´ UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN CRIST OBAL DE HUAMANGA ´ DE MINAS, GEOLOGIA ´ Y CIVIL FACULTAD DE INGENIERIA ´ PROFESIONAL DE INGENIER IA ´ CIVIL ESCUELA DE FORMACION
´ CINEMATICA ´ PRIMERA PRACTICA CALIFICADA ´ DE MECANICA ´ ´ SOLUCION VECTORIAL (DINAMICA) Ferdinand L.Singer Asignatura: ´ DINAMICA (IC - 244) Docente: ´ Ing. CASTRO PEREZ,Cristian Alumnos: CARBAJAL SULCA, Wilber ´ GOMEZ HUAZACCA, K a´ terin Roxana JAHUI´N BONIFACIO, Daysy YUCRA AGUILAR, Samuel Semestre Acad´ Academico e´ mico 2012 – II ´ AYACUCHO – PER U 2013
1. PROB PROBLE LEMA MA N-01 N-01 1.1. Componen Componente te rectangu rectangular lar del movimien movimiento to curvil curvilıneo ı´neo
16105591 16105633 16105092 16110667
1. PROB PROBLE LEMA MA N-01 N-01 1.1. Componen Componente te rectangu rectangular lar del movimien movimiento to curvil curvilıneo ı´neo El pasador P se mueve por una trayectoria curva determinada por los movimientos de los eslabones ranurados A y B. En el instante mostrado por la figura, A tiene una velocidad de 30 cm/s y una aceleraci on o´ n de 2 25 cm/s , ambas hacia la derecha, mientras que B tiene una velocidad de 40 cm/s y una aceleraci on o´ n de 12.5 2 amba bass vert vertica icalm lmen ente te ha haci ciaa abaj abajo. o. Dete Determ rmina inarr el radi radio o de curv curvat atur uraa de la tray trayec ecto tori riaa de P en ese ese insta instant nte. e. cm/s , am
Figura 1: Problema 01 ´ SOLUCION:
Figura 2: Solucion o´ n del problema 01 Tenemos: −−→
ˆ V A = −30icm/s 2 ˆ a−−→ A = −25icm/s −−→ ˆ V B = −40jcm/s 2 ˆ a−→ B = −12,5jcm/s
La velocidad y aceleraci on ´ de P:
→ −
−−→ −−→
ˆ V = V A + V B = −30iˆ − 40jcm/s → − −→ 2 ˆ ˆ a =− a−→ A + aB = −25i − 12,5jcm/s ´ normal est a´ definida por: La aceleracion
V 3 |V × a| V 2 an = ⇒ = ρ |V | |V × a| Reemplazando en (1) obtenemos el radio de curvatura: 3
ρ = |V V ×a| 503 ρ = 625 ρ = 200cm
2. PROBLEMA N-02 2.1. Componente rectangular del movimiento curvil´ıneo ´ del pasador P en la ranura circular que se ve en la figura est a´ controlada por la gu´ıa inclinada La posicion que se mueve hacia la derecha con una velocidad constante de 6.4cm/s en cada intervalo de movimiento ´ de P en la posicio´ n dada. .calcular la velocidad y la aceleraci on Sugerencia: trazando la posici o´ n de la gu´ıa un corto tiempo t despu e´ s de la posicio´ n dada, obtener las coordenadas absolutas del movimiento (a lo largo de la gu ´ıa) en t´erminos de tiempo. El movimiento absoluto de P en la ranura circular es igual a la suma Geom e´ trica del movimiento de la gu´ıa m a´ s el de P a lo largo de la misma.
