Ejercicios dinámica

=

2.- Una caja se desliza por una pendiente descrita por la ecuación   Donde  Donde  es tangente. Si las componentes  de la velocidad y aceleración de la caja son:

(0.05  ).





 = −3 ⁄  = −1.5  cuando  = 5 . 

Determine las componentes de  de la velocidad y aceleración de la caja en ese instante. Solución: Para determinar

:

Aplicamos la regla de la cadena para derivar

 =      ̇ = 2(2(0.05)5)  

ó

̇ = (0.1)̇ ,

 = =  (0.05 ) con respecto a :

pero

̇ = ,

y

̇ =   entonces ,

reescribimos:

 = 0.1() Ya podemos sustituir nuestros valores iniciale s:

)(−3))]  = 0.1[([(5)(−3  = −1.5 ⁄ donde (−) indica dirección negativa (↓). ():       esto es: Consideramos que  =  ó  =   [( [(.)  ̇ ] = 0.1[̇̇ + ̈ ] y esto a su vez es igual a ̇  + ̈   pero ̇ =  y ̈ =   entonces  Y para determinar la aceleración

se puede escribir:

 = 0.1[ +  ] y sustituimos nuestros valores:  = 0.1[([(−3) + 5(−1.5)] = 0.15 ., donde el signo(+) indica dirección positiva (↑).

 = {(5cos2) + (4sin2) }.

3.-La posición de una partícula esta dad por Donde  está en segundos y los argumentos de seno y coseno está en radianes.



Determine las magnitudes de la velocidad y la aceleración de la partícula cuando  y demuestre que la trayectoria de la partícula es elíptica.

=1

Sabemos que

Cuando

 = , por consiguiente 

 = 1 :

 = [−10sin(2) + 8cos(2) ] ⁄

 = [−10sin(2(1)) + 8cos(2(1)) ] ⁄  = [−10sin(2) + 8cos(2) ] ⁄  = (−9.0929 − 3.3291) ⁄, en radianes. Luego, la magnitud está dada por:

|| =  () + () Por tanto:

|| = √ (−9.0929) + (3.3291) || = 9.6831 ⁄. Y para la aceleración sabemos que

 =  ó  =      Y tenemos que

Cuando

 = 1 :

 = {[−20(2)] + [−162] } ⁄  = {[−20(2(1))] + [−162(1)] } ⁄

Esto es

Y

|| esta dada por

 = {[−20(2)] + [−162] } ⁄  = (8.3229 − 14.5487)  || =  ( ) + ()

Por tanto

|| = √ (8.3229) + (−14.5487) || = 16.7611 Para demostrar que la trayectoria es elíptica tomamos   = 5cos2t  = 4sen2t

 

 en forma de sus componentes  y

Elevando al cuadrado a las dos ecuaciones por ambos lados se tiene:

  = (cos2t) 5 4 = (sen2t) Esto es

  = cos(2t) 25   = sen(2t) 16 Luego

  − cos(2t) = 0 25  − sen(2t) = 0 16   +    = cos(2t) + sen(2t) 25 16 De la identidad

cos(x) + sen(x) = 1

Que es la ecuación de una elipse.

 se tiene que

  +    = 1 25 16