Espacio vectorial con producto interno y sus propiedades
Defnición. Un producto interior sobre un espacio vectorial V es una unción que asocia un número real < u, v > con cada pareja de vectores u y v en V, de tal manera que se satisacen los aiomas si!uientes por todos los vectores vectores u, v, " en en V y todos los escalares escalares #. $% )% +% %
& 'aioma de simetr(a% &&** 'aioma 'aioma de aditiv aditividad% idad% <u, v>& 'aioma de -omo!eneidad% / 0 and &0 'aioma de positividad% 1i y solo si v&0
Un espacio vectorial con un producto interior se conoce como espacio de productos interiores. 2spacios con producto interior 2l producto interior euclidiano es solo uno m3s de los productos internos que se tiene que defnir en 4n 5ara distin!uir entre el producto interno normal y otros posibles productos internos se usa la si!uiente notación. u 6v & producto punto 'producto interior euclidiano para 4n% 7u, v8 & producto interno !eneral para espacio vectorial V. V.
9as si!uientes propiedades adicionales se deducen de inmediato a partir de los cuatro aiomas de los productos interiores: i. ii. iii.
<0, v> & & 0 "> & * & 1e probar3 ii. ; se dejan i e iii como ejercicios. & 'por simetr(a% & *<" u>*<",, u> 'por 'por adit aditiv ivid idad ad%% & *< v>* 'por 'por sime simetr( tr(a% a%
2jemplo $: 1ean u&'u$u)% y v&'v$*v)% son vectores en 4 ), entonces &+u$v) * )u)v)
Defne un producto interior. = fn de verifcarlo, nótese primero que si se intercambian u y v en esta ecuación, entonces el se!undo miembro permanece inalterado. 5or tanto. & 1i "&'"$,")%, entonces * 9o cual establece el se!undo aioma. = continuación,
<u,v> & +'U$%v$ *)'u)%v) & '+u$v$ * )u)v)% & 9o cual establece el tercer aioma. 5or último, &+v$v$ * )v)v) & +v$) *)v)) bviamente, & +v $) * )v)) /0. =dem3s &+v$)*)))&0 si y solo si v$&v)&0? es decir, si y solo si v & 'v $, v)%&0. 5or tanto, se satisace, el cuarto aioma. 2l producto interior de este ejemplo es dierente del producto euclidiano interior sobre 4)? esto indica que un espacio vectorial puede tener m3s de un producto interior.
2jemplo ) 1i
U
=
u1
u2
u3
u4
y
V =
v1 v3
v2 v4
1on dos matrices cualesquiera de ) ), entonces la órmula que si!ue defne un producto interior sobre @)): & u$v$ * u)v) * u+v+ * uv 5or ejemplo, si
[ ]
U =
1 3
2 4
V =
y
[
−1
3
0 2
]
2ntonces & $'A$% * )'0% * +'+% * ')% & $B
Bases ortonormales, proceso de Gram-Schmidt.
Defnición. 1e dice que un conjunto de vectores en un espacio de productos ineriores es un conjunto orto!onal si todas las parejas de vectores distintos en el conjunto son orto!onales. Un conjunto orto!onal en el que cada vector tiene norma $ se conoce como ortonormal. 2jemplo $: 1ea 1
v$ & '0,$,0%, v) & ' √ 2
, 0,
1
√ 2
1
%, v+ & ' √ 2
, 0,
−
1
√ 2
%
2l conjunto 1& Cv$, v), v+ es ortonormal si 4+ tiene el producto euclidiano interior, ya que
& & & 0 ;
E v$E &
E v)E &
E v+E & $
=-ora se ver3 cómo cualquier base en 4 n se puede FconvertirG en una base ortonormal. 2l mHtodo descrito a continuación se denomina proceso de ortonormaliIación de JramA1c-midt.
1ea V cualquier espacio de productos interiores dierente de cero y con dimensión n, y supón!ase que 1 &Cu$,u),K,un es cualquier base para V.
9a sucesión si!uiente de pasos produce una base ortonormal Cv$, v), K vn para V. 5aso $.
1ea v$ &
u1
2l vector v$ tiene norma $
∥ u1 ∥
5aso ). 5ara construir un vector v) de norma $ que sea orto!onal a v$, se calcula la componente de u) orto!onal al espacio L$ !enerado por v$ y, a continuación, se normaliIa: es decir,
∥ u2−¿ u u2−¿ u
V) &
2,
2,
v1 >¿ v 1 ∥
v1 >¿ v 1
¿
u 2− proy
∥ u 2− proy
w1
u2
w1
u ∥
=¿
2
5aso +. 5ara construir un vector v+ de norma $ que sea orto!onal tanto a v$ como a v), se calcula la componente de u+ orto!onal al espacio L) !enerado por v$ y v), y se normaliIa? es decir
∥ u3−¿ u u3−¿ u
V+ &
3,
3,
v1 >¿ v 1−¿ u ,v 3
v1 >¿ v1− ¿ u , v 3
2
> v2
>v
2
∥
2
¿ u3 − proy
∥ u3 − proy
w2
u3
w2
u3
∥
=¿
Momo en el paso ). 9a independencia lineal de Cu $,u),K,un ase!ura que 3−¿ u 3 , v 1 >¿ v 1−¿ u
u¿
3
, v 2> v2 ≠ 0
de modo que siempre se puede eectuar la
normaliIación.
Construcción de una base ortonormal en R 3
Monstruya una base ortonormal en 4+ comenIando con la base
C v$, v), v+ &
{( )( )( )} 1 1 0
0 1 1 0 1 1
1olución
() 1
1e tiene Nv$N & √ 2 , entonces u$&
√ 2 1
. 2ntonces
√ 2 0
V)O& v) P'v) u$%u$ &
√ √ 3 2
,u 2=
2 3
A
( )()()( ) 1
−1
√ 2
0 2 2 1 = 1 − 1 = 1 √ 2 1 2 2 √ 2 0 1 0 1
( )( ) −1
Momo Nv)QN &
() 0 1 1
1
−1
√ 6 2 1 1 = √ 6 2 2 1 √ 6
Montinuando, se obtiene v+Q&v+ P'v+ u$%u$ P 'v+u)%u)
() 1
&
()
1 1 0 − √ 2 1
( ) ()( )( ) −1
√ 6
1
−1
2
6 3 1 2 1 1 1 2 = 0 − 1 − = − 1 − 6 3 √ 6 √ 6 1 2 √ 2 2 2 2 0 0 6 3 √ 6
√ 2
()
5or ultimo, Nv +QN&
√
12 9
=
2
√ 3
,demaneraqueu3 =
√ 3 2
( )( ) −
2
1
3 2
√ 3
3 2 3
( )( )( ) 1
√ 2
ortonormal en 4+ es
1
√ 2 0
−1
1
√ 6
√ 3
−1
1
,
√ 6
,
√ 3
2
1
√ 6
√ 3
.
=
−1
√ 3 1
√ 3
. =s(, una base
