OSNOVE MATRI ČNE ANALIZE KONSTRUKCIJA dr Mira Petronijevi ć
Matrič na analiza konstrukcija
1
MATRIČNA ANALIZA KONSTRUKCIJA 1. Uvod
Pojavom računara metoda deformacije je doživela potpunu afirmaciju. Osnovna ideja postupka je da se konstrukcija može modelirati određenim brojem elemenata (štapova), međusobno vezanih u č vorovima. U svakom elementu sile i pomernja unitar elementa se mogu iskazati u funkciji od pomeranja krajnjih ta čaka elementa (6 osnovnih deformacijski nepoznatih veli čina štapa). Nepoznate komponente pomeranja čvorova nosača određuju se iz uslova ravnoteže čvorova sistema. Ceo postupak je progodan za programiranje i danas je uobičajen u prora čunu konstrukcija. Na slikama 1 i 2 su prikazani modeli punog i rešetkastog nosača u ravni. Brojevima su ošnačeni čvorovi nosa ča, dok su brojevima u kruži ću označeni elementi nosa ča, tj. štapovi.
2
1 1
2
3
4
3
5
4
9
5 8
10
6 6
9
Slika 1. Pun nosa č broj elemenata 9, broj č vorova: 10
štapovi
i
m
č vorovi
Slika 2. Rešetkast nosač
j
7 7
8
Matrič na analiza konstrukcija
2
2. Rešetka u ravni
Osnovni element rešetkastog nosača je prost štap m, koji je u č vorovima i i j zglavkasto vezan sa ostalim delovima nosa ča (sl.2). Štap je izložen aksijalnom naprezanju. Na krajevima štapa javljaju samo aksijalne sile F 1, F 2 i odgovaraju ća pomeranja q1, q2 u pravcu ose štapa (slika 3). Dakle štap ima dva stepena slobode pomeranja. 2.1 Element rešetke. Matrica krutosti štapa
Neka je F vektor sila na krajevima štapa, a q vektor pomeranja krajeva štapa:
F 1 F= F 2
q2 u1 = q2 u2
q=
1
(1)
2
F 1 , q1
F 2 , q2 l
Slika 3. Aksijalno napregnut štap Veza između vektora sila i pomeranja štapa se može lako izvesti polaze ći od osnovnih jednačina teorije štapa. Promena dužine tetive štapa ∆l je jednaka razlici komponenata pomeranja krajeva štapa u pravcu ose štapa:
∆l = q 2 − q1
(2)
Dilatacija ose štapa je jednaka promeni dužine po jedinici dužine, tj. ε
=
∆l
(3)
l
Napon, tj. normalna sila se odre đuje direktno iz dilatacije: N = F σ = EF ε =
EF l
(q 2 − q1 )
N
(4)
N
F 1
F 2
Slika 4. Iz jednačine (4) se dobijaju sile na krajevima štapa F 1 i F 2 (Slika 4): F 1
= − N =
EF l
(q1 − q 2 )
F 2
= N =
Ako jednačine (5) napišemo u matri čnom obliku, dobija se:
EF l
(−q1 + q 2 )
(5)
Matrič na analiza konstrukcija
3
F1 EF 1 −1 q1 = F2 l −1 1 q2 tj.
