Ejercicios Resueltos Programacion Dinamica

Laboratorio de Investigación Operativa II

FII-UNMSM

UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS (Universidad del Perú, Decana de América) FACULTAD DE INGENIERIA INDUSTRIAL INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES II CURSO:

PRÁCTICA CALIFICADA DE LABORATORIO

TEMA:

PROGRAMACIÓN DINÁMICA

PROFESORA:

Ing. ROSMERY MAYTA

ALUMNOS

CÓDIGOS

DELGADO QUINTANILLA, Manuel A.

05170186

LOPEZ ZORRILLA, Max Cristian

05170111

MEJÍA SANCHEZ, Linye Zulyn

05170153

1



FII-UNMSM

Ciudad Universita ria, Julio del 2009.

SOLUCIÓN DE LA PRÁCTICA DE LABORATORIO PROBLEMA 1 1. Un estudiante debe elegir diez cursos optativos de cuatro departamentos diferentes. Debe seleccionar al menos un curso de cada departamento. Su objetivo es “repartir” sus diez cursos en los cuatro departamentos, de tal manera que maximice sus “conocimientos” en los cuatro campos. Comprende que si toma un cierto numero de cursos en un departamento su experiencia sobre la materia no aumentará apreciablemente porque el material será demasiado complicado para lo que comprenda o porque los cursos se repiten. Por consiguiente, mide su capacidad de aprendizaje como una función del número de cursos que toma en cada departamento en cada escala de 100 puntos y produce el diagrama siguiente (se supone que los agrupamientos de cursos satisfacen los pre-requisitos para cada departamento). Formule el problema como un modelo de programación dinámica utilizando las ecuaciones recursivas de avance y de retroceso. NÚMERO DE CURSOS DEPART. I II III

1 25 20 40

2 50 70 60

3 60 70 80

4 80 100 100

5 100 100 100

6 100 100 100

7 100 100 100

8 100 100 100

9 100 100 100

10 100 100 100

IV

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

SOLUCIÓN A) De manera manual:

Datos: 2

Total cursos a seleccionar: 10 Objetivo: maximizar conocimientos PROGRAMACIÓN DINÁMICA

Laboratorio de Investigación Operativa II -

FII-UNMSM

Restricción: debe seleccionar al menos un curso por departamento.

Definiendo etapas: -

Etapa 1: departamento IV Etapa 2: departamento III Etapa 3: departamento II Etapa 4: departamento I

-

El gráfico mostrado a continuación indica la cantidad de cursos que puede elegir por cada departamento (Xi) y la disponibilidad de cursos (Si), esto es teniendo en cuenta que para cada departamento obligatoriamente se debe de elegir por lo menos un curso siendo la función recursiva: F(Xi,Si)= r(Xi)+F(Xi-1,Si-1), teniendo en cuenta algunas restricciones

Aplicando programación dinámica por etapas, se muestra el resultado a continuación. - Etapa 1: departamento IV En esta primera etapa solo se toma los beneficios alcanzado al elegir, cuantos cursos se quiere llevar en el departamento IV, pues no hay etapa anterior

-

Etapa 2: departamento III

En esta etapa ya se empieza a acumular los beneficios alcanzados tomando en cuanta la elección de los cursos en este departamento y en el anterior

3



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- Etapa 3: departamento II Se toma en cuanta los beneficios de la primera, segundo y tercera etapa, de manera acumulativa, hasta el momento el beneficio máximo es 210. Estos cuadros se han realizado tomando en cuanta el grafico inicial, en el cual se puede observar que la cantidad máxima de cursos disponibles 7, y la cantidad mínima es 3, pues se necesita como mínimo 1 en el departamento I, 1 en el departamento II, y 1 en departamento 3. Además no se puede cumplir con f(Xi, Si>Xi-1), por la misma razón

- Etapa 4: departamento I Aquí se obtiene el beneficio máximo, teniendo en cuenta todas las restricciones anteriores.

