Programación Dinámica
1.
Programación
Dinámica
$
INTRODUCCIÓN: Existe una serie de problemas cuyas soluciones pueden ser expresadas recursivamente en términos matemáticos, y posiblemente la manera más natural de resolverlos es mediante un algoritmo recursivo. Sin embargo, el tiempo de ejecución de la solución recursiva, normalmente de orden exponencial y por tanto impracticable, puede mejorarse substancialmente substancialmente mediante la Programación Programación Dinámica. a programación dinámica es un método para reducir el tiempo de ejecución de un algoritmo mediante la utili!ación de subproblemas de subproblemas superpuestos y subestructuras óptimas, óptimas , como se describe a continuación. Una subestructura óptima signi"ica
#ue soluciones óptimas de subproblemas pueden ser usadas para encontrar las soluciones óptimas del problema en su conjunto. Por ejemplo, el camino más corto entre dos vértices de un gra"o se gra"o se puede encontrar calculando primero el camino más corto al objetivo desde todos los vértices adyacentes al de partida, y después usando estas soluciones para elegir el mejor camino de todos ellos. En general, se pueden resolver problemas con subestructuras subestructuras óptimas siguiendo estos tres pasos: $. Dividi Dividirr el proble problema ma en subpr subprobl oblema emass más pe#ue pe#ue%os %os.. &. 'esolver 'esolver estos estos problemas problemas de manera manera óptima óptima usando usando este proces procesoo de tres pasos pasos recursiva recursivamente mente.. (. )sar estas estas solucio soluciones nes óptimas óptimas para para construir construir una una solución solución óptima óptima al problema problema origin original. al. os subproblemas se resuelven a su ve! dividiéndolos ellos mismos en subproblemas más pe#ue%os *asta #ue se alcance el caso "ácil, donde la solución al problema es trivial. Decir #ue un problema tiene subproblemas superpuestos es decir #ue un mismo subproblema es usado para resolver di"erentes problemas mayores. Por ejemplo, en la sucesión de +ibonacci, + +ibonacci, +( +$ - + & y + + & - +( / calcular calcular cada término término supone supone calcular calcular + &. 0omo ambos + ( y + *acen "alta para calcular + 1, una mala implementa implementación ción para calcular calcular + 1 acabará calculando + & dos o más veces. Esto ocurre siempre #ue *aya subproblemas superpuestos: una mala implementación puede acabar desperdiciando tiempo recalculando las soluciones óptimas a subproblemas #ue ya *an sido resueltos anteriormente. Esto se puede evitar guardando las soluciones #ue ya *emos calculado. Entonces, si necesitamos resolver el mismo problema más tarde, podemos obtener la solución de la lista de soluciones calculadas y reutili!arla. Este acercamiento al problema se llama memorización. Si estamos seguros de #ue no volveremos a necesitar una solución en concreto, la podemos descartar para a*orrar espacio. En algunos casos, podemos calcular las soluciones a problemas #ue sabemos #ue vamos a necesitar de antemano. En resumen, la programación dinámica *ace uso de: •
Subproblemas superpuestos
•
Subestructuras óptimas
•
2emori!ación
a programación dinámica toma normalmente uno de los dos siguientes en"o#ues:
3ng. E"ra4n 2urillo
Programación Dinámica •
•
&
Top-down: El problema se divide en subproblemas, y estos subproblemas se resuelven recordando las soluci solucione oness en caso caso de #ue sean necesa necesaria riass nue nuevam vament ente. e. Es una combinaci combinación ón de memori!ación y recursión. recursión. 5odos los subproblemas #ue puedan ser necesarios se resuelven de antemano y después son Bottom-up: 5odos usados usados para resolver las soluciones soluciones a problemas problemas mayores. mayores. Este en"o#ue es ligerament ligeramentee mejor en consumo de espacio y llamadas a "unciones, pero a veces resulta poco intuitivo encontrar todos los subproblemas necesarios para resolver un problema dado.
