 Por analogía:
Resolviendo el estado: 3
Figura 8.13
Tramo: (0) – (1) – (2)
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DEFORMACIONES ANGULARES
Tramo: (1) – (2) – (3)
De (3) y (4):
Figura 8.14
Por lo tanto:
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Figura 8.15
Reemplazando en (I) y (II):
( ) ( ) Ecuaciones de Maney:
( ) ( )
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DEFORMACIONES ANGULARES
GRADO DE HIPERGEOMETRIA:
También llamado GRADO DE INDETERMINACIÓN CINEMÁTICA. Es esta una propiedad muy importante para el análisis de toda estructura; el grado de hipergeometría se basa en las variables ya descritas anteriormente es así que juega un papel importante dentro del análisis de los sistemas analizados. Básicamente está dado por el número de giros y desplazamientos desconocidos de los nudos de la estructura. Estos giros y desplazamientos son las incógnitas que se calcularan por este método y consecuentemente usando las expresiones planteadas anteriormente, los momentos flectores con signos de Maney y los momentos flectores finales.
NOTA: Se puede mencionar como algo resaltante que no se consideran el giro y desplazamientos en el extremo libre del volado.
EJEMPLO: Determinar del grado de hipergeometría del siguiente sistema mostrado a continuación considerando para 1-2 y 3-4 un EI constante y para la barra 2- 3 considerar EI=∞.
Figura 8.16
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SOLUCIÓN: Como se puede apreciar en la gráfica el efecto de la fuerza externa que actúa sobre el nudo 2 provocará un desplazamiento lateral de todo el sistema en conjunto que a la vez provocará la rotación de ciertos nudos, es así que tenemos la siguiente gráfica para un mejor entendimiento:
Como podemos apreciar en la gráfica la fuerza externa provoca solo un desplazamiento lateral ( y ángulos de giro en 1 y 4; en los nodos 2 y 3 no existe ángulos de giro alguno debido a la naturaleza de la barra 2-3.Es así que tenemos: GRADO DE HIPERGEOMETRÍA = 3er. GRADO (
DIAGRAMA FINAL DE MOMENTO FLECTOR
Todo problema o sistema analizado se resuelve de forma descompuesta, entonces será necesario graficar previamente el diagrama de momentos en los nudos. Los momentos en los nudos se determinarán por las fórmulas anteriores ya descritas, para los valores de los desplazamientos desplazamientos determinados del sistema de ecuaciones. ecuaciones. En los tramos, donde existen cargas externas, será necesario agregar al diagrama de momentos en los nudos, el diagrama de momentos debido a la acción de las cargas externas, como si se tratase de una viga simplemente apoyada sometida a dichas cargas.
DIAGRAMA FINAL DE FUERZA CORTANTE
Para graficar el diagrama de fuerza cortante, se utiliza la dependencia diferencial de la fuerza cortante en base al momento flector.
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DEFORMACIONES ANGULARES
En el tramo, donde el diagrama de momento flector es lineal, el valor numérico de la fuerza cortante se determina como la tangente del ángulo de desviación del diagrama con el eje de la barra. En el tramo, donde el diagrama es curvo, la fuerza cortante puede ser calculada como la suma algebraica de dos fuerzas cortantes.
DIAGRAMA FINAL DE FUERZA AXIAL
Las fuerzas axiales o normales, se determinarán a partir de la condición de equilibrio de los nudos del sistema analizado. Para ello, a los nudos se les aplicará sus cargas externas, las fuerzas cortantes, así como las fuerzas axiales correspondientes. correspondientes. Los nudos se deben de analizar en forma consecutiva, de tal manera, que en cada uno de ellos no debe haber más de dos fuerzas axiales desconocidas.
PARTICULARIDADES DEL CÁLCULO DE PÓRTICOS SIMÉTRICOS
En los pórticos simétricos, sometidos a cargas simétricas, sólo surgirán fuerzas y deformaciones simétricas. En base a ello, para su cálculo se deben de tomar desplazamientos simétricos desconocidos. Los desplazamientos que permiten deformaciones deformaciones anti simétricas del sistema analizado, consecuentemente serán nulos. Si las cargas son anti simétricas, entonces los desplazamientos desconocidos se deben de tomar también anti simétricos. Los desplazamientos que permiten una deformación simétrica, también son nulos. Si sobre el pórtico actúa una carga general, entonces será necesario dividirlo en componentes simétricos y anti simétricos. El cálculo del pórtico ante cada componente se realiza en forma separada y el diagrama final resulta como la suma de ambos.
EJEMPLO N° 1: Para el siguiente sistema de pórticos simétricos de acero, con cargas también simétricas se pide bosquejar las deformaciones y desplazamientos que sufre la estructura como consecuencia de las cargas aplicadas.
