TRABAJO COLABORATIVO COLABORATIVO 2 PROBABILIDAD
PRESENTADO POR: REINALDO SALAMANCA CESAR AUGUSTO CASTAÑO ALEXANDER PITTO JUAN MIGUEL MEJIA
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA “UNAD” NOVIEMBRE DE 2014
Variables aleatorias. Una variable aleatoria es, una función que asigna un número real a cada resultado en el espacio muestral de un experimento aleatorio. Se denota con una letra mayúscula tal como X. En este tema se verá la importancia de cuanticar los resultados de un experimento aleatorio sabiendo que ellos pueden ser cualitativos o cuantitativos !ara facilitar estos cálculos se acude a una función que ubica el espacio muestral en el con"unto de los números reales, esta es conocida como variable aleatoria. Se puede denir denir como variabl variables es ale aleato atoria riass cuyos cuyos valores valores sean contab contables les o no, y al ser una caracteri#ación cuantitativa de los resultados de un espacio muestral, ellas pueden ser discretas o continuas $ariable aleatoria X es discreta si el número n úmero de valores que puede tomar es nito %o innito contable&. 'istribución de probabilidad de una variable aleatoria X es una descripción del con"unto de posibles valores de X, "unto con la probabilidad asociada con cada uno de estos valores. Esta distribución bien puede ser una gráca, una tabla o una ecuación que da la probabilidad de cada valor de la variable aleatoria y se considera como el resumen más útil de un experimento aleatorio. (oda (oda distribución de probabilidad probabilidad debe satisfacer cada uno de los dos requisitos siguientes) ∑ ! ( X = x ) *+
-! ( X = x ) -+ $ariable aleatoria X es continua s s el número de valores que puede tomar están e stán contenidos en un intervalo %nito o innito& de números reales. 'ic/os valores pueden asociarse a mediaciones en una escala e scala continua, de manera que no /ay interrupciones. 0a distribución de probabilidad de una variable aleatoria continua X está e stá caracteri#ada por una función f ( x ) que recibe el nombre de función de densidad de probabilidad. Esta función de densidad de probabilidad probabilidad f ( x ) permite calcular el área ba"o la curva que representa la probabilidad de que la variable aleatoria continua X tome un valor entre el intervalo donde se dene la función.
1ormalmente, la función de densidad de probabilidad f ( x ) de una variable aleatoria continua, se dene como tal si para cualquier intervalo de números reales 2a,b3 se cumple que) F ( x ) 4
Esperanza matemática y varianza de una variable aleatoria El valor esperado %tambi5n llamado media o esperan#a matemática& de una variable aleatoria discreta X es una medida de posición para la distribución de X. Se simboli#a con 6 y se calcula al sumar el producto de cada valor de X con su probabilidad correspondiente.
DISTRIBUCIÓ BI!"I#$ 'enición Es una de las distribuciones de probabilidad más útiles %control de calidad, producción, investigación&. (iene que ver con el experimento aleatorio que produce en cada ensayo o prueba uno de dos resultados posibles mutuamente excluyentes) ocurrencia de un criterio o caracterstica especco %llamado 5xito& y no ocurrencia de 5ste %llamado fracaso&. 0os t5rminos o calicativos de 75xito y fracaso7 son solo etiquetas y su interpretación puede no corresponder con el resultado positivo o negativo de un experimento en la realidad. En general, un experimento aleatorio que consiste de n ensayos repetidos tales que) • •
•
0os ensayos son independientes 8ada ensayo es de tipo 9ernoulli. Esto es, tiene sólo dos resultados posibles) 75xito7 o 7fracaso7. 0a probabilidad de 5xito de cada ensayo, denotada por p, permanece constante.
DISTRIBUCIÓ BI!"I#$ E%#TIV# y %E!"&TRIC# 'enición En la distribución geom5trica, la variable aleatoria estaba denida como el número de ensayos 9ernoulli necesarios para obtener el primer 5xito. Suponga a/ora que se desea conocer el número de ensayos /asta obtener r 5xitos: en este caso la variable aleatoria es denominada binomial negativa. 0a distribución binomial negativa o distribución de !ascal es una generali#ación de la distribución geom5trica donde la variable aleatoria X es el número de ensayos 9ernoulli efectuados /asta que se tienen r 5xitos, con una probabilidad constante de 5xito p. Se dice entonces que X tiene una distribución binomial negativa con parámetros p y r * +, ;, <,...