Figura 3: Problema 02 ´ SOLUCION:
Figura 4: Solucio´ n del problema 02 De la figura se obtiene:
x = Rcosθ ,y = Rsinθ x = 12 ,5 35 x = 7 ,5cm y = 12,5 45 y = 10cm ⇒ x = 7 ,5cm ; y = 10cm
De la gra´ fica se obtienes la ecuaci o´ n de la circunferencia:
x2 + y 2 = 12,52
Derivamos la ecuaci on ´ para obtener la velocidad en y: 2x ˙x + 2y ˙y = 0 si x˙ = 6 ,4 cm/s y˙ = − xy ˙x ,4) y˙ = − 7,5(6 10 y˙ = −4,8 m/s 2
Volvemos a derivar para obtener la aceleraci o´ n en y: 2x ˙x + 2y ˙y = 0 2xx¨ + 2y ¨ y + 2 (x˙ )2 + 2 ( ˙y )2 = 0 xx¨ + y ¨y + (x˙ )2 + ( ˙y )2 = 0 x¨ = 0 2
y¨ = − (x˙ ) y¨ = −
+( ˙y )2
y
6,42 +(−4,8)2 10
y¨ = −6,4 cm/s 2
3. PROBLEMA N-03 3.1. Componente rectangular del movimiento curvil´ıneo Una varilla telesc o´ pica mostrada en la figura hace mover el pasador P a lo largo de la trayectoria fija ´ de P son respectivamente dado por y = 221,5 x2 Cuando x = 15cm se sabe que la velocidad y la aceleraci on v = 30i + 40jcm/s y a = 25 i + 50jcm/s 2 ¿Cu´al es entonces la aceleraci o´ n angular de la varilla?
Figura 5: Problema 03 ´ SOLUCION:
Figura 6: Solucio´ n del problema 03
1 2 2 y = x v¯ = (x,˙ y˙ ) ¯v = x,˙ x ˙x = (30, 40) 22,5 22,5 Comprobamos que: ¨ x˙ = 3 a = ( x, Derivando la ecuacio´ n
2 2 2 x x˙ + x˙ x¨)x¨ = 25 tg θ = 22,5 22,5 30 − y
(30 − y )x˙ − x(−y˙ ) sec2 θ θ˙ = ......(1) 2 30 − y (30 − y ) ´ 1: Hallamos θ˙ : y = 10 Reemplazando en la ecuacion 1 θ˙ = 2 ,4567 Derivando una vez m´as la ecuacion
tg θ =
x
¨ ) − 2(30 − y )( ˙y )(30x˙ − y ˙x + x ˙y ) (30 − y )2 (30x¨ − ( ˙y ˙x + ¨x ˙y ) + x˙ ˙y + yx 2senθ θ˙ 2 ¨ 2 + sec = θ θ cos3 θ (30 − y )2 Para:
x˙ = 30 y˙ = 40 x¨ = 25 y¨ = 50 Obtenemos: La aceleracion angular es:
θ¨ = 3 ,30rad/s 2 α = 3 ,30rad/s 2
4. PROBLEMA N-04 4.1. Componente radial y transversal del movimiento curvil´ıneo La manivela AB de un mecanismo de un brazo oscilante de retroceso r a´ pido que se ve en la figura ,gira con una rapidez constante en el sentido de giro de las manecillas del reloj a 11,2rad/s .Calcular la aceleraci o´ n angular del brazo CD en el instante en que la manivela AB esta horizontal como se ve en la figura
Figura 7: Problema 04 ´ SOLUCION:
Se observa que es movimiento en coordenadas polares donde
Hallamos la velocidad y la aceleraci o´ n para la manivela AB: Datos: θ˙ = 11,2rad/s, θ¨ = 0 r AB = 25cm , ˙r AB = 0 , ¨r AB = 0 Adema´ s:
vr = r ˙ → r ˙ AB = 0 = vr vθ = r θ˙ → vθ = 25 × 11,2 = 280
Luego:
v =
v
2
2
r + vθ = 280cm/s
Hallamos la aceleraci o´ n radial:
ar = r ¨ − r θ˙ 2 → ar = 0 − 25 × 11,22 = −3136 aθ = r ¨θ + 2r ˙θ˙ → aθ = 0 + 0 = 0 Luego:
a =
a
2 + 2 =
r
aθ
3136cm/s 2
Hallamos la velocidad y la aceleraci o´ n de β para el brazo rasurado De gr a´ fico se tiene:
Figura 8: Solucio´ n del problema 04
aθ = ar Cosθ vr = −vb Cosθ vθ = vb Senθ De donde se obtiene la velocidad angular:
vr = r ˙ → r ˙CB = −280Cosθ ≈ −250,4 vθ = r θ˙ → r θ˙ = 280Senθ → θ˙ = 2,24rad/s Hallamos la aceleraci o´ n angular:
ar Cosθ = 2 r ˙CB + r CB ¨ θ ˙ a rCosθ r 2 − θ¨ = r r CB CB +2(250 ,4)(2,24) θ¨ = −3136Cosθ55 ,4 θ¨ = −30,09rad/s2
´ angular es de 30.09 rad/s 2 girando en sentido de las manecillas del reloj. Esto indica que la aceleraci on
5. PROBLEMA N-05 5.1. Componente radial y transversal del movimiento curvil´ıneo En la posicio´ n mostrada en la figura, el extremo de 60 cm/s A de la varilla tiene una componente de ´ hacia arriba, de . determine la aceleraci o´ n velocidad , hacia la derecha, de y una componente de aceleraci on, ´ angular de la varilla en esta posici on.
