3[1]. Clase 2 Dinamica

UNIVERSIDAD DE LOS ANDES FACULTAD DE INGENIERÍA POSTGRADO EN INGENIERÍA ESTRUCTURAL

DINÁMICA ESTRUCTURAL Definición D f ó del d l Problema. P bl Ecuaciones E del d lM Movimiento Vibraciones Libres No Amortiguadas y Amortiguadas

Prof. Orlando Ramírez Boscán Abril de 2011

Teoría general de vibraciones La forma más simple de vibración

Sistema de un grado de libertad con masa y resorte con rigidez K, K SIN AMORTIGUACION

y k m

F(t)

Oscilador Simple: Son sistemas en los cuales una masa m puede moverse según un grado de libertad, vinculada a un punto fijo por un resorte de constante k. Se considera, idealmente, que todos los efectos inerciales se encuentran concentrados en m y, por lo t t ell resorte tanto, t no tiene ti masa. Aún Aú cuando d son muy sencillos, ill permiten it comprender d cabalmente muchos fenómenos dinámicos en estructuras reales.

Teoría general de vibraciones Desplazamiento

Desplazamiento

y = Y Sen  T

Y Tiempo

Frecuencia

n 

k FRECUENCIA CIRCULAR O ANGULAR DEL O ANGULAR DEL m SISTEMA radianes por segundo (rad/seg)

T 

2



PERÍODO DEL MOVIMIENTO Segundos (seg)

1   f  T 2

FRECUENCIA NATURAL DEL SISTEMA Hertz o ciclos Hert o ciclos por segundo (cps)

Teoría general de vibraciones … la influencia de la flexibilidad

Respuesta elástica

Conclusión general: El comportamiento dinámico de una estructura se encuentra profundamente influido por su rigidez. Las estructuras rígidas, con períodos propios muy cortos, generan grandes esfuerzos internos, con deformaciones pequeñas. Por el contrario, las estructuras flexibles, con períodos propios largos, largos generan esfuerzos comparativamente menores ante la misma acción dinámica, pero con mayores deformaciones.

Teoría general de vibraciones

Los sistemas oscilatorios p pueden clasificarse como lineales o no lineales. Para los sistemas lineales rige el principio de superposición y las técnicas matemáticas para su tratamiento están bien desarrolladas (Ley de Hooke). Hooke) Por el contrario las técnicas para el análisis de sistemas no lineales son más complicadas y no muy conocidas.

Existen dos clases de vibraciones: Vibraciones Libres Vibraciones Forzadas.

Teoría general de vibraciones Vibraciones Libres Cualquier sistema elástico puede tener una vibración libre a consecuencia de un impulso inicial, donde el movimiento es mantenido únicamente por las fuerzas de restitución inherentes al mismo. El sistema bajo vibración libre vibrará en una o más de sus frecuencias naturales, naturales dependientes de la distribución de su masa y rigidez.

Frecuencia angular

Una estructura está en vibración libre cuando es perturbada de su posición estática de equilibrio y comienza a vibrar sin la excitación de fuerza externa alguna (p(t) = 0).

Teoría general de vibraciones Vibraciones Libres

Oscilación de edificios flexibles

n 

T 

k m

2



FRECUENCIA CIRCULAR O ANGULAR DEL SISTEMA

radianes por segundo (rad/seg)

PERÍODO DEL MOVIMIENTO

S Segundos d (seg) ( )

Desplazamiento del techo tiempo

Vib braciónn libre

Teoría general de vibraciones Oscilación de estructuras flexibles

Edificio de un solo piso: 0.05 seg

Tanque elevado para agua: 4 seg

Edificio de baja‐media altura: 0.4 seg

Presa de gravedad de concreto: 0.8 seg

Edificio de quince Edificio de quince pisos: 1 seg

Chimenea de Chimenea de concreto reforzado: 2 seg

Puente suspendido: 6 seg

L Los valores de p períodos fu fundamentales m de vibración son sólo indicativos;; dependiendo p de las propiedades de cada estructura, los períodos fundamentales pueden variar considerablemente.

Vib braciónn libre

Teoría general de vibraciones Los edificios altos tendrán varios modos de vibración, pero para propósitos de análisis sísmicos ((excepto p para edificios muyy altos), p ), el p período fundamental o, primer modo, es usualmente el más importante

primer modo T1

segundo modo T2

tercer modo T3

Teoría general de vibraciones Vibraciones Forzadas Cuando C d all sistema it se le l aplica li fuerzas f perturbadoras t b d externas, t ell movimiento i i t resultante lt t es una vibración forzada. Cuando la excitación es oscilatoria, ya sea periódica o no, como la de un sismo, el sistema es obligado a vibrar a la frecuencia de excitación, si ésta coincide con una de las frecuencias naturales del sistema se p produce resonancia,, en este estado tienen lugar oscilaciones peligrosamente grandes; así la falla por resonancia de estructuras como puentes o edificios es una dramática posibilidad que debe tenerse muy en cuenta.

El cálculo de las frecuencias naturales de vibración es de gran importancia en el diseño sísmico de estructuras. Tacoma Narrows Bridge

Equilibrio Estático

En el análisis estructural estático, se asume que las cargas son aplicadas suficientemente lentas para no generar movimientos significativos en la estructura. Las cargas y las respuestas estructurales son invariantes respecto al tiempo, aunque en realidad pueden variar un poco. En una estructura estable, toda la estructura (y cada parte de ella) debe estar en un estado de equilibrio estático; esto es, las fuerzas aplicadas, las reacciones y fuerzas internas deben satisfacer las siguientes g ecuaciones:

F

X

M

0

X

0

F

Y

0

M

Y

0

F

Z

0

M

Z

0

Las fuerzas inerciales en caso de sismos

De acuerdo a la primera ley de Newton cuando una estructura Newton, experimenta la acción dinámica de un sismo en su base, ésta se mueve con el terreno, mientras que el techo tiene tendencia a mantener su posición original

Si el techo tiene una masa m y experimenta i una aceleración l ió a, de d acuerdo a la segunda Ley de Newton, se genera una fuerza de inercia igual a laa masa asa po por laa ace aceleración, e ac ó , co con igual gua dirección pero de sentido opuesto a la de la aceleración.

