UNIVERSIDAD ALAS PERU PERUANAS ANAS FACULT ACULTAD AD DE INGENÍERIAS Y ARQUITECTURA
E.A.P. DE INGENIERÍA CIVIL
I N GEN ENII ER Í A AN ANTI TI SÍ SM I CA DI NÁ NÁM M I CA ES ESTR TR UCTU TUR R AL
DOCENTE:
I ng ngºº L uis Fe Ferr na nand ndo o Na Narr r o J ar a
HUÁNUCO, OCTUBRE DE 2014
CONCEPTOS BÁSICOS DE DINÁMICA CONTENIDO 1. INT INTROD RODUC UCCI CIÓN ÓN 2. EST ESTRUC RUCTUR TURA A SI SIMPLE MPLE 3. GRADO GRADOS S DE LIB LIBERT ERTAD AD 4. SIS SISTEM TEMAS AS ELÁ ELÁSTI STICO COS S 5. AMORT AMORTIG IGUAMIE UAMIENT NTO O 6. ECUACIÓN DE MOVI MOVIMIEN MIENTO TO 7. EXIT EXITACIÓN ACIÓN SÍSMI SÍSMICA CA
1. INTRODUCCIÓN La Diná inámi mica ca de Estr struct uctur ura as es un áre rea a de dell aná nálilisi siss me mecá cánic nico o de la lass constr con strucc uccion ione es qu que e estu studi dia a el efe fecto cto de la lass acci ccione oness exte xterna rnass que producen vibraciones. Su desarrollo comienza en el siglo XIX con las investigaciones de Lord Rayleigh sobre los efectos del sonido en cuerpos elásticos las cuales aun tienen validez. Ac tual Actu alm m en ente te est esta a ár área ea d e l a Mec Mecán ánic ica a p r ese esent nta a u n est estad ado o av avanz anzad ado o de desa de sarr rrol ollo lo pu pue es se ha lo logr gra ado est sta abl ble ece cerr mé méto todo doss de cá cálc lcul ulo o pa para ra estruc structura turass line linea ale less y no line linea ale less some sometida tidass a acciones acciones dete deterministas rministas (cuando su variación temporal es perfectamente conocida) conocida ) o aleatorias (también (ta mbién llamada estocástica o no determinis ta y es es cuando alguno o to dos sus parámetros son defini dos estadísticamente). estadísticamente). El análisis dinámico de estructuras consiste en determinar la respuesta (desplazamientos, (desplaz amientos, velocidades y aceleracio aceleraciones) nes) de estru estructur cturas as sometidas a excitaciones excitacio nes (accion (acciones es dinámic as). Los parámetros más significativos de la respuesta son los desplazamientos
Este capítulo capítulo introduc torio c omienz omienza a con la definición definición de algunos términos básicoss en básico en la dinámic a estruct estructural. ural. Se hace la deducción de las ecuaciones del movimiento dinámico de un sistema sis tema sencil sencillo lo es decir decir de un grado de libertad. Luego se de Luego describ scribe en bre breve veme mente nte la lass prin principa cipale less ca carga rgass diná dinámica micass que actú ctúa an sob sobre re la lass estr struct uctur ura as y se dis discut cute e la ut utili ilida dad d de los sis siste tema mass sencillos sencil los para representar representar el el comport com portamiento amiento de estruct estructuras uras más compleja compl ejas. s. Las princ ipales acci acciones ones dinámicas que actúan sobre las las estructuras estruc turas son las l as siguientes:
Sismos
Vientos
Olass y corr Ola corrientes ientes de agua
Explosiones Explos iones e impacto impactoss
Cargas Ca rgas móvi móviles les (ve (vehículos hículos personas, etc.)
2. ESTRUCTURA ESTRUCTURA SIMPLE SIMPL E Una estructura simple es aquella que se puede idealizar como un sistema que está constituido por una masa conce con centr ntra ada “ en la pa part rte e sup supe erio rior” r” sop soport orta ada por un ele leme ment nto o est stru ruct ctur ura al qu que e pr prop opor orci cion ona a ri rigi gide dezz en la dirección consid considera erada. da. Cuando se aplica una fuerza a una estructura, esta se desplazará en la dirección de la fuerza. La rigidez se define de fine como el cocie cociente nte entre la fue fuerz rza a aplic plica ada y el desplazamiento producido.
