Morales Hernández Ricardo
No.Control: 12030587 30 ± 2
3. Si una característi característica ca de calidad calidad debe estar entre , y se sabe que su µ = = 29.3 σ = 0.5 media media y desvia desviació ción n estánd estándar ar están están dadas dadas por y , calcule e interprete con detalles los siguientes índices: Cp, Cpk, K . Cp =
ES − EI
Cp =
6σ
32 − 28 6(0.5)
=
4 3
= 1.33
1 < Cp ≤ 1.33
El proceso es parcialmente adecuado y requiere un control estricto. Si el proc proces eso o está está cent centra rado do el 0.9 0.9! ! está está "uer "uera a de espe especi ci"i "ica caci ción ón,, que que corresponde a 9#3$ partes de"ectuosas por millón
µ − EI ES − µ , 3σ 3σ
Cpk Cpk = Mínim ínimo o
29.3 − 28 32 32 − 29.3 , = 0.86 3 (0. (0 . 5 ) 3 (0.5 (0 .5) )
Cpk Cpk = Mínim ínimo o
Esto indica que el proceso no es realmente capa% y por lo menos una de las especi"icaciones no cumple con la calidad. &e igual "orma la media del proceso está ale'ada del centro de especi"icación, aunque de corregirse el problema de centrado podrá llegar al nivel del (p. K =
µ − − N
1 2
K =
*(100)
( ES − EI )
29.3 29.3 − 30 *(1 *(100) = −0.35*1 5*100 = −35% 1 (32 − 28) 2
)a media del proceso es menor que el valor nominal, está desviada a la i%quierda del valor nominal por lo que el centrado es inadecuado y contribuye a la ba'a capacidad en la especi"icación in"erior.
*. +ara el e'ercicio $ del capítulo -, sobre el grosor de las láminas de asbesto se tiene que las especi"icaciones son: E / *.# mm y ES / .- mm. demás de las mediciones 1ec1as en los 2ltimos tres meses, se aprecia un proceso que = 4.75 σ = 0.45 µ = tiene una estabilidad aceptable, con y . a (alcule el índice K e interpr4telo.
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K =
µ − N
1 2
K =
*(100)
( ES − EI ) 4.7 − 5
1 2
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*(100) = −0.3125*(100) = −31.25%
(5.8 − 4.2)
El centrado es inadecuado en el proceso 567#0!, a causa de que la media del proceso es menor al valor nominal. b 8btenga los índices Cp y Cpk e interpr4telos. Cp =
ES − EI
Cp =
6σ
5.8 − 4.2 6(0.45)
= 0.59
)a variación real es mayor a la variación tolerada por lo que el proceso es inadecuado y requiere modi"icaciones serias. lrededor de ! estaría "uera de especi"icación con $-0.3$ partes por cada millón.
µ − EI ES − µ , 3σ 3σ
Cpk = Mínimo
4.75 − 4.2 5.8 − 4.75 , = [ 0.407, 0.77 ] 3(0.45) 3(0.45)
Cpk = Mínimo
/0.*0 lrededor de $$. ! se encuentra "uera de especi"icación además de que el proceso no se encuentra centrado. El índice Cpk siempre será menor o igual que el índice Cp. (uando sean muy próimos, eso indicará que la media del proceso está muy cerca del punto medio de las especi"icaciones, por lo que la capacidad potencial y real son similares.
c (on base en la tabla 9.# estime el porcenta'e de láminas que no cumplen con especi"icaciones del lado in"erior, del superior y de ambos lados. Cpi = Cps =
µ − EI
3σ
=
ES − µ 3σ
=
4.75 − 4.2 3(0.45) 5.8 − 4.75 3(0.45)
= 0.407 = 0.77
(pi: $$.0 ! de las láminas se encuentran de"ectuosas (ps:$.-* ! de las láminas se encuentran de"ectuosas d En resumen, ;el proceso cumple con especi"icaciones< rgumente su respuesta.
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=o cumple con las especi"icaciones porque tiene una gran cantidad de láminas de"ectuosas. . )os siguientes datos representan las mediciones de viscosidad de los 2ltimos tres meses de un producto lácteo. El ob'etivo es tener una viscosidad de -0 >$0 cps.