El flujo de las fuerzas inerciales a las fundaciones Durante el movimiento horizontal del terreno, se generan fuerzas de inercia horizontales a nivel de la masa de la estructura (usualmente situadas a nivel de piso). Estas fuerzas son transferidas f d por la l losa l d piso a las de l paredes d o columnas, l y luego l a las l fundaciones f d para finalizar en el suelo que soporta la estructura. Cada uno de estos elementos (losa de piso, paredes, columnas, fundaciones) y sus conexiones, deben ser apropiadamente diseñados para transferir estas fuerzas de inercia.

Principio de D’Alembert, el concepto de equilibrio dinámico Principio de D’Alembert EEnunciado i d por Jean J D’Al b D’Alembert en su obra b maestra, ell Tratado T d de d Dinámica, Di á i establece que “la suma de las fuerzas externas que actúan sobre un cuerpo y las denominadas fuerzas de inercia forman un sistema de fuerzas en equilibrio A este equilibrio se le denomina equilibrio dinámico”. equilibrio. dinámico”

Jean Le Rond D’Alembert (1717‐1783). Nacido en París, Francia

El concepto de equilibrio dinámico

El principio de equilibrio dinámico de D’Alembert está basado en el sistema de equilibrio de fuerzas. Es considerada una fuerza de inercia ficticia q que es igual g al p producto de la masa por la aceleración y actúa en dirección opuesta a la aceleración; este estado, incluida la fuerza de inercia, es un sistema equilibrado en todo instante.

masa

u

fI

p(t)

p(t)( )

fS

fD

amortiguamiento Es así que el diagrama de cuerpo libre (DCL) de la masa en movimiento puede ser dibujado para poder utilizar los principios de estática y desarrollar la ecuación de movimiento i i t que gobierna bi ell comportamiento t i t dinámico di á i del d l sistema it estructural. t t l

Dinámica de Estructuras La respuesta dinámica de muchas estructuras prácticas puede ser expresada en términos de Sistemas de 1 Grado de Libertad (S1GL). En estructuras lineales de formas más complejas, la respuesta dinámica total puede ser expresada como la suma (Superposición Lineal) de las respuestas de una serie de S1GL. La técnica de análisis dinámico de S1GL,, p provee la base p para el análisis determinístico de la gran mayoría de los sistemas estructurales.

Dinámica de Estructuras Una estructura simple es aquella que se puede idealizar como un sistema que está constituido por una masa concentrada en la parte superior soportada por un elemento estructural de rigidez k en la dirección considerada. Torre de Telecomunicación, Telecomunicación, Frankfurt.

Landmark Tower, Landmark Tower Las Vegas Es importante el entender la vibración de este tipo de estructuras, las cuales están sometidas a fuerzas laterales en el tope o a movimientos horizontales del suelo debidos a sismos, para así facilitar la comprensión de la teoría dinámica

Dinámica de Estructuras


Dinámica de Estructuras Idealización de un S1GL Historia de aceleraciones en el sistema Amortiguador g Masa

Columna con constante de resorte conocida

MODELO

Historia de aceleraciones en la base

Dinámica de Estructuras Idealización de un S1GL Ordenada que describe el movimiento 0 u (t)

Rigidez

k m

F(t)

c

Fuerza excitadora Masa Amortiguamient o viscoso

Dinámica de Estructuras En estática, este pórtico tiene 6 grados de libertad activos.

3

2

5

1

6

2

4

1

Solo un grado de libertad aparece si se considera una losa y viga rígida soportada por columnas flexibles.

1

m

Despreciando las deformaciones axiales en las columnas, desaparecen 3 grados de libertad.

3

La rigidez es determinada en la forma clásica lá i u =1

Viga rígida

Sin masa Sin masa

k

k

24EI L3

Dinámica de Estructuras Características í d de lla fuente excitadora Amplitud Contenido frecuencial Duración Características del sistema estructural

Sistema de un grado de libertad Masa

F (t), u (t)

Amortiguamiento Rigidez

Frecuencia natural (masa rigidez) (masa, Amortiguamiento

La condición dinámica (o estática) de un problema estructural está determinada, principalmente, por la interacción entre la acción externa y la estructura. estructura

Paráme etros m mecánic cos y c componnentes

Dinámica de Estructuras Desplazamiento

Velocidad

Aceleración

F=kd

F=cv

F=ma

Todos los sistemas estructurales tienen tres componentes básicos: rigidez (k), masa (m) y amortiguamiento (c), relacionados con los tres tipos de fuerzas más características de los problemas de vibraciones: las fuerzas elásticas, las fuerzas de inercia y las fuerzas de di i ió de disipación d energía, í respectivamente. i

Re elación fuerza-desplaazamiento

Dinámica de Estructuras El sistema está sujeto a una fuerza estática fS, la cual es equilibrada por una fuerza inercial resistente al desplazamiento u que es igual y opuesta a fS. Existe una relación entre la l fuerza f fS y ell desplazamiento d l relativo l u asociado d con la l deformación d f ó de d la l estructura que es de carácter lineal para pequeñas deformaciones y no lineal para grandes deformaciones u

fuerza externa fs

fs fs fuerza resistente

Para un sistema linealmente elástico la relación entre la fuerza lateral fS y la deformación resultante u es:

fS  k u

Sistema linealmente elástico

D d k es la Donde l rigidez i id lateral l t l del d l sistema it y su unidad id d es [fuerza/longitud]. [f /l it d]

M Mecanis mo de disipación

Dinámica de Estructuras El amortiguamiento es el proceso por el cual la vibración libre disminuye en amplitud; en este proceso la energía del sistema en vibración es disipada por varios i mecanismos i l cuales los l pueden d estar presentes simultáneamente i lá En sistemas estructurales simples, la mayor parte de la disipación de la energía proviene d efectos de f t térmicos té i causados d por repetidos tid esfuerzos f elásticos lá ti d l material del t i l y de d la l fricción interna cuando el sólido es deformado. u fD

ffuerza externa t fD fD fuerza resistente

fD

En las estructuras actuales existen mecanismos adicionales que contribuyen a la disipación de la energía; algunos de éstos son: las uniones de acero, el abrirse y cerrarse de las micro‐ fisuras del concreto, la fricción entre la “estructura misma” y los elementos no estructurales como son los muros de partición. partición

M Mecanis mo de disipación

Dinámica de Estructuras En las estructuras actuales el amortiguamiento puede ser idealizado satisfactoriamente por un amortiguamiento lineal viscoso. Un sistema amortiguado sujeto a una fuerza fD aplicada en la dirección del desplazamiento, es equilibrada por la fuerza interna en el amortiguamiento que es igual y opuesta a la fuerza externa fD. La fuerza de amortiguamiento fD está relacionada con la velocidad ú a través del coeficiente de amortiguamiento c mediante:

f D  c  u u fD

fuerza externa fD fD fuerza resistente

fD

A diferencia de la rigidez, el coeficiente de amortiguamiento no puede ser calculado a partir de las dimensiones de la estructura y del tamaño de los elementos estructurales, debido a que no es factible el identificar todos los mecanismos disipadores de energía vibracional en las estructuras actuales.