DEFINICION: 5écnica matemática #ue permite dar soluciones secuénciales con las #ue mediante cálculos recursivos se obtiene la solución óptima del problema. a programación dinámica consiste en una técnica #ue permite determinar de manera e"iciente las decisiones #ue optimi!an el comportamiento de un sistema #ue evoluciona a lo largo de una serie de etapas. En otras palabras, trata de encontrar la secuencia de decisiones #ue optimi!a el comportamiento de un proceso polietápico. Proporciona un procedimiento sistemático para determinar la combinación de decisiones para resolver problemas divididos en etapas, de tal "orma #ue se maximice la e"ectividad total. Es caracter4stico de estos problemas #ue deba adoptarse una pol4tica general de decisión, y #ue ésta pueda ser aplicada en cada etapa, arrojando un resultado óptimo para el problema en general, y un resultado "actible para cada etapa en #ue se divide el problema. En cada cada etapa, etapa, las decisi decisione oness para para las etapas etapas restan restantes tes son indepe independi ndient entes es de las decisi decisione oness tomada tomadass anteriormente, aun#ue *ay #ue tomar en cuenta #ue se llegó a ésta etapa debido a las decisiones tomadas con anteri anteriori oridad dad.. a progra programac mación ión dinámi dinámica ca es, pue pues, s, una técnic técnicaa muy 7til 7til para para tomar tomar el mejor mejor con conjun junto to de decisiones interrelacionadas.
E56P6S
8 0álculos 'ecursivos
9$
9&
9(
8
9n$ 9n
Solución ;ptima
Variables Variables Optimizadoras
a programación dinámica se basa en la noción matemática de recursión. Ejemplo: +racción 0ontinua
PRINCIPIO DE OPTIM!IDD DE RIC"RD BE!!MN #$%&'( 0uando *ablamos de optimizar nos nos re"erimos a buscar la m)*or solución de entre muc*as alternativas posibles. Dic*o proceso de optimi!ación puede ser visto como una secuencia de decisiones #ue nos proporcionan la solución correcta. Si, dada una subsecuencia de decisiones, siempre se conoce cual es la decisión #ue debe tomarse a continuación para obtener la secuencia óptima, el problema es elemental y se resuelve trivialmente tomando una decisión detrás de otra, lo #ue se conoce como estrategia voraz.
3ng. E"ra4n 2urillo
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(
6 menudo, aun#ue no sea posible aplicar la estrategia vora!, se cumple el principio d) optima+idad d) B)++man #ue dicta #ue
)na enorme cantidad de subproblemas.
•
Subproblemas cuyas soluciones parciales se solapan.
•
>rupos de subproblemas de muy distinta complejidad.
Estructura de la programación dinámica.
Ejemplo: Empresa comerciali!adora de alimentos ?E06S6@
3ng. E"ra4n 2urillo
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Función d) Tran,ormación ABC de empleados en 5n ABC de empleados en to - Aempleados contratados en tnto Aempleados dados debajo en tnto
Atrigo almacenado en 5n Atrigo almacenado en 5o@ - Arecepción trigo en tn to Asalida de trigo en tn to Amerma trigo en tn to
Pro.+)ma d) D)ci,ión d) n )tapa, #para $/ m),),(
3ng. E"ra4n 2urillo
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1
Entonces:
9n " n ?9n$ @ 9n$ " n$ ?9C@ 9 n ?" n$ ?9C@@ 9C 01/01/03
"$
9$ 01/02/03
" &
9& 01/03/03
9n& 01/11/03
+unción >enerali!ada:
9n " n ?" n$ ?" n& ?8" & ?" $ ?xC@@8@@@
3ng. E"ra4n 2urillo
"
n$
9n$ 01/12/03
"n
9n 01/0/04
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K
P!ICCIONE01 P!ICCIÓN $1 Mod)+o d) +a Ruta má, Corta En la ciudad $ #ueda un aeropuerto internacional con a"luencia de muc*os turistas #ue desean conocer los centros tur4sticos indicados en la red de la "igura mostrada en la parte in"erior. a red muestra la distancia ?en Filómetros@ de un centro a otro, as4 mismo muestra las alternativas de traslado. )na agencia de 0ity5our internacional desea determinar lo siguiente: Para los turistas #ue desean conocer 7nicamente el centro tur4stico n7mero $G *allar la trayectoria de menor distancia. 680 2
610 5
8
790 790
1050
1030
550 580 1
540
760
3
6
10
900 940
660 770
510 4
1390
790
700 7
9 270
830
S;)03HB: Estructura:
O$ 9$
Donde:
$
O& 9&
r$
&
O( 9(
r&
(
r(
O 9
r
9i: Estado actual en el #ue se encuentra el turista en la etapa i 9$I$J 9&I&, (, J 9(I1, K, LJ 9IM, NJ Oi: Estado al #ue dirige en la etapa i O$I&, (, J O&I1, K, LJ O(IM, NJ OI$GJ "i ?9i@ : alor acumulado de la "unción objetivo ?menor distancia@ para el estado 9i desde la etapa i *asta el destino "inal ?nodo $G@ ri : Distancia recorrida en la etapa i
3ng. E"ra4n 2urillo
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L
Oix: Decisión optima en la etapa i dado el estado 9i en el #ue se encuentra en la etapa i 6 continuación se muestran las iteraciones recursivas del problema aplicando el 2E5;D; DE 'E5';0ES; : Etapa x M N
r ?F @ F $G $G(G $(NG
Solución ;ptima "?x@ F Q $G(G $G $(NG $G
En la tabla anterior se muestra las distancias más cortas #ue *ay desde el nodo donde se encuentra actualmente ?M ó N@ al nodo "inal ?$G@.