Haciendo un análisis hacia atrás, vemos que existen 5 alternativas distintas que dan el mayor grado de satisfacción. LAS DIFERENTES ALTERNATIVAS SON LAS SIGUIENTES:

4



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ALT 1

ALT 2

ALT 3

ALT 4

ALT 5

I

2

2

3

4

5

II

2

4

2

2

2

III

4

3

4

3

2

IV

2

1

1

1

1

DEPARTAMENTOS

PUNTAJE TOTAL

240

240

240

240

240

Dando como resultado un puntaje máximo de 240, y para este resultado existen 5 alternativas distintas, mostradas en la tabla anterior.

B) Programación en DIN: -

Ingresando los datos, tenemos que el conjunto decisión esta conformado por las cantidades de cursos que se pueden llevar en los departamentos(sn1=1,2,3,4). En este caso hasta el valor 7 pues es lo máximo permito, visto anteriormente) - En la condición de contorno se coloca los valores de los beneficios que brinda en departamento 4, conforme a la elección de cursos del departamento : F(4,1)=10 f(4,2)=20 f(4,3)=30 f(4,4)=40 f(4,5)=50 F(4,6)=60 f(4,7)=70 f(4,8)=80 f(4,9)=90 f(4,10)=100 -

En las definiciones adicionales colocan todos los beneficios dependiendo del departamento (1,2,3,4) y la cantidad de cursos que se desee llevar SN2 representa la disponibilidad, con la cantidad de cursos con que se cuenta. También esta la función de retorno o recursiva que es la que va a indicar el beneficio máximo.

INGRESANDO DATOS

5



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Estados calcula estados

Solución calcula solución

6



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La cual generan 5 soluciones al igual, que las realizadas de manera manual, lo que significa que la resolución esta correcta. PROBLEMA 2 2. Se tiene cuatro equipos de investigación y se cuenta con 3 científicos, se puede asignar de 0 a 3 científicos a cada equipo. El objetivo es maximizar la probabilidad de éxito total de la investigación, es decir de los 4 equipos pueden tener 0 o 3 integrantes y esto genera una probabilidad de éxito, la cual se requiere maximizar. E la siguiente tabla se encuentra las probabilidades de éxito del equipo dependiendo del número de científicos que lo conforman. Nro. De científicos

EQUIPOS

asignados

0 1 2 3 7

1 0.7 0.8 0.89 0.98

2 0.71 0.8 0.93 0.96

3 0.75 0.83 0.9 0.97

4 0.8 0.89 0.94 0.99



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SOLUCIÓN: A) De manera manual:

Datos: -

Total de científicos disponibles: 3 Objetivo: maximizar probabilidad de éxito Restricción: se puede elegir de 0 a 3 científicos.

Aplicando el método del árbol de decisión obtenemos la figura N°1, siendo los valores del árbol lo siguiente:

F

A,B

-

8

Siendo: - A: número de equipo A,G C, (D) - B: número de cientif. disponibles para el equipo 1 E - C: numero de cientif. elegidos. - D: probabilidad de elegir C cientif. E: probabilidad acumulada (del equipo 4 al equipo 1) F: máxima probabilidad de éxito



FII-UNMSM 0.801

3,3 0, (0.71) 0.56871

0.62078

0.7387

3,2

1, (0.8)

2,3

0.59096

2, (0.93) 0.62078

0.6675

3,1

3,(0.96) 0.576

0.6

0, (0.7)

3,0

0.43455

0.7425 0.75

0

0.7802 1

0.83

0.776

0.801 2

0.9

3

0.97

4,3

4,2

4,1

4,0

0.99

0.94

0.89

0.8

0

0.705 0.75

0.7387 1

0.83

0.72 2 0.9

4,2

4,1

4,0

0.94

0.89

0.8

0.6675

0.664

0 0.75

1 0.83

4,1

4,0

0.89

0.8

0.6 0

0.75

4,0 0.8

0.7387 0.4464

0.558

1,3

1, (0.8)

2,2

0.4464

0, (0.71)

0.52448

1, (0.8) 0.534

2, (0.93) 0.558

2, (0.89)