Ecuuacione es de e equilibrrio dináámico


f I (t )

0 .5 f S ( t )

fD (t )

F (t ) 0 .5 f S ( t )

I = Inertial D = Damping S = Stiffness

F (t )  f I (t )  fD (t )  fS (t )  0

fI (t )  fD (t )  fS (t )  F (t )


Dinámica de Estructuras Respuesta observada en sistemas lineales de un grado de libertad Fuerza elástica resistente, kips

Fuerza de amortiguamiento, Kips

Fuerza de Inercia, kips

30.00

4.00

50.00

15.00

2.00

25.00

0.00

0.00

0.00

-15.00

-2.00

-25.00

-30.00 -0.60 -0.30 0.00 0.30 Desplazamientos, (pulgadas)

-4.00 -20.00 0.60

-10.00

0.00

10.00

20.00

Velocidad, pulg/seg

-50.00 -500

-250

0

250

Aceleración, pulg/seg2

Pendiente = k p p g = 50 kips/pulg

Pendiente = c p gp g = 0.254 kips-seg/pulg

Pendiente= m p g2/pulg p g = 0.130 kips-seg

f S ( t )  k u( t )

f D ( t )  c u ( t )

f I ( t )  m u( t )

500



f I (t )

0 .5 f S ( t )

fD (t )

F (t ) 0 .5 f S ( t )

I = Inertial D = Damping S = Stiffness

fI (t )  fD (t )  fS (t )  F (t ) m u( t )  c u ( t )  k u ( t )  F ( t )

ug

ut

Historia tiempo de las aceleraciones del movimiento del terreno, Ug

ur Acelera ación terreno (g)



0.40 0.20 0.00 -0.20 0 20 -0.40 0.00

1.00

2.00

3.00

4.00

5.00

6.00

Tiempo (seg)

Esta ecuación gobierna el desplazamiento relativo o deformaciones u(t) de estructuras lineales sujeta a aceleraciones del suelo.

m [ug (t )  ur (t )]  c u r (t )  k u r (t )  0

m ur ( t )  c ur ( t )  k ur ( t )   m ug ( t )



ur

RELATIVO

M

FI ,r  ur  M

uTotal  ug  ur

TOTAL

M

FI ,Total  uTotal  M Corte Total en la Base



Fuerza Excitatriz:

m u( t )  c u ( t )  k u ( t )  F ( t )

Movimiento en la Base:

m ur ( t )  c u r ( t )  k ur ( t )   m ug ( t ) Fuerza efectiva de terremotos:

p eff (t)  - m  u g(t) Un movimiento del suelo puede ser reemplazando por una fuerza efectiva proporcional a la masa de la estructura por la aceleración del suelo actuando proporcional a la masa de la estructura por la aceleración del suelo, actuando en dirección opuesta a la aceleración.

VIBRACIONES LIBRES NO AMORTIGUADAS

Vibración libre no amortiguada Nuestro estudio se inicia con el sistema mas simple y elemental: el sistema con un grado de libertad en el cual se ignora o desprecia las fuerzas de amortiguación Además, amortiguación. Además se va a considerar el sistema libre de la acción de fuerzas exteriores durante su movimiento vibratorio. En estas condiciones el sistema queda gobernado por la influencia de las condiciones iniciales: el desplazamiento o la velocidad en el instante t=0, t=0 que es cuando se inicia el estudio del sistema.

u

k

k m

m u

En estos modelos matemáticos dinámicamente equivalentes la masa m está restringida por el resorte k a moverse linealmente a lo largo de un eje de coordenadas

Diagrama de Cue erpo Liibre

Vibración libre no amortiguada En la figura se tiene el diagrama de cuerpo libre de la masa m de un oscilador desplazado en dirección positiva con referencia a la coordenada y, y que obra bajo la fuerza del resorte Fr = k u (suponiendo un resorte lineal). u

k m

ku

m u

Diagrama de cuerpo libre

La aplicación de la ley de Newton a este movimiento nos dá la ecuación:

m  u  ku 0 El paso siguiente es hallar la solución de la ecuación diferencial.

Vibración libre no amortiguada Segunda derivada

Segundo miembro igual a cero (homogénea)

m  u ku 0 Variable dependiente

Ecuación E ió Diferencial Dif i l li lineall d de segundo orden, homogénea con coeficientes constantes

C fi i t Coeficientes constantes t t

Para la solución de esta ecuación diferencial de segundo g orden se p propone p directamente como posible solución:

u  A cos ω n t

u  - A ω n sen ω n t

u  - A ω n2 cos ω n t

u  B ω n cos ω n t

u  - B ω 2n sen ω n t

O:

u  B sen ω n t

Vibración libre no amortiguada Donde A y B son constantes que dependen de las condiciones iniciales del movimiento y n es un valor que denota una propiedad física del sistema. S i Sustituyendo: d

u  A cos ω n t

u  - A ω n sen ω n t En:

Resulta:

u  - A ω 2n cos ω n t

m u  k u  0

( - m ω 2n  k ) A cos ω n t  0

Para satisfacer esta ecuación en cualquier instante de tiempo se requiere que el término entre paréntesis debe ser igual a cero. Entonces:

ω 2n

k  m



ωn 

k m

FRECUENCIA NATURAL CIRCULAR DEL SISTEMA

En radianes por segundo (rad/seg)

Vibración libre no amortiguada La solución general de la ecuación diferencial es igual a:

u  A cos ωn t  B sen ωn t Derivando respecto del tiempo t, se obtiene la expresión de la velocidad:

u  - A ωn sen ωn t  B ωn cos ωn t La determinación de las constantes A y B se hace para valores conocidos del movimiento del sistema que son, casi invariablemente, el desplazamiento u(0) y la velocidad ů(0), al inicio del movimiento, es decir, para el instante t=0, sustituyendo: tit d

Vibración libre no amortiguada

t  0  u t 0  u o  u t 0  u o u o  A (1)  0 u o  0  B ω n (1)