Etapa ( x( 1 K L
r( ?F (@-" ?F (@ F (M F (N K$G-$G(G$KG
LNG-$(NG&$MG
1G-$G(G$1LG
NG-$(NG&((G
LNG-$G(G$M&G
&LG-$(NG$KKG
Solución ;ptima " (?x(@ $KG $1LG $KKG
F (Q M M N
En la tabla precedente se muestra también las distancias más cortas #ue *ay desde el nodo donde se encuentra actualmente ?1, K ó L@ *asta el nodo "inal ?$G@, pasando por M ó N. Estas distancias se determinan aplicando la ecuación recursiva r (?F (@-" ?F (@. Por ejemplo para determinar la distancia #ue *ay entre 9(1 y el nodo "inal ?$G@, tomando la decisión O(M, será igual a la distancia #ue entre la ciudad 1 a la ciudad M mas la distancia #ue *ay entre la ciudad M *asta la ciudad $G, osea K$G-$G(G$KG. Etapa & x& & ( Etapa $ x$ $
F &1
r&?F &@-" (?F &@ F &K
F &L
KMG-$KG&(&G
LNG-$1LG&(KG
$G1G-$KKG&L$G
1MG-$KG&&&G
LKG-$1LG&((G
KKG-$KKG&(&G
1$G-$KG&$1G
LGG-$1LG&&LG
M(G-$KKG&NG
F $& 11G-&(&G&MLG
r$?F $@-" &?F $@ F $(
F $
NGG-&&&G($&G
LLG-&$1G&N&G
Solución ;ptima " &?x&@ &(&G &&&G &$1G
F &Q 1 1 1
Solución ;ptima " $?x$@ F $Q &MLG &
a tabla precedente nos muestra las distancias #ue desde el nodo $ *asta el nodo $G, pasando por &, ( ó y son &MLG, ($&G y &N&G Filómetros, respectivamente . Por lo tanto la solución óptima en detalle será:
Etapa $ & (
nodo actua+ $ & 1 M
nodo d),tino Int)rpr)tación & 1 M $G
Encontrándose en la ciudad $, se tendrá #ue ir a la ciudad &. De la ciudad & ir a la ciudad 1. De la ciudad 1 ir a la ciudad M +inalmente de la ciudad M ir a la ciudad $G
a distancia recorrida desde la ciudad $ *asta la ciudad $G es &MLG Filómetros.
P!ICCIÓN / 1 ná+i,i, d) R))mp+a2o d) E3uipo, a principal má#uina de un proceso #u4mico de producción es inspeccionada anualmente, siendo conservada o reempla!ada. El costo de mantenimiento y el valor de rescate de esta ma#uina se presenta en la tabla siguiente: Edad ?a%os@:
3ng. E"ra4n 2urillo
$
&
(
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M
0osto de mantenimiento ?miles de R@ LGG (GG NGG $&GG alor de rescate ?miles de R@ N1G 1GG &GG G El costo de una má#uina nueva es de R & GGG GGG. a vida 7til de las instalaciones #ue reali!an este proceso de producción es de 1 a%os al "inal de lo cual toda la instalación será rescatada. a má#uina actual completará ( a%os en la próxima inspección. Determine el plan de mantenimiento y reempla!o de esta má#uina. S;)03HB: Estructura: O$
9$M
O& 9&
r$
& r&
O( 9(
(
O1
O. 9.
r(
r.
91
1
OK 9K
r1
K
rK
Donde: 9i: Edad del activo al inicio de la etapa i Oi: Decisión de 0onservar o 'eempla!ar en la etapa i Para la etapa K la 7nica decisión es ender. "i ?9i@ : alor acumulado de la "unción objetivo ?menor costo@ para el estado del activo 9i desde la etapa i *asta el "inal del *ori!onte de vida. ri : 0osto de reempla!ar o conservar el activo. En la etapa K el valor de rK es el producto del valor de rescate del activo. Oix: Decisión optima en la etapa i dado el estado 9i en el #ue se encuentra el activo en la etapa i 6 continuación presentamos la red del problema en términos de costos de reempla!ar o conservar el activo.