3,2

0.4272

0.6675

3,1

0.6

3,0

0.7387

0.705 0.75

0

1

0.83

0.72 2

4,2

4,1

4,0

0.94

0.89

0.8

0.6675 0.75

0

0.9

0.664 1 0.83

4,1

4,0

0.89

0.8

0.6 0.75

0

4,0 3,(0.98) 0.41748

0.48

2,1

0, (0.71) 0.4739

1, (0.8) 0.48

0.6675

3,1

0.6

3,0

0.8

0.6675

0.664

0 0.75

1

0.83

4,1

4,0

0.89

0.8

0.6 0

0.75

4,0

0.426

0.8

2,0 0, (0.71) 0.426

0.6

3,0

0.6 0

0.75

4,0 0.8

Figura N° 1

Siendo la ruta que maximiza el éxito, la siguiente. 9



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La probabilidad máxima de éxito es de 0.4464 y la cantidad de cientificos por equipo: EQUIPOS ALTERNATIVA 1 2 3 4

1 2 0 0

B) Programación en DIN: Ingresando los datos, siendo d la cantidad de científicos que se puede asignar, sn1: el numero de equipos, sn2:la cantidad de científicos para el equiposn1, y r la función de recurrencia. En la función de contorno colocamos las probabilidades de asignar de 0 a 3 cientificos en el equipo 4, y en definiciones adicionales las probabilidades no solo del equipo 4 sino de todos los equipos.

Estados  calcula estados 10



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Resultado 9 estados Solución  calcular solución

Lo que comprueba que solo hay una solución factible cuyo retorno máximo es de 0.4464, y la distribución es la siguiente: Primer equipo: 1 científico Segundo equipo: 2 científicos Tercer y cuarto equipo: 0 científicos Coincidiendo con lo realizado manualmente

PROBLEMA 3 3. Un excursionista tiene una mochila de 15 pies cúbicos de capacidad y desea saber cuales son los artículos más valiosos que va a llevar a la excursión. Hay tres artículos de donde escoger. Sus volúmenes son de 2, 3y 4 pies cúbicos. Debe llevar por lo menos 1 de cada artículo. El excursionista estima sus valores correspondientes, en una escala del 0 al 100. en la siguiente tabla se dan los siguientes datos. Determine la solución óptima aplicando programación dinámica. Articulo 11

Volumen (pies cúbicos) Beneficio PROGRAMACIÓN DINÁMICA


FII-UNMSM

1

2

30

2

3

50

3

4

70

SOLUCIÓN: Datos: - Total de artículos a seleccionar: 3 - Objetivo: Maximiza el Beneficio. - Restricción: Se debe seleccionar por lo menos uno de cada artículo. Etapa 1: Cantidades del artículo 3. Etapa 2: Cantidades del artículo 2. Etapa 3: Cantidades del artículo 1. W/W3 = 15/4 = 1, 2, 3. (No se toma en cuenta el 0, por la restricción.) W/W2 = 11/3 = 1, 2, 3. W/W1 = 8/2 = 1, 2, 3, 4.

Cantidades de los artículos y el respectivo volumen que ocupan: Articulo 1 2 3 Total

Cantidad 1 3 1

Volumen (pies cúbicos) 1*4=4 3*3=9 1*2=2 15

Cantidad 2 1 2

Volumen (pies cúbicos) 2*4=8 1*3=3 2*2=4 15

Solución en DIN1:

Ingresando datos 12



FII-UNMSM

Generando estados

ejecutando

LO QUE DA DOS SOLUCIONES Y EL VALOR OPTIMO ES DE 250 Comprobando que lo realizado manualmente esta correcto. 13



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PROBLEMA 4 4. Juan Pérez tiene un pequeño jardín en la parte de atrás de mi casa, que mide 20x30 pies. Esta primavera planeo planta tres tipos de vegetales: zanahoria, betarraga y maíz. El jardín está organizado en hileras de 30 pies. Lo que mas me agrada son las zanahorias y lo que menos me agrada son las betarragas y en una escala de l 1 al 10, les asignaría 10 a la zanahoria, 7 al maíz y 3 a la betarraga. Sin considerar mis preferencias, mi esposa insiste en que plante por lo menos dos hileras de betarragas y no más de tres hileras de zanahoria. ¿cuántas hileras de cada vegetal debo plantar?

