MÉTODO DE PENDIENTE DEFLEXION - ANALISIS ESTRUCTURAL I

'ET#D# 'A 'ATRI"IAL TRI"IAL PENDIENTE ) DE*LE+I#N APLI"AD# A P#RTI"#S An(lisis estructural I

D#"ENTE$

In%& 'arco Antonio V(s!uez

INTEGRANTES

 Anticona Pinco Jordy  Rojas Gonzales Lurdes  Salazar Diaz Adelmith  Villanuea Enri!uez "risthian 

Villanuea Enri!uez Pedro

'ET#D# 'ATRI"IAL PENDIENTE ) DE*LE+I#N APLI"AD# A P#RTI"#S

Introducción El m,todo de -endiente.de/e0i1n es un -rocedimiento -ara analizar i%as i%as inde indeter termin minad adas as y marc marcos& os& Se conoce conoce como como m,tod m,todo o de los los des-lazamientos2 des-lazamientos2 ya !ue !ue las ecuaciones ecuaciones de e!uili3rio e!uili3rio em-leadas em-leadas en el an(lis (lisiis se e0-r 0-resa esan en 4un 4unci1n i1n de los los des-la s-laza zam mien ientos tos desconocidos de los nudos& El m,todo de -endiente.de/e0i1n es im-ortante -or!ue introduce al estudian estudiante te al an(lisi an(lisis s del m,tod m,todo o de ri%id ri%idece eces& s& Este m,todo m,todo es la 3ase de muchos -ro%ramas %enerales de c1m-uto !ue analizan todo ti-o de estructuras$ i%as2 armaduras2 cascarones2 etc& Por otra -arte2 la distri3uci1n de momentos .un m,todo manual usado -or lo %eneral -ara -ara analizar analizar r(-idame r(-idamente nte i%as i%as y marcos. marcos. tam3i,n tam3i,n se 3asa en la 4ormulaci1n de ri%idez& En el m,todo de -endient -endiente.de e.de/e0 /e0i1n i1n22 la ecuaci1n ecuaci1n de -endien -endiente. te. de/e0i1n se utiliza -ara relacionar el momento en cada e0tremo de un miem3r miem3ro o con con los los des-l des-laza azamie miento ntos s de sus e0tremo e0tremos s y con con las las car%as a-licadas al miem3ro entre los mismos& Los des-lazamientos de los los e0tr e0trem emos os de un miem miem3r 3ro o incl incluy uyen en tant tanto o rotac otaci1 i1n n como como tras trasla laci ci1n 1n -er-er-en endi dicu cula larr con con res-e es-ect cto o al eje eje lon% lon%it itud udin inal al del del miem3ro&

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Introducción El m,todo de -endiente.de/e0i1n es un -rocedimiento -ara analizar i%as i%as inde indeter termin minad adas as y marc marcos& os& Se conoce conoce como como m,tod m,todo o de los los des-lazamientos2 des-lazamientos2 ya !ue !ue las ecuaciones ecuaciones de e!uili3rio e!uili3rio em-leadas em-leadas en el an(lis (lisiis se e0-r 0-resa esan en 4un 4unci1n i1n de los los des-la s-laza zam mien ientos tos desconocidos de los nudos& El m,todo de -endiente.de/e0i1n es im-ortante -or!ue introduce al estudian estudiante te al an(lisi an(lisis s del m,tod m,todo o de ri%id ri%idece eces& s& Este m,todo m,todo es la 3ase de muchos -ro%ramas %enerales de c1m-uto !ue analizan todo ti-o de estructuras$ i%as2 armaduras2 cascarones2 etc& Por otra -arte2 la distri3uci1n de momentos .un m,todo manual usado -or lo %eneral -ara -ara analizar analizar r(-idame r(-idamente nte i%as i%as y marcos. marcos. tam3i,n tam3i,n se 3asa en la 4ormulaci1n de ri%idez& En el m,todo de -endient -endiente.de e.de/e0 /e0i1n i1n22 la ecuaci1n ecuaci1n de -endien -endiente. te. de/e0i1n se utiliza -ara relacionar el momento en cada e0tremo de un miem3r miem3ro o con con los los des-l des-laza azamie miento ntos s de sus e0tremo e0tremos s y con con las las car%as a-licadas al miem3ro entre los mismos& Los des-lazamientos de los los e0tr e0trem emos os de un miem miem3r 3ro o incl incluy uyen en tant tanto o rotac otaci1 i1n n como como tras trasla laci ci1n 1n -er-er-en endi dicu cula larr con con res-e es-ect cto o al eje eje lon% lon%it itud udin inal al del del miem3ro&

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ANÁLISIS DE VIGAS INDETERMINADAS Y MARCOS POR EL MÉTODO DE PENDIENTEDEFLEXIN !" I#u$tr%ción I#u$tr%ción d&# '(todo '(todo d& )&ndi&nt&)&ndi&nt&-d&*&+ d&*&+ión ión Para Para introducir introducir las -rinci-ales -rinci-ales caracter6 caracter6stica sticas s del m,todo de -endiente. -endiente. de/e0i1n2 se descri3e descri3e 3reemente el -rocedimiento con el !ue se analiza una una i%a i%a conti continua nua de de dos cla claro ros& s& "omo "omo se mues muestr tra a en la 7%ura 7%ura22 la estructura consiste en un miem3ro 8nico so-ortado -or a-oyos sim-les en los -untos -untos A y 92 y -or un a-oyo a-oyo articulado articulado en "& Los se%mentos se%mentos de i%a i%a A9 y 9"2 9"2 as6 como los nudos A2 9 y "2 se se-aran de la estructura mediante -lanos !ue atraiesan la i%a a una distancia in7nitesimal antes y des-u,s de cada a-oyo "omo los nudos son esencialmente -untos en el es-acio2 la lon%itud de cada miem3ro es i%ual a la distancia entre los nudos& En este -ro3lema -ro3lema22 las inc1%nita inc1%nitas s son las rotacion rotaciones es de los nudos : A :9 y :" ;!ue tam3 tam3i, i,n n son son las las rotac otacio ione nes s de los los e0tr e0trem emos os de los los miem miem3r 3ros os<2 <2 y se muestr muestran an a una escala escala e0a%era e0a%erada da mediant mediante e la l6nea l6nea disconti discontinua nua de la 7%ur 7%ura& a& Pue Puest sto o !ue !ue los a-o a-oyo yos s no se muee mueen n ert ertic ical alme ment nte2 e2 los los des-lazamientos laterales de los nudos son nulos= as6 !ue en este ejem-lo no e0isten inc1%nitas acerca de traslaciones en los nudos&