6 continuación se muestran las iteraciones recursivas del problema:
3ng. E"ra4n 2urillo
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4o &
4o 5
4o 6
os resultados en O(Q de 'ó0 indican #ue posiblemente este problema tiene más de una solución óptima.
4o /
3ng. E"ra4n 2urillo
N
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$G
4o $
Por lo tanto las pol4ticas óptimas en base a las tablas de recursividad serán: ?dos soluciones óptimas@ 6; $ & ( 1
6lternativa $ ' 0 0 ' 0
6lternativa & ' 0 ' 0 0
6nali!ando la solución óptima de la alternativa $, se tiene: En el a%o $ la decisión óptima será de 'eempla!ar ?'@, esto implica comprar una má#uina nueva, la cual al "inal del a%o tendrá $ a%o de edad. En el a%o &, dado #ue se tiene una má#uina de $ a%o de edad, la decisión óptima será 0onservar ?0@, por lo tanto al "inal del a%o & la má#uina tendrá & a%os de edad, y as4 sucesivamente se rescata las mejores decisiones en las demás etapas del problema. Entonces si la empresa #uiere a la larga optimi!ar sus costos de operación y mantenimiento, deber aplicar cual#uiera de las dos alternativas de pol4ticas de reempla!o para sus activos.
P!ICCIÓN 61 Pr),upu),to d) Capita+ )na corporación recibe cuatro propuestas de sus tres plantas respecto a la posible expansión de las instalaciones. a corporación tiene un presupuesto de RM millones para asignarlo. 6 cada planta se le solicita someta sus propuestas, indicando el costo total ?c@ y el ingreso total ?'@ para cada propuesta. En la tabla siguiente se resumen los costos e ingresos ?en millones de dólares@. a meta de la corporación es la de maximi!ar el ingreso total resultante de la asignación de los RM millones a las tres plantas. Determine la asignación óptima de las propuestas a cada planta, suponiendo #ue se acepta sólo una propuesta por planta. Planta $ Propuesta c$ '$ 6 G G T ( 1 0 K D
Planta & c& '& G G $ & 1 1 M
Planta ( c( '( G G & ( ( 1 K N
S;)03HB: Estructura: O$
9$M
O& 9&
r$
&
O( 9(
r&
Donde: 9i: 0apital disponible en la etapa i.
3ng. E"ra4n 2urillo
( r(
O. 9.
r.
Planta c ' G G $ ( ( K
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$$
9$: 0apital disponible para las plantas 9&: 0apital disponible para las plantas &, ( y 9(: 0apital disponible para las plantas ( y 9: 0apital disponible para la planta Oi: Propuesta elegida para la planta i "i ?9i@ : alor acumulado de la "unción objetivo ?mayor rendimiento@ desde la etapa i *asta el "inal ri : 'endimiento en la etapa i Oix: Decisión optima en la etapa i dado el estado 9i en el #ue se encuentra el monto del capital disponible en la etapa i 6 continuación presentamos las iteraciones recursivas del problema: Etapa
Etapa (
Etapa &
3ng. E"ra4n 2urillo
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$&
Etapa $
En consecuencia anali!ando las iteraciones recursivas, se tiene la siguiente P ol4tica ;ptima: 06P356 06P356 P6B56 D3SP;B3TE P';P)ES56 'EU)E'3D; 'EBD323EB5; $ M T ( 1 & 1 T $ & ( 0 ( 1 $ T $ ( 5;56 $1 6 la planta $ se debera asignar la propuesta T, a la planta & también la T, a la planta ( se debe asignar la propuesta 0 y a la planta la propuesta T, obteniendo un rendimiento total máximo de $1 millones de dólares.
P!ICCIÓN 51 P+an d) Producción )n constructor produce barcos a pedido, y tiene los siguientes pedidos para ser entregados al "inal de los próximos K meses: 2es: Bro de barcos:
Vul 6go Sep ;ct Bov Dic $ & 1 ( & $
Wl puede construir *asta barcos en cual#uier mes, y puede guardar *asta ( barcos en stocF. El costo de construcción de los barcos considera un costo "ijo de $G GGG dólares y un costo variable de GGG dólares por barco construido. Para mantener un barco en stocF durante el periodo de un mes, el constructor gasta R $ GGG. X0uál debe ser el plan optimo de construcción, de modo #ue se minimice el costo total del constructorY. +ormule un modelo de programación dinámica para obtener la solución. S;)03HB: Estructura:
O$
3ng. E"ra4n 2urillo 9$M r$
O& 9&
& r &
O( 9(
( r(
O1
O. 9.
r.