VEGETAL

PREFERENCIA

MEDIDA(pies)

zanahoria

10

2

betarraga

3

3

maíz

7

2

SOLUCIÓN: Datos: - Total de vegetales a seleccionar: Zanahoria, Betarraga, y Maíz. - Objetivo: Maximiza la preferencia de los vegetales. - Restricción: Plantar por lo menos dos hileras de betarragas, y no más de tres hileras de zanahoria Etapa 1: Cantidades del artículo 3. Etapa 2: Cantidades del artículo 2. Etapa 3: Cantidades del artículo 1. W/W1 = 20/2 = 0,1, 2, 3. (Máximo 3 hileras de zanahoria.) W/W2 = 20/3 = 2, 3, 4, 5, 6. W/W3 = 14/2 = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.

14



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Hileras a plantar: Vegetal Zanahoria Betarraga Maíz

Medida (pies) 3 2 4

• 3 hileras de zanahoria*2 + 2 hileras de betarraga*3 + 4 hileras de maíz*2 = 20 hileras de vegetales. Nota: Recordar que cada hilera tiene 30 pies.

B)Programando en DIN: Se ingresa d: toda la cantidad de artículos que se puedan sembrar de los tres productos. Para cumplir con las restricciones dadas de que solo se puede sembrar como mínimo dos hileras de betarraga que es el producto 2 y como máximo 3 hileras de zanahoria, en la parte de restricciones del programa, se coloca ademas de que: sn1<=3 0<=sn1<=20, también que los beneficios por la cantidad producida debe ser: b(1,d)<=30 ………lo que obliga a que d sea menor o igual a tres hileras pues el beneficio por unidad es 10 b(2,d)>=6………….lo que significa que la cantidad mínima de producción debe de ser 3 pues el beneficio es 2 INGRESANDO DATOS

15



FII-UNMSM

TENIENDO EN CUENTA QUE:

CALCULANDO LSO ESTADOS:

Y POR ULTIMO CALCULANDO LA SOLUCION: 16



FII-UNMSM

Lo que permite ver, que el beneficio maximo es de 64, y la distribución la siguiente: Producto 1: 3 hileras Producto 2 : 2 hileras Producto 3: 4 hileras El mismo resultado que el realizado manualmente

PROBLEMA 5 5. La empresa ABC se dedica a la elaboración de modelos y todo tipo de material didáctico, para la enseñanza educativa. La empresa ABC tiene contrato para entregar el siguiente número de modelos de ciencia y ambiente durante los siguientes 3 meses. MES ENTREGA CV. (UNITARIO) C. ALM. C. F. 1

200

10

1.5

250

2

300

10

1.5

250

3

300

12

1.5

250

Los modelos fabricados durante un mes pueden servir para abastecer la demanda de este mes y de algún mes futuro, suponiendo que la producción de cada mes es múltiplo de 100. Dado que el nivel de inventario inicial y final es “0”. Determine el calendario óptimo de producción utilizando programación dinámica

SOLUCIÓN: a) De manera manual: Datos: 17

Inventario inicial y final: 0 Objetivo: reducir costos No dan producción máxima PROGRAMACIÓN DINÁMICA


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Los valores que pueden tomas los inventarios inicial y finales por mes son los siguientes: 1ER MES 2DO MES 3ER MES II IF II IF II IF 0

0 100 200 300 400 500 600

0 100 200 300 400 500 600

0 100 200 300

0 100 200 300

0

Definiendo etapas: -

Etapa 1: mes 3 Etapa 2: mes 2 Etapa 3: mes 1

Etapa 1: MES 3 -

Determinando Costos totales II + P - D = IF P D

II 0 100 200 300

-

300 200 100

IF

COSTOS C=CV*P+CF+CA*IF

0 0 0 0

3850 2650 1450 250

300 300 300 300

0

programación en función al II y Producción

II

Xi

0

100

0

-

-

100

-

-

200

-

300

250

200

300

F(Xi)

Xi

3850

3850

300

2650

-

2650

200

1450

-

-

1450

100

-

-

-

250

0

Etapa 2: MES 2 -

Determinando Costos totales del mes 2

II + P - D = IF II 0

P

D

300 300

18

COSTOS POR EL MES 2 COSTO ANTERIOR COSTOS ACUMULADOS

IF

C=CV*P+CF+CA*IF

X

CA = C+X

0

3250

3850

7100



FII-UNMSM

0

400 300 100

4400

2650

0

500 300 200

5550

1450

0 10 0 10 0 10 0 10 0 20 0 20 0 20 0 20 0 30 0 30 0 30 0 30 0 40 0 40 0 40 0 50 0 50 0 60 0