>


Para comenzar el an(lisis de la i%a -or el m,todo de -endiente.de/e0i1n2 se utiliza la ecuaci1n de -endiente.de /e0i1n ;!ue se deducir( -osteriormente< -ara e0-resar los momentos en los e0tremos de cada miem3ro en 4unci1n de los des-lazamientos desconocidos en los nudos y de las car%as a-licadas& Este -aso se re-resenta mediante el si%uiente conjunto de ecuaciones$ M AB =f ( θ A ,θ B , P 1) M BA =f ( θ A ,θ B , P1 ) M Bc =f ( θ B , θC , P2 ) M CB =f ( θ B ,θ C , P2 )

}

1

En se%uida2 se escri3en las ecuaciones de e!uili3rio !ue e0-resan la condici1n de !ue los nudos est(n en e!uili3rio con res-ecto a los momentos a-licados2 es decir2 la suma de los momentos a-licados a cada nudo -or los e0tremos de las i%as !ue se conectan a dicho nudo es ?


i%ual a cero& "omo conenci1n de si%nos2 se su-one !ue todos los momentos desconocidos son -ositios y act8an en el sentido de las manecillas del reloj so3re los e0tremos de los miem3ros& Puesto !ue los momentos a-licados so3re los e0tremos de los miem3ros re-resentan la acci1n del nudo so3re el miem3ro2 de3en ser i%uales y de sentido o-uesto a los !ue act8an so3re los nudos& Las tres ecuaciones de e!uili3rio de los nudos son$ Enel nudo A : M AB=0 Enel nudo B : M BA + M BC = 0 En el nudo C : M CB =0

}

2

Sustituyendo las ecuaciones 5 en las ecuaciones >2 se %eneran tres ecuaciones !ue son 4unci1n de las tres rotaciones desconocidas ;as6 como de las car%as a-licadas y las -ro-iedades de los miem3ros2 !ue son datos conocidos<& Estas tres ecuaciones simult(neas se resuelen -ara o3tener los alores de las inc1%nitas rotacionales en los nudos& Des-u,s de o3tener estas rotaciones2 se calculan los momentos en los e0tremos de los miem3ros sustituyendo los alores de dichas rotaciones en las ecuaciones 5& @na ez encontrados el sentido y la ma%nitud de los momentos e0tremos2 se a-lican las ecuaciones de la est(tica a los cuer-os li3res de las i%as -ara calcular los cortantes en los e0tremos& "omo -aso 7nal2 se calculan las reacciones en los a-oyos considerando el e!uili3rio de los nudos ;esto es2 sumando 4uerzas en la direcci1n ertical<& En la secci1n ?2 utilizando el m,todo de (rea.momento2 se deduce la ecuaci1n de -endiente.de/e0i1n -ara un miem3ro a /e0i1n t6-ico de secci1n transersal constante&

," D&ducción d& #% &cu%ción d& )&ndi&nt&-d&*&+ión Para desarrollar la ecuaci1n de -endiente.de/e0i1n2 !ue relaciona los momentos en los e0tremos de los miem3ros con los des-lazamientos en sus e0tremos y las car%as a-licadas2 se analiza el claro A9 de la i%a continua mostrada en la 7%ura anterior& "omo los asentamientos di4erenciales de los a-oyos de los miem3ros continuos tam3i,n %eneran momentos en los e0tremos2 se incluye este e4ecto en la deducci1n& La i%a2 inicialmente recta2 tiene una secci1n transersal constante2 es decir2 EI es constante a lo lar%o del eje lon%itudinal& "uando se a-lica una car%a distri3uida w(x)2 !ue -uede ariar ar3itrariamente a lo lar%o del eje de la i%a2 los a-oyos A y 9 se asientan 


una cantidad BA y B92 res-ectiamente2 hasta lle%ar a los -untos AC y 9C& La 7%ura 5>&>3 muestra un cuer-o li3re del claro A9 con todas las car%as a-licadas& Los momentos ' A9 y '9A y los cortantes V A y V9 re-resentan las 4uerzas internas !ue ejercen los nudos so3re los e0tremos de la i%a& Aun!ue se su-one !ue no act8a car%a a0ial2 la -resencia de alores -e!ueos o moderados de esta car%a ;di%amos2 de 5 a 5F -or ciento de la car%a de -andeo del miem3ro< no inalidar6a la deducci1n& Sin em3ar%o2 una 4uerza de com-resi1n im-ortante reducir6a la ri%idez /e0ionante del miem3ro2 %enerando de/e0iones adicionales -roducidas -or los momentos secundarios de3idos a la e0centricidad de la car%a a0ial= el e4ecto P.B& "omo conenci1n de si%nos2 se considera !ue los momentos !ue act8an so3re los e0tremos de los miem3ros en el sentido de las manecillas del reloj son -ositios& Asimismo2 las rotaciones en el sentido de las manecillas del reloj de los e0tremos de los miem3ros se consideran -ositias&