A  uo u o B ωn

La aplicación p de A y B en la ecuación: u  A cos ω n t  B sen ω n t nos da:

u t

u o  u o cos ωn t  sen ωn t ωn

EXPRESIÓN DEL DESPLAZAMIENTO DEL S1GL EN FUNCIÓN DEL TIEMPO

Vibración libre no amortiguada u Tn = 2n

u o

b Amplitud

uo

c

a

e t

 n d

u0

a

b

u0

c

d

e

Vibración libre no amortiguada El movimiento descrito por la ecuación:

u o u(t)  u o cos ω n t  sen ω n t ωn es armónico y, en consecuencia, periódico. El período se calcula fácilmente ya que las funciones seno o coseno tienen un período igual a 2 PERÍODO NATURAL DE VIBRACIÓN Expresado (seg)

en

segundos


fn

ωn 1   Tn 2π

FRECUENCIA NATURAL CICLICA DEL SISTEMA Expresada en hertz o ciclos por segundo (cps)

Las propiedades de vibración dependen solamente de la masa ωn , Tn , f n y de la rigidez de la estructura.

El desplazamiento máximo del sistema, llamado amplitud está dado por:

 2  u o    u o          2

C  U m ax

1/ 2

Vibración libre no amortiguada El Edificio de acero Transamerica de 60 pisos ubicado en San Francisco,, California, tiene un periodo fundamental natural de vibración norte‐sur y este‐ oeste de 2,90 seg. g Estas propiedades fueron medidas con ensayos de vibraciones forzadas. El edificio tiene forma ahusada.

Pine Flat Dam, represa concreto en masa de 400 pies de altura, en el Río Kings, California. Tiene un periodo fundamental natural de vibración transversal de 0,288 seg y 0,306 seg con reservorio de 310 pies y 345 pies respectivamente. Estas propiedades fueron medidas bajo condiciones de vibración forzadas.


Con una simple transformación trigonométrica la ecuación:

u  u o cos ωn t  puede escribirse como:

u (t)  C sen (ω n t  α )

u (t)  C cos (ω n t  β )

… donde:

C

u o 2

 u    o ωn 

2

u o sen ωn t ωn

tan α 

uo u o ω n

u o ω n tan β  uo

La amplitud p C depende p del desplazamiento p y velocidad inicial.


u (t)  C sen (ω n t  α )

C

u o 2

 u    o ωn 

2

uo t α  tan u o ω n

u u o

C

uo

Amplitud o desplazamiento máximo del movimiento

t

α ωn

T 

2π ωn

RESPUESTA EN VIBRACIÓN LIBRE SIN AMORTIGUAMIENTO

Vibración libre no amortiguada PROBLEMA Determinar D t i l frecuencia la f i natural t l circular, i l l frecuencia la f i natural t l cíclica í li y ell período natural de vibración de la viga en voladizo mostrada en la figura, la cual tiene una longitud de 3 metros.

W = 2500 kg. kr = 2500 kg/cm

40

E = 200000 kg/cm2

W

gg = 981 cm/seg / g2 25

Para una viga g

la flecha en el extremo libre es:

P L3   3E I

Vibración libre no amortiguada Recordando que P = k  y tomando un desplazamiento unitario =1, entonces P = k la rigidez necesaria para producir ese desplazamiento unitario igual a:

k viga

3E I  3 L

Como la viga y el resorte están conectados en serie, entonces:

1 1 1   ke k viga k resorte Para la viga:

k viga

b h3 25 (40)3 I   12 12

3E I 3 x 2 x 105 x 133333,33  3  L 3003

I  133333,33 cm 4





k viga  2962,96 kg/cm


1 1 1 1 1     ke k viga k resorte 2962,96 2962 96 2500

k equiv

Frecuencia natural angular:

ωn 

Frecuencia natural cíclica:

fn 

ωn 23,07  2π 2π

Período P í d natural t l de vibración:

Tn 

1 1  fn 3,671

m





k equ equivv  1355,93 kg/cm

1355,93 x 981  ω n  23,07 rad/seg 2500





f n  3,671 Hz

Tn  0,272 seg

Vibración libre no amortiguada PROBLEMA Calcular el período de la estructura mostrada en la figura y dibujar las gráficas de aceleración, velocidad y desplazamiento si las condiciones iniciales para un tiempo cero son: desplazamiento = 2cm : velocidad= 30 cm/seg

Pórtico doblemente empotrado. Vigas infinitamente rígidas. Placa de losa nervada, e=25 cm. 3m 3 m

Columnas de 25x25 Viga de 25x50 Separación entre pórticos de 4 m Separación entre pórticos de 4 m. 5 m

Vibración libre no amortiguada Peso de la placa: q / 2 * 10 kg/bloque g/ q 10 bloques/m Loseta: 0.05 * 2400 Nervios: 0.10 x 0.20 x 2 x 2400 Friso: 0.025 x 2200 Impermeabilización

kg/m g/ 2 kg/m2 kg/m2 kg/m g 2 kg/m2

= = = = =

100 120 96 55 10



Wm  381 kg/m g 2

Wm de la placa en kg/ml = 381 x 4 = 1524 kg/m P Peso propio i de d la l viga i = 0.25 0 25 x 0.50 0 50 x 2400 = 300 kg/m k /

Wtotal  1524  300  1824 kg/m WTOTAL  1824 kg/m x 5 m Masa, m 



WTOTAL  9120 kg

WTOTAL 9120 kg  g 981 cm/seg 2



m  9,29 kgk seg 2 /cm /


La inercia de las columnas: E  15100

kc 

12 E I L3

ke  2

f c'



b h3 25 (25)3 Ic    I c  32552,08 cm 4 12 12 15100

 ke  2 kc  2

210



12 E I L3

(resortes en paralelo)

12 x 218819, 79 x 32552, 08 3003

E  218819,79 kg/cm 2

 K e  6331,59 , kg/ g cm

3 m

5 m


ωn 

Ke m



6331,59 9 29 9,29

fn 

ωn 26,11 rad/ seg  2π 2π

Tn 

1 1  fn 4,14







ωn  26,11 rad/seg

f n  4,15 ciclos/ seg

Tn  0,24 0 24 seg

Frecuencia natural angular

Frecuencia natural cíclica

Período natural de vibración


Si para t=0 las condiciones iniciales son: u0 = 2 cm y ů0 = 30 cm/seg, escribir las ecuaciones de la historia del movimiento para aceleración, velocidad y desplazamiento.

