Algebra, Trigonometría y Geometría Analítica Tarea 7- Ejercicios de Geometría Analítica, Sumatorias y Productorias
Presentado por: Jhon Edisson Trujillo Cifuentes. Código: 1.099.547.704 María Isabel Chacón Velasco. Código: 28.115.997 Angie Katherine Padilla. Código: 1.099.552.440
Tutor: Pablo Edilson Cerón Grupo: 301301_80
Universidad Nacional Abierta y a Distancia (UNAD) Algebra, trigonometría y geometría analítica Junio de 2017
INTRODUCCIÓN
Con la realización de este trabajo se da solución a los diferentes ejercicios de Geometría Analítica, Sumatorias y Productorias, además se describe e interpreta analítica y críticamente los diversos tipos de secciones cónicas, la recta, sumatorias, a través del estudio teórico y el análisis an álisis de casos modelos, para que puedan ser utilizados como herramienta matemática en la solución a situaciones problema de cualquier campo social y académico.
Además hay que tener en cuenta que la geometría o llamada también la ciencia que combina el Algebra y la geometría ayuda a describir figuras geométrica planas desde el punto de vista algebraico y geométrico. Esto se podría resumir diciendo que, dada gráfica, se debe encontrar una ecuación que la describa matemáticamente, o dando el modelo matemático, hacer la figura que la muestre gráficamente.
OBJETIVOS
Participar de forma adecuada siguiendo las instrucciones de la guía de actividades unidad
3, resolviendo los ejercicios y dando a conocer las habilidades y aprendizaje de estos, para todos tener participación y enseñanza. Resolver y analizar cada uno de los ejercicios paso a paso como se realiza Geometría
Analítica, sumatorias y productoras y luego dándoles solución en geogebra analizando las rectas y circunferencias.
DESARROLLO DE LA ACTIVIDAD
PROBLEMA 1: Para los puntos a y b determinar la respectiva distancia euclidiana, para el punto c determinar la coordenada solicitada.
a. 7,6 (3,2)
b. −2,6 (3,4) c. La distancia entre dos puntos es 5, uno de los puntos es el valor de la coordenada x en el punto W.
(2, ) y el otro punto
(6,5).Cual es
a. 7,6 (3,2) Se utiliza el teorema de pitagoras así:
+ √ + .
Que también podemos representar de ésta manera: Ahora bien, cada lado del triángulo es una medida lineal que representa la distancia de un punto a otro punto en un plano.
Entonces, si coordenada
o son rectas de un punto a otro otro punto, que representan representan una distancia en la y la otra en , cada lado del triángulo lo podemos representar así:
Para conocer la distancia de un punto a otro punto (El lado del triángulo), solo tenemos que restarlos.
+ ⟹ +
Entonces, para conocer la distancia (La hipotenusa), de nuestro teorema de Pitágoras, reemplazamos estos puntos en la fórmula:
Ya se imaginarán qué es lo que sigue, correcto, reemplazamos los puntos que nos dieron en el enunciado del problema:
+ + ⟹ √ + + ⟹ √ √ 3232 Hagamos las operaciones que estan dentro de la raíz:
La distancia Euclidiana entre los puntos (7,6) (3,2) es
b. −2,6 (3,4) Se toma el Teorema de Pitágoras y reemplazamos los puntos que nos dan en el enunciado:
+ + + ⟹ √ + + ⟹ √ √ 29.29. La distancia Euclidiana entre los puntos (-2,6) y (3,4) es
c. La distancia entre dos puntos es 5, uno de los puntos es es (2, ) y el otro punto (6,5).Cual es el valor de la coordenada x en el punto W. Se extraen los datos
2,2, 6,5 + 5 62 62 +5 D= 5
Remplazamos valores
Se eleva al cuadrado en ambas partes de la igualdad para eliminar raiz
5 62 62 +5 2562 +5 254 +5 2516+5 16+255 5 5 √ 9 5 ±√ 9 5 5 ±35 Desarrollamos los exponentes
Resolvemos paréntesis
Mandamos términos independientes al otro lado del igual.
Resolvemos. 9
Elevamos a la raíz cuadrada ambos lado de la igualdad para eliminar raíces
±
Como ya sabemos la raiz cuadrada maneja ambos signos positivo y/o negativo
Resolvemos raiz
Depejamos la variable x.
5±3 5+3 53
Hallamos dos valores positivo y/o negativo
x=8
x=2
Para el valor de x pueden ser
X=8 X=2
PROBLEMA 2 Demostrar que determine: Hipérbole:
Centro (-2.1) -h=2 -k=-1
3 8 +12+16+200
representa una hipérbole y
33+12 8+12 +12+16+200 8 16 16 20 3 + 4 8 2 +4+4 48 22+1 33+2 1 81 2 0 + 1 2 8 3+2 81 16 +2 1 3 16+ 2+ 81116 1616 3ℎ16 + 2 1 9 + 1 h=-2 k=1
PROBLEMA 3. Demostrar que elipse y determine: a. Centro b. Focos c. Vértices
+ ++
es la ecuación de una
Rta.