91
r1
1
OK 9K
rK
K
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Demanda
d $ $
$(
d&&
d(1
d(
d1&
dK$
Donde: 9i: 3nventario al inicio del mes i Oi: B7mero de unidades a producir en el mes i "i ?9i@ : alor acumulado de la "unción objetivo ?menor costo@ desde la etapa i *asta el "inal ri : 0osto de producción - costo de inventario en la la etapa i Oix: Decisión optima en la etapa i dado el estado 9i en el #ue se encuentra el inventario inicial disponible en la etapa i as relaciones siguientes expresan los costos en miles de dólares: $G + . Ki, siKi > G 0p?Oi@ G, siKi = G
0i?9i@ $Q9i 6 continuación se muestran las iteraciones recursivas del problema: Etapa K: Diciembre
Etapa 1: Boviembre
Para esta etapa debe observarse #ue &Z 91-O1Z ([ & por#ue al menos *ay #ue satis"acer la demanda del mes y ( por #ue a lo más se puede almacenar $ barco para el siguiente mes: 91-O1d1Z$ ⇒ 91-O1Z$-d1, como d1&, se tiene #ue 91-O1Z(. Etapa : ;ctubre
3ng. E"ra4n 2urillo
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$
Para esta etapa debe observarse #ue (Z9-OZK[ ( por #ue la demanda del mes es ( y K por #ue se puede almacenar *asta ( barcos para los posteriores meses: 9-OdZ( ⇒ 9-OZ(-d, como d(, se tiene #ue 91-O1ZK. Etapa (: Septiembre
Para esta etapa debe observarse #ue 1 Z 9(-O( Z L Etapa &: 6gosto
Para esta etapa debe observarse #ue ( Z 9&-O& Z 1 Etapa $: Vulio
Para esta etapa debe observarse #ue $ Z 9$-O$ Z
Por +o tanto +a 0o+ución Óptima ,)rá1
0O!UCION OPTIMM), 7 inicia+
3ng. E"ra4n 2urillo
8
d
7 ina+
Cp
Ci
CT
Programación Dinámica Vul 6go Sep ;ct Bov Dic
$1
G ( $ G G $
G ( ( G
$ & 1 ( & $
( $ G G $ G
$G-?@ &K G $G-?@ &K $G-?(@ && $G-?(@ && G NK
( $ G G $ G 1
&N $ &K && &( G $G$
En consecuencia se deberá producir , G, , (, ( y G unidades en los meses de Vulio, 6gosto, Septiembre, ;ctubre, Boviembre y Diciembre respectivamente, obteniendo un costo total m4nimo de $G$ mil dólares.
P!ICCION &1 Contratación d) P)r,ona+ )n contratista necesita decidir el tama%o de su "uer!a de trabajo en las 1 semanas siguientes. El tama%o m4nimo de la "uer!a de trabajo necesario para las 1 semanas es de K, 1, (, K y M respectivamente. El exceso de trabajadores #ue se mantienen en la "uer!a laboral costará (GG dólares por trabajador, por semana y las nuevas contrataciones en cual#uier semana incurrirán en un costo "ijo de GG más &GG dólares por trabajador, por semana. Si la "uer!a de trabajo inicial es de trabajadores, y el costo de despido en cual#uiera de las semanas es de &GG dólares, determine los tama%os óptimos de la "uer!a de trabajo para el *ori!onte de planeación de 1 semanas. Determinar la pol4tica de contratación de personal en un *ori!onte de 1 semanas S;)03HB: a estructura del problema es: O$
9$ 9$
El re#uerimiento semanal de personal es:
O& 9&
r$
K
& r&
1
O( 9(
(
O. 9.
r(
(
r.