3. GRADOS DE LIBERTAD El grado de libertad es definido como el número de desplazamientos independientes requerido para definir lass po la posi sici cion one es de desp spla lazzada dass de to toda dass la lass ma masa sass relativas a sus pos icio iciones nes orig originales. inales. Un g ra rado do d e lilib b ert rta ad co corr rre esp spon ond d e a cu cua alq lqu u i er movimiento posible de los nodos de los elementos en una dirección no restringida.
En el el caso dinámico di námico el modelo empleado aquí está está basado en la suposi ció ción n de que la rigidez se concentra en un resorte que carece de masa masa mientras que la masa se ubica en un cu erpo rígido rígid o que no s e defor deforma. ma.
Modelos Mode los con un solo grado de libertad:
EJEMPLOS
Para Pa ra un marco plano pl ano básico tenemos: tenemos :
Análisiss estático: Análisi estático : 3 GD GDL L
Análisis
dinámico: 1 GDL
Obviamente, cualquier estructura posee un número infinito de grados de libertad libertad debido a su continuid conti nuidad ad pero pero el proceso de d e dis discretiza cretización ción en elementos ele mentos supone su pone un n úmero fini to aunque elevado elevado de ellos ellos..
Modelo Dinámico de d e la Estructura Estruct ura Real Real (Pórti (Pórtico) co)
Modelo Dinámico Dinámico Discreto de la Est Estruc ruc tur tura a Real Real (Viga) (Viga)
4. SISTEMAS ELÁSTICOS Un material material es elástico cuando c uando recupera su fo rma original después de retirar la carga aplicada, si además existe una proporcionalidad entre fuerzas y de despla splazzamie mientos ntos se dice que el ma mate teria riall es lineal.
Donde k es la rigidez lateral lateral del sistema sist ema y su unidad u nidad es [fuerza/long [fuerza/longitud itud]. ].
5. AMORTIGUAMIENT AMORTIGUAMIENTO O En las estructuras actuales el amortiguamiento es representado de forma idea i dealiza lizada; da; para efectos efectos prácticos el amortigu amie amiento nto actua actuall en est strr uc uctu tura rass pu pue ede se serr id ide ealilizzado sa sati tisf sfa act ctor oria iame ment nte e po porr un amorti mortiguamiento guamiento lineal lineal viscoso. visco so.
A di f er eren encc i a d e l a r i gi dez dez,, el c oe oeff i c i en entt e d e am amo o r t i g u am amii en entt o no p ue ued d e s er calculado a partir partir de las dimensiones de la estructur a y del tamaño tamaño de los lo s elementos estructurales, debido a que no es factible el identificar todos los mecanismos disipadores de energía vibracional en las estructuras
6. ECUACIÓN DE MOVIMIENTO El modelo mod elo matemático matemático de un sistema de grados de lib erta ertad d sujeto su jeto a la acc cción ión de una fue fuerz rza a din diná ámi mica ca p( p(t) t) apli plica cada da en la dir dire ecc cción ión de dell despla de splazzamie miento nto u( u(t) t) la lass cua cuale less va varí ría an con el tie tiempo. mpo. La ecua cuación ción diferencial que gobierna el desplazamiento u(t) puede ser derivada utiliza utili zando ndo dos mé m étodo todos: s: la 2ª 2ª ley ley de Newton Newton y el prin cipi cipio o de equil equilibri ibrio o dinámico.
Componentes de masa, masa, amorti amortiguamiento guamiento y rigid r igidez ez
7. EXITACIÓN SÍSMICA En ocasiones, las vibraciones de un sistema mecánico no vienen generadas por la aplicación externa de unas cargas exteriores que sea se an fu func nció ión n co cono noci cida da de dell ti tie emp mpo, o, si sino no po porr un unos os mo movi vimi mie ent ntos os conocidos (al menos hasta cierto punto) del soporte o base sobre la que qu e se enc ncue uent ntra ra el si sist ste ema ma.. Lo Loss si sism smos os y la tr tra ans nsmi misi sión ón de vibraciones de una estructura a otra o a una máquina, son ejemplos significativos signi ficativos de d e este tipo de solicitaciones. solici taciones.