*i%ura 5>&>$ a< Vi%a continua cuyos a-oyos se asientan 3ajo la acci1n de la car%a= 3< dia%rama de cuer-o li3re del miem3ro A9= c< dia%rama de momentos %ra7cado -or -artes2 's es i%ual a la ordenada del dia%rama de momentos como i%a sim-le= d< de4ormaciones del miem3ro A9 di3ujadas a una escala ertical e0a%erada&

Los dia%ramas de momento -roducidos -or la car%a distri3uida w(x) y -or los momentos en los e0tremos ' A9 y '9A se di3ujan -or -artes en la 7%ura 5>&>c& El dia%rama de momentos asociado a la car%a distri3uida se llama dia%rama de momentos como i%a sim-le& En otras -ala3ras2 la F


7%ura 5>&>c muestra la su-er-osici1n de los dia%ramas de momento %enerado -or tres car%as$ 5< el momento ' A9 en un e0tremo2 >< el momento '9A en el otro e0tremo2 ?< la car%a w(x) a-licada entre los e0tremos de la i%a& El dia%rama de momentos -ara cada 4uerza se di3uja en el lado de la i%a !ue se encuentra en com-resi1n de3ido a esa 4uerza -articular& La 7%ura 5>&>d muestra la con7%uraci1n de4ormada del claro A9 en una escala e0a%erada& Todos los (n%ulos y las rotaciones se muestran en el sentido -ositio2 es decir2 todos han e0-erimentado rotaciones en el sentido de las manecillas del reloj desde la -osici1n horizontal ori%inal del eje& La -endiente de la cuerda2 !ue conecta los e0tremos del miem3ro en los -untos AC y 9C de su -osici1n de4ormada2 se denota -or A9& Para determinar si el (n%ulo de una cuerda es -ositio o ne%atio2 se di3uja una l6nea horizontal a tra,s de cual!uiera de los e0tremos de la i%a& Si la l6nea horizontal de3e hacerse rotar en el sentido de las manecillas del reloj a tra,s de un (n%ulo a%udo -ara hacerla coincidir con la cuerda2 el (n%ulo de la -endiente es -ositio& Si se re!uiere de una rotaci1n en sentido contrario al de las manecillas del reloj2 la -endiente es ne%atia& De la 7%ura 5>&>d se o3sera !ue  A9 es -ositio2 inde-endientemente del e0tremo de la i%a !ue se eal8e= -or cierto2 : A y : 9 re-resentan las rotaciones en los e0tremos del miem3ro& En cada e0tremo del claro A92 se di3ujan tan%entes a la cura el(stica= t A9 y t9A son las desiaciones tan%enciales ;esto es2 la distancia ertical< desde las tan%entes hasta la cura el(stica& Para deducir la ecuaci1n de -endiente.de/e0i1n2 se utiliza a continuaci1n el se%undo teorema de (rea.momento -ara esta3lecer la relaci1n entre los momentos de los e0tremos del miem3ro ' A9 y '9A y las de4ormaciones rotacionales de la cura el(stica2 mostrada en la 7%ura 5>&>d a una escala e0a%erada& "omo las de4ormaciones son -e!ueas2 el (n%ulo HA entre la cuerda y la tan%ente a la cura el(stica en el -unto A se e0-resa como t BA γ A= ( 12.3 a ) L De modo semejante2 el (n%ulo H 9 entre la cuerda y la tan%ente a la cura el(stica en 9 es i%ual a γ B =

t AB L

( 12.3 b )

Puesto !ue HA  :A . A9 y H9  :9 . A92 las ecuaciones 5>&?a y 5>&?3 se e0-resan como 


θ A −ψ AB= θB −ψ AB=

donde

t BA L t AB L

ψ A=

( 12.4 a ) ( 12.4 b )

Δ B + Δ A L

( 12.4 c )

Para e0-resar t AB y t BA en 4unci1n de los momentos a-licados2 se diiden las ordenadas de los dia%ramas de momento de la 7%ura 5>&>c entre EI -ara %enerar los dia%ramas M/EI y2 a-licando el se%undo -rinci-io de (rea. momento2 se suman los -rimeros momentos del (rea 3ajo las curas M/EI con res-ecto al e0tremo A del miem3ro A9 -ara o3tener t AB2 y con res-ecto al e0tremo 9 -ara o3tener t BA: x ) A M BA L 2 L M AB L L ( A M ´ t AB = − − ( 12.5) EI 2 3 EI 2 3 EI t BA=

x )B M AB L 2 L M BA L L ( A M ´ − + ( 12.6 ) EI 2 3 EI 2 3 EI

Los t,rminos -rimero y se%undo de las ecuaciones 5>&F y 5>& re-resentan los -rimeros momentos de las (reas trian%ulares asociadas a los momentos ' A9 y ' 9A en los e0tremos& El 8ltimo t,rmino .. ;A' x´ &F2 y ;A ' x´ <9 en la ecuaci1n 5>& .. re-resenta el -rimer momento del (rea 3ajo el dia%rama de momentos como i%a sim-le con res-ecto a los e0tremos de la i%a ;el su36ndice indica el e0tremo de la i%a alrededor del cual se toman los momentos<& "omo conenci1n de si%nos2 se su-one !ue la contri3uci1n de cada dia%rama de momentos a la desiaci1n tan%encial es -ositia si ,sta se incrementa2 y ne%atia si disminuye&

K


*i%ura 5>&?$ Dia%rama de momentos como i%a sim-le %enerado -or una car%a uni4orme