600 300 300

6700

250

7050 7000 6950

200 300

2250

3850

6100

300 300 100

3400

2650

6050

400 300 200

4550

1450

6000

500 300 300

5700

250

5950

100 300

1250

3850

5100

200 300 100

2400

2650

5050

300 300 200

3550

1450

5000

400 300 300

4700

250

4950

250

3850

4100

100 300 100

1400

2650

4050

200 300 200

2550

1450

4000

300 300 300

3700

250

3950

300 100

400

2650

3050

100 300 200

1550

1450

3000

200 300 300

2700

250

2950

300 200

550

1450

2000

100 300 300

1700

250

1950

700

250

950

0

300

0

0

0

0

0

0

300 300

Programación en función al II y Producción para el mes 2 II

0 100 200 300 400 500 600

19

Xi

0

100 200 300 400 500 600 F(Xi)

-

-

-

-

-

-

7100 7050 7000 6950

6100 6050 6000 5950 -

5100 5050 5000 4950 -

-

4100 4050 4000 3950 -

-

-

3050 3000 2950 -

-

-

-

2000 1950 -

-

-

-

-

950

-

-

-

-

-

-

Xi 6950 5950 4950 3950 2950 1950 950

600 500 400 300 200 100 0



FII-UNMSM

Etapa 3: MES 1 -

Determinando Costos totales del mes 2 COSTOS POR EL MES 1 COSTO ANTERIOR COSTOS ACUMULADOS

II + P - D = IF I I 0 0 0 0 0 0 0

P 200 300 400 500 600 700 800

D 200 200 200 200 200 200 200

IF 0 100 200 300 400 500 600

C=CV*P+CF+CA*IF 2250 3400 4550 5700 6850 8000 9150

X 6950 5950 4950 3950 2950 1950 950

CA = C+X

9200 9350 9500 9650 9800 9950 10100

Programación en función al II y Producción para el mes 1 II

200

Xi

0

9200

300 9350

400 9500

500

600

96510

700

9800

9950

800 10100

F(Xi)

Xi

9200

Por lo tanto la producción a realizar para minimizar los costos, son los siguentes: MES

PRODUCCIÓN

1 2 3

200 600 0

DANDO COMO COSTO TOTAL LA SUMA DE $9200

b)UTILIZANDO DIN: Se ingresa los datos. d: la producción que pueda ocurrir, variando por meses, de 0 a 800. esto es determinado anteriormente, en la solución manual del ejercicio

20


200


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Generando estados: Estados calcular estados

Calcular  calcular solución

Lo que demuestra que el costo mínimo es de 9200 y la producción del primer mes es de 200, el de segundo 600 y el tercero no se produce. 21



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PROBLEMA 6 6. La compañía ABC quiere determinar el número de unidades para cada uno de los tres artículos que se incluirán en un equipo cuyo costo total no puede ser mayor de $420, la pieza A cuesta $ 50, la pieza B cuesta $60 y la pieza C cuesta $60, los beneficios que se logra por cada pieza son: Nro. De piezas en el equipo

A

BENEFICIOS B

C

1

60

140

200

2

120

200

300

3

160

250

380

4

230

290

440

5

275

320

480

6

310

345

510

7

345

365

540

8

375

380

560

Resolver el problema utilizando programación dinámica.

SOLUCIÓN: Aplicando el árbol de expansión y asumiendo que si se elige comprar 0 artículos de alguna pieza el beneficio es 0

22



23

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FII-UNMSM

La cual genera tres posibles soluciones: componentes ALTERNATIVA 1 ALTERNATIVA 2 ALTERNATIVA 3 A 1 2 2 B 2 1 2 C 4 4 3 TOTAL BENEFICIO 700 700 700