K
O1 1
r1 M
Donde: 9i: B7mero de trabajadores disponibles al inicio de la semana i Oi: B7mero de trabajadores a mantener en la semana i "i ?9i@ : alor acumulado de la "unción objetivo ?menor costo@ desde la etapa i *asta el "inal ri : 0osto de contratación - costo de despido -costo de exceso Oix: Decisión optima en la etapa i dado el estado 9i en el #ue se encuentra el n7mero de trabajadores disponibles en la etapa i 0osto 0ontratación .GG + &GG Q NroTrabaa doresContr atados , si Bro5rabajadores0ontr atados > G G, si Bro5rabajadores0ontr atados = G
3ng. E"ra4n 2urillo
Programación Dinámica 0osto de despido &GGQBro5rabajadoresDespedidos 0osto de exceso (GGQBro5rabajadoresExcedentes Entonces las iteraciones recursivas del problema son: E56P6 1
E56P6
E56P6 (
E56P6 &
E56P6 $
Pol4tica óptima: Etapa
9i
Oi
'e#uerimiento 0ontrato Despido Exceso 0osto
3ng. E"ra4n 2urillo
$K
Programación Dinámica $ & ( 1
K K K K
K K K K M
$L
K 1 ( K M
& &
$ ( 5otal
MGG (GG NGG MGG &MGG
a solución óptima es contratar & trabajadores en la primera semana, conservar K trabajadores durante las ( semanas siguientes y contratar & trabajadores más en la 7ltima semana. Esta pol4tica da como costo máximo &MGG dólares.
E*)rcicio: Determinar la pol4tica óptima de contratación de personal, si el re#uerimiento semanal es: Semana 'e#uerimiento
$ 1
& (
( M
1
1 L
P!ICCIÓN 91 pro.a.i+idad d) Funcionami)nto 0onsidere el dise%o de un dispositivo electrónico #ue consta de cuatro componentes principales. os cuatro componentes están dispuestos en serie, de manera #ue la "alla de uno de ellos *ará #ue "alle todo el dispositivo. ?ver siguiente diagrama@:
a con"iabilidad del dispositivo se puede mejorar a través de la instalación de unidades de reserva, lo #ue signi"ica #ue cada componente principal puede incluir *asta tres unidades en paralelo. ?ver diagrama siguiente@:
El capital total disponible para el dise%o del dispositivo es R$1 GGG. os datos de la con"iabilidad ' i?F i@ y el costo ci?F i@ del iésimo componente ? i $, &, (, @ dadas F i unidades en paralelo se resumen a continuación. Suponiendo #ue el dispositivo debe tener como m4nimo $ unidad de cada componente, determine el n7mero de unidades paralelas, F i, #ue debe tener el dispositivo de cada componente i de tal "orma #ue se maximice su probabilidad de "uncionamiento ?con"iabilidad@ sin exceder el capital asignado.
BC unidades en paralelo $ & (
$ P G,M G,M&
0osto ( 1
Bota: el costo esta en miles de soles S;)03HB: Estructura:
3ng. E"ra4n 2urillo
0;2P;BEB5ES EB SE'3E / 6 P 0osto P 0osto G,N ( G,K & G,N1 G,M G,N 1
5 P G,L G,L1 G,M1
0osto 1 L
Programación Dinámica
$M
Donde: 9i: 0apital disponible para la etapa i 9$: 0apital disponible para los componentes 9&: 0apital disponible para los componentes &, ( y 9(: 0apital disponible para los componentes ( y 9: 0api tal disponible para el componente Oi: B7mero de unidades en paralelo asignadas del componente i "i ?9i@ : alor acumulado de la "unción objetivo ?mayor probabilidad de "uncionamiento@ desde la etapa i *asta el "inal ri : probabilidad de "uncionamiento en la etapa i Oix: Decisión optima en la etapa i dado el estado 9i en el #ue se encuentra el capital disponible en la etapa i Entonces las iteraciones recursivas del problema son: E56P6
E56P6 (
E56P6 &
3ng. E"ra4n 2urillo
Programación Dinámica
$N
E56P6 $
P;35306 ;P5326 0omponente 0apital Disponible BC )nidades Probabilidad
$ $1 $ G.M
& & $ G.N
( N ( G.N
$ G.L
5otal G.1(K
Por lo tanto la solución es incluir $ unidad del componente $, $ unidad del componente & y ( unidades del componente (, de esta manera el dispositivo alcan!a una probabilidad de "uncionamiento del 1.(K\.
P!ICCIÓN '1 Pro.+)ma d) +a Moc:i+a Suponga #ue se tiene ( tipos de cargamento a transportar en una barco con capacidad para $G toneladas. En la siguiente tabla se muestra el peso y la utilidad de cada tipo de cargamento.