F = Kq vektor pomeranja krajeva
gde su F i q vektor sila i konstantnog popre čnog preseka
K =
(6)
(7)
štapa, dok je K matrica krutosti štapa
−1 k11 k 12 = l −1 1 k21 k 22
EF 1
(8)
Elementi matrice krutosti k ij imaju jasno fizi čko značenje koje direktno sledi iz matri čne jednačine (8). Element k ij predstavlja silu F i usled jediničnog pomeranja q j. Tako, svaka j-ta vrsta matrice krutosti predstavlja sile na krajevima štapa usled pomeranja q j=1 (slika 5). k 21
k 11
k 22
k 12
q1=1
q2=1
Slika 5. Ako je štap izložen uticaju temperaturne promene u osi t on trpi dodatnu dilataciju: ε t= α tt
(9)
gde je α t koeficijent termičke dilatacije materijala. Ukupna normalna sila će biti: N = EF (ε + ε t ) =
EF l
( q 2 − q1 ) + EF α t t
(10)
Uvodeći matričnu notaciju, iz jedna čine (10) se dobija vektor sila u obliku:
F1 EF 1 −1 q1 −1 = − EFα t t 1 F2 l −1 1 q2
(11)
Drugi član desne strane jedna čine predstavlja vektor ekvivalentnog opterećenja (Sl.6): Qt
−1 = EFα t t 1
(12)
Sa uvedenim obeležavanjem dobija se jednač ina elementa u matričnom obliku: F = Kq − Q t
(13)
Qt
Q1=EF αt t
t
Q2=EF αt t
Slika 6. Vektor ekvivalentnog optere ćenja
Matrič na analiza konstrukcija
4
2.2 Lokalni i globalni koordinatni sistem. Transformacija koordinata
Jednačina elementa (13) je formulisana u lokalnom koordinatnom sistemu xOy, gde se x-osa podudara sa osom štapa, dok je y-osa normalna na x i orjentisana tako da zajedno sa z -osom čini Dekartov koordinatni sistem desne orjentacije (slika 7). Y
x
y
F*4, q*4
F 2, q2 lokalni koordinatni sistem
globalni koordinatni sistem F*3, q*3
F*2, q*2
F 1, q1
α
F*1, q*1
O
X
Slika 7. Da bi mogli da formulišemo jedna čine sistema potrebno da sva pomeranja i sile na krajevima štapova budu izraženi u istom koordinatnom sistemu. To zna či da se mora definisati jedinstven globalni koordinatni sistem XOY, za sve štapove, koji će takođe biti desne orjentacije (slika 7). Njegov položaj u ravni može biti proizvoljan. Najbolje je, globalni sistem postaviti tako, da je lako odrediti kooordinate svih ta čaka sistema. Vektor sila F tj. vektor pomeranja q krajeva štapa u lokalnom sistemu ima 2 komponente (po jednu na svakom kraju u pravcu ose štapa), dok u globalnom koordinatnom sistemu vektor sila F* tj. vektor pomeranja q* ima četiri komponente (po 2 na svakom kraju, u pravcu osa X i Y globalnog koordinatnog sistema), slika 7.. q1* F 1* * * q1 F 1 q2 F * * q= F= q = * F = 2* (14) q F q2 F 2 3 3 q4* F 4* Pošto su vektor sila, vektor pomeranja krajeva štapa i matrica krutosti štapa dati u lokalnom koordinatnom sistemu neophodno je izvršiti transformaciju koordinata i prevesti ih u globalni koordinatni sistem. Kako su lokalni i globalni sistem ortogonalni, transformacija koordinata je relativno jednostavna. Transformacija pomeranja tj. sile iz jenog sistema u drugi, se dobija direktno projektovanjem komponenata pomeranja/sile u globalnom sistemu na pravac pomeranja/sile u lokalnom sistemu (sl.8). q2*
q1
α
q1*
Slika 8. Transformacija vektora iz globalnog u lokalni koordinatni sistem
q1 = q1* cosα + q2* sin α
α je ugao koji osa štapa zaklapa sa X-osom.