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Figura 8.17
SOLUCION: El pórtico tiene siete nudos rígidos, en consecuencia, los ángulos de giro desconocidos son 6 Debido a la simetría del pórtico y de las cargas externas, entonces la deformación del pórtico también será simétrica, esto es:
Esta manera, producto de la simetría del pórtico tenemos tres ángulos de giro desconocidos Nd=3:
Para determinar el número de desplazamientos lineales desconocidos, elaboramos el esquema del pórtico con rótulas (introduciendo articulaciones en todos los empotramientos y nudos rígidos porque se trata del análisis de una estructura de acero) Los esquemas de desplazamiento de cada nudo del pórtico se muestran en la siguiente figura:
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DEFORMACIONES ANGULARES
Del gráfico anterior se puede concluir que debido a la naturaleza simétrica del pórtico analizado en dimensiones y cargas se pueden notar desplazamientos laterales debido a la acción de las cargas distribuidas; se puede mencionar también que 7=
y como consecuencia de esto podemos decir que:
En consecuencia, el pórtico indicado tiene cuatro incógnitas:
y es así que exige la formulación y solución de un sistema de cuatro ecuaciones.
RIGIDEZ LATERAL: Se entiende por rigidez lateral a la propiedad de resistencia de los elementos a la deformación lateral.
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e
P
P
e
Donde:
EJEMPLO Nº 2: Hallar la rigidez lateral de cada columna del sistema mostrado en la figura:
h
L
Figura 8.18
Solución:
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DEFORMACIONES ANGULARES
1º. De las ecuaciones de Maney se tiene: M 1-2, M 2-1
= =
………………. (1)
…….…………..…. (2)
2º. De la ecuación (1) se tiene :
3º. Reemplazando en la ecuación ecuación (2):
= = 4º. Finalmente tenemos para para el elemento 1-2:
EJEMPLO Nº 3 Hallar la rigidez lateral de cada columna del sistema mostrada en la siguiente figura:
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Figura 8.19
SOLUCIÓN:
1º. De las ecuaciones de Maney se tiene: M 1-2, M 2-1
= =
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DEFORMACIONES ANGULARES
2º. Así tenemos para el el elemento 1-2:
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PROBLEMAS DE APLICACIÓN PROBLEMA 8.1 De la estructura mostrada empotrada en uno de sus extremos y volado en el otro extremo como muestra la figura determinar los momentos flectores en los extremos de los elementos y dibujar el DMF y DFC (EI=constante).
Figura 8.20
SOLUCIÓN:
1º. Grado de Hipergeometría Hipergeometría 5º GRADO ( 2º. Rigideces
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DEFORMACIONES ANGULARES
m.c.m. = 12
3º. M.E.P.
4º. Deformada:
m.c.m. = 6 5º. Ecuación de barras:
( ) ( ) VIII - 23
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6º. Equilibrio de nudos: Nudo:
Nudo:
Nudo:
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DEFORMACIONES ANGULARES
De la estática: (Encontrados la 5ta ecuación)
Equilibrio Nudo:
De (1), (2), (3), (4) y (5):
7º. Momentos de Maney
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8º. Momentos flectores flectores
9º. Isostatización
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DEFORMACIONES ANGULARES
PROBLEMA 8.2 De la estructura mostrada empotrada en uno de sus extremos y volado en el otro extremo como muestra la figura determinar los momentos flectores en los extremos de los elementos y dibujar el DMF y DFC (EI=constante).
Figura 8.21
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SOLUCIÓN: 1º. Grado de Hipergeometría Hipergeometría : 5º GRADO (
2º. Rigideces:
3º. M.E.P.
4º. Deformada
5º. Ecuación de barras: barras:
( ) ( ) VIII - 28
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6º. Equilibrio de nudos Nudo:
⁄ Nudo:
⁄ Nudo:
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De la estática: (Encontramos la 5ta ecuación)
Equilibrio nudo:
De (1), (2), (3), (4) y (5):
7º. Momentos de Maney
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8º. Momentos flectores
9º. Isostatización
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PROBLEMA 8.3 Para la estructura empotrada en sus dos extremos, determinar los momentos flectores en los extremos de los elemento y dibujar el DMF y DFC (EI=1).
Figura 8.22
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DEFORMACIONES ANGULARES
SOLUCION
1º. Grado de hipergeometría: hipergeometría: 3º GRADO ( 2º. M.E.P.
3º. Desplazamientos:
4º. Ecuación de barras: Ecuaciones de Maney:
( ) ( ) VIII - 33
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( ) ( ) 5º. Equilibrio de nudos: Nudo:
Nudo:
De Remplazando en Remplazando en las ecuaciones de barras
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6º. De la estática: estática: En todo el sistema:
∑ Por simetria simetria de la estructura
Nu d o :
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∑
Nudo:
∑
7º. Momentos de Maney
8º. Momentos flectores flectores
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DEFORMACIONES ANGULARES
9º. Dibujo del DFC y DMF P (+)
D.F.C.
(- )
-P
-4.5P
-1.5P
(- ) (+)
+1.5P
(+)
-4.5P -1.5 +1.5P
(- )
D.M.F. (+)
+1.5P
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