En la figura se muestra: el desplazamiento del suelo (u g), el desplazamiento
VIBRACIONES LIBRES DE SISTEMAS CON UN GRADO DE LIBERTAD CONTENIDO 1. INT INTROD RODUC UCCI CIÓN ÓN 2. TEO TEORÍA RÍA GEN GENERAL ERAL DE VI VIBRACION BRACIONES ES 3. DEF DEFINI INICIÓ CIÓN N DE VIBRACI VIBRACIÓN ÓN LIB LIBRE RE 4. VIBRACI VIBRACIÓN ÓN LIB LIBRE RE NO AMORT AMORTIG IGUADA UADA 5. VI VIBRACI BRACIÓN ÓN LIBRE AMO AMORT RTIG IGUADA UADA
1. INTRODUCCIÓN En los pr probl oble ema mass de inge ingenie nierí ría a no es sie siempr mpre e pos posibl ible e obt obte ene ner r soluciones matemáticas rigurosas. En realidad solo en algunos casos simples simpl es puede obtenerse soluci ones analíticas analíticas Cua uand ndo o lo loss pr prob oble lema mass im impl plic ica an pr prop opie ieda dade dess de ma mate terr ia iale les, s, distr dis tribu ibució ción n de ca carga rgass y co condi ndici cione oness de con contor torno no com comple pleja jass es nece ne cesa sario rio intr introduci oducirr simp simplifi lifica cacion cione es, esto te tenie niendo ndo a la vist vista a el cumplimiento cumpl imiento de los cri terios de seguri seguridad dad y economía. economía. El nexo entre el sistema físico y la posible solución matemática se obtiene con el modelo matemático. El estudio de las vibraciones se refiere a los movimientos de los cuerposs y a las fuerzas cuerpo fuerzas asociadas con ello s. Todos los cuerpos que poseen masa y elasticidad, son capaces de vibrar.
2. TEORÍA GENERAL DE VIBRACIONES Una vibración mecánica es el movimi ento de una partícula o cu cue erp rpo o qu que e os osci cila la alr lre ede dedo dorr de u na po posi sici ción ón de equilibrio. El sistema tiende a retornar a dicha posición, bajo la ac c i ó n d e f u er zas d e r es t i t u c i ó n el ás t i c as o gravit gra vita acio ciona nale les, s, mov movié iéndo ndose se de un la lado do a otr otro o ha hasta sta alcanzar su posición de equilibrio. Estas fuerzas fuerzas dinámicas son: so n:
Fuerzas Fue rzas restauradoras restauradoras elásticas (o inelásticas)
Fuerzas Fue rzas de amortiguamiento amortigu amiento
Fuerzas
de inercia
Fuerzas
excitadoras
2.1 TIPOS DE VIBRACIONES
2.2 CONCEPTOS CONCEPTOS GENERALES GENERAL ES a) Periodo de Vibración (T). Es el intervalo de tiempo necesario para que el el sistema si stema efe efectúe ctúe un ci clo completo co mpleto de movi miento. b) Frecuenci Frecuencia a (f ). ). E Ess el número de ciclos po r unidad unid ad de tiempo. c) Amplitud de Vibración ( u0). ). Es Es el desplazamiento máximo del sistema desde desde su posici ón de equil equilibrio ibrio..
3. DEFINICIÓ DEFINICIÓN N DE VIBRACIÓN LIBRE L IBRE Una estructura está en vibración libre cuando es perturbada de su posición estática de equilibrio y comienz com ienza a a vib vibrar rar sin la exc excitación itación de fuerza externa alguna.
3.1 VIBRACIÓN LIBRE L IBRE NO AMORTIGUADA AMORTIGUADA El si sist ste ema de ma marc rco o mo most stra rado do es sa saca cado do de su po posi sici ción ón de equilibrio por la aplicación de una fuerza o un desplazamiento, debido debid o a las fuerzas fuerzas de restit restituci ución ón el sistema sist ema entra en vibración. vibr ación.