Distribuci'n (iper)eom*trica+
Supongamos que tenemos una población de tama=o > y de ella se selecciona una muestra de tama=o n para vericar si cada elemento tiene o no una cierta caracterstica, esto se puede mane"ar en t5rminos de 5xito y de fracaso. Si el tama=o de la muestra n es peque=o en comparación con el tama=o de la población > % n ? > @A & podemos considerar los intentos como independientes y asumir que probabilidad de obtener un 5xito en un elemento es la misma en cada intento, por lo que podemos aplicar la distribución binomial. Sin embargo si el tama=o de la muestra n es grande en comparación con el tama=o de la población > entonces la probabilidad de obtener un 5xito en un intento se ve afectada por los resultados en intentos anteriores es decir que son dependientes. 8uando pasa esto el número x de 5xitos sigue lo que se conoce como una distribución /ipergeom5trica de probabilidad. Es importante remarcar que tanto la distribución binomial como la distribución /ipergeom5trica persiguen un mismo ob"etivo %el número de 5xitos en una muestra que contiene n observaciones&, la diferencia entre ellas es que la /ipergeom5trica considera no solo a los elementos de la muestra, sino tambi5n a los elementos de la población. En resumen la distribución /ipergeom5trica es aquella en la que se considera la existencia de 5xitos y?o fracasos en una población conocida, y de la cual se extrae una muestra sin rempla#o donde tambi5n existen 5xitos o fracasos. Su principal aplicación es en el muestreo de aceptación y control de calidad donde de un lote de artculos se toma una muestra y se anali#a para decidir si se acepta o rec/a#a todo el lote.
Criterios o propiedades ,ue la caracterizan. +. 0a población > del con"unto de unidades o elementos es de orden nito, de los cuales una parte) B 7son 5xitos7, y otra parte son 7fracasos7. ;. 8ada elemento puede ser caracteri#ado como 5xito o fracaso. <. Se obtiene una muestra aleatoria de n elementos todos a la ve# %sin reempla#amiento& y no de forma independiente. >o son pruebas repetidas. C. El tama=o de la muestra aleatoria n es grande relativamente en comparación con el n tama=o de la población. Deneralmente N > 5 @. Se busca la probabilidad de x* número de 5xitos a partir de los B resultados o elementos y %nx& fracasos a partir de los >B elementos as clasicados, al obtener una muestra aleatoria de tama=o n. Supongamos un lote de > productos de los cuales) Fbtenemos muestra de n productos, todos a la ve#. Gnteresa entonces la probabilidad de sacar x productos defectuosos %Hxito&, o sea) p%x&. !odemos /acer el siguiente raciocinio)
Si en una población de > elementos se tienen B 5xitos, la probabilidad de que en una muestra aleatoria de n elementos seleccionados sin reempla#o se tengan x 5xitos está dada por)
( )( ) = ( )= () k N −k x n− x
p x
N n
k
N −k
C x C n− x
con x-B
N
C n
> * número de elementos en la población muestra B * número de 5xitos en la población muestra N
C n
n * número de elementos en la x * número de 5xitos en la
es el número de maneras en que se puede tomar una muestra n de la población
> k
C x es el número de formas en que se toman x 5xitos del total r 5xitos que /ay en la
población N ∗k
C n∗ x
es el nImero de maneras en que se puede tomar nx fracasos del total >r de
la población 0a media %esperan#a& y desviación estándar de la distribución /ipergeom5trica están dadas por) Jedia
μ= n
( ) k N
'esviación estándar
2
$arian#a
σ = μ
− − − = ( ( )( )( ) − √ √ )(
σ = n
k N k N n N N N 1
μ
N k N − n N N − 1
)
( )( ) N −k N −n N N −1
Distribuci'n -oisson+ Sea X una variable aleatoria que representa el número de eventos aleatorios independientes que ocurren con igual rapide# en un intervalo de medida. Se tiene entonces que la función de probabilidad de esta variable, se expresa por)
−ʎ
e f ( x )= P [ X = x ] =
X*,+,;,K..:o en cualquier otro punto o valor.
x !