-* -$ -# - -3 - - -0 9
-$ -0 - -# -* -3 -$ -# -$
-3 -3 9 -* -3 -3 - -#
-0 -* -* - - -# -0 -$ -# -*
-0 - -# -3 -$ -$ - -# -0 -
-# -* -# -# -* -3 -* -3 -
-# -3 -* -$ -* -# -3 -# --
-3 -* -$ -# -# -$ - 9 90
a (onstruya una grá"ica de capacidad de este proceso 51istograma con tolerancias y genere una primera opinión sobre la capacidad. =o intervalo $ # 3 * -
)ímite in"erior .- 9. -$. -3.* -.# -.$ --.9
)ímite superior . 9. -$.* -3.3 -.$ - --.- 90.
?recuenci a # $ #$ 9 $ $
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Frecuencia 30 25 Frecencia
20 15 10 5 0 1
2
3
4
5
6
7
8
En el 1istograma se identi"ica una distribución normal, a su ve% los datos se concentran entre los intervalos 3,* y . El proceso está centrado respecto al valor nominal -0 y su variación real es menor a la variación tolerada porque ning2n dato sale "uera de los límites especi"icados, además de concluir que el proceso es potencialmente capa% y realmente capa%. b (alcule la media y la desviación estándar y, considerando estos parámetros como poblacionales, estime los índices Cp, Cpk , Cpm y K , e interpr4telos con detalle. µ =
σ
6596 80
= 82.45
= 2.6
Cp =
90 − 70 6(2.6)
= 1.28
Según el resultado del Cp, podemos analizar que el proceso está en Clase o categoría de proceso en 2, lo que quiere decir que es parcialmente adecuado y necesita un control estricto. Tambin que alrededor !.!!"#$ no cumple con las especi%icaciones o "#.2&' partes por cada mill(n.
82.45 − 70 90 − 82.45 , = [ 1.59, 0.96 ] 3(2.6) 3(2.6)
Cpk = Mínimo
)!."# 0.3* ! de las partes son de"ectuosas porque al menos un límite no cumple con la calidad.
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K =
µ − N
1
*(100)
( ES − EI )
2
K =
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82.45 − 80 *(100) = 24.5% 1 (90 − 70) 2
)a media del proceso es mayor que el valor nominal, está desviada a la derec1a del valor nominal por lo que el centrado es inadecuado y contribuye a la ba'a capacidad en la especi"icación in"erior.56@#0! se considera adecuado τ
=
σ
Cpm =
2
+ (µ − N ) 2 = (2.6) 2 + (82.45 − 80) 2 = 3.57
ES − ES 6τ
=
90 − 70 6(3.57)
= 0.93
(uando el índice Cpm es menor que $, eso indica que el proceso no cumple con especi"icaciones, ya sea por problemas de centrado o por eceso de variabilidad. =o se cumple con las especi"icaciones. El proceso no cumple con por lo menos una de las especi"icaciones. c (on base en la tabla 9.# estime el porcenta'e "uera de especi"icaciones. Cpi =
Cps =
µ − EI
3σ
=
ES − µ 3σ
=
82.45 − 70 3(2.6) 90 − 82.45 3(2.6)
= 1.59 (pi: 0.000$ ! de"ectuosas
= 0.96 (ps / 0.3! de"ectuosas
d )as estimaciones 1ec1as en los dos incisos anteriores y las correspondientes interpretaciones se deben ver con ciertas reservas dado que son estimaciones basadas en una muestra. ;+or qu4 se deben ver con reservas< -. Ana característica importante en la calidad de la lec1e de vaca es la concentración de grasa. En una industria en particular se 1a "i'ado que el estándar mínimo que debe cumplir el producto que se recibe directamente de los establos lec1eros es de 3.0!. Si de los datos 1istóricos se sabe que B/*.$ y C/0.3a (alcule el Cpi e interpr4telo. b (on base en la tabla 9.# estime el porcenta'e "uera de especi"icaciones. c ;)a calidad es satis"actoria<
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EI 4.1*(0.03) =
EI
=
−
µ
−
EI
0.123
=
4.1 0.123
=
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3.977
4.1 3.977 −
0.32 3σ 0.38 )a capacidad para el proceso es muy mala. Cpi
=
=
=
D lrededor del $-.0* ! están "uera de especi"icación o $-*00.09# partes por millón. ( =o es satis"actoria porque eiste muc1as partes "ueras de especi"icación, casi el #0!.