A 7n de ilustrar

el c(lculo

de ;A ' x´
una car%a uni4ormemente distri3uida w ;,ase 7%ura 5>&?<2 se di3uja el dia%rama -ara31lico de momentos como i%a sim-le2 y se calcula el -roducto del (rea 3ajo la cura -or la distancia x´ entre el -unto A y el centroide del (rea$

( A M x ´ ) A =area ∙ x´ =

2 L 3

2

( )=

wL L 8

2

wL 24

2

(12.7 )

"omo el dia%rama de momentos es sim,trico2 ;A ' x´ <9 es i%ual a ;A ' x´ &F y 5>& en las ecuaciones 5>&a y 5>&32 se escri3e θ A −ψ AB=

θB −ψ AB=

[

]

[

]

x ) A M BA L 2 L M AB L L ( A M ´ − − L EI 2 3 EI 2 3 EI 1

(12.8 )

´ )B M AB L 2 L M BA L L ( A M x − − (12.9 ) L EI 2 3 EI 2 3 EI 1

Para esta3lecer las ecuaciones de -endiente.de/e0i1n2 se resuelen las ecuaciones simult(neas 5>& y 5>&M -ara o3tener ' A9 y '9A 2 ( A M x ´ ) A 4 ( A M x´ )B 2 EI M AB= − (12.10 ) 2 θ A + θ B−3 ψ AB ) + ( 2 2 L L L




M BA =

2 EI

L

(

2θB

+ θ A −3 ψ AB ) +

4

( A M ´ x ) A L

2

−

2

( A M ´ x )B L

2

(12.11)

En las ecuaciones 5>&5 y 5>&552 los 8ltimos dos t,rminos2 !ue contienen las cantidades ;A x´ < y ;A x´ < 2 son 4unci1n 8nicamente de las car%as '

A

'

9

a-licadas entre los e0tremos del miem3ro& Se les -uede dar un si%ni7cado 46sico a estos t,rminos si se utilizan las ecuaciones 5>&5 y 5>&55 -ara calcular los momentos en una i%a do3lemente em-otrada con las mismas dimensiones ;secci1n transersal y lon%itud del claro< !ue so-orte la misma car%a !ue el miem3ro A9 de la 7%ura 5>&>a ;,ase 7%ura 5>&<&

"omo los e0tremos de la i%a en la 7%ura 5>& est(n em-otrados2 los momentos en los e0tremos del miem3ro ' A9 y '9A tam3i,n denominados momentos de em-otramiento2 -ueden desi%narse como 'EA9 y 'E9A& De3ido a !ue los e0tremos de la i%a de la 7%ura 5>& est(n em-otrados contra rotaci1n y no ocurren asentamientos en los a-oyos2 se entiende !ue θ A =0 θB = 0 ψ AB=0 Sustituyendo estos alores en las ecuaciones 5>&5 y 5>&55 -ara calcular los momentos en los e0tremos ;o momentos de em-otramiento< de la i%a de la 7%ura 5>&2 se escri3e ME AB = M AB=

ME BA= M BA=

2

( A M ´ x ) A L

4

2

( A M ´ x ) A L

2

− −

4

( A M ´ x ) B L

2

2

( A M ´ x )B L

2

( 12.12) ( 12.13 )

M


@tilizando los resultados de las ecuaciones 5>&5> y 5>&5?2 las ecuaciones 5>&5 y 5>&55 se sim-li7can reem-lazando los 8ltimos dos t,rminos -or 'EA9 y 'E9A -ara o3tener M AB= M BA =

2 EI

L 2 EI

L

( 2 θ A +θ B−3 ψ AB ) + ME AB (12.14 ) ( 2 θ B + θ A −3 ψ AB ) + ME BA ( 12.15 )

"omo las ecuaciones 5>&5 y 5>&5F tienen la misma 4orma2 se reem-lazan con una ecuaci1n 8nica en la cual se seala el e0tremo donde se est( calculando el momento como el e0tremo cercano ;"< y el e0tremo o-uesto como el e0tremo lejano ;L<& "on este ajuste2 la ecuaci1n de -endiente. de/e0i1n se escri3e como M CL=

2 EI

L

( 2 θ C + θ L −3 ψ CL ) + MECL (12.16 )

En la ecuaci1n 5>&52 las dimensiones del miem3ro a-arecen en la relaci1n IL& Esta relaci1n2 llamada ri%idez /e0ionante relatia del miem3ro "L2 se denota con el s6m3olo O& I Rigide flexionante relati!a " = ( 12.17 ) L Sustituyendo la ecuaci1n 5>&5K en la 5>&52 la ecuaci1n de -endiente. de/e0i1n se escri3e como M CL=2 E" (2 θC + θ L−3 ψ CL ) + ME CL( 12.16 a ) El alor del momento de em-otramiento ;'E "L< en las ecuaciones 5>&5 o 5>&5a se calcula -ara cual!uier ti-o de car%a -or medio de las ecuaciones 5>&5> y 5>&5?& El ejem-lo 5>&5 ilustra el uso de estas ecuaciones -ara determinar los momentos de em-otramiento %enerados -or una car%a concentrada aislada en el centro del claro de una i%a do3lemente em-otrada ;,ase 7%ura 5>&F<& Los alores de los momentos de em-otramiento -ara otros ti-os de car%a y -ara des-lazamientos de los a-oyos se -ro-orcionan en la -(%ina si%uiente a la se%unda de 4orros&