'onde L es parámetro de tendencia central de la distribución y representa el número promedio o cantidad esperada de ocurrencias %5xitos& del evento aleatorio por unidad de medida o por muestra: e*;.M+N;N y x*>úmero de ocurrencias especcas para el cual se desea conocer la probabilidad respectiva. Según sea el valor de L, se dene toda una familia de probabilidades de !oison. 0a probabilidad de que una variable aleatoria de !oison X sea menor o igual a un valor de x se /alla por la función de distribución acumulativa, planteada entonces como) x
p ( X ≤ x )= F ( x )=
∑
e
−ʎ
x =0
k
ʎ
k!
0os resultados de las probabilidades individuales para valores de X serán más peque=os conforme la variable aleatoria toma valores cada ve# más grandes. 0os resultados de las probabilidades individuales para valores de X serán más peque=os conforme la variable aleatoria toma valores cada ve# más grandes 0a distribución de !oisson tiene la particularidad de que la media y la varian#a son iguales E%x&*L
var%x&*L
Distribuci'n uni.orme discreta+ 'escribe el comportamiento de una variable discreta que puede tomar n valores distintos con la misma probabilidad cada uno de ellos. Un caso particular de esta distribución, ocurre cuando los valores son enteros consecutivos. Esta distribución asigna igual probabilidad a todos los valores enteros entre el lmite inferior y el lmite superior que denen el recorrido de la variable.
Distribuci'n uni.orme continua+ Una variable aleatoria se dice que sigue una distribución uniforme continua en un intervalo real %a,b&, y se representa por %a,b&, si su función de densidad es constante en dic/o intervalo y nula fuera de 5l: es decir)
Distribuci'n ormal+ 0a distribución normal es de suma importancia en estadstica por tres ra#ones principales) >umerosas variables continuas de fenómenos aleatorios tienden a comportarse probabilsticamente mediante 5sta.
Es el lmite al que convergen tanto variables aleatorias continúas como discretas. !roporciona la base de la inferencia estadstica clásica debido a su relación con el teorema del lmite central.
CUADRO SINOPTICO
VARIABLE ALEATORIA DISCRETA VARIABLEALEATORIA CONTINUA
VALOR ESPERADO Y VARIANA
DISTRIBUCION BINOMIAL
/0120(L E 0LE0341
DISTRIBUCION BINOMIAL NEGATIVA
DISTRIBUCION HIPERGEOMETRICA
DISTRIBUCION DE POISSON
DISTRIBUCION UNIFORME CONTINUA
DISTRIBUCION UNIFORME DISCRETA
-
( X )
Está caracteri#ada por la $ariable f
,uede asumir un número infinito de valores dentro de un determinado rango. La varianza de una variable aleatoria es una medida de la dispersión de la distribución de probabilidad de %sta. Los ensayos son independientes. Cada ensayo es de tipo (ernoulli. Esto" tiene sólo dos resultados posibles) *%&ito* o *fracaso+. La probabilidad de %&ito de cada ensayo" denotada por p" permanece constante.
La variable aleatoria estaba definida como el número de ensayos (ernoulli necesarios para obtener el primer %&ito En ella se considera la e&istencia de %&itos y'o fracasos en una población conocida" y de la cual se e&trae una muestra sin remplazo donde tambi%n e&isten %&itos o fracasos. E&presa" a partir de una frecuencia de ocurrencia media" la probabilidad de que ocurra un determinado número de eventos durante cierto período de tiempo.
e dice que sigue una distribución uniforme continua en un intervalo real !a"b#" y se representa por !a"b#" si su función de densidad es constante en dic$o intervalo y nula fuera de %l.
Describe el comportamiento de una variable discreta que puede tomar n valores distintos con la misma probabilidad cada uno de ellos
DISTRIBUCION NORMAL
La distribución normal es de suma importancia en estadística por tres razones principales.
DISTRIBUC I!
Es la única variable aleatoria Continua cuya tasa de fallos es constante
DISTRIBUCI !
Está dada por
í el número de valor que puede tomar es finito.
