PENDIENTE DE UN PLANO En matemáticas y ciencias aplicadas se denomina pendiente a la inclinación de un elemento ideal, natural o constructivo respecto de la horiontal! En "eometr#a, puede re$erirse a la pendiente de la ecuación de una recta como caso particular de la tan"ente a una curva, en cuyo caso representa la derivada de la $unción en el punto considerado, y es un parámetro relevante, por e%emplo, en el traado altim&trico de carreteras, v#as $&rreas o canales!
De$inición La pendiente de una recta en un sistema de representación rectan"ular 'de un plano cartesiano (, suele ser representado por la letra , y es de$inido como el cam)io o di$erencia en el e%e * dividido por el respectivo cam)io en el e%e +, entre puntos de la recta! En la si"uiente ecuación se descri)e- toda recta .ue no sea horiontal, tiene .ue cortar al e%e /0/! se dice .ue si una recta corta al e%e +, la inclinación de la recta se de$ine como el án"ulo positivo menor de 1eometr#a Una recta horiontal tiene pendiente i"ual a 2 'cero(! 3uanto menor sea el valor de la pendiente, menor inclinación tendrá la recta4 por e%emplo, una recta .ue se eleve un án"ulo de 567 con respecto al e%e + tiene una pendiente m 8 9:, y una recta .ue cai"a ;27 tiene pendiente m 8 <2,6! La pendiente de una recta vertical no está de$inida, o se dice .ue es in$inita! El án"ulo = .ue una recta $orma con el e%e horiontal está relacionado con la pendiente m por medio medio de la si"uiente relación tri"onom&tricatri"onom&tricaDos o más rectas son paralelas si am)as poseen la misma pendiente, o si am)as a m)as son verticales y por ende no tienen pendiente de$inida4 dos o más rectas son perpendiculares'$orman un án"ulo án"ulo recto entre ellas( si el producto producto de sus pendientes es i"ual a <:! La pendiente en las ecuaciones de la recta .
>i y es una $unción lineal de 0, entonces el coe$iciente de 0 es la pendiente de la recta! Por lo tanto, si la ecuación está dada de la si"uiente manera*8?+9@
entonces m es la pendiente! En esta ecuación, el valor de puede ser interpretado como el punto donde la recta se intersecta con el e%e *, es decir, el valor de cuando ! Este valor tam)i&n es llamado llamado coordenada de ori"en! >i la pendiente de una una recta y el punto punto de la recta son conocidos, entonces la ecuación de la recta puede ser encontrada usandoy
Cuando la recta es creciente (al aumentar los valores de x aumentan los de y), su pendiente es positiva, en la expresión analítica m>0. Pendiente negativa.
Pendiente nula.
Cuando la recta es constante se dice que tienen pendiente nula, en la expresión analítica m0. Pendiente de una !ecta
En la ecuación principal de la recta y 8 m0 9 n, el valor de m corresponde a la pendiente de la recta y n es el coe$iciente de posición! La pendiente permite o)tener el "rado de inclinación .ue tiene una recta, mientras .ue el coe$iciente de posición seala el punto en .ue la recta interceptará al e%e de las ordenadas! E%emplo- La ecuación y 8 50 9 B tiene pendiente 5 y coe$iciente de posición B, lo .ue indica .ue interceptará al e%e y en el punto '2,B(! 3uando se tienen dos puntos cuales.uiera '0:,y:( y '0,y(, la pendiente .ueda determinada por el cociente entre la di$erencia de las ordenadas de dos puntos de ella y la di$erencia de las a)scisas de los mismos puntos, o sea Una recta .ue es paralela al e%e 0, tiene pendiente 2! En la ecuación "eneral de la recta, la pendiente y el coe$iciente de posición .uedan determinados porm8
para escri)ir incremento, variación! variación! etc es decir al alor or $inal < a alor inicial ( En 1eometria analitica,la encontraras dada por puntos y estos dos puntos tendran sus respectivas coordenadas tanto en el e%e 0 como en el y P: 8 ' +: , *: ( P8 ' +, * ( m 8 Hy C H0 m 8 * J *: C + <+: E%emplo P:8 ' , ( P 8 ' 5, :( >ustituye- m 8 ':<( C '5<( 8 C 8 ; >i m K 2 la pendiente es positiva, es decir el plano crece de i.uierda a derecha asi C >i m 2 la pendiente es ne"ativa es decir el plano decrese de i.uierda a derecha asi M >i m 8 2 no hay inclinación en nin"un sentido! Pero mas haya, la pendiente se utilia en la ecuación de la recta rec ta dentro del 3alculo * '0( 8 m0 9) de esta manera puedes resolver un pro)lema dado con coordenadas de la pendiente y sus)tituirla en esta ecuación ! Antes de re$erirnos a la orientación de una pendiente de la recta 'si es positiva o negativa( ha"amos una recapitulacióneamos un e%emplo! >i tenemos y "x # $ esto es i"ual a, "x # y # $ 0 'ecuación de la recta(
Ahora lo .ue si"ue es sacar la pendiente, pero 3ómo se o)tiene la pendiente si solo tenemos la $órmulaF Pues hay dos maneras de hacerlo- directa e indirecta%ndirecta&
O)tenemos dos puntos ' x e y( a partir de dos valores dados a x 'por e%emplo, x ' y x (, y los ponemos en la ecuación de la recta;0 y 5 8 2 si (x ') ;':( y 5 8 2 ;y582 yB82 y8B P: ':, B( 8 '0:, y:( ;0 y 5 8 2 si (x ) ;'( y 5 8 2 y582 y :2 8 2 y 8 :2 P ', :2( 8 '0, y( Ahora sustituimos en la $órmula de la pendiente-
'esta es la pendiente( irecta& @asándonos en los valores de la recta podemos conse"uir la pendiente-
;0 y 5 8 2 A0 @y 3 8 2 A 8 cantidad de x @ 8 cantidad de y 3 8 Nmero cual.uiera Ahora solo sustituimos en la $órmula de la pendiente
'esta es la pendiente( *rado de inclinación
Dada una recta, "rá$icamente su pendiente nos da d a su "rado de inclinación Pendiente positiva 3uando la recta es creciente 'al aumentar los valores de 0 aumentan los de y(, su pendiente es positiva, en la e0presión anal#tica m K 2 Pendiente negativa 3uando la recta es decreciente 'al aumentar los valores de 0 disminuyen los de y(, su pendiente es ne"ativa, en la e0presión anal#tica m 2 Pendiente nula o cero 3uando la recta es constante se dice .ue tiene pendiente nula, en la e0presión anal#tica m 0 isualmente, isualmente, tam)i&n podemos de$inir si la la pendiente es positiva o ne"ativa>i el +ngulo .ue $orma la recta con la parte positiva del e%e O+ es agudo, la pendiente es positiva y crece al crecer el án"ulo!