(15)
Matrič na analiza konstrukcija
5
Ako jednačinu transformacije napišemu u matri čnom obliku, za oba kraja štapa, dobija se veza između vektora pomeranja u lokalnom i globalnom koordinatnom sistemu:
q1* 0 q2* sin α q3* q4*
q1 cos α sin α 0 = 0 cos α q2 0
⇒
q = T q*
(16)
gde je T matrica transformacije 0 cos α sin α 0 0 cos α sin α 0 Matrica transformacije je ortogonalna: T=
(17)
Tt = T-1
(18)
Pa se iz jednačine (16) dobija da je: *
t
q =T q
(19)
Iz jednačina (13) i (16) se dobija da je: F = K q = K T q*
= Kˆ q*
(20)
ˆ daje vezu izme đu sila u lokalnom sistemu i pomeranja u globalnom sistemu: gde matrca K sin α − cos α − sin α (21) sinα l − cos α − sin α cos α Na osnovu činjenice da je F*=TtF iz jednačine (20) dobija se veza izme đu vektora sila i pomeranja u globalnom koordinatnom sistemu u obliku: ˆ q* = K *q * (22) F* = T t K ˆ = K
EF cos α
gde je K * matrica krutosti u globalnom koordinatnom sistemu ˆ = Tt K T K* = Tt K
(23)
Množenjem matrica
cos α 0 sin α 0 * EF cos α sin α − cos α − sin α K = 0 cos α l − cos α − sin α cos α sin α sin α 0
dobija se da je: K *
gde je K e submatrica oblika:
=
EF K e l
-K e
-K e K e
(24)
Matrič na analiza konstrukcija
6
cos 2 α cos α sin α (25) K e = 2 cos sin sin α α α Vektor ekvivalentnog čvornog optere ćenja Qt takođe treba transformisati iz lokalnog u globalni koordinatni sistem. Primenom gore objašnjene transformacije, dobija se da je vektor ekvivalentnog čvornog optere ćenja u globalnom sistemu Qt* jednak: Q*t = Tt Qt
Nakon matri čnog množenja, dobija se: 0 cos α − cos α sin α − sin α − 0 1 * EFαtt = EFα t t Qt = 0 cos α 1 cos α sin α 0 sin α
(26)
3. Puni nosači
Osnovni element punih nosa ča u ravni je greda, kruto vezana na oba kraja sa ostalim delovima nosa ča. U metodi deformacije taj element nazivamo štap tipa k . On je izložen aksijalnom naprezanju i savijanju. 3.1 Gredni element. Matrica krutosti štapa tipa k
Štap tipa k ima 6 stepeni slobode pomeranja, po tri u svakom čvoru: dva pomeranja u pravcu x i y ose i rotaciju oko z ose. ϕ , i
M i
vi , T i
ϕ k ,
u ,i N i
i
l
M k
vk , T k
k
Slika 9. Gredni element uk , N k
Vektor sila F i vektor pomeranja q krajeva štapa u lokalnom koordinatnom sistemu su:
q1 u i q v 2 i q3 ϕ i q= = q 4 u k q5 v k q 6 ϕ k
F 1 N i F T 2 i F 3 M i F= = F N 4 k F 5 T k F 6 M k
(27)
Da bi izveli matricu krutosti grednog elementa razmatra ćemo aksijalno naprezanje i savijanje nezavisno jedno od drugog (slika 10).
Matrič na analiza konstrukcija
Q3 , F 3
7
q2 , F 2
i
q6 , F 64
q5 , F 5
savijanje
k
+
q1 ,F 1
aksialno naprezanje
q2 , F 2
i
k
Slika 10.