5


" An.#i$i$ d& &$tructur%$ )or &# '(todo d& )&ndi&nt&-d&*&+ión El m,todo de -endiente.de/e0i1n se em-lea -ara analizar cual!uier ti-o de i%a indeterminada o de marco= sin em3ar%o2 en este te0to la e0-licaci1n del m,todo se limita2 en -rimer lu%ar2 a i%as indeterminadas cuyos a-oyos no se asientan y a marcos arriostrados cuyos nudos son li3res de rotar -ero no de des-lazarse= esta restricci1n la -ro-orcionan riostras ;7%ura ?&>?%< o a-oyos& Para este ti-o de estructuras2 el (n%ulo de rotaci1n de la cuerda  "L en la ecuaci1n 5>&5 es i%ual a cero& Las 7%uras 5>&Ka y 3 muestran ejem-los de arias estructuras cuyos nudos no se des-lazan lateralmente -ero s6 -ueden rotar& En la 7%ura 5>&Ka2 el nudo A est( restrin%ido contra el des-lazamiento -or el em-otramiento2 y el nudo " -or el a-oyo articulado& I%norando cam3ios de se%undo orden en la lon%itud de los miem3ros2 !ue -udieran %enerarse -or la /e0i1n y las de4ormaciones a0iales2 se su-one !ue el nudo 9 est( restrin%ido contra el des-lazamiento horizontal -or el miem3ro 9"2 el cual se conecta a un a-oyo 7jo en "2 y contra el des-lazamiento ertical -or el miem3ro A92 conectado al em-otramiento en A& La con7%uraci1n de4ormada a-ro0imada de las

55


estructuras car%adas de la 7%ura 5>&K se muestra con l6neas discontinuas en la misma 7%ura&

*i%ura 5>&K$ a
La 7%ura 5>&K3 muestra una estructura cuya con7%uraci1n y car%a son sim,tricas con res-ecto al eje ertical !ue -asa -or el centro del miem3ro 9"& "omo una estructura sim,trica 3ajo una car%a sim,trica de3e de4ormarse sim,tricamente2 no ocurren des-lazamientos laterales de los nudos su-eriores& Las 7%uras 5>&Kc y d muestran ejem-los de marcos !ue contienen nudos li3res de des-lazarse lateralmente y de rotar 3ajo las car%as a-licadas& 9ajo la car%a lateral 2 los nudos 9 y " de la 7%ura 5>&Kc se des-lazan hacia la 5>


derecha& Este des-lazamiento %enera rotaciones de la cuerda   Bh en los miem3ros A9 y "D& "omo no suceden des-lazamientos erticales de los nudos 9 y " .. i%norando de4ormaciones a0iales y /e0i1n de se%undo orden de las columnas.2 la rotaci1n de la cuerda de la tra3e  9" es i%ual a cero& Si 3ien el marco de la 7%ura 5>&Kd so-orta una car%a ertical2 los nudos 9 y " se des-lazan lateralmente una distancia B hacia la derecha2 de3ido a las de4ormaciones -or /e0i1n de los miem3ros A9 y 9"& En la secci1n 5>&F se considera el an(lisis de estructuras !ue contienen uno o m(s miem3ros con rotaciones de cuerda& Los -asos 3(sicos del m,todo de -endiente.de/e0i1n2 e0-licados en la secci1n 5>&>2 se sintetizan en se%uida$

R&$u'&n 5< Se identi7can todos los des-lazamientos ;rotaciones< desconocidos en los nudos -ara esta3lecer el n8mero de inc1%nitas& >< Se utiliza la ecuaci1n de -endiente.de/e0i1n ;ecuaci1n 5>&5< -ara e0-resar todos los momentos en los e0tremos de los miem3ros en 4unci1n de las rotaciones de los nudos y de las car%as a-licadas& ?< En cada nudo2 e0ce-to en los em-otramientos2 se escri3e la ecuaci1n de e!uili3rio de momentos2 la cual esta3lece !ue la suma de momentos ;a-licados -or los miem3ros !ue se unen en el nudo< es i%ual a cero& Las ecuaciones de e!uili3rio en em-otramientos2 !ue se reducen a la identidad   2 no -ro-orcionan in4ormaci1n 8til& El n8mero de ecuaciones de e!uili3rio tiene !ue ser i%ual al n8mero de des-lazamientos desconocidos& "omo conenci1n de si%nos2 los momentos en el sentido de las manecillas del reloj en los e0tremos de un miem3ro se consideran -ositios& Si el momento en el e0tremo de un miem3ro es desconocido2 de3e mostrarse en el sentido de las manecillas del reloj so3re dicho e0tremo& El momento a-licado -or un miem3ro so3re un nudo es siem-re i%ual y o-uesto en sentido al momento !ue act8a so3re el e0tremo del miem3ro& Si la ma%nitud y el sentido del momento so3re el e0tremo de en miem3ro son conocidos2 se muestran en el sentido real& < Las e0-resiones -ara los momentos en 4unci1n de los des-lazamientos ;,ase -aso >< se sustituyen en las ecuaciones de e!uili3rio del -aso ?2 y se resuelen -ara o3tener los des-lazamientos desconocidos& F< Los alores de los des-lazamientos del -aso  se sustituyen en la e0-resi1n -ara los momentos en los e0tremos de los miem3ros del -aso > con el 7n de o3tener el alor de dichos momentos& @na ez conocidos ,stos2 el resto del an(lisis .-or ejem-lo2 el trazo de los dia%ramas de cortante y de momento o 3ien el c(lculo de las reacciones. se com-leta mediante la est(tica& 5?