Con un beneficio total de 700

b) utilizando DIN INGRESANDO LSO DATOS

CREANDO LOS ESTADOS : ESTADOSCALCULA ESTADOS

GENERANDO 10 ESTADOS

24



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SOLUCION

LO QUE DEMUESTRA QUE EFECTIVAMENTE EXISTEN 3 SOLUCIONES Y EL MAXIMO VALOR HALLADO ES DE 700

ADICIONAL 1 Una familia va a salir de vacaciones desde su ciudad natal. La familia desea visitar 3 ciudades y dispone de un total de 5 días para hacerlo. La familia desea saber cuantos días permanecer en cada ciudad de modo de maximizar la satisfacción total de sus vacaciones sabiendo que para cada ciudad existe una función de satisfacción que esta en base al número de días de permanencia. Se tiene el siguiente cuadro: Ciudad 1 Dias Dias Dias Dias Dias Dias

0 1 2 3 4 5

Ciudad 2 0 1 2 3 4 5

0 1 4 6 8 8

Ciudad 3 0 1 3 3 2 1

Solución:

Datos: -

25

Beneficio de permanecer x cantidad de días en una ciudad. Objetivo: Maximizar los beneficios



FII-UNMSM

Haciendo la Ciudad 3 la Etapa 1; la ciudad 2 la Etapa 2 y la ciudad 1 la Etapa 3, tenemos: Primera Etapa:

0 0 0 0 0 0 0

0 1 2 3 4 5

1

2

-

3 3 3 3

-

1 1 1 1 1

3 3 3 3

f(x 5 i) 0 1 3 3 3 1 3

4 2 2

(xi) 0 1 2 2.3 2.3 2.3

Segunda Etapa:

0 1 2 3 4 5

0 0+ 0 0+ 1 0+ 2 0+ 3 0+ 4 0+ 5

1

2

3

f(x 5 i) (xi)

4

1+ 0 1+ 1 1+ 3 1+ 3 1+ 3

-

-

-

-

0

4+ 0 4+ 1 4+ 3 4+ 3

-

-

-

1 0.1

6+ 0 6+ 1 6+ 3

-

-

4

2

6

4

8

4 Tercera Etapa:

0

1

2

8+ 0 8+ 8+ 1 0 3

0

9 4.3

4

5 f(x (xi) i) 0+ 1+ 2+ 3+ 4+ 5+ 5 9 8 6 4 1 0 9 0.1 Como vemos en la última etapa tenemos que el valor máximo es 9. Y se da en la columna 1 y la 0. Encontrando las soluciones: Alternativa1: 0 – 4 – 1 alternativa 2: 0 – 3 – 2 Alternativa 3: 1 – 4 – 0

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Aplicando DIN: INGRESANDO DATOS:

ESTADOS  CALCULA ESTADOS

SOLUYCION CALCULAR SOLUCION

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LO QUE NOS PERMITE CONFIRMAR QUE EXISTEN TRES RESPUESTAS Y QUE EL BENEFICIO MAXIMOES DE 9. ADICIONAL 2 Un prestigioso taller mecánico, especialista en mantención y reparación de motores, tiene una maquina especializada para estos fines y desea saber cuando cambiar dicha maquina. Para ello cuenta con los siguientes datos: • Una maquina nueva cuesta S/.100000. • El taller puede mantener una maquina por 1, 2, o 3 años. • EL valor de venta de la maquina disminuye S/. 15000 cada año que pase. • El costo anual de manutención para el primer año es S/. 4000 aumenta cada año S/. 3000.

Tiempo 1 año 2 años 3 años 4 años 5 años 28

Costo Mantenimient o 4000 7000 10000 13000 16000

Tiempo 1 año 2 años 3 años 4 años 5 años

Valor venta 85000 70000 55000 40000 25000



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El taller busca una política óptima de reemplazo que minimice los costos totales durante 5 años restringidos a que siempre debe haber una máquina sabiendo que se compro una maquina en el año 1 y que se venderá al final del año 5. Solucion:

Datos: -

Nos dan información sobre el valor de recupero, costo mantenimiento, y valor inicial de la maquina. Objetivo: Minimizar los costos La maquina solo puede estar en el taller por un máximo de 3 años.

Desarrollando el problema mediante el diagrama de árbol tenemos:

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Como resultado nos da que el mínimo costo es de S/. 74000. Se puede llegar a esto por 3 soluciones, las que pueden ser: AÑO 1 – AÑO 2 – AÑO 5 AÑO 1 – AÑO 3 – AÑO 5 AÑO 1 – AÑO 4 – AÑO 5

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Ejercicios Resueltos Programacion Dinamica

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