Matrica krutosti za aksijalno napregnut element je predhodno izvedena (8). Matrica krutosti štapa izloženog savijanju
Matrica krutosti za sluč aj savijanja K s se može izvesti polaze ći od zna čenja koeficijenata matrice: K ij predstavlja silu na mestu i usled jediničnog pomeranja na mestu j. K 21=6EI/l 2
2
q2=1 K 22=4EI/l
K 41=6EI/l
q1=1
K 11=12EI/l 3
2
K 23=-6EI/l
K 12=6EI/l 2
K 31=-12EI/l 3
K 43=-6EI/l 2
K 24=2EI/l
K 42=2EI/l
K 32=6EI/l 2
q4=1 K 24=4EI/l
q3=1
K 13=-12EI/l 3
K 33=12EI/l 3
K 14=6EI/l 2
K 34=6EI/l 2
Slika 11. Na slici 11 su prikazani elementi matrice krutosti K ij, i=1,4, prizmatičnog štapa dobijeni usled pomeranja q j=1 , j=1,4. Vrednosti elemenata matrice krutosti K ij su određene primenom metode sila. Oni predstavljaju reakcije dva puta stati čki neodre đenog nosača (sl.11) usled zadatog pomeranja oslonca. Matrica krutosti štapa se može napisati u obliku:
12 6l 2 EI 6l 4l s K = 3 l − 12 − 6l 2 6l 2l
− 12 6l − 6l 2l 2 12 − 6l − 6l 4l 2
(28)
Vektor ekvivalentnog čvornog optere ćenja Qs u lokalnom koordinatnom sistemu ima 4 komponente:
Matrič na analiza konstrukcija
8
Q1 Q 2 s Q = Q3 Q4
(29)
One su jednake negativnim vrednostima reakcija oslonaca obostrano uklještene grede (štapa tipa k) usled zadatog optere ćenja (sl.12): jednakopodeljeno optere ćenje y p y(x)=p
pl 2 pl 2 12 s Q = pl 2 pl 2 − 12
reakcije x
l Q2
Q4
ekvivalentno č vorno opterećenje Q3
Q1 temperaturna razlika
t o
∆t = t u- t o > 0
reakcije x
l
h u
t Q2
Q4
0 ∆t − 1 Q = EI α t h 0 1
ekvivalentno č vorno opterećenje
Slika 12. Matrica krutosti štapa tipa k
Matrica krutosti elementa se dobija iz matrice krutosti prostog štapa i grede optere ćene na savijanje stavljanjem odgovaraju ćih članova matrica K s i K a na odgovaraju ća mesta u matrici krutosti grede K :
Matrič na analiza konstrukcija
9 aksijalno n.
EF EF − 0 0 0 0 l l 12 EI 6 EI 12 EI 6 EI 0 − 0 3 2 3 2 l l l l 6 EI 4 EI 6 EI 2 EI 0 − 2 0 2 l l l l K = EF − EF 0 0 0 0 l l 12 6 12 6 EI EI EI EI 0 − 3 − 2 − 2 0 3 l l l l 6 EI 2 EI 6 EI 4 EI 0 − 2 0 l 2 l l l
(30)
savijanje
Uslov ravnoteže grednog elementa optere ćenog proizvoljnim optere ćenjem se može napisati u matričnom obliku: F = K q – Q
(31)
Vektor ekvivalentnog optere ćenja se takođe dobija postavljanjem na odgovaraju ća mesta predhodna 2 vektora:
Q1 Q 2 Q3 Q= Q4 Q5 Q6
aksijalno n. (32)
savijanje
3.2 Matrica transformacije
Y x
y F 5, q5 F 6, q6 F 2, q2 F 1, q1
O
F*5, q*5 F*6, q*6 F 4, q4 F*2, q*2
F 3, q3
F*3, q*3
F*4, q*4
α
F*1, q*1
Slika 13.