u o u(t)  u o cos ω n t  sen ω n t ωn u(t)  2 cos 26,11 t 

30 sen 26,11 t , 26,11

u(t) ( )  2 cos 26,11 t  1,149 sen 26, 03 t 3 m

5 m


Derivando u(t) con respecto al tiempo:

 ( )  - u o ωn sen ωn t  u o cos ωn t u(t)  u(t)  - 52.22 sen 26,11 t  30 cos 26,11 t Derivando otra vez con respecto al tiempo:

 u(t)  - u o ω2n cos ωn t - u o ωn sen ωn t  u(t)  - 1363.46 cos 26,11 t - 783,3 sen 26,11 t

Vibración libre no amortiguada Si para t=0 las condiciones iniciales son: u(0) = 2 cm y ů(0) = 30 cm/seg, escribir las ecuaciones de la historia del movimiento para aceleración, velocidad y desplazamiento.

u  u o sen (ω n t  α ) C 

u o2  ( u o ωn ) 2



C 

 30  22     26,11 

C  2,306 cm

tan α 

uo u o ω n



α  60 60,05 05  1.048 1 048 rad

u (t)  2,308 2 308 sen (26 (26,11 11 t  1, 1 048 )

2

Vibración libre no amortiguada Tn= 0,24 seg 3

u(t)  2 cos 26,11 t

2

u0 = 2 cm = 2 cm

 1,149 sen 26,11 t

1 0 -1

u0 = 2,31 cm/seg

Desplazamiento (cm) versus Tiempo (seg)

-2 -3 0

0,25

0,5

0,75

80

1,00

1,25

  - 52, 22 sen 26,11 t u(t)

ůmáx = 59,1 cm/seg

 30 cos 26,11 26 11 t

40

ů0=30 m/seg

Velocidad (cm/seg) versus Tiempo (seg)

0 -40 -80 0

0,25

0,5

0,75

2000

‐1363.46

1,00

1,25

ümáx=1505 cm/seg2

 u(t)  - 1363, 46 cos 26,11 t

1000

- 783,3 sen 26,11 t

0

Aceleración (cm/seg2) versus Tiempo (seg)

-1000 -2000 0

0,25

0,5

0,75

1,00

1,25

VIBRACIONES LIBRES AMORTIGUADAS

Vibración libre amortiguada

En realidad no es posible tener sistemas que vibren en condiciones idealizadas sin amortiguamiento. Fuerzas de fricción o de amortiguamiento estarán siempre presentes en cualquier sistema en movimiento, disipando energía. Estas fuerzas generalmente se asumen proporcionales a la velocidad y opuestas a la dirección del movimiento. Este tipo p de amortiguación g se conoce como Amortiguación g Viscosa y su uso se deriva principalmente de la simplificación de los análisis matemáticos.

u k c

m

ku c u

m u

Diagrama de cuerpo libre

Vibración libre amortiguada La suma de fuerzas en la dirección y nos da:

m u  c u  k u  0

Ecuación diferencial del movimiento

La solución viene dada por la función exponencial

u  Ce pt y su aplicación a la ecuación diferencial da:

m C p 2 e pt  c Cp e pt  k C e pt  0



m p2  c p  k  0 ecuación característica


Las raíces de la ecuación son:

p1 ; p 2

c   2m

2

k  c    m 2m

La solución general de la ecuación diferencial es dada por la superposición de las dos soluciones posibles: las dos soluciones posibles:

u t

 C1 e p1 t  C2 e p2 t

Vibración libre amortiguada C1 y C2 son constantes de integración que se determinan a partir de las condiciones iniciales. La forma final de la solución general depende de la expresión ió bajo b j ell radical: di l

p1 ; p 2

c   2m

2

k  c    m 2m

Expresión bajo el radical es igual a cero

Sistema con Amortiguación Crítica

Expresión bajo el radical es positiva

Sistema Sobreamortiguado

Expresión bajo el radical es negativa

Sistema Subamortiguado

Amorrtiguac ción críttica

Vibración libre amortiguada En este caso el radical es nulo, es decir, 2

k  c cr   0   m 2m



c cr  2

km

siendo

n 

k

m



ccr  2 m n

ccr 

2k n

Coeficiente de amortiguación crítica

En un sistema con amortiguación crítica las dos raíces de la ecuación característica son iguales:

p1  p 2  -

c cr 2m


Vibración libre amortiguada Como las raíces son iguales, la solución general dada por:

u t



C1 e p1 t  C 2 e p2 t

daría una sola constante independiente de integración; por lo tanto, una sola solución independiente, las cuales pueden ser:

u1 ((t))  C1e- ( ccr / 2m)t

u 2 (t)  C2 e- ( ccr / 2m)t


Vibración libre amortiguada La solución general de un sistema con amortiguación crítica viene entonces dada por la superposición de las dos soluciones:

u (t )  ( C1  C 2 t ) e

- (ccr / 2 m ) t

u u 0

u0

t


Vibración libre amortiguada Por conveniencia definimos la razón o tasa de amortiguamiento como:

C C   Cr 2 km De esta forma la ecuación de movimiento puede re‐escribirse como:

 u  2n u  n2 u  0 k   donde: n m

como se definió antes.

Las raíces correspondientes son:

p1 , p2  n  24/04/2011





2  1 n

Sistem mas So obreamortiguaados


En sistemas sobreamortiguados el coeficiente de amortiguación es mayor que el coeficiente de amortiguación crítica, esto es:

c  c cr La expresión bajo el radical es positiva y las dos raíces son reales y distintas.

p1 ; p 2

c   2m

2

k  c    m 2m

Por lo tanto, la solución viene dada por:

u (t)  C1 e p1 t  C 2 e p 2 t

Sistem mas So obreamortiguaados

Vibración libre amortiguada La solución general de un sistema sobre amortiguado viene entonces dada por:

u (t)  C1 e p1 t  C 2 e p 2 t

u u 0

Sistema sobreamortiguado Sistema con amortiguamiento crítico

u0

Debe notarse que el movimiento en el sistema con amortiguación crítica y sobreamortiguado, no es oscilatorio.

t L curva La u de desplazamientos p z m de sistemas m sobreamortiguados m gu es similar m a la de sistema m con amortiguamiento crítico, pero el regreso a la posición de equilibrio requiere más tiempo, a medida que la amortiguación aumenta.

