1 Ejercicios de Geometría Analítica, Sumatorias y Productorias
Tutor: Didier Albeiro Vaquillo Plazas
Jhon Jairo Duran Gonzalez Código 74380350 Numero de grupo 301301_120
Universidad Nacional Abierta y a Distancia UNAD Programa Ingeniería Industrial Algebra Trigonometría Y Geometría Analítica 301301A_360 Mayo de 2017
2 Introducción
El trabajo a desarrollar será el análisis de diversas temáticas como lo son Geometría Analítica, Sumatorias, Producto rías. Se tendrán en cuenta ejercicios de hipérbola, elipse, vértices, centros, focos, rectas perpendiculares, entre muchas otras. Esto se podría resumir diciendo que, dada gráfica, se debe encontrar una ecuación que la describa matemáticamente, o dando el modelo matemático, hacer la figura que la muestre gráficamente. La Geometría Analítica fue desarrollada por el famoso Filósofo y Matemático Renato Descartes (1.596 – 1.650) quien a partir del planteamiento del plano cartesiano; también de su autoría, desarrolla toda la teoría geométrica, para darle nombre matemático a las figuras como la elipse, parábola y otras.
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Objetivos Realizar analizar los diferentes ejercicios planteados de Geometría Analítica, S umatorias y Productorias. Consolidar los conocimientos adquiridos para implementarlos en la carrera que estoy desarrollando. Identificar el desarrollo de los parámetros para realizar la con strucción de una circunferencia.
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1.Para
los puntos a y b determinar la respectiva distancia euclidiana, para el pu nto c determinar la coordenada solicitada. a. (7,6) (3,2)
+
Lo primero que hare es utilizar la formula de distancia euclidiana que es: Donde x1 = 7 x2 = 3 y1 = 6 y2 = 2 Remplazamos términos
+26 37 +4 √ 416+16 √ ≈. +
b. (−2,6) (3,4) Aplicaremos la formula euclidiana
Donde x1 = -2 x2 = 3 y1 = 6 y2 = 4 Remplazamos términos
+46 32 √ 52 5+4 +2 √ ≈. 5 2, 6,5 +
c. La distancia entre dos puntos es 5, uno de los puntos es (2, ) y el otro punto es el valor de la coordenada x en el punto W. Seleccionamos los datos
Utilizaremos la formula euclidiana Donde
(6,5).Cual
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+ 2562 +5 + 2516+2510+ 10+16 28 20 80 x8 3 8 +12+16+200 Elevamos al cuadrado los de los términos para quitar la raíz
Igualamos a 0 y realizamos las respectivas operaciones
Realizamos factorización a la ecuación cuadrática que es Despejamos X y igualamos a 0
2.
Determine: a.
Centros
2 ℎ 2 1 02 (2)2 1 2√ √ 322 ℎ, 2,0,1, 2√ √ 32 2,0 b. Focos
2,1+, 1,4 1 22 2 +√ 32: 3 2,1+ 232,2,1 232
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c.
Vértices
ℎ,2,1, √ 2 , √ 43 (2,1+√ 2), 2,1 √ 2 10 +4 +2+16144 3. Demostrar que: determine:
es la ecuación de una elipse y
a. Centro
b. Focos
c. Vértices
Solución
10 +4 +2+16144 10 +2+4 +16144 10 + 15 +4 +4144 10 + 15 + 1001 1001 +4 +4+44 144 1 10+ 10 1001 +4+2 4144 10+ 10010 +4+ 16144 1 10+ 10 +4+2 144+16+ 10010 1 10+ 10 +4+2 160+ 101
Agrupamos los términos de: X, Y.
Realizamos, Completación de cuadrados perfectos.
Realizamos las operaciones posibles, y pasamos los términos independientes, a lado derecho de la igualdad.
Realizamos las operaciones al lado derecho de la igualdad.
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1 10+ 10 +4+2 16010 + 101 1 10+ 10 +4+2 160110 1 100+ 10 +40+2 16011 100+1601 + 401601 + 1 1 +10 +2 + 1 1601 1601 100 40 1100601 140601 1100601 160140 , 1601 1601 100 40 1100601 160140 1100601 160140
Realizamos multiplicación en x. Realizamos multiplicación en x.
. .
Determinamos h y k Posteriormente describimos el CENTRO de la elipse.
que equivale a una distancia necesaria para determinar los Focos. Encontramos
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ℎ, + 101 , 2+ 1100601 160140 FOCOS:
ℎ, 101 , 2 1100601 160140 VERTICES:
,′ + 101 + 1100601 , 2 ′ 101 1100601 , 2 ,′ + 101 , 2+ 160140 , ′ 101 , 2 160140 , Comprobación en geogebra.
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4.Dada
+ 5 1 +7 16 25 +
la ecuación, identificar centro, vértices y focos.