Este sistema puede reducirse a un solo grado de libertad p ar a el an ál i s i s d i n ám i c o , s i s e d es p r ec i an l as deformacion deform aciones es axiales axiales y se sup supon one e una viga vig a de gran rigid ez ez.. La ecuación que representa el movimiento de un sistema lineal sin amortiguamiento y que no está sometido som etido a la acción de una fuerza externa externa es: Donde ωn es la frecuencia circular de vibración libre del sistema y sistema y es igual igu al a: De acue cuerdo rdo a la te teorí oría a de ecua cuacion cione es dife difere rencia nciale less la ecua cuación ción anterior es una EDH (Ecuación Diferencial Homogénea) de segundo orden con coeficie coefici entes constantes y su solu ción es:
Donde A y B son constantes que se hallan a partir de las condiciones iniciales de desplazamiento y velocidad: Obteniéndose Obte niéndose por lo tanto: El sistema presenta el siguiente comportamiento de desplazamiento contra tiempo:
A p ar artitirr de es estt a f i g ur a s e ob obss er ervv a q u e el tiempo requerido de un sistema no amortiguado para completar un ciclo de vibración libre es libre es denominado periodo natural de vibración: vibración :
La frecuencia cíclica natural de vibración, vibración, es es definida definida como el como el número de ciclos cic los que q ue se repiten en 1 segundo de tiempo y tiempo y su valor es:
Las propiedades de vibración natural ωn, Tn y f n , dependen de la masa y rigidez de la estructura, y el término “natural” es utilizado para enfatizar el hecho d e que éstas éstas son propieda propiedades des naturales naturales del sistema cuando éste esta esta en estado estado de vibración vibraci ón lib re.
Si se hace una representación vectorial del movimiento, puede obtenerse una ecuación alterna para la sol solució ución n de d e la ED EDH: H:
Esta ecua cuación ción auxiliá uxiliándose ndose de un ángulo de fase o de desfase es: es :
Donde u0 es la magnitud del desplazamiento desplaza miento máximo m áximo y es l l am ad a am p l i tu d de movimiento,, l a c u al es t a movimiento dada por:
Y el ángulo de fase dado por:
esta
Ejemplo: En la Figura se muestra una cubierta metálica, considerar el entr ntra ama mado do inf infinit inita ame mente nte rí rígid gido o y con una ca carga rga mue muerta rta tot tota al de 120 [kg/m2]. Todas las columnas son perfiles metálicos W10x30, considerarlas axia xialme lmente nte inde indefor forma mable bles. s. Halla llarr la lass pro propie pieda dade dess de la estru structu ctura ra considerando q ue no existe amortiguamiento. amortiguamiento.
Solución: 1. El peso del sist si stema ema es: es:
2. La rigidez rigi dez total de las dos col columnas umnas del d el Este es:
3. La rigidez rigi dez total de las columnas col umnas centrales: c entrales: 4. La rigidez rigi dez total de las dos col columnas umnas del d el Oeste Oeste es: es:
5. La rigidez total en la dirección Este - Oeste es:
6. La frecuencia circu ci rcular lar natural es:
7. La frecuencia cíclica c íclica natural es:
8. El perio periodo do natural n atural esta dado por:
Ejemplo: Considere la siguiente estructura de un puente, en donde se desea calcular la frecuencia y periodo n atural de vibr vibración ación de: d e: a) De Dell movimi mo vimiento ento en la dirección direcció n Este - Oeste Oeste b) Del Del movimiento movim iento en la dir dirección ección Norte - Sur c) Del Del movimiento movimi ento de d e Tors orsión ión con c on respecto el eje eje verti vertical cal centroidal centro idal Z. Datos: La dimensiones de la losa del puente puent e son: son : 10 x 7 x 0.3 0.3 m Sobre carga de la estr estruct uctura: ura: Cm adicion adici onal al + Cv = 10 1000 00 kg/m2 Las columnas son IR 203 X 46.2, cuyas propiedades son: Ixx= Ixx = 3446.4 3446.4 cm4 e Iyy= 762 cm4 E = 2´038, 2´038,000 000 kg/cm kg /cm2 2