Los ejem-los anteriormente&

5>&>

y

5>&? ilustran

el -rocedimiento

descrito

/" :An.#i$i$ d& &$tructur%$ con #i0&rt%d )%r% d&$)#%1%r$& #%t&r%#'&nt& asta el momento2 se ha utilizado el m,todo de -endiente.de/e0i1n -ara analizar i%as indeterminadas y marcos cuyos nudos son li3res de rotar -ero !ue est(n restrin%idos contra el des-lazamiento& En esta secci1n2 el m,todo se am-l6a a marcos cuyos nudos tam3i,n son li3res de des-lazarse lateralmente&

5


*i%ura 5>&5$ a< 'arco no arriostrado2 con7%uraci1n de4ormada mostrada a una escala e0a%erada con l6neas discontinuas2 las cuerda de las columnas rotan un (n%ulo  en el sentido de las manecillas del reloj= 3< dia%ramas de cuer-o li3re de las columnas y las tra3es= los momento desconocidos se muestran en sentido -ositio ;en el sentido de las manecillas del reloj< so3re los e0tremos de los miem3ros ;las car%as a0iales en las comunas y los cortantes en el tra3e se omiten -ara claridad&

Por ejem-lo2 en la 7%ura 5>&5a la car%a horizontal -rooca !ue la tra3e 9" se des-lace lateralmente una distancia B& "omo la de4ormaci1n a0ial de la tra3e es insi%ni7cante2 se considera !ue el des-lazamiento horizontal de la -arte su-erior de am3as columnas es i%ual a B& Este des-lazamiento %enera en am3as columnas del marco una rotaci1n  de sus cuerdas2 en el sentido de las manecillas del reloj2 i%ual a

5F


ψ =

Δ #

donde h es la lon%itud de la columna& De3ido a !ue se desarrollan tres des-lazamientos inde-endientes en el marco Qesto es2 la rotaci1n de los nudos 9 y " ;: 9 y :"< y la rotaci1n  de la cuerda2 se re!uiere de tres ecuaciones de e!uili3rio -ara su soluci1n& Dos ecuaciones de e!uili3rio se o3tienen considerando el e!uili3rio de los momentos !ue act8an so3re los nudos 9 y "& Puesto !ue ya se han -lanteado ecuaciones de este ti-o en la soluci1n de ejem-los anteriores2 en se%uida se e0-lica solamente el se%undo ti-o de ecuaci1n de e!uili3rio2 la ecuaci1n de cortante2 la cual se -lantea sumando en la direcci1n horizontal las 4uerzas !ue act8an so3re el dia%rama de cuer-o li3re de la tra3e& Por ejem-lo2 -ara la tra3e ele la 7%ura 5>&53 se escri3e ❑+ % x =0 $

∑

& 1+ & 2+ '=0 ( 12.18 )

En la ecuaci1n 5>&52 el cortante V 5 en la columna A9 y el cortante V > en la columna "D se calculan sumando los momentos de las 4uerzas !ue act8an so3re el dia%rama de cuer-o li3re de la columna con res-ecto a la -arte in4erior de la misma& "omo se -lante1 anteriormente2 los momentos desconocidos !ue act8an so3re los e0tremos de la columna de3en mostrarse siem-re en sentido -ositio2 esto es2 actuando en el sentido de las manecillas del reloj so3re el e0tremo de los miem3ros& Sumando momentos alrededor del -unto A de la columna A9& se calcula V5$ +¿ M A= 0

∑

↻

¿

M AB+ M BA−& 1 # =0 & 1=

M AB + M BA #

( 12.19)

De manera semejante2 el cortante en la columna sumando momentos con res-ecto al -unto D&

+¿ ∑ M ( =0 ¿

↻

M C( + M (C −& 2 #=0

5

"D se calcula


& 2=

M cd + M (C #

( 12.20 )

Sustituyendo los alores de V 5 y V> de las ecuaciones 5>&5M y 5>&> en la ecuaci1n 5>&52 la tercera ecuaci1n de e!uili3rio se escri3e como M AB + M BA M C( + M (C #

+

#

+ '= 0 (12.21)

Los ejem-los 5>& y 5>&M ilustran el uso del m,todo de -endiente.de/e0i1n -ara analizar marcos !ue transmiten car%as laterales y !ue son li3res de des-lazarse lateralmente& Los marcos !ue toman 8nicamente car%a ertical tam3i,n desarrollan -e!ueas cantidades de des-lazamiento lateral2 e0ce-to cuando la estructura y el -atr1n de car%as son sim,tricos& El ejem-lo 5>&5 ilustra este caso&

2" Ind&t&r'in%ción cin&'.tic% Para analizar una estructura -or el m,todo de /e0i3ilidades2 en -rimer lu%ar se esta3lece el %rado de indeterminaci1n de la estructura& El %rado de indeterminaci1n est(tica indica el n8mero de ecuaciones de com-ati3ilidad !ue se de3en escri3ir -ara -oder calcular las redundantes2 !ue son las inc1%nitas en las ecuaciones de com-ati3ilidad& En el m,todo de -endiente.de/e0i1n2 los des-lazamientos .tanto las rotaciones corno las traslaciones de los nudos. son las inc1%nitas& "omo -aso 3(sico en este m,todo2 tienen !ue -lantearse tantas ecuaciones de e!uili3rio como sea el n8mero de des-lazamientos inde-endientes de los nudos& El n8mero de des-lazamientos inde-endientes de los nudos se denomina %rado de indeterminaci1n cinem(tica& Para conocer la indeterminaci1n cinem(tica2 sim-lemente se cuenta el n8mero ele des-lazamientos inde-endientes !ue -ueden desarrollarse en los nudos& Por ejem-lo2 si se i%noran las de4ormaciones a0iales2 la i%a de la 7%ura 5>&5a es cinem(ticamente indeterminada en -rimer %rado& Si se tuiera !ue analizar esta i%a -or -endiente.de/e0i1n2 s1lo se considerar6a la rotaci1n del nudo 9 como inc1%nita& Si tam3i,n se deseara considerar la ri%idez a0ial en un an(lisis m(s %eneral de ri%ideces2 el des-lazamiento a0ial en 9 se tomar6a como una inc1%nita adicional2 y la estructura se clasi7car6a como cinem(ticamente indeterminada en se%undo %rado& Si no se es-eci7ca lo contrario2 en este an(lisis se i%noran las de4ormaciones a0iales& 5K