Siste emas S Subamo ortiguad dos

Vibración libre amortiguada Este tipo de sistemas corresponde a la posibilidad de mayor interés por cuando se presente vibración. La gran mayoría de aplicaciones prácticas en vibraciones están regidas por este caso debido al hecho de que la mayoría de los sistemas estructurales tiene valores bajos de amortiguamiento.

En este curso se estudian los sistemas subamortiguados (c

Vibración libre amortiguada En sistemas subamortiguados el coeficiente de amortiguación es menor que el coeficiente de amortiguación crítica, esto es:

c  ccr La expresión bajo el radical es negativa y las raices son conjugadas complejas:

p1 ; p 2

c   i 2m

2

k  c    m 2m

Donde es la unidad i 1 imaginaria

Una forma conveniente de expresar el movimiento de un sistema subamortiguado es:

u(t)  e

- (ccr /2m) t

( A cos D t  B sen D t )

D d A y B son constantes de Donde d integración i ió redefinidas d fi id


Vibración libre amortiguada 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1 1

0

0.5

1

1.5

u (t )  e

2

-n t

2.5

3

3.5

4

( A cos  D t  B sen  D t )


Vibración libre amortiguada u(t)  eωn t (A cos ωD t  B sen ωD t) Las constantes A y B se definen a partir de las condiciones iniciales de desplazamiento p y velocidad en el instante t=0

t  0  u t 0  u o  u t 0  u o

u  t  0  eωn 0 (A cos (ωD 0)  B sen (ωD 0)) uo  A Derivando la función de desplazamientos respecto a t, queda:

  -ξωn eωn t ( u0 cos ωD t  B sen ωD t)  u(t)  eωn t ( -ωD u0 sen ωD t  ωDB cos ωD t)


Vibración libre amortiguada Se evalúa la expresión para el instante t=0

u (t 0)  -ξωn eωn 0 ( u0 cos (ωD 0)  B sen (ωD 0))   eωn 0 ( -ω ωD u0 sen (ωD 0)  ωDB cos (ωD 0)) …q quedando:

u o  - ξωn u 0  ωD B … con lo cual se tiene el valor de la constante B:

u o  ξω ξ n uo B ωD



n 

D 

k  c  -   m  2m 

2

FRECUENCIA ANGULAR DEL SISTEMA CON AMORTIGUACIÓN



D  n

k m

Frecuencia angular sin amortiguación

1 -   

c ccr

Razón de amortiguamiento

Incorporando las condiciones iniciales de desplazamiento (uo) y velocidad (uo), ) la solución de la ecuación diferencial para un movimiento de un sistema subamortiguado, queda como:

u(t)  e

-  n t

 u o  u o  n  u o cos D t  D 

 sen D t  



  u  u o n u(t)  e- n t  u o cos D t  o senD t  D  

u (t )

uo

Ce- n t

C

(u o  u o n ) 2 u  2D 2 o

decrecimiento exponencial

t decrecimiento exponencial

TD

VIBRACIÓN LIBRE PARA UN SISTEMA SUBAMORTIGUADO

Desplazamiento inicial, u inicial, uo . Velocidad inicial, uo = 0


Vibración libre amortiguada Alternativamente la ecuación de movimiento puede expresarse como: n t u  t   Ce C  cos  D t   

C

u (t )

(u o  u o  n ) 2 u  2D 2 o

Ce- n t

tan  

u o  u o n D u o

2 2 TD   D n 1-2

PERÍODO DE VIBRACIÓN CON AMORTIGUACIÓN Expresado p en seg. g

t decrecimiento exponencial

TD

VIBRACIÓN LIBRE PARA UN SISTEMA SUBAMORTIGUADO

Desplazamiento inicial, u Desplazamiento inicial uo = 0 0 . Velocidad inicial, uo


Respuesta en vibración libre 1

 > 1

0.8

 = 1

0.6 0.4 0.2 0 -0.2 -0.4

 < 1

-0 0.6 6 -0.8 -1

0

05 0.5

1

15 1.5

2

25 2.5

3

35 3.5

4


Re elación de am mortiguamiento

VALORES DE AMORTIGUAMIENTO

Rango de amortiguamiento para la mayoría de estructuras

a

ωD  ωn 1   2

FRECUENCIA ANGULAR DEL SISTEMA CON FRECUENCIA ANGULAR DEL SISTEMA CON AMORTIGUACIÓN


Vibración libre amortiguada VALORES DE AMORTIGUAMIENTO El coeficiente de amortiguamiento en estructuras reales es considerablemente menor que el amortiguamiento critico, generalmente fluctuando entre 2% y 20%.

Estructuras de Concreto Armado Estructuras de Concreto Armado

Estructuras de Acero Soldadas

Estructuras de Madera, con elementos clavados o apernados

Esfuerzos admisibles, sin agrietamientos visibles

2% a 3%

Agrietamiento visible generalizado Agrietamiento visible generalizado

5% a 7% 5% a 7%

Cercano a estados últimos

7% a 10%

( y) Esfuerzos admisibles (<0.5

2% a 3%

Cercanos a y sin excederlos

5% a 6%

Esfuerzos admisibles

5% a 7%

Cercanos e estados últimos, con juntas apernadas 10% a 15% Estados de agotamientos con juntas clavadas

15% a 20%


Vibración libre amortiguada VALORES DE AMORTIGUAMIENTO Considerando un valor de amortiguamiento de 20% y sustituyendo en:

D  n 11 2 D  n 1 1-0.20 0 202



D  00.98 98 n

La frecuencia de vibración de un sistema amortiguado con un coeficiente de amortiguación alto de 20% de la amortiguación crítica, es prácticamente igual a la frecuencia natural de un sistema sin amortiguación. Por lo P l tanto, t t en la l práctica, á ti l frecuencia la f i natural t l de d un sistema i t con amortiguación se considera igual a la frecuencia calculada en el sistema sin amortiguación.



El período natural de vibración amortiguado: TD 

2π 2π  ωD ωn 1   2

Y esta relacionado l i d con ell período í d naturall de d vibración: ib ió

TD 

Tn 1 2

Ell amortiguamiento tiene un efecto f b bajo en ell período í d o en la l frecuencia. f Generalmente la razón de amortiguamiento oscila entre 2% y 20% del valor crítico. Sustituyendo ζ=0,20 resulta :

TD  1,02 Tn

ω D  0,98 ω n

TD  Tn

ωD  ωn

Por esta razón, en la práctica, los períodos o frecuencias naturales de vibración amortiguados de un sistema se consideran iguales a los períodos o frecuencias amortiguados de un sistema se consideran iguales a los períodos o frecuencias naturales de vibración del sistema calculados sin amortiguamiento.