Figura 9: Problema 05 ´ SOLUCION:
Figura 10: Solucio´ n del problema 05 De la figura obtenemos:
V r = V cos θ , V θ = −V sin θ V r = 60 45 V r = 48 cm/s
V θ = −60 35 V θ = −36rad/s Segun ´ las siguientes ecuaciones :
V r = r ˙ ; V θ = r θ˙ V r = r ˙ = 48cm/s V θ = −36 V θ = r θ˙ , r = 25 θ˙ = − 36 25 ˙ θ = −1,44rad/s
De la gr a´ fica se obtiene lo siguientes:
V r = V cos θ , V θ = −V sin θ V r = 60 45 V r = 48 cm/s
V θ = −60 35 V θ = −36rad/s V r = r ˙ ; V θ = r θ˙ V r = r ˙ = 48 cm/s V θ = −36 V θ = r θ˙ , r = 25 θ˙ = − 36 25 ˙ θ = −1,44rad/s De la gra´ fica se obtiene lo siguientes:
V r = V cos θ , V θ = −V sin θ V r = 60 45 V r = 48 cm/s
V θ = −60 35 V θ = −36rad/s Por formula se tienes :
V r = r ˙ ; V θ = r θ˙ V r = r ˙ = 48cm/s V θ = −36 V θ = r θ˙ , r = 25 θ˙ = − 36 25 θ˙ = −1,44rad/s
De la gra´ fica se obtiene lo siguientes:
aθ = a cos θ ,ar = a sin θ aθ = 120 45 aθ = 95rad/s 2 aθ = r ¨θ + 2r ˙θ˙ = 95 ˙ θ¨ = 95−r 2r ˙θ −1,44) θ¨ = 95−2(48)( 25
θ¨ = 9 ,3696rad/s 2
6. PROBLEMA N-06 6.1.
Cinem´atica de cuerpo r´ıgido
El cuerpo B hace que el tambor compuesto de la figura, rueda sin resbalar hacia arriba del plano. Si la ´ lineal de B es 0.6 m/s 2 hacia abajo, calcular la aceleraci o´ n lineal del cuerpo A. Suponga que la aceleracion cuerda que sostiene a A. Suponga que la cuerda que sostiene a A permanece vertical.
