301301 271 Tarea 3 Completo

TRABAJO COLABORATIVO # 2

Presentado Por: JARY MARCELA BURBANO ORTEGA LUIS FERNANDO JIMENEZ Tutora: MERENICE HUERTAS BELTRAN

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA ALGEBRA, TRIGONOMETRIA Y GEOMETRIA ANALITICA 2014

INTRODUCCION En este trabajo pretendemos desarrollar ejercicios correspondientes a la temática de funciones, trigonometría e hipernometria; entendiendo a cada una de ellas como ramas importantes dentro del estudio de las matemáticas y el desarrollo de la materia que llevamos a cabo. En cuanto al tema de las funciones se desarrollaran unas relacionadas al dominio y rango y a las operaciones dadas entre las mismas; la trigonometría desarrolla su temática dentro de las identidades trigonométricas y de problemas relacionados con la ejecución de teoremas y aplicación del conocimiento referente al estudio de las situaciones triangulares. Por ultimo encontramos el tema de la hipernometria relacionada con el estudio de las funciones hiperbólicas que parten del estudio del entendimiento y desarrollo de un ejercicio con el concepto de cada función hiperbólica.

Ejercicio #1 𝑓 (𝑥 ) =

𝑥+5 √1 − √𝑥 − 2

Para sacar el dominio de la función debemos empezar analizando su denominador ya que no nos puede dar 0 porque no se puede resolver Verifiquemos el denominador √1 − √𝑥 − 2

Si analizamos √𝑥 − 2 x no puede ser < 2 ya que daría negativo y no se podría resolver por ende x tendría que ser >= 2 Ya tenemos despejando la primera raíz decimos que x debe ser x>=2 pero ahora analicemos tomando toda la fracción del denominador √1 − √𝑥 − 2 Deduciendo debemos decir que √𝑥 − 2 su resultado debe de ser <1 ya que si sería >=1 no se podría resolver ejm: Si decimos que x = 3

√1 − √3 − 2 = √1 − 1 = 0 No se podría resolver ya que su resultado es 0 Si decimos que x = 4 √1 − √4 − 2 = √1 − 1.41 = √−0.41 No se podría resolver Entonces concluimos que x esta entre todos los racionales donde x es mayor o igual a 2 pero menor que 3 expresado seria: {𝑥 ∈ 𝑅 ∶ 2 ≤ 𝑥 < 3}

Ejercicio #2 𝑥 𝑥2 + 𝑥 + 4 𝑥 𝑥(𝑥 + 1) + 4 El rango de la ecuación esta entre: 1 1 {𝑥 ∈ 𝑅 ∶ − ≤ 𝑦 ≤ } 3 5

Ejercicio #3 Dada las funciones 𝑓(𝑥 ) = √𝑥 + 1

𝑔(𝑥 ) = 𝑥 2 + 1 Determine:

𝑎. 𝑓 − 𝑔 (√𝑥 + 1) − (𝑥 2 + 1) −𝑥 2 + √𝑥 + 1 − 1

𝑏. 𝑓 + 𝑔 √𝑥 + 1 + (𝑥 2 + 1) 𝑥 2 + √𝑥 + 1 + 1 𝑐. 𝑓 𝑜 𝑔 Realizamos 𝑓 𝑠𝑢𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑦𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑥 𝑝𝑜𝑟 𝑔 √(𝑥 2 + 1) + 1 √𝑥 2 + 2 𝑑. (𝑓𝑜𝑔 )(3) Realizamos 𝑓 𝑠𝑢𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑦𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑥 𝑝𝑜𝑟 𝑔 √(𝑥 2 + 1) + 1 √𝑥 2 + 2 Luego dice que la x esta evaluada en 3 entonces realizamos la sustitución √(3)2 + 2 √11 = 3.31

Ejercicio #4 Dada las funciones 𝑓(𝑥 ) = 4𝑥 2 − 1

𝑔(𝑥 ) = √𝑥 Determine:

𝑎. 𝑓 + 𝑔 4𝑥 2 − 1 + √𝑥 4𝑥 2 + √𝑥 − 1 𝑏. 𝑓 − 𝑔 4𝑥 2 − 1 − √𝑥 4𝑥 2 − √𝑥 − 1 𝑐. ( 𝑓 𝑜 𝑔)(1) Realizamos 𝑓 𝑠𝑢𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑦𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑥 𝑝𝑜𝑟 𝑔 4(√𝑥)2 − 1 4𝑥 − 1 Luego dice que la x esta evaluada en 1 entonces realizamos la sustitución 4(1) − 1 = 3

d. (𝑔 𝑜 𝑓)(2)

Realizamos 𝑔 𝑠𝑢𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑦𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑥 𝑝𝑜𝑟 𝑓 √4𝑥 2 − 1

Luego dice que la x esta evaluada en 2 entonces realizamos la sustitución √4(2)2 − 1 √15 = 3.87