Laa influe encia de e

0.045

0.045

 = 2%

0.03

 = 5%

0.03

0.015

0.015

0

0

-0.015

-0.015

-0.03

-0.03

-0 0.045 045

Vibraciones libres en cuatro sistemas con el mismo período natural Tn pero diferentes ζ

-0 0.045 045 0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

0.045

0.045

 = 10%

0.03

 = 20%

0.03

0.015

0.015

0

0

-0.015

-0.015

-0.03

-0.03

El efecto mas importante del amortiguamiento es la razón con la que decrecen las vibraciones libres.

-0.045

-0.045 0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

El uuso de e amorttiguado ores


VIGA Amortiguador viscoso

Se p pueden incorporar p Amortiguadores en las estructuras para absorber la energía sísmica y reducir los desplazamientos del edificio


Vibración libre amortiguada Uso de amortiguadores para protección de edificios ante fuerzas sísmicas

Con amortiguadores (Rehabilitación)

Sin amortiguadores (existente)


Vibración libre amortiguada La norma COVENIN 1756‐01 establece en su Articulo 8.7. Dispositivos Para Reducir la Respuesta Sísmica: “Se autoriza el empleo de sistema de control pasivo debidamente justificados, analítica y experimentalmente para reducir la respuesta sísmica, tales como los sistemas de aislamiento sísmico y amortiguamiento amortiguamiento”.

Estructura con disipación p de energía

Estructura sin disipación p de energía

Pórtico con dispositivos de absorción de energía inc rp rad s al diseño incorporados diseñ de lloss arriostramientos arri stramient s para mejorar sus propiedades.


Vibración libre amortiguada AMORTIGUADOR VISCOSO


Vibración libre amortiguada AMORTIGUADOR VISCOSO


Vibración libre amortiguada Torre Mayor. Ciudad de México



Torre Mayor y Ciudad de México





2 de d llos 24 amortiguadores d d diseñados ñ d especialmente para Pietrasanta

Estructura Pietrasanta concluida, Barquisimeto, Estado Lara

José Morón y Leonardo Gaschteff “Experiencia en la instalación de disipadores pasivos de energía para reducción de daños ante acciones sísmicas”.

Existen diferentes métodos para obtener el coeficiente de amortiguamiento crítico, . Si se conocen las amplitudes de los picos de oscilaciones sucesivas, un, un+1, un+2, …, es posible ver que el intervalo de tiempo entre picos sucesivos es el período amortiguado, TD.

u1

TD

n  número de períodos Amp plitud

Decremento lo D ogarítm mico


un+1 t1

tn+1

t n 1  t 1  n TD TD 

Tiempo (seg)

2

D

u (t)  e -  n t ( C Cos ( D t -  ))

D Decrem ento lo ogarítm mico

Vibración libre amortiguada Tomando el cociente entre la amplitud de dos picos sucesivos, es posible obtener:

u1 e - ξ ωn t1 ( C Cos (ω D t 1 - α))  -ξω t n n 1 u n 1 e ( C Cos (ω D t n 1 ) - α))

u1 e - ξ ω n t1 n  n TD  - ξ ω (t nT  e n 1 nTD ) u n 1 e

Usando: TD 

n  n 2

n 2

1 2

1- 2

u1  e n u n 1

 e

2

D



2

n

1-  2


Vibración libre amortiguada Entonces:

u1  e u n 1

n 2 1- 2

Tomando logarítmo natural de este cociente en ambos lados:  u  n 2 Ln 1    u n 1  1-  2

1  u1     Ln n  u n 1 

 

1  u1    L  Ln n  u n 1 

2 1- 2

δ = Decremento logarítmico

… del cual es posible calcular  :

 

 2    1    2 

2


Vibración libre amortiguada En caso de sistemas ligeramente amortiguados, la amplitud del movimiento decae lentamente. En estos casos es conveniente determinar el decremento logarítmico considerando varios ciclos sucesivos de amplitudes. Para n ciclos el movimiento decrece de u1 a un+1:

u u u u u1  1 2 3  n u n 1 u2 u3 u4 u n 1 Tomando logaritmos naturales:

u3 u1 u1 u2 un Ln  Ln  Ln  Ln    Ln  n u n 1 u2 u3 u4 u n 1



1  u1    2 Ln n  u n 1 



 u  1 Ln 1  n 2  u n 1 

En vibraciones libres amortiguadas, el desplazamiento del sistema decrece con el tiempo, dos picos sucesivos del desplazamiento del sistema u1 / un+1 están relacionados con la razón de amortiguamiento. El logaritmo natural de la razón de dos amplitudes máximas consecutivas u1 , un+1 se denomina decremento logarítmico δ. Los picos son separados por un período TD que es independiente del tiempo.

u1 δ  ln u n1

Amplitud



Tiempo (seg)


Vibración libre amortiguada Como se puede ver el factor de amortiguamiento  puede ser calculado después de haber determinado experimentalmente dos amplitudes máximas del movimiento vibratorio libre del sistema. Para valores pequeños del factor de amortiguamiento:

u1 δ  Ln u2 δ

2 π 1 

2

  ωn TD  2 π

u1 δ 1 Ln ξ   2π 2π u2


Vibración libre amortiguada PROBLEMA El movimiento en vibración libre de un sistema decreció de una amplitud de 0.68 m a 0.12 m al cabo de 5 ciclos. Se desea saber cuál es el coeficiente de amortiguamiento crítico del sistema.