Figura 11: Problema 06 ´ SOLUCION: −→ Determinamos: − r − B/O − −→ ˆ ˆ r − B/O = 0,9Sen 37i − 0,9Cos 37j − r −−→ = 0,54iˆ − 0,72j ˆ
B/O aB =
0,6m/s2 − −→ ˆ ˆ r − B/O = 0,54i − 0,72j aB = 0,6m/s2
Figura 12: Solucio´ n del problema 06 Hallamos a−→ B :
Si: − a→ B
− −−→ − → −−−→ − −−− → − −−− → −−−→ a→ B = aO + α × r B/O + ωOB × ωOB × r B/O − a→ = α kˆ × 0,54iˆ − 0,72j ˆ + ωkˆ × ωkˆ × 0,54iˆ − 0,72j ˆ
B
− 2ˆ 2ˆ ˆ ˆ a→ B = 0 ,72α i − 0,54α j + 0,72ω j − 0,54ω i − 2 ˆ 2 ˆ a→ B = 0,72α − 0,54ω i + 0,54α + 0,72ω j
Pero:
4 3 − a→ = 0,6 × iˆ + 0,6 × j ˆ B
5
5
Entonces:
´ final del problema 06 Figura 13: Solucion 0,72α − 0,54ω2 = 0,6 × 54 ....... (1) 0,54α + 0,72ω2 = 0,6 × 53 ....... (2) De (1) y (2): α = 0 ,667rad/s 2 y ω 2 = −0,00025rad/s 2 Hallamos − a−→ A :
− −−→ − → −−−− → − −−−→ −−−−→ − −−− → a−→ A = aO + α × r A/O + ωOA × ωOA × r A/O − ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ a−→ A = α k × −0,9i + ω k × ωk × −0,9i − 2ˆ ˆ a−→ A = −0,9α j + 0,9ω i − ˆ ˆ a−→ A = −0,6j + 0,0025i − a−→ = −0,6m/s2
A
7. PROBLEMA N-07 7.1.
Cinem´atica de cuerpo r´ıgido
Las varillas AB y CD est a´ n articuladas en B como se observa en la figura, y se mueven en un plano vertical con las velocidades angulares absolutas y . Determine las velocidades lineales de los puntos C y D.
Figura 14: Problema 07
´ SOLUCION:
Figura 15: Solucio´ n del problema 07
De la figura tenemos:
−→ = 4krad/s ˆ ω AB = 4 rad/s ⇒ − ω− AB −−−→ = 3krad/s ˆ ωCD = 3rad/s ⇒ − ω CD − −→ = 15 icm ˆ ρ− AB − −→ = 10 jcm ˆ ρ−BC − −→ = −15jcm ˆ ρ−BD
De AB: −→ × − −→ B = − V ω− AB ρ− AB B = 4 kˆ × 15iˆ V ˆ B = 60 jcm/s V
De BC:
−−−→ × − −→ C = V C + − V ω ρ−BC CD C = 60j ˆ + 3kˆ × 10j ˆ V C = 60j ˆ − 30iˆ V ˆ C = −30iˆ + 60jcm/s V C = 75 cm/s V
8. PROBLEMA N-08 8.1.
Cinem´atica de cuerpo r´ıgido
Una placa ABC se mueve con sus extremos A y B sobre las gu´ıas horizontales e inclinadas mostradas en la figura. En la posici´on dada ω = −4k rad/s y α = −5k rad/s2 , ambas en sentido de giro de la manecillas del reloj. Calcular la aceleraci o´ n de los puntos A, B y C.
Figura 16: Problema 08 ´ SOLUCION:
Figura 17: Solucio´ n del problema 08 Por cinem´atica de cuerpos r´ıgidos: ˆ ω = −4krad/s
α = −5k rad/s2 El movimiento del cuerpo r´ıgido es un movimiento plano Para la aceleraci o´ n:
˙ AB + ωx (ωxρ AB ) aB = a A + ωxρ
aB = a A + −5k x(−1,5cos37o i − 1,5sen 37o j ) + −4kx (−4kx (−1,5cos37o i − 1,5sen 37o j ))
j a i , j , i j a sen j ,
aB (− cos53o i − sen 53o ) = − A + 5 9898 − 4 5136 + 19,1673i + 14,4436j
53o ) = 20 4334
B (−
aB = 25 ,5854m/s2 aB = aB (− cos53o iˆ − sen 53o ˆj ) aB = ( −15,3977iˆ − 20,4334j ˆ)m/s2 Hallando aceleraci o´ n de A:
aB (− cos53o i ) = −a A i + 14,6537i
m/s im/s 2
a A = 0 ,7440
a A = −0,7440 ´ de C: Hallando la aceleraci on
2
˙ CA + ωx (ωxρ CA ) a A = aC + ωxρ
i a i , j i a i ,
−0,7440i = aC + −5kx (1,8j ) + −4kx (−4kx (−1,8j )) −0,7440 = C + 9 − 28 8 C
= −9 7440
aC j = −28,8j
aC = 30,4037m/s2 aC = (−9,7440iˆ − 28,8j )m/s 2
9. PROBLEMA N-09 9.1.
Cinem´atica de cuerpo r´ıgido
´ dada,la velocidad y aceleCuando el mecanismo biela-manivela mostrado en la figura , esta en la posici on 2 ´ en C son vc = 4,8m/s ,ar = 0,84m/s , ambas vertical hacia abajo. racion ¿ cual es la aceleraci o´ n angular en la manivela AB ?
Figura 18: Problema 09 En la posici´on mostrada: De manera vectorial:
vc = 4,8m/s ,ar = 0,84m/s 2 ↓ , a AB =? − v→c = −4,8j ˆ − a→ = −0,84j ˆ c
´ SOLUCION:
Figura 19: Solucio´ n del problema 09
Hallamos la velocidad de B:
V B = V A + V B/A V B = V A + −ω AB kˆ × 0,5iˆ − 0,4j ˆ V B = −0,5ω AB j ˆ − 0,4ω AB iˆ
Hallamos la velocidad de C:
V C = V B + V C/ B V C = V B + ωBC kˆ × −1,19iˆ − 0,9j ˆ V C = −0,4ω AB iˆ − 0,5ω AB j ˆ + ωBC kˆ × −1,19iˆ − 0,9j ˆ V C = −0,4ω AB iˆ − 0,5ω AB j ˆ − 1,19ωBC ˆj + 0,9ωBC iˆ V C = 0iˆ − 4,8j ˆ
Por lo tanto:
−0,4ω AB = −0,9ωBC → ωBC = 00,,49 ω AB −0,5ω AB − 1,19ωBC = −4,8
ωBC = 2,07rad/s ω AB = 4 ,665rad/s Finalmente hallamos las aceleraciones:
− − − → −−−→ −−−→ −−−→ −−−→ −−−→ a→ B = a A + a AB × r B/A + ω AB × ω AB × r B/A − a→ = a kˆ × 0,5iˆ − 0,4j ˆ + −4,665kˆ × −2,33j ˆ − 1,87iˆ B
AB
− ˆ ˆ a→ B = (0,4a AB − 10,87) i + (0,5a AB + 807) j − a−→ = − a→ + − a−−→ × − r −−→ + − ω−−→ × − ω−−→ × − r −−→ C
B
BC
C/ B
BC
, k , j BC
C/ B
− −→ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ a−→ C = aB + aBC k × −1,19i − 0 9 + 2 207 × −2,47j + 1,86i − −→ ˆ ˆ ˆ ˆ a→ B = aB + 1,19aBC j + 0,9aBC i + 5,11i + 1,86j − ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ a−→ C = (0,4a AB − 10,87) i + (0,5a AB + 807) j + 1,19aBC j + 0,9aBC i + 5,11i + 1,86j − a−→ = (0,4a + 0,9a − 5,76) iˆ + (0,5a − 1,19a + 12,55) ˆj C
AB
BC
AB
BC
0,476a AB − 6,85 = 0 0,5a AB + 10,54 = 0
a AB = −3,98rad/s2 ´ gira en sentido horario de las manecillas del reloj. La aceleracion
10.