0arga 6 0arga T 0arga 0
Peso 5on ( 5on 1 5on
)tilidad] unidad de carga s]. $$GG s].LGG s].$&GG
Determinar el n7mero de unidades de cada tipo de carga a incluir en el barco de tal manera #ue se maximice su utilidad. S;)03HB: Estructura
Donde: 9i: 0apacidad disponible en la etapa i 9$: 0apacidad disponible para las ( cargas 9&: 0apacidad disponible para las cargas T y 0 9(: 0apacidad disponible para la carga 0 Oi: B7mero de unidades a incluir en el barco de la carga i "i ?9i@ : alor acumulado de la "unción objetivo ?mayor utilidad@ desde la etapa i *asta el "inal
3ng. E"ra4n 2urillo
Programación Dinámica
&G
ri : )tilidad en la etapa i Oix: Decisión optima en la etapa i dado el estado 9i en el #ue se encuentra la capacidad disponible del barco en la etapa i Entonces las iteraciones recursivas del problema son: E56P6 (
E56P6 &
E56P6 $
P;35306 ;P5326 0apacidad 06'>6 Disponible 6 $G T K 0 G
3ng. E"ra4n 2urillo
OiQ $ & G 5otal
)tilidad $$GG $GG G &1GG
Programación Dinámica
&$
Por lo tanto se debe incluir $ carga del tipo 6 y & cargas del tipo T, alcan!ando una utilidad de S].&1GG.GG.
P!ICCIONE0 PROPUE0T0 P!ICCIÓN $;- )na compa%4a dispone de L vendedores #ue deben trabajar en tres regiones. as siguiente tabla muestra el n7mero de ventas #ue resulta al asignar n vendedores a una región: n 'egiones ^ de trabajadores $ & ( G $G $& M $ $ $1 $& & $L $M $1 ( &( && $N &M &L && 1 ($ (( &N K (1 (K ( L G & (N Si la compa%4a exige por lo menos $, & y & agentes para las regiones $, & y ( respectivamente, determine la asignación óptima de agentes.
P!ICCIÓN /;- )na empresa sabe #ue la demanda de su producto durante cada uno de los cuatro meses siguientes será como sigue: 2es $ & ( )nidades $ ( & 6l principio de cada mes, la empresa debe determinar cuántas unidades se deben producir durante ese mes. Durante un mes en el #ue se produce cual#uier n7mero de unidades, se incurre en un costo de preparación de ( dólares. 6demás, *ay un costo variable de $ dólar por cada unidad producida. 6l "inal de cada mes, se incurre en un costo de 1G centavos de dólar por unidad en inventario. as limitaciones de capacidad permiten la producción de un máximo de 1 unidades durante cada mes. El tama%o de las bodegas de la empresa restringe el inventario "inal de cada mes a unidades cuando muc*o. a empresa desea determinar un calendario de producción para cada mes #ue cumpla a tiempo con las demandas y #ue redu!ca al m4nimo la suma de los costos de producción y de almacenamiento durante los cuatro meses. Suponer #ue *ay cero unidades al principio del primer mes.
P!ICCIÓN 6;- )na empresa de aparatos electrodomésticos tiene un contrato para entregar el siguiente n7mero de radios durante los tres meses siguientes: mes $, &GG radios[ mes &, (GG radios[ mes (, (GG radios. Por cada radio #ue se produce durante los meses $ y &, se incurre en un costo variable de $G dólares[ por cada radio producido durante el mes (, se incurre en un costo variable de $& dólares. El costo de almacenamiento es $.1G dólares por cada radio en inventario al "inal de un mes. El costo de preparar la producción durante un mes es &1G dólares. os radios #ue se "abrican durante un mes pueden servir para abastecer la demanda de ese mes o de alguno "uturo. Suponga #ue la producción durante cada mes debe ser m7ltiplo de $GG. Dado #ue el nivel inicial de inventario es cero, utilice la programación dinámica para determinar un calendario óptimo de producción.
P!ICCIÓN 5;- )n extraterrestre está a punto de regresar a casa. Para #ue su viaje tenga éxito deben "uncionar bien el relevador solar, el impulsor y la má#uina de caramelos. Encontró tres actores desempleados #ue desean ayudar a tener lista la nave para su despegue. En la tabla siguiente se presenta la probabilidad de #ue cada componente trabaje en "orma correcta durante el viaje, en "unción del n7mero de actores desempleados asignados a la reparación de cada componente.
3ng. E"ra4n 2urillo
Programación Dinámica
&&
B'; DE 605;'ES 6S3>B6D;S 6 )B 0;2P;BEB5E
0;2P;BEB5E 3mpulsor 'elevador solar Dulcer4a
G $ & ( .(G .11 .K1 .N1 .G .1G .LG .NG .1 .11 .MG .NM
0on programación dinámica ayude a maximi!ar la probabilidad de #ue el extraterrestre tenga un buen viaje de regreso.