Al observar la ecuación general, vemos que efectivamente se trata de la ecuación de una elipse. Ello devido a que los coeficientes tanto de como de son numéricamente diferentes y, además tienen el mismo signo; rasgos característicos en la ecuación general de una elipse:
+ ++
Pero para demostrar analíticamente que se trata de una elipse debemos llevar o convertir la ecuación general a la forma de la ecuación canónica, característica de las elipses. Primero vamos a organizar la ecuación, juntaremos los términos con variables semejantes:
+ + + + + +
Despúes los términos que contienen las variables y las variables :
Para seguir, necesitamos que los coeficientes de las variables elevadas al cuadrado sean igual i gual a 1. Para conseguirlo, procedemos a factorizarlos. Sacaremos el factor factor común en ambas expresiones:
+ , + + + , + , + + + +, + , ,
Para seguir, convertimos las expresiones entre paréntesis en trinomios cuadrados perfectos:
Los términos independientes de los trinomios se hallaron al elev ar al cuadrado la mitad del coeficiente del segundo término de cada trinomio. trinomio. Y ese mismo término término independiente se multiplica con su respectivo factor común y ese producto se plasma al otro lado de la igualdad, para que no se nos desbalancee:
+ , + , + + + ,
Ahora, factorizamos los trinomios. Tal factorización nos arrojará un binomio al cuadrado. Cada término del binomio se obtiene al sacar la raíz cuadrada del primer término más(el signo del segundo término), la raíz cuadrada del tercer término(el término independiente):
+, ++ ,
Bien, pero ahora necesitamos que al lado lado derecho de la ecuación tengamos un “1”. Para conseguirlo, dividimos ambos lados de la expresión con el término que está al lado dercho de la ecuación:
+ + , +, , , , + + +, , , Quedando de esta manera:
Pero necesitamos que los binomios cuadrados tengan un coeficiente igual a 1. Para ello, si es posible, simplificamos los coeficientes coeficientes de los binomios cuadrados con los denominadores:
+ + +, , ⁄ , ⁄ Finalmente obtenemos:
+ + ⟺ + +, , , Esta es la ecuación canónica de nuestro nuestro problema. ya podemos ir sacando unas conclusiones. Se trata, por ejemplo, de una elipse cuyo eje mayor se encuentra paralelo al eje de las ordenadas, debido a que el mayor denominador de las fracciones se encuentra bajo el binomio que contiene la variable . También se puede observar que se trata de una elipse cuyo centro , no se encuentra en el origen de coordenadas.
a. CENTRO
ℎ,ℎ,
ℎ,
ℎ
El centro está definido por , y para conocerlo basta con reemplazar las variables y con los valores de la ecuación canónica que hemos hallado:
, , ⟹ , ⟹
Multiplicamos todos los términos de las igualdades por -1 :
Así, el centro de nuestra elipse es
. ,
b. FOCOS La distancia focal en la elipse esta dada por la ecuación:
. .
Reemplacemos las variables por los valores que hallamos en nuestra ecuación:
La ecuación:
. ⟹ √ .. ±. ±4. 9 ℎ 0.1 , + , ⟹ ., . ′.,. 2 ℎ,+ ℎ, + ′ ℎ, ℎ+, ′ℎ, . √ .. ⟹ ± . .. , .. ′. . , .. . √ . . ⟹ ±
Los focos de nuestra elipse se encuentran a una distancia, sobre el eye Y desde el centro de la elipse, de . Así, como el eje mayor se encuentra sobre las ordenadas partiendo partiendo desde en el eje X, los puntos focales son:
y
y
Como el centro de la elipse no está ubicado en el origen de las coordenadas, a la distancia focal hallada( ) se le debe sumar o restar el valor en Y del punto central de la elipse, que en éste caso es .
c. VÉRTICES
El punto del vértice mayor está dado por menor está dado por y Como
y
.
, entonces
Ahora sólo hay que reemplazar:
y
Como
Vertices Mayores
, entonces
. Y El punto del vértice
., ′., + + ⟺ + +, , , y
Vertices Menores
Demostración.
a. CENTRO: b. FOCOS:
. , ., . ′.,. y
c. VÉRTICES: Vértices Mayores: Vértices Menores:
...,,..′.′,. ,. y
y
PROBLEMA 4. Dada la ecuación, identificar centro, vértices y focos.
+ 5 1 +7 16 25
Para desarrollar la ecuación usamos al ecuación de la Elipse (identificamos que es elipse porque los dos valores en ella se suman)
− + − 1
Iniciamos identificando su Centro, C = ( h , k ) -h = 7 h = -7 (multiplicamos ambos valores por -1) -k = -5 k = 5 (multiplicamos ambos valores por -1) Entonces su centro es,
Ahora reemplazamos
16 √ 1616 4 25 √ 2525 5
C = (-7 , 5)
, para hallar los vértices.