En la 7%ura 5>&532 el marco se clasi7ca como cinem(ticamente indeterminado en cuarto %rado -uesto !ue los nudos A2 9 y " son li3res de rotar y la tra3e -uede trasladarse lateralmente& Identi7car el n8mero de rotaciones -osi3les de los nudos es sencillo= sin em3ar%o2 en cierto ti-o de -ro3lemas2 el n8mero de des-lazamientos inde-endientes de los nudos no es tan 4(cil de esta3lecer& @n m,todo -ara determinar el n8mero de des-lazamientos inde-endientes de los nudos consiste en aadirles a-oyos sim-les 7cticios -ara restrin%irlos& El n8mero de a-oyos sim-les necesarios -ara im-edir la traslaci1n de los nudos de la estructura es i%ual al n8mero de des-lazamientos inde-endientes en los nudos& Por ejem-lo2 la estructura de la 7%ura 5>&5c es cinem(ticamente indeterminada en octao %rado2 -uesto !ue se -ueden desarrollar seis rotaciones de nudo y dos des-lazamientos de nudo& "ada a-oyo sim-le 7cticio ;identi7cado con los n8meros 5 y >< introducido en un niel im-ide a todos los nudos de ese niel des-lazarse lateralmente& La armadura Vierendeel de la 7%ura 5>& 5d se clasi7ca como cinem(ticamente indeterminada en un d,cimo %rado ;esto es2 -resenta ocho rotaciones y tres traslaciones inde-endientes de nudo<& Los a-oyos sim-les 7cticios marcados como 52> y ? !ue se aaden a los nudos 92 " y  im-iden la traslaci1n de todos los nudos2

R&$u'&n  El m,todo

de -endiente.de/e0i1n es uno ele los -rocedimientos cl(sicos m(s anti%uos -ara analizar i%as indeterminadas y marcos r6%idos& En este m,todo2 los des-lazamientos de los nudos son las inc1%nitas&  Para estructuras altamente con un %ran n8mero de indeterminadas re!uiere !ue el in%eniero resuela tantas ecuaciones simultaneas como n8mero de des-lazamientos desconocidos haya .una o-eraci1n tardada.& Aun!ue el uso del m,todo de -endiente. de/e0i1n -ara analizar estructuras es im-r(ctico dada la dis-oni3ilidad de -ro%ramas de com-utadora2 la 4amiliaridad con el m,todo -ro-orciona a los estudiantes un entendimiento alioso del com-ortamiento estructural&  "omo alternatia al m,todo de -endiente.de/e0i1n2 en la de 5M> se desarroll1 el m,todo de distri3uci1n de momentos -ara analizar i%as indeterminadas y marcos -or medio de la distri3uci1n del des3alance de momentos en los nudos de una estructura arti7cialmente restrin%ida& Si 3ien este m,todo elimina la necesidad de resoler ecuaciones simult(neas2 es toda6a relatiamente lar%o2 es-ecialmente si se de3en considerar un %ran n8mero de condiciones de car%a& Sin em3ar%o2 la distri3uci1n de momentos es una herramienta 8til como m,todo a-ro0imado de an(lisis tanto -ara eri7car los resultados de un an(lisis de 5


com-utadora como -ara realizar estudios -reliminares& En el ca-6tulo 5? se utiliza la ecuaci1n de -endiente.de/e0i1n -ara desarrollar el m,todo de distri3uci1n de momentos&  @na ariaci1n del -rocedimiento de -endiente.de/e0i1n2 el m,todo %eneral de ri%ideces2 utilizado -ara ela3orar los -ro%ramas %enerales de an(lisis -or com-utadora2 se -resenta en el ca-6tulo 5& Este m,todo utiliza coe7cientes de ri%idez2 es decir2 4uerzas %eneradas -or des-lazamientos unitarios de los nudos&

5M


*i%ura 5>&5$ Ealuaci1n del %rado de indeterminaci1n cinem(tica$ a< indeterminada en -rimer %rado2 i%norando las de4ormaciones a0iales= 3< indeterminada en cuarto %rado= c< indeterminada en octao %rado2 se aaden a-oyos sim-les ima%inarios en los -untos 5 y >= d< indeterminada en und,cimo %rado2 se aaden a-oyos sim-les ima%inarios en los -untos 52 > y ?&

>


EJERCICIOS RESUELTOS

>5


EJEMPLO 12.1

Utilizando el método de pendiente-deflexión, determine los momentos en los extremos de los miembros y apoyos de la viga mostrada en la siguiente figura. Así mismo, calcule las reacciones en los apoyos, y dibue los diagramas de cortante y de momento para toda la viga.

Solución

!on las fórmulas de momento por tramos calculamos los momentos de empotramiento en cada uno de los apoyos y empotramientos para luego reemplazarlos en las ecuaciones de pendiente-deflexión.