P!ICCIÓN &;- Para graduarse en la universidad del estado, _ngela necesita pasar al menos uno de los tres cursos #ue toma este semestre. Está inscrita en "rancés, alemán y estad4stica. El *orario de las demás actividades le permite dedicar *oras de estudio por semana. a probabilidad de #ue _ngela pase cada materia depende del n7mero de *oras #ue dedi#ue a estudiarla ?véase tabla siguiente@ `;'6S DE ES5)D3; P;' SE26B6 G $ & (
P';T6T33D6D DE 6P';T6' E 0)'S; +rancés 6lemán Estad4stica .&G .&1 .$G .(G .(G .(G .(1 .(( .G .(M .(1 .1 .G .(M .1G
)tilice programación dinámica para determinar cuántas *oras por semana debe dedicar _ngela al estudio de cada materia. ?Sugerencia: Expli#ue por #ué maximi!ar la probabilidad de pasar al menos una materia es e#uivalente a minimi!ar la probabilidad de no aprobar las tres materias@.
P!ICCIÓN 9;- 0uesta G dólares comprar un telé"ono en una tienda de departamentos. os costos estimados de mantenimiento durante cada a%o de "uncionamiento se muestra en la tabla siguiente: 6;
$ & ( 1 0;S5; DE 26B5EB323EB5; ?Dólares@ &G (G G KG LG Puedo conservar un telé"ono cuando muc*o 1 a%os. 6cabo de comprar un telé"ono nuevo, y mi telé"ono anterior no tiene valor de salvamento. Determine cómo reducir al m4nimo el costo total de compra y "uncionamiento de un telé"ono durante los siguientes K a%os.
P!ICCIÓN ';- Suponga #ue un automóvil nuevo cuesta $GGGG dólares y #ue el costo anual de operación y valor de reventa son los #ue se muestran en la tabla siguiente: ED6D DE 6;' DE 0;S5; DE 6)5;2H3 'EEB56 ;PE'603HB ?6%os@ ?Dólares@ ?Dólares@ $ LGGG (GG a%o $ & KGGG 1GG a%o & ( GGG MGG a%o ( (GGG $&GG a%o
3ng. E"ra4n 2urillo
Programación Dinámica
&(
1 &GGG &GGG a%o 1 K $GGG $GGG a%o K Si tengo *oy un auto nuevo, determine una pol4tica de reempla!o #ue minimice el costo neto de poseer y operar un automóvil durante los siguientes K a%os.
P!ICCIÓN <;- )na 0orporación petrolera tiene millones de dólares para invertir en tres campos petroleros. as utilidades #ue gana el sitio i ?i$, &, (@ dependen de la cantidad invertida en él, tal como se muestra en la siguiente tabla: 06B53D6D 3BE'53D6 ?millones de dólares@
)533D6DES?millones de dólares@ 0ampo $ 0ampo &
0ampo (
G ( ( $ L K L & M $G M ( N $& $( $$ $ $1 Si se supone #ue la cantidad invertida en cada campo debe ser m7ltiplo exacto de $ millón de dólares, determine con programación dinámica una pol4tica de inversiones #ue eleve al máximo las utilidades #ue gana la corporación con sus tres campos petroleros.
P!ICCIÓN %;- El n7mero de cr4menes en cada una de las tres demarcaciones policiacas de una ciudad depende del n7mero de patrullas asignada a ellas ?véase la siguiente tabla@ B)2E'; DE P65')6S 6S3>B6D6S 6 06D6 DE26'0603;B
Demarcación $ Demarcación & Demarcación (
G $ & $ $G L &1 $N $K &G $ $$
( $ M
1 $ G $& $$ K 1
Se dispone de un total de 1 patrullas. 0on programación dinámica determine cuántas patrullas deben asignarse a cada demarcación.
P!ICCIÓN $=;- )na 0orporación internacional produce aviones livianos a pedido, y tiene los siguientes pedidos para ser entregados al "inal de los próximos 1 a%os: 6%o: Bro de aviones:
$ (
& 1
( &
$
1
a 0orporación puede construir *asta aviones en cual#uier a%o, y puede guardar *asta ( aviones en stocF. El costo de construcción de los aviones considera un costo "ijo de $ GGG GGG de dólares y un costo variable de 1GG GGG dólares por avión construido. Para mantener un avión en stocF durante el periodo de un a%o, el constructor gasta R 1G GGG. X0uál debe ser el plan optimo de construcción, de modo #ue se minimice el costo total de la corporaciónY. +ormule un modelo de programación dinámica para obtener la solución.
3ng. E"ra4n 2urillo
