INDICE pág. Triple Triple producto escalar……………………………………………………………………… …………..3 Producto punto y producto cruz……………………………………………………………………..3 Cálculo de l triple producto escalar……………………………………………………………….…4 Interpretación geométrica………………………………………………………………… …………...5 Relaciones cclicas……………………………………………………………………… …………………..! Relaciones cclicas……………………………………………………………………… …………………..! "olumen de un paraleleppedo……………………………………………………………… ….……# "ectores coplanares…………………………………………………………………… ………………….#
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INTRODUCCION
%n ciencia e ingeniera encontramos cantidades &ue tienen magnitud y solo magnitud' la masa' el tiempo o la temperatura. %stas cantidades las llamamos escalares' dirección asociada. %ste segundo grupo incluye el desplazamiento. Cantidades con magnitudes y dirección serán llamadas cantidades (ectoriales' usualmente el tratamiento elementales' un (ector es de)nido como una cantidad &ue tiene magnitud y dirección. Para distinguir (ectores de escalares' identi)caremos las cantidades (ectoriales con una *ec+a arri,a' o ,ien con letra en negrita esto es ". -n (ector puede ser con(eniente representar por una *ec+a con largo proporcional a la magnitud. a dirección de la *ec+a /
da la dirección del (ector el sentido positi(o de la dirección es indicado por la punta.
TRIPLE PRODUCTO ESCALAR os triples productos aparecen cuando se desea de)nir multiplicaciones entre tres (ectores. -na e0presión de la 1orma no tiene muc+o sentido por&ue el resultado del primer producto es un escalar 2 no es posi,le calcular el producto punto entre un nmero escalar y un (ector. 6in em,argo' cuando los (ectores son elementos de ' podemos com,inar el producto punto con el producto cruz para de)nir una nue(a operación entre tres (ectores &ue se denomina triple producto escalar pues el resultado será una cantidad escalar. %s importante indicar escalar para di1erenciarlo del triple producto (ectorial &ue se o,tiene al multiplicar tres (ectores usando nicamente el producto cruz y cuyo resultado es' por tanto' un (ector. %l triple producto escalar de los (ectores está de)nido como 3
se denota por
y
7onde .
son los (ectores unitarios en la dirección de los tres e8es
%l producto corresponde a un (ector perpendicular a cuya norma o módulo es
y
Producto punto y producto cruz: %l producto punto es una operación entre dos (ectores &ue da como resultado un nmero un escalar' por lo &ue tam,ién se le conoce como producto escalar' y está de)nido como . %ntre sus principales propiedades se encuentra el resultado
7onde es el ángulo &ue 1orman los dos (ectores. -sando ese resultado 7os (ectores sonelperpendiculares si para y sólodeterminar s . dos (ectores es posi,le esta,lecer siguiente criterio si son perpendiculares ortogonales: Cuando los (ectores son tridimensionales esto es' son (ectores de es posi,le de)nir otra multiplicación de (ectores cuyo resultado sea tam,ién un (ector9 dic+a operación se denomina producto cruz o producto (ectorial' de)nido mediante el determinante. . 7onde nue(amente' 4
es el ángulo entre los (ectores.
7el resultado anterior se deducen dos resultados: %l (alor de y . os (ectores
es igual al área del paralelogramo determinado por y
son paralelos colineales si y sólo s
;,ser(emos la similitud entre este criterio y el de perpendicularidad para el producto punto.
Cálculo del triple producto escalar Para +allar una 1órmula &ue permita calcular el (alor del triple producto escalar a partir de las coordenadas de los (ectores procedemos a realizar la sustitución del producto cruz:
%n donde +emos usado &ue y
.
6in em,argo' la ltima e0presión o,tenida es precisamente el desarrollo de un determinante' esto es:
INTERPRETACION EO!ETRICA 5
a similitud &ue e0iste entre las 1órmulas de determinantes para calcular el producto cruz y el triple producto escalar tiene su paralelo en el siguiente teorema: 6i son (ectores tridimensionales' entonces al (olumen del paraleleppedo de)nido por
es igual
Paralelepípedo determinado por tres vectores
7onde
es el ángulo entre los dos (ectores
Diagrama para demostrar la interpretación geométrica.
=
y
.
Por otro lado corresponde al área del paralelogramo &ue 1orman los (ectores y es el ángulo entre ellos.
7onde es la altura del paralelogramo' como indica la )gura' es el área del paralelogramo de la ,ase y es el (olumen del paraleleppedo. a interpretación geométrica anterior proporciona un tercer criterio geométrico de estilo similar a los se>alados para los otros productos. Tres (ectores
son coplanares si y sólo si .
o anterior se sigue de &ue el (olumen del paraleleppedo tendrá (olumen cero si y sólo si los (ectores &ue los de)nen están en un mismo plano y por tanto tendrá altura cero.
RELACIONES C"CLICAS: < partir de la 1órmula de determinante podemos o,tener el (alor del triple producto escalar cuando los (ectores aparecen en distinto orden.
Por e8emplo'
'
Puesto &ue intercam,iarlos )las de un determinante corresponde a cam,iar de signo el (alor. %n general' intercam,iar el orden de dos términos en el triple producto escalar corresponde a un cam,io de signo. Realizando esta transposición de términos dos (eces regresamos al (alor original y as o,tenemos la siguiente relación cclica: !
Relaciones c#clicas: < partir de la 1órmula de determinante podemos o,tener el (alor del triple producto escalar cuando los (ectores aparecen en distinto orden. Por e8emplo'
' Puesto &ue intercam,iarlos )las de un determinante corresponde a cam,iar de signo el (alor. %n general' intercam,iar el orden de dos términos en el triple producto escalar corresponde a un cam,io de signo. Realizando esta transposición de términos dos (eces regresamos al (alor original y as o,tenemos la siguiente relación cclica:
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