TRAMO AB

ME AB =

−wL

2

12

ME AB =−270

2

ME AB =

wL

12

ME AB =270

TRAMO BC

>>


ME BC =

− PL

MECB =

8

ME BC =−225

PL 8

MECB =225

TRAMO CD

MEC( =

−wL

2

ME (C =

12

MEC( =−180

wL

2

12

ME (C =180

M AB=2 E" ( 2 θ A + θ B −3 ψ AB ) + ME AB M AB=2 E" ( θ B ) −270

"#$

M BA =2 E" (θ A + 2 θ B−3 ψ BA ) + ME BA M BA =4 E" ( θ B ) + 270

"%$

M BC =2 E" ( 2 θ B + θC −3 ψ BC ) + ME BC θB

¿

θC M BC = 4 E" ¿

"&$

M CB= 2 E" (θB + 2 θC −3 ψ CB ) + ME CB

>?


θB

¿

θC M CB= 2 E" ¿

"'$

M C( =2 E" ( 2 θc + θ ( −3 ψ C( )+ MEC(

M C( =4 E" (θc ) −180

"($

M (C = 2 E" (θc + 2 θ ( −3 ψ (C ) + ME (C M (C = 2 E" (θc ) + 180

")$

*umamos las ecuaciones % + & y ' + ( luego con las dos ecuaciones resultantes allamos los valores de las incógnitas para obtener los momentos. M BA + M BC =0 θB

¿

θC

(θ B ) +270 + 4 E" ¿

4 E"

θB

¿

θC 8 E" ¿

"$

M CB + M C( =0 θB

¿

θC 2 E" ¿

>


θB

¿

θC 2 E" ¿

"$

θB

¿

θC 8 E" ¿ θB

¿

θC −8 E" ¿

−30 E" ( θC ) =135 E" ( θ C )=−4.5 θB

¿ −9

¿

8 E"

E" ( θ B ) =−4.5 M AB=2 E" ( θ B ) −270 M AB=−290 )lb∗ *ie Re+*ue+ta M BA =4 E" (θ B ) + 270 M BA =252 )lb∗ *ie Re+*ue+ta θB

¿

θC M BC = 4 E" ¿

>F


M BC =−252 )lb∗ *ie Re+*ue+ta θB

¿

θC M CB= 2 E" ¿

M CB= 198 )lb∗ *ie Re+*ue+ta

M C( =4 E" (θc ) −180 M C( =−198 )lb∗ *ie Re+*ue+ta M (C = 2 E" (θc ) + 180 M (C =171 )lb ∗ *ie Re+*ue+ta TRAMO AB

+ ∑ M B =0 +

− A ( 30 ) +( 3.6∗30 )

279 252

( )= 30 2

A =54.9 )lb

+ , ∑ % - =0 54.9

−( 3.6∗30 ) + B= 0

B =53.1 )lb TRAMO BC

+ ∑ M C =0 252

−198 −B ( 30 ) + ( 60∗15 )= 0

B =31.8 )lb

+ , ∑ % - =0 >

0


31.8

−60 + C =0

C =28.2 )lb TRAMO CD

+ ∑ M B =0

−171 −C ( 30 ) +( 2.4∗30 )

198

( )= 30 2

0

C =36.9 )lb

+ , ∑ % - =0 36.9

−( 2.4∗30 )+ ( =0

(=35.1 )lb

!on los valores de las reacciones, fuerzas distribuidas y fuerza puntual procedemos a graficar los diagramas de cortante y momento.

>K


EJEMPLO 12.2

Utilizando el método de pendiente-deflexión, determine los momentos en los extremos de los miembros y apoyos de la viga mostrada en la siguiente figura. Así mismo, calcule las reacciones en los apoyos, y dibue los diagramas de cortante y de momento para toda la viga.

Solución

!on las fórmulas de momento por tramos calculamos los momentos de empotramiento en el apoyo y empotramientos para luego reemplazarlos en las ecuaciones de pendiente-deflexión. >


TRAMO AB

ME AB =

− PL

PL ME AB =

8

8

ME AB =−62.5

ME AB =62.5

TRAMO BC 2

− Pb a ME BC = 2

L

ME BC =−48

2

MECB =

Pa b L

2

MECB =72

M AB=2 E" ( 2 θ A + θ B −3 ψ AB ) + ME AB M AB=2 E" ( θ B ) −62.5

"#$

M BA =2 E" (θ A + 2 θ B−3 ψ BA ) + ME BA M BA =4 E" ( θ B ) + 62.5

"%$

M BC =2 E" ( 2 θ B + θC −3 ψ BC ) + ME BC M BC = 4 E" ( θ B ) −48

"&$

>M


M CB= 2 E" (θB + 2 θC −3 ψ CB ) + ME CB

M CB= 2 E" (θB ) + 72

"'$

*umamos las ecuaciones % + & luego allamos el valor de la incógnita para obtener los momentos. M BA + M BC =0

(θ B ) +62.5 + 4 E" ( θ B ) −48=0

4 E"

E" ( θ B ) =−1.182

M AB=2 E" ( θ B ) −62.5 M AB=−66.125 Re+*ue+ta M BA =4 E" (θ B ) + 62.5 M BA =55.25 Re+*ue+ta M BC = 4 E" ( θ B ) −48 M BC =−55.25 Re+*ue+ta

M CB= 2 E" (θB ) + 72 M CB=−68.375 Re+*ue+ta

!on los valores de las reacciones, fuerzas distribuidas y fuerza puntual procedemos a graficar los diagramas de cortante y momento.

?


TRAMO AB

+ ∑ M B =0

(

66.125 25

) + 20 ( 12.5 )− A ( 25 )−55.25 =0

A =10.435 )

+ , ∑ % - =0 −20 + B =0

10.435

B =9.565 ) TRAMO BC

+ ∑ M C =0 55.25

−68.375 + 20 ( 10 ) −B (25 )=0

B =7.475 )

+ , ∑ % - =0 7.475

−20 + C = 0

C =12.525 )

?5

MÉTODO DE PENDIENTE DEFLEXION - ANALISIS ESTRUCTURAL I

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