1  u1    2 Ln n  u n 1 

u1  0.68 0 68 u 6  0.12 0 12 1 0 68   0.68 Ln    2  5  0.12 

  0.055    5.5% Coeficiente de amortiguamiento crítico del sistema

Valores exactos y aproximados del decremento logarítmico en función del amortiguamiento:

Decrem mento logaríttmico, δ

Decremento lo D ogarítm mico


δ

Relación de amortiguamiento, 

2 π 1 2

 2 π



Debido a que es no posible determinar analíticamente el factor de amortiguamiento para estructuras prácticas, prácticas esta propiedad se puede determinar experimentalmente.

u1 Ln  2 n u n 1 1

Derivando dos veces respecto a u(t):

u1  Ln u n 1 2 n 1

Es una ecuación similar en términos de aceleración, las cuales se pueden fácilmente medir como los desplazamientos. desplazamientos


Vibración libre amortiguada Ejemplo: Determinar el período natural de vibración amortiguado TD y factor de amortiguamiento ζ del modelo del pórtico de plexiglás, para el registro de aceleraciones mostrado en la figura:

u1 Ln  u n 1 2 n 1

TD  ζ 

(3,844  1,110) seg  0,273 seg 10

1 2 π (10)

Ln

0,915 0,076

ζ  3,96%

g  0,0396 g

Vibración libre amortiguada PROBLEMA Calcular las propiedades de amortiguamiento de la estructura mostrada en la figura, para un coeficiente de amortiguamiento del 5% del amortiguamiento crítico. También calcular la historia de desplazamiento si las condiciones iniciales para un tiempo i cero son: desplazamiento d l i = 2cm 2 y velocidad= l id d 30 cm/seg / Pórtico doblemente empotrado. Vigas infinitamente rígidas. Placa de losa nervada, e=25 cm. 3m 3 m

Columnas de 25x25 Viga de 25x50 Separación entre pórticos de 4 m. ó ó d 5 m

Vibración libre amortiguada Notar que se trata del problema resuelto sin amortiguamiento, por lo cual algunas de sus propiedades son las obtenidas anteriormente:

WTOTAL  9120 kg

K eq  6331,59 kg/cm

D  n

1 - 2

 26,11

1 - (0,05)2



n  26.11 rad/seg

D  26,08 rad/seg frecuencia angular

TD 

2  D

Ccrit 

2K  

2 26,08



TD  0,241 seg

2 x 6331,59 26,08 ,

C   Ccrit  0,05 x 485,55



período

Ccrit  485,55 kg-seg/cm A Amortiguamiento ti i t crítico íti



C  24,28 kg-seg/cm Amortiguamiento del sistema

Vibración libre amortiguada Como C < Ccrit

u (t )  e

sistema subamortiguado -  n t

 u o  u o   n  u o cos  D t  sen  D D 

 t  

Si las condiciones iniciales son:

u o  2 cm u(t)  e

- 0,05 * 26,11 * t

u(t)  e

- 1,3055 * t



u o  30 cm/seg

30  2 * 0,05 0 05 * 26,11 26 11   2 cos 26,08 t  26, 08 

 2 cos 26,08 t

 sen 26,08 t  

 1,25 sen 26,08 t  Historia de desplazamientos del sistema Historia de desplazamientos del sistema


También:

C

u (t )  C e

-  n t

(u o  u o  n )2 u   2D 2 o

tan  

u o  u o  n D u o

tan   0,625





cos ( D t -  ) (30  2 * 0,05 * 26,11) 2 2  26 082 26, 2

30  2 * 00,05 05 * 26 26,11 11 26, 08 * 2



C  2,359 cm



  32,01  0.559 rad

u(t)  2,359 e

- 1,306 1 306 * t

cos (26,08 t - 0,559)

Historia de desplazamientos del sistema

Vibración libre amortiguada Historia de desplazamientos

Desplazamiento (cm)

u(t)  2,359 2 359 e - 1,306 * t

2,31

2.374 yo = 2.0

1,69 1,23

0

0,02

0,267

0,89

0,514

0,760

Tiempo (seg)

-1,04 -1,44 -1,97

-2.374

u(t)  2,359 e - 1,306 * t cos (26,08 t - 0,559)

Derivando u(t)  Ce- n t cos(D t - ) con respecto al tiempo:

u (t )  C e

-  n t

u (t )  C e

-  n t

-  D sen ( D t -  ) - C   n e

  D sen ( D t

-  n t

cos ( D t -  )

-  ) -   n cos ( D t -  ) 

Historia de Hi t i d velocidades

Vibración libre amortiguada Ejemplo:

Un test de vibraciones libres fue realizado en un tanque de agua elevado vacío, con un cable se aplicó una fuerza lateral horizontal de 16,4 kips la cual jaló el tanque horizontalmente 2 in. Se cortó el cable y las vibraciones libres fueron registradas. Al final de cuatro ciclos completos, el tiempo es de 2 seg y la amplitud de 1 in. Con estos datos calcular: a.‐ Factor de amortiguamiento b.‐ Período natural de vibraciones no amortiguado c ‐ Rigidez c. d.‐ Peso e.‐ Coeficiente de amortiguamiento f.f.‐ Número de ciclos requeridos para que la amplitud de desplazamiento decrezca a 0,2 in.

Vibración libre amortiguada a.‐ Factor de amortiguamiento: u1  2 in i



u n 1  1 in

1  u1    2 Ln n  u n 1 

n  4



1 2 Ln      0,0276    2,76% 2 (4) 1

b.‐ Período natural de vibraciones no amortiguado Asumiendo un amortiguamiento pequeño, es válido:

TD 

2  0,5 seg 4

T n  T D  0,5 seg

c.‐ Rigidez: k 

16,4 kips 2 in

 8,2 8 2 kips/in

Vibración libre amortiguada d.‐ Peso del tanque vacío ωn 

ωn 

k  m

m 

k  2 ωn

W  m g

2π 2π   1 2 , 5 7 ra d /s e g Tn 0, 5

k 8 , 2 k ip s /in k ip  s e g 2 m  2   0, 0519 ωn (1 2 , 5 7 ra d /s e g ) 2 in k ip  s e g 2 in W  (0 ( , 0519 )( )(3 8 6 )  2 0 , 0 3 k ipp s 2 i in seg

W  20,03 kips

Vibración libre amortiguada e.‐ Coeficiente de amortiguamiento c  ξ (2



k m )  0,0276 2 8,2 * 0,0519

c  0,036 0 036 kips-seg/i k /n

f.‐ Número de ciclos para que la amplitud sea de 0.2 in.



n

1 2 n

Ln

u1 u n 1

 n

1 2 

Ln

u1 u n 1

1 2 Ln  n  13,28 ciclos 2 (0,0276) 0,2



Vibración libre amortiguada Problema:

El peso de agua requerido para llenar el tanque es de 80 kips, kips determinar: a.‐ Período natural de vibraciones para el tanque full. b ‐ Factor de amortiguamiento b. amortiguamiento.

a.‐ Período natural: W  20,03  80  W  100,03 kips 100,03 kips 2   kips-seg /in m m 0,2591 2 386 in / seg Tn  2

m  2 k

0,2591 8,2



Tn  1,12 seg

b.‐ Factor de amortiguamiento: ζ

c 0,036   0,0123 2 k m 2 8,2 (0,2591)

  1, 23%

3[1]. Clase 2 Dinamica

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