TAREA 7 Desarrollar ejercicios de Geometría Analítica, Sumatorias y Productorias
GRUPO: 301301_113
TUTOR CARLOS ANDRES CANTOR
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA- UNAD CEAD JOSE ACEVEDO Y GOMEZ BOGOTÁ D.C JUNIO 24 DE 2018 INTRODUCCIÓN A continuación, se desarrollan los ejercicios de la tarea 7 del curso de Álgebra, Trigonometría y Geometría Analítica, con los cuales se describe e interpreta analítica y críticamente los diversos tipos de geometría analítica, sumatorias y productorias, a través del estudio teórico y el análisis de casos modelos,
para que puedan ser utilizados como herramienta matemática en la solución a situaciones problema de su campo social y académico.
DESARROLLO DE LA ACTIVIDAD Problema 1. Para los puntos a y b determinar la respectiva distancia euclidiana, para el punto c determinar la coordenada solicitada. Solución a.
, ,
, − + − 51 + 12 4 4 + 72 16+49/49 113/4 √ 1213 √ 1213 ≈ 5.3150729063667325
b.
, , −
, − + − 61+14 2 7 + 74 49 + 4916 81633
7√ 417 ≈ 7.21543484
c. La distancia entre dos puntos es 4, uno de los puntos es P (9, y) y el otro punto es Q (9, 3). ¿Cuál es el valor de la coordenada y en el punto P?
, − + − 4 99 + 3 4 99 + 3 99 + 3: 6+9 16 6 +9
16 6 +9: 7, 1
Problema 2. Demostrar que: hipérbola y determine: a. Centro b. Focos c. Vértices Solución Ecuación de la Hipérbole:
representa una
Cuando la hipérbole se abre hacia arriba y hacia abajo con centro (h,k ), semieje a y semieje conjugado b.
Sumamos 29 en ambos lados de la ecuación
+ + + + + + + ++ + + + + + + + + +
Factorizamos el coeficiente de términos
Se divide el coeficiente entre términos cuadrados: 9
Se divide el coeficiente entre términos cuadrados: 4
Se convierte x a la forma cuadrática
Se convierte y a la forma cuadrática
Simplificamos
Rescribimos
+ + + + +
Las propiedades de la hipérbole son: (h,k)= (-1,2), a=3, b=2 El centro es: (-1,2)
Problema 3. Demostrar que: una elipse y determine: a. Centro b. Focos c. Vértices
+ +
es la ecuación de
Solución
+ + + + ++ + + ++ + + ++ + + + + + + + + + + +
La ecuación de la elipse es
+ +
a. Centro El centro de la elipse es
:, b. Focos
→ →
√ √ +√ , ′√ , c. Vértices
±, ±, → , , , ± , ± → , ,
Problema 4. Dada la ecuación, identificar centro, vértices y focos.
a. Centro
+ + :,
b. Focos
→ → √ +, → , ′, → ′, c. Vértices
±, ±, → , , , ± , ± → , ,
Problema 5. Hallar la ecuación canónica de la circunferencia que contiene los puntos (4,3), (8,2) y (5,1). Grafique en Geogebra para verificar. Solución
+ + + + 0 Punto 1 (4,3)
4 + 3 + 4+3+ 0 16+9+4 +3 + 0 4 +3 + 25 Punto 2 (8,2)
8 + 2 + 8+2+ 0 64+4+8 +2 + 0 8 +2 + 68 Punto 3 (5,1)
5 + 1 + 5+1+ 0 25+1+5 + + 0 5 + + 26 Al resolver el sistema de ecuaciones, se obtiene:
La ecuación queda:
48 +3 + 25 +2 + 68 5 + + 26 857 397 2827 + 857 397 + 2827 0
+
Problema 6. Demostrar que la ecuación una parábola, comprobar con Geogebra. Determine: a) Vértice b) Foco c) Directriz Solución
4 6 +17 0 4 6 17 + 4 6 17 + 4 6 +17 +2 4 6 +17 +2 6+17+4 +2 6 +21
representa
a) Vértice
+2 6( 216 ) +2 6( 72) 2 6 3
El vértice es
:(2, 72)
b) Foco Para el foco se le resta la mitad del parámetro a la ordenada del vértice:
c) Directriz
:(2, 72 32) : 2,2
La directriz es horizontal
72 + 32 5
Problema 7. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto perpendicular a la recta . Solución
++
Ecuación: Punto:
3x+2y+4 0 1,4 + 4 1+ 4 + 1 3x+2y+4 0
Se reemplaza el punto en la ecuación general de la recta
La ecuación conocida es:
,
y es
2 3 4 32 42 32 2 32 2 . 1 . 32 1 23
Dos rectas son perpendiculares si:
Con la pendiente hallamos a b en la ecuación 1:
1 1 4 23 1 4 23 + 23 23 + 23 +4 23 + 143
La ecuación de la recta que pasa por el punto recta es:
++
+
,
y es perpendicular a la
Problema 8. Una circunferencia corta al eje x en dos puntos, tiene de radio unidades, el centro está en y pasa por el punto . Hallar la ecuación general de dicha circunferencia. Grafique en Geogebra para verificar.