X
Matrič na analiza konstrukcija
10
Matrica transformacije se dobija projektovanjem komponenata vektora pomeranja/sila u globalnom koordinatnom sistemu na pravac komponenata lokanog koordinatnog sistema: Y q*2 ,F*2
= q1*cosα + q 2* sinα q 2 = − q1* sinα + q 2* cos α q1
F , q q2 , F 2
x
M*, ϕ * M, ϕ
q1 , F 1
(33)
ϕ = ϕ*
X
α
q*1 , F*1
Slika 14. Vektorska transformacija Kada se napiše u matri čnom obliku, za oba kraja štapa, veza izme đu pomeranja u lokalnom i globalnom koordinatnom sistemu glasi: q = T q*
(33)
gde je T matrica transformacije:
cos α sin α − sin α cos α 1 T = cos α sin α − sin α cos α 1
(34)
Matrica transformacije je ortogonalna: Tt = T-1
pa je: *
t
q =T q
t
*
F =T F
*
t
Q =T Q
Odakle sledi da je:
= Kˆ q* ˆ =KT daje vezu uzme đu sila u lokalnom koordinatnom sistemu i pomeranja u Matrica K globalnom koordinatnomsistemu. Na osnovu toga da je F*=TtF dobija se veza izme đu sila i pomeranja u globalnom koordinatnom sistemu: ˆ q* = K *q * (35) F* = T t K F = K q = K T q*
gde je K * matrica krutosti elementa u globalnom koordinatnom sistemu: t
K* = T K T
(36)
Matrič na analiza konstrukcija
11
4. Globalna analiza sistema q2*2
Sistem štapova
q1*2
3
3
2
nepovezan sistem štapova
2
2
q6* q4*2 q3*2
2 q4*1
1 1
q4*
2
Povezan sistem štapova
q3*1
2
q3*
q2*
q2*1
1
q5*
3
q1*1
1
q1*
1
Slika 15. Vektor pomeranja nepovezanog i povezanog sistema štapova Matrice krutosti K *e nepovezanih elemenata 1 i 2 su: 1
*1 K =
*1 k11 *1 k21 *1 k31 *1 k41
2
3
4
*1 k12 *1 k22 *1 k32 *1 k42
*1 k13 *1 k 23 *1 k 33 *1 k 43
k14*1 *1 k 24 *1 k 34 *1 k 44
*2 K =
1 2 3 4
5
6
3
*2 k11 *2 k21 *2 k31 *2 k41
*2 k12 *2 k22 *2 k32 *2 k42
*2 k13 *2 k 23 *2 k33 *2 k 43
4 *2 5 k14 *2 6 k 24
*2 3 k 34 *2 4 k 44
(37)
Sve vrste i kolone se numerišu (kodraju) odgovaraju ćim kodnim brojevima, prema tome kako su predhodno ozna čene komponente sila, tj. pomeranja čvorova u globalnom koordinatnom sistemu, polazeći od čvora koji je definisan kao "prvi čvor elementa". Matrica sistema povezanih štapova na slici 15. ima 6 elemenata (= 3 čvora x 2pomeranja). Ona daje vezu izme đu 6 komponenata pomeranja q 1*, q2*,…., q6* i 6 komponenata sila u * * * čvorovima F 1 , F 2 ,…., F 6 u globalnim koordinatama. q1* q2*
k111 1 k12 k1 K * = 31 1 k41
q3*
q4*
q5*
1 k12
1 k13
1 k14
1 k22
1 k 23
1 k 24
1 k32
1 k 33 + k332
1 k34 + k342
2 k 31
1 k42
1 k 43 + k432
1 k 44 + k442
2 k 41
k112
k122
2 k13
2 k 21
2 k 22
2 k 23
q6 *
2 k 32 2 k 42 2 k14 2 k 24
kodni brojevi F 1* F 2* F 3* F 4*
(38)
F 5* F 6*
Dobija se formiranjem nulte matrice reda 6. Prvo se kodiraju sve vrste i kolone te matrice. Zatim se članovi matrica krutosti pojedinih elemenata K *e stavljaju na odgovaraju će mesto u matrici krutosti K *, prema kodnom broju. Članovi koji imaju isti kodni broj se sabiraju. Vektor ekvivalentnog čvornog optere ćenja Qt * se takođe dobija jednostavnim sumiranjem komponenata vektora optere ćenja svakog elementa sa istim kodnim brojem:
Matrič na analiza konstrukcija
12
Q1,*t Q1,*1t * *1 Q2,t Q2,t Q3,* t Q3,*1t + Q3,*2t * = *1 *2 Q4,t Q4,t + Q4,t Q5,* t Q1,*2t * *2 Q6,t Q2,t Q2,*2t
3
3
t
Q6,* t
Q1,*2t 2
2
Q4,*1t
1
Q4,* t
Q3,*2t
2
Q3,*1t