$0. El volumen en un proceso de envasado debe estar entre 3$0 y 330 ml. &e acuerdo con los datos 1istóricos se tiene que B/ 3$- y C/ *. ;El proceso de envasado "unciona bien en cuanto al volumen< rgumente su respuesta. µ − N K = *(100) 1 ( ES − EI ) 2 318 − 320 K = *(100) = −20% 1 (330 − 310) 2 !a "edia del #roceso está des$iada 20% a la iz&ierda del $alor no"inal' #or lo &e el centrado del #roceso es inadecado ( esto contri)(e de "anera si*ni+cati$a a la )a,a ca#acidad del #roceso
Cp =
ES − EI 6σ
=
330 − 310 6(4)
= 0.83
µ − EI ES − µ , 3σ 3σ
Cpk = Mínimo
318 − 310 330 − 318 , = [ 0.66,1] = 0.66 3(4) 3(4)
Cpk = Mínimo
Cpm = τ
=
σ
ES − ES 6τ 2
=
330 − 310 6(4.47)
= 0.74
+ ( µ − N ) 2 = (4)2 + (318 − 320)2 = 4.47
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El índice Cpm es menor que $, eso indica que el proceso no cumple con especi"icaciones, ya sea por problemas de centrado o por eceso de variabilidad. =o es adecuado el envasado respecto al volumen porque el proceso tiene problemas tanto de centrado como de variabilidad, esto repercute principalmente en el límite superior. +uede alcan%ar una categoría $ si se resuelven esos problemas.
$$. El porcenta'e de productos de"ectuosos en un proceso es de #.3!. (on base en la tabla 9.# estime el Cp de este proceso. 0.7 → 3.5729
[[
X =
−
[ 0.7 −0.8 ]
3.5729 −1.6395 3.5729 −2.3
]
]
+ 0.7
X =0.7658
X → 2.3
0.8 → 1.6395
$3. )a especi"icación del peso de una pre"orma en un proceso de inyección de plástico es de 0 > $ g. +ara 1acer una primera valoración de la capacidad del proceso se obtiene una x = 59.88 y s=0.25 muestra aleatoria de n) *0 pie%as, y se obtiene que . a Estime, con un intervalo de con"ian%a de 9!, los índices Cp , Cpk y Cpm e interprete cada uno de ellos. ˆ ±Z CP = Cp α /2
ˆ cp 2( n − 1)
ˆ = ES − EI = 61 − 59 = 2 = 1.3 Cp 6 s 6(0.25) 1.5 1.3 ± 1.96
1.3 2(40 − 1)
= 1.3 ± 0.29
1.01
(on una con"ian%a de 9!, el verdadero valor del índice Cp está entre $.3 y $. por lo que puede caer en la categoría $ o #, obviamente si el proceso está centrado
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ˆ = Mínimo 59.88 − 59 , 61 − 59.88 = [ 1.17,1.49] = 1.17 Cpk 3(0.25) 3(0.25) ˆ ± Z Cpk = Cpk α /2
ˆ 2 Cp 2(n − 1)
+
1 9n
= 1.17 ± 1.96
(1.3)2 2(40 − 1)
+
1 9(40)
= 1.17 ± 0.15
1.02 < Cpk < 1.32
El proceso es realmente capa%
ˆ Cpm =
61 − 59 (0.25) + (59.88 − 60) 2
ˆ Cpm = Cpm ± Zα /2
ˆ Cpm
n
1 2
ˆ ± 1.96 Cpm = Cpm
40
2
+
2 0.27
= 7.40
( X − N ) 2
s 2
( X − N ) 2 1 + s 2 1
7.4
=
2
+
2
(59.88 − 60) 2 (0.25) 2
(59.88 − 60)2 1 + (0.25) 2
2
Cpm = 7.4 ± 1.96(1.17)(0.77) = 7.4 ±1.76
b ;ay seguridad de que la capacidad del proceso sea satis"actoria< =o porque las estimaciones tienen muc1a variación, tanto podrían tener un capacidad del proceso adecuada como podría tener e"iciencia en el. c ;+or qu4 "ue necesario estimar por intervalo< Fa que los índices de capacidad necesitan conocer tanto el tamaGo de población y la desviación estándar poblacional 5parámetros,y no se cuentan con ninguno de los #, por lo que se estimó un intervalo de acuerdo a la muestra.