,
√
+ Centro= (6,k) h=6 k=k Radio= Punto (9,4) X=9 Y=4
√
+ √
,
+ + + ++ + Se sustituye K
∗++ ∗+ ++ + + +
Problema 9: Resolver la siguiente sumatoria y comprobar con Geogebra.
2 + 1 ∑=− +2 21 + 1− 1 ∑=− 1+2 3 20 + 1 1 ∑=− 0+2 2 21 + 1 ∑=− 1+2 1 22 + 1 81 ∑=− 2+2 4 23 + 1 6859 ∑=− 3+2 5
1 1 81 6859 ∑=− 3 + 2 +1+ 4 + 5 1393.8 Comprobación con geogebra
Problema 10: Resolver la siguiente productoria y comprobar con Geogebra.
∏=− + 2 ∏1 + 2 1 =−
∏0 + 2 4 =− ∏1 + 2 9 =− ∏2 + 2 100 =− ∏3 + 2 841 =−
∏=− 1∗4∗9∗100∗841 3027600 Comprobación con geogebra
CONCLUSIONES Podemos concluir de la realización de los ejercicios de algebra y geometría de la importancia que estas tienen para el estudio de fenómenos con elipses, cónicas, distancias entre puntos de rectas, sumatorias y productorias. Todas estas de gran importancia del área de las matemáticas formales, aunque aparentemente este tema no es de uso cotidiano, si aporta en la habilidad para la resolución de problemas de mediana y alta complejidad asociados a nuestra vida profesional.
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS Gallent, C., & Barbero, P. (2013). Programación didáctica. 4º ESO: matemáticas opción B. Alicante, ES: ECU. Páginas 115 - 146. Recuperado de http://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2077/lib/unadsp/reader.action?ppg=11 5&docID=10751153&tm=1487191476956 Mesa, O. J., & González, P. L. (2009). Propiedades de las sumatorias. Córdoba, AR: El Cid Editor | apuntes. Páginas 1 – 9. Recuperado de http://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2077/lib/unadsp/reader.action?ppg=1& docID=10337606&tm=1488213109114 Martínez, B. C. (2011). Estadística básica aplicada (4a.ed.). Bogotá, CO: Ecoe Ediciones. Páginas 33 38. Recuperado de – http://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2077/lib/unadsp/reader.action?ppg=10 &docID=10624529&tm=1488213400370 Ortiz, C. F. J. (2014). Matemáticas 3 (2a. ed.). México, D.F., MX: Larousse Grupo Editorial Patria. Páginas 48 – 140. Recuperado de http://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2077/lib/unadsp/reader.action?ppg=5& docID=11046371&tm=1488213794691 Rondón, J. (2017). Algebra, Trigonometría y Geometría Analítica. Bogotá D.C.: Universidad Nacional Abierta y a Distancia. Páginas 285 – 347. Recuperado de http://hdl.handle.net/10596/11583 Escobar, J. (2017). Sumatorias http://hdl.handle.net/10596/11582
y
Productorias.
Recuperado
de