Sacamos raíz cuadrada a ambos valores para eliminar el exponente
Sacamos raíz cuadrada a ambos valores para eliminar el exponente
Posteriormente identificamos con c minúscula el valor que hay desde el centro de la Elipse a los
√ + √ 4 + 5 √ 9
focos:
3
Teniendo estos valores, procedemos a ubicarlos en el plano cartesiano
PROBLEMA 5. Demostrar que la ecuación Determinar:
a. Centro
b. Radio
Separamos las x de las y
+2490 +
+ +2490
Es una circunferencia.
+ + 2 49 + +2+149+1 ++1 50 + √ .
Hacemos competición de cuadrados:
(
(
Factorizamos
Buscamos el radio y centro por formula general:
RADIO= 7.07
-h=0
-k=1
Se multiplican ambos lados por -1 h=0 k=-1
PROBLEMA 6. Demostrar que la ecuación
18 6414+1500
parábola, comprobar con Geogebra. Determine: a) Vértice b) Foco c) Directriz Tenemos que factorizar:
29 327+750 9 327+750 Completamos el trinomio cuadrado perfecto para x:
3 32+ 2569 7+75 2569 0 3 32+ 2569 7+ 4199 0 Completamos el cuadrado:
16 3 3 7 4199 16 3 3 3 7 3 7 94199 16 9 79 41981
, Representa una
16 419 77 9 79 99 16 419 79 9 79 97 16 9 79 79 41963 Factorizamos:
16 9 79 [ [ 46963 ] Identificamos que es una parábola de la forma:
ℎ 44 Dónde:
ℎ 169 41963 4 4 79 → 367 Obtenemos:
ℎ,ℎ, → ℎ, + → → 1.78,6.655 1.78,6.855 6.46
169 , 41963 1.78,6.655 169 , 41963 + 367 → 169 , 57584 1.78,6.85 41963 367 → 6.46
Vertice Foco
Directriz
Comprobación con geogebra
PROBLEMA 7. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto la recta
7+210
.
A la recta conocida la vamos a denominar
y es perpendicular a
y a la recta desconocida la vamos a denominar
Primero se procede a calcular la pendiente de la recta conocida.
+
10,0
.
+ + 17 ∗21 7+ 0710 + 70 +
Multiplicamos toda la expresión por -1.
Como se tiene para rectas perpendiculares que:
Ahora planteamos la ecuación de la recta
Pero la recta pasa por el punto
,
Entonces:
Comprobacion con Geogebra
.
.
1 ∗2 ∗2 1
2,
8,4
PROBLEMA 8. Una circunferencia corta al eje x en dos puntos, tiene de radio 10 unidades, el centro está en circunferencia.
y pasa por el punto
Extraemos datos: Centro: (-2,k) Radio:10 Puntos: (8,-4) Se sustituyen valores de la regla general.
ℎ + (8 (8 2) + 4+ 10 10 +4+ 10 4+ 0 4 0 Resolvemos paréntesis.
Eliminamos términos iguales
.Hallar la ecuación general de dicha
4 ℎ + +2 +4 100 +2+4+ 8+4+161000 + +28800 Remplazamos lo valores en la regla general.
Organizamos variable y resolvemos términos independientes.
PROBLEMA 9. Resolver la siguiente sumatoria y comprobar con Geogebra.
3+4 ∑=− 2+3 Hallar para k=-1, 1, 2, 3
31+4− 30+4 31+4 32+4 33+4 ∑=− 21+3 + 20+3 + 21+3 + 22+3 + 23+3 1− 0 7 6+4 13 ∑=− 1 + 3 + 5 + 7 + 9 1 ∑=− 11 +0+ 75 + 1007 + 2.1997 ∑=− 1 + 0 + 1.4 + 14.285 + 244.11 ∑=− 260.796
Problema 10. Resolver la siguiente sumatoria y comprobar con Geogebra.
=− + 4 =− 1 + 4 2 + 4
=− 1 + 4 8+4 8+ 4 =− 512 ∏=− 60
CONCLUCIÓN
Al finalizar la conclusión del trabajo colaborativo obtuvimos lo siguiente que es muy importante verificar el resultado con Geogebra, esta nos p ermite tener una idea de la logica de las ecuaciones e inecuaciones. Tambien nos deja de enseñanza a trabajar en equipo para sacar adelante nuestros logros y metas.
BIBLIOGRAFÍA Andalón, J. (2010). Ecuación (2010). Ecuación general de la recta. Real, M. ((2010)). Ecuación ((2010)). Ecuación general de la recta. Real, M. (2010). Secciones Cónicas. rendón, J. (s.f.). Algebra, (s.f.). Algebra, Trigonometría y Geometría Analítica. . Bogotá . Bogotá D.C.