Ejercicio #5

1 1 + = 𝑠𝑒𝑐 2 𝑥 2 𝑐𝑜𝑡 𝑥 sin 𝑥 csc 𝑥 Se descompone la función Cscx establecida en el denominador para cancelar con la función Senx 1 1 + = 𝑠𝑒𝑐 2 𝑥 2 𝑐𝑜𝑡 𝑥 sin 𝑥 1 sin 𝑥 1 + 1 = 𝑠𝑒𝑐 2 𝑥 𝑐𝑜𝑡 2 𝑥 Se realizan la respectiva suma de fraccionarios 1 + 𝑐𝑜𝑡 2 𝑥 = 𝑠𝑒𝑐 2 𝑥 𝑐𝑜𝑡 2 𝑥 Transformamos la función 1+cot 2x=csc2x 𝑐𝑠𝑐 2 𝑥 = 𝑠𝑒𝑐 2 𝑥 𝑐𝑜𝑡 2 𝑥 Transformamos las dos funciones y realizamos la división 1 𝑠𝑒𝑛 2 𝑥

𝑐𝑜𝑠 2𝑥

÷ 𝑠𝑒𝑛2 𝑥 = 𝑠𝑒𝑐 2 𝑥

Se cancelan la función Sen2x en los denominadores de cada fracción por ser términos semejantes 1 = 𝑠𝑒𝑐 2 𝑥 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 Se igualan las identidades 𝑠𝑒𝑐 2 𝑥 = 𝑠𝑒𝑐 2 𝑥

Ejercicio #6 Verifique la siguiente identidad 𝑐𝑜𝑠ℎ2 𝑥 − 𝑠𝑒𝑛ℎ2 𝑥 = 1

Reemplazamos términos teniendo en cuenta Las definiciones 𝑒 𝑥 + 𝑒 −𝑥 2 𝑒 𝑥 − 𝑒 −𝑥 2 𝑒 2𝑥 + 2 + 𝑒 −2𝑥 𝑒 2𝑥 − 2 + 𝑒 −2𝑥 ( ) −( ) = − 2 2 4 𝑒 2𝑥 + 2 + 𝑒 −2𝑥 − 𝑒 2𝑥 + 2 − 𝑒 −2𝑥 4 Cancelamos términos 4 =1 4

Ejercicio #7

El sonar de un barco de salvamento localiza los restos de un naufragio en un ángulo de depresión de 12°. Un buzo es bajado 40 metros hasta el fondo del mar. ¿ Cuánto necesita avanzar el buzo por el fondo para encontrar los restos del naufragio?

mar 12° 12° Distancia

naufrago

El fondo del mar es paralelo a la superficie del agua, el ángulo desde los restos del naufragio hasta el barco es igual al ángulo desde el barco hasta los restos del naufragio. El buzo es bajado (40 m) esta es la longitud del lado opuesto al ángulo de 12°. La distancia que el buzo necesita avanzar es la longitud del lado adyacente al ángulo de 12°. Por esto se utiliza la tangente.

tan 12° =

40 d

𝑑 (tan 12°) = 40 𝑑=

40 𝑡𝑎𝑛 12°

𝑑 = 188,19 El buzo necesita avanzar 188,19 metros para llegar al naufragio

Ejercicio #8 Desde un extremo de un puente de 270 metros de longitud se divisa un punto ubicado en el fondo de un precipicio con un ángulo de depresión de 74°, y desde el otro extremo del puente se aprecia el mismo punto con un ángulo de 69°. Calcule, en metros la distancia desde el segundo extremo del puente al punto divisado.

270 metros 74°

69°

d=?

Para calcular el Angulo faltante sumamos los dos ángulos y luego restamos su resultado por 180 74+69=143 180-143=35 El ángulo faltante es 35° Aplicamos el teorema de seno:

𝑑 270 = 𝑠𝑖𝑛74° sin37° 𝑑=

270 ∗ 0,96 0,60

𝑑 = 432

La distancia desde el segundo extremo del puente al punto divisado es 432 metros.

Ejercicio #9 9. Encuentre el Valor de X 3 sin 𝑥 tan 𝑥 + 3 sin 𝑥 − tan 𝑥 − 1 = 0 Lo primero que vamos a realizar es una factorización de términos 3 sin 𝑥(tan 𝑥 + 1) − (tan 𝑥 + 1) = 0 (3𝑠𝑒𝑛𝑥 − 1)(𝑡𝑎𝑛𝑥 + 1) = 0 Sacamos los dos paréntesis y realizamos la respectiva evaluación 

3𝑠𝑒𝑛𝑥 − 1 = 0

𝑠𝑒𝑛𝑥 =

1 1 → 𝑥 = sin−1 3 3

X=19.47 

𝑡𝑎𝑛𝑥 + 1 = 0

𝑡𝑎𝑛𝑥 = −1 → 𝑥 = tan−1 −1 X=135 y 225