Donde podemos observar que es una elipse ya que su fórmula es
Entonces Para hallar su centro que en este caso es (h,k) los puntos que nos da la formula -h = 7 = -7 -k = -5= 5 Por el centro será Centro: (-7,5) Donde a es la distancia mayor de la elipse y se haya Sacamos raíz en los dos lados Entonces
25 √ 25 16 √ 16
Donde a es la distancia mayor de la elipse y se haya Sacamos raíz en los dos lados
10 Entonces
√ 2516 √ 9 3 75 =ℎ 7+5 =ℎ =54 =5+4 + 5+3 + 53
Para identificar la distancia que hay desde el centro hasta sus focos se utilizara la siguiente formula
Entonces Entonces reunimos datos Centro: (-7,5) Vértices
Entonces los puntos del vértice 1 son V1 = (-12,5)
Entonces los puntos del vértice 2 son V2= (-2,5)
Entonces los puntos del vértice 2 son V3= (-7,1)
Entonces los puntos del vértice 2 son V4= (-7,9) Focos
F1= (-7,8)
F2= (-7,2)
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5.
Demostrar que la ecuación a. Centro
+ +2490
Es una circunferencia. Determinar:
b. Radio Solución:
+ +2490 + +249 + ++491 + + 491 + + 1+49 ++ 59 ℎ0 1 √ 50 √ 50 √ 50 2 . 5 5. √ 2 5.√ 2 0 ℎ,,1
Realizamos completacion de cuadrados perfectos, para obtener las respuestas.
Radio
Centro
6.Demostrar
18 6414+1500
que la ecuación comprobar con Geogebra. Determine:
a) Vértice
, Representa una parábola,
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b) Foco c) Directriz 18x^2 - 64x - 14y + 150 = 0
x^2 - (32 / 9)x - (7 / 9)y + (25 / 3) = 0
x^2 - (32 / 9)x + (25 / 3) = (7 / 9)y
x^2 - (32 / 9)x + (32 / 2*9)^2 - (32 / 2*9)^2 + (25 / 3) = (7 / 9)y
[ x^2 - (32 / 9)x + (32 / 2*9)^2] - (32 / 2*9)^2 + (25 / 3) = (7 / 9)y
(x - 16 / 9)^2 - (16 / 9)^2 + (25 / 3) = (7 / 9)y
(x - 16 / 9)^2 - (256 / 81) + (25 / 3) = (7 / 9)y
(x - 16 / 9)^2 + (419 / 81) = (7 / 9)y
(x - 16/9)^2 = (7/9)y - (419 / 81)
(x - 16/9) = 7/9 (y - 419/63)
La ecuación general de una parábola es:
(x - h)^2 = 4p (y - k)
vértice(h, k)
⇒
vértice(16/9 ; 419/63)
4p = 7/9
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p = 7/36
foco(16/9 ; 419/63 + 7/36)
foco (16/9 ; 575/84) directriz:
y = (419/63 - 7/36)
y = 1627/252
7+210 7+210 7.Hallar
la ecuación de la recta que pasa por el punto (10,0) y es perpendicular a la recta
Sea la recta
donde su pendiente m1 es:
1
la pendiente de la recta perpendicular a esta tendrá pendiente m2 donde m2= - 1/ m1 m2= -7 entonces teniendo la pendiente de la recta y un punto, entonces por ecuación punto pendiente:
1 2 1
siendo y1 y x1 las coordenadas del punto que verifica tu ecuación
0 710 7+700
la ecuación de tu recta queda
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9.
Resolver la siguiente sumatoria y comprobar con Geogebra.
Suma[(3k+4)^k/(2k+3),k,-1,3]
3+4 ∑=− 2+3 3+4 ∑=− 2+3
− 31+4 30+4 31+4 32+4 21+3 + 20+3 + 21+3 + 22+3 3 3 +4 + 23+3 3+4 3+4− 0+4 3+4 6+4 9+4 ∑=− 2+3 2+3 + 0+3 + 2+3 + 4+3 + 6+3 3+4 1− 4 7 10 13 ∑=− 2+3 1 + 3 + 5 + 7 + 9 3+4 1 1 7 100 2197 ∑=− 2+3 1 + 3 + 5 + 7 + 9 3+4 82256 ∑=− 2+3 315
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10.
Resolver la siguiente sumatoria y comprobar con Geogebra
Solución:
∏ +4 =− 1 +4 0 +41 +42 +4
34512720
16 Conclusiones Cada una tiene aplicaciones prácticas principalmente empleadas en el estudio de las orbitas. Las sumatorias son la representación de una suma do nde las cantidades pueden ser finitas o infinitas divididas en ciertas propiedades como numero de términos, diferencias de dos o más variables, descomponer en dos o más sumatorias parciales dichas propiedades nos aportan nociones indispensables para nuestro proceso formativo. Hay cuatro tipos de crónicas, que son la hipérbola, parábola, circunferencia y elipse.
17 Referencias Rondón, J. (2011). Algebra, Trigonometría y Geo metría Analítica. Bogotá D.C.: Universidad Nacional Abierta y a Distancia. Páginas 34 1 – 350. Recuperado de:http://hdl.handle.net/10596/7301 Rondón, J. (2011). Algebra, Trigonometría y Geo metría Analítica. Bogotá D.C.: Universidad Nacional Abierta y a Distancia. Páginas 27 8 – 350. Recuperado de:http://hdl.handle.net/10596/7301 Rondón, J. (2011). Algebra, Trigonometría y Geo metría Analítica. Bogotá D.C.: Universidad Nacional Abierta y a Distancia. Páginas 27 8 – 328. Recuperado de: http://hdl.handle.net/10596/7301