PROBLEMA N-10
En el instante mostrado en la figura ,la placa ABC ,gira con una velocidad constante de 2 rad/s alrededor de la arista AB que se mueve en un plano vertical. En e mismo instante ,A tiene una velocidad hacia la izquierda ´ de 3m/s 2 .Calcule la velocidad y la aceleraci o´ n absoluta en C . de 2 ,4m/s y una aceleraci on
Figura 20: Problema 10 Se tiene como datos: −→ ˆ ← v A = 2,4m/s, → a A = 3m/s2 , ω = 2 rad/s , − r − C/ A = 2,4j
´ SOLUCION:
´ del problema 10 Figura 21: Solucion −−→
−−→
−−− → −−−→ V C = V A + − ω AC × r C/ A − −−− → ˆ ω AC = 2k − −→ ˆ r − C/ A = 2,4j
Adema´ s se tiene que:
− −−− → = − ω ω−−→ = 2iˆ AC
AB
−−→
−−→ −−− → × − −→ ˆ ˆ ˆ V C = V A + − ω AC r − C/ A = −2,4i + 2i × 2,4j −−→ V C = −2,4iˆ + 4,8kˆ −−→
V C = 5,37m/s Hallando la aceleraci on: ´
− − − → −−−→ −−−→ − −−− → − −−− → −−−→ a−→ C = a A + a AC × r B/A + ω AC × ω AC × r C/ A − ˆ ˆ ˆ ˆ a−→ C = −3i + 2i × 2i × 2,4j − ˆ ˆ ˆ a−→ C = −3i + 2i × 4,8k − a−→ = −3iˆ − 9,6j ˆ
C aC =
10,058m/s 2
11. 11.1.
PROBLEMA N-11 Cinem´atica de cuerpo r´ıgido
La rueda de la figura gira libremente sobre el arco circular. Mostrar que : v A = rw y a At = rα
Figura 22: Problema 11 ´ SOLUCION:
´ del problema 11 Figura 23: Solucion
Se observa en la figura y se tienes que la velocidad en O como en A respecto al piso en que se encuentra la rueda de lo cual se tiene l siguiente :
wo = θ˙ w A = θ˙ wo = w A = θ˙ = w De lo cual se obtiene y queda demostrado lo :
v A = rw sabemos que :
v = wr v˙ = at v˙ = dtd ( wr ) ˙ v˙ = r w˙ + rw de donde r = constante ⇒ r ˙ = 0 v˙ = r w˙ w˙ = α at = rα De lo cual quedan demostrado las dos expresiones solicitadas v A = rw y a t = rα
12. 12.1.
PROBLEMA N-12 ´ Cinematica de cuerpo r´ıgido
Una placa ABC se mueve con sus extremos A y B sobre las gu´ıas horizontales e inclinadas mostradas en la figura. En la posici´on dada ω = −4k rad/s y α = −5k rad/s2 , ambas en sentido de giro de la manecillas del reloj. Calcular la aceleraci o´ n de los puntos A, B y C.
Figura 24: Problema 12 ´ SOLUCION:
Figura 25: Solucio´ n del problema 12 Por cinem´atica de cuerpos r´ıgidos: ˆ ω = −4krad/s
α = −5k rad/s2 El movimiento del cuerpo r´ıgido es un movimiento plano Para la aceleraci o´ n:
˙ AB + ωx (ωxρ AB ) aB = a A + ωxρ
aB = a A + −5k x(−1,5cos37o i − 1,5sen 37o j ) + −4kx (−4kx (−1,5cos37o i − 1,5sen 37o j ))
j a i , j , i j a sen j ,
aB (− cos53o i − sen 53o ) = − A + 5 9898 − 4 5136 + 19,1673i + 14,4436j
53o ) = 20 4334
B (−
aB = 25 ,5854m/s2 aB = aB (− cos53o iˆ − sen 53o ˆj ) aB = ( −15,3977iˆ − 20,4334j ˆ)m/s2 Hallando aceleraci o´ n de A:
aB (− cos53o i ) = −a A i + 14,6537i
m/s im/s 2
a A = 0 ,7440
a A = −0,7440 ´ de C: Hallando la aceleraci on
2
˙ CA + ωx (ωxρ CA ) a A = aC + ωxρ
i a i , j i a i ,
−0,7440i = aC + −5kx (1,8j ) + −4kx (−4kx (−1,8j )) −0,7440 = C + 9 − 28 8 C
= −9 7440
aC j = −28,8j
aC = 30,4037m/s2 aC = (−9,7440iˆ − 28,8j )m/s 2