Q2,*1t
1
Q5,* t
3
Q4,*2t
2
t
1
(39)
2
Q3,* t
Q2,* t
1
Q1,*t
Q1,*1t
Slika 16. Vektor ekvivalentnih sila nepovezanog i povezanog sistema štapova Lako se može pokazati da matri čna jednačina (40) predstavlja uslove ravnoteže sila u svim čvorovima: K *q * = P * + Qt *
(40)
gde je P* vektor spoljašnjeg optere ćenja u čvorovima. Ako uvedemo obeležavanje: S*
= P* + Q*t
(41)
dobija se da je: K *q*
(42) = S* Jednačina (42) predstavlja sistem od N linearnih algebarskih jedna čina, gde je N broj stepeni slobode sistema. Matrica K * je matrica krutosti sistema. Ona je singlarna matrica, posto sistem jednačina (42) sadrži u sebi i veze sila i pomeranja sistema kao krutog tela (linearno zavisne jednačine). Jednačina (42) se može rešiti tek pošto se sistemu zadaju grani čni uslovi (uslovi oslanjanja). Ako sa q*n obeležimo vektor pomeranja slobodnih čvorova (nepoznata pomeranja), a sa q s* vektor poznatih pomeranja (pomeranja oslonaca), tada jedna činu (42) možemo napisati u obliku:
K *nn K *ns q*n S*n = * * * * K K q ss s sn S s gde su K *ij , i S*i , submatrice i subvektori, koje odgovaraju pomeranjima qi* , i,j=n,s. U praksi mogu nastupiti 2 slu čaja:
(43)
Matrič na analiza konstrukcija
13
1. kada je vektor poznatih pomeranja (pomeranja oslonaca) q s* = 0 , tada iz jedna čine (43) sledi da je: -1 K *nnq *n = S*n (44) ⇒ q*n = ( K nn* ) Sn* 2. kada je vektor poznatih pomeranja q s* ≠ 0 , tada iz jedna čine (43) sledi: K *nnq*n + K *nsq *s
= S*n
⇒
* q n* = ( K nn )
-1
Sn* − K ns* qs*
(45)
Vektor reakcija oslonaca S*s se dobija iz jedna čine (43) : S*s
= K *snqn* + K *ss qs*
(46)
3.2 Vektor sila na krajevima štapa
Kada su poznata pomeranja svih čvorova, vektor sila na krajevima štapa e u lokalnom sistemu određuje se za svaki element pojedina čno iz jedna čine štapa: ˆ eq*e − Q e ( 47 ) Fe = K ˆ e matrica krutosti elementa, koja je predhodno definisana, q*e je vektor pomeranja gde je K krajeva štapa, a Qe je vektor ekvivalentnog čvornog optere ćenja štapa. 3.3 Rezime
U matričnoj analizi je potrebno sprovesti slede će korake: 1. 2. 3. 4.
Izabrati globalni koordinatni sistem; Obeležiti sve č vorove i elemente; Izabrati prvi i drugi č vor za svaki element Srač unati geometriju svakog elementa (dužinu, površinu imoment inercije popreč nog preseka, cos α i sinα ); e 5. Srač unati matrice krutosti svih elemenata K u lokalnom sistemu;
ˆ e svih elemenata; 6. Srač unati matrice krutosti K e 7. Srač unati matrice krutosti K* svih elemenata u globanom sistemu; 8. Srač unati matricu krutosti K* sistema; 9. Parcionisati matricu krutosti prema poznatim i nepoznatim pomeranjima č vorova; e 10. Odrediti vektor ekvuivalentnog opterećenja Q svih elemenata u lokalnom sistemu; 11. Transformisati vektore ekvuivalentnog opterećenja u globalni koordinatni sistem; * 12. Formirati vektor ekvuivalentnog opterećenja sistema Q u globalnom koordinatnom sistemu; 13. Formirati vektor koncentrisanih sila u č vorovima P* u globalnom koordinatnom sistemu; 14. Srač unati vektor slobodnih č lanova S *; 15. Rešiti jednač inu sistema i naći pomeranja č vorova; e 16. Srač unati vektore sila u č vorovime elemenata F .