8aractersticas) +. (endencia 8entral ;. $ariación
f%x,p,r&* r .pr
x+8r+
qx
− ( )( − ) ( )= =
p x
k N k x n x
k
C
−ʎ
e f ( x )= P [ X = x ] = x !
P ( X I )=
1
n
y su función de distribución la función escalonada. 1
f x ( x) = 0a distribución normal es la más extendida en estadstica y muc/os tests estadsticos están basados
La función generadora es)
m ( t )= ∝ ∕ ∝−t,sit − ∝≤ 0
Es una distribución de probabilidad continua con un parámetro k que representa los grados de libertad de la variable aleatoria.
EJERCICIOS
EJERCICIO 1
Suponga que un comerciante de "oyera antigua está interesado en comprar una gargantilla de oro para la cual las probabilidades de poder venderla con una ganancia de Q ;@, Q +, al costo, o bien con una p5rdida de Q+@ son) respectivamente) .;;, .
'ESPF00F n
E ( X )=
( Xi∗ Pi ) ∑ = i 1
n
E ( X )=
( Xi∗ Pi ) ∑ = i 1
( X )= 250 ( 0.22 )+ 100 ( 0.36 )+ 0 ( 0.28 )−150 ( 0.14 )
( X )= 55 + 36 + 0 −21 ( X )= 70
espuesta) 0a ganancia es de Q M
EVE8G8GF ; Suponga que la probabilidad de que una persona dada crea un rumor acerca de las transgresiones de cierta actri# famosa es de ,N. 8uál es la probabilidad de que)
'ESPF00F a. la sexta persona en escuc/ar este rumor sea la cuarta en creerloT n*R
p * .N
X*C
q * + p * + .N * .; q
¿ ¿ x x P ( X = x )=( ) ( p ) ¿ n
0.8
¿ ¿
0.2
¿ ¿ 6 P ( X = x )=( )¿ 4
0.8
¿ ¿
0.2
*
¿ ¿
6! 4 ! ( 6 −4 ) !
¿
0.8
¿ ¿
0.2
¿ ¿ 6∗5∗4 ! ¿ ¿ 4 ! ( 6 −4 ) !
¿
30
¿
30
2!
2
( 0.4096 ) ( 0.04 )
( 0.4096 ) ( 0.04 )
¿ 15 ( 0.4096 ) ( 0.04 )
* .;C@MR * ;C.@MRA espuesta) 0a probabilidad de que la sexta persona en escuc/ar el rumor sea la cuarta en creerlo es de .;C@MR es decir de ;C.@MRA b. 0a tercera persona en escuc/ar este rumor sea la segunda en creerloT q
X
¿ ¿ x x P ( X = x )=( ) ( p ) ¿ n
n*;
x*<
0.8 0.2
3
*% 2 &
%
¿ ¿ ¿ ¿3 ¿
p * .N 0.8
¿ ¿
0.2
q * .;
*
¿ ¿
3! 2 ! ( 3 −2 ) !
¿
0.8
¿ ¿ 3∗2 ! ¿ ¿ 2 ! ( 1) !
3 ¿ ( 0.512 ) ( 0.2 ) 1
¿ 3 ( 0.512 ) ( 0.2 ) * .<M; * <.M;A espuesta) la probabilidad de que la tercera persona en enterarse, sea la segunda en creer es del .<M;, es decir de <.M;A
EVE8G8GF <. Una empresa /a encontrado que la duración de sus llamadas telefónicas tienen una distribución normal con media tres minutos y desviación estándar de +,N minutos. a. En qu5 proporción las llamadas tendran una duración de más de dos minutos pero menos de tres y medio minutos. b. Si una secretaria va a reali#ar una llamada cual es la probabilidad de que la llamada dure más de cinco minutos. 'ESPF00F a. En qu5 proporción las llamadas tendran una duración de más de dos minutos pero menos de tres y medio minutosT J* < σ * +.N
(abla de distribución normal. X − M σ
W*
¿
2
¿ P
!% 1 < X < 3.5 &
X*W
(−<<
¿ P
X* <.@
X −3 1. 8
2 3 1.8
(
−1 1.8
Z
< Z <
3.5−3 1.8
0.5 1.8
)
)
P ( Z < 0.277 )
¿ P (−0.5555 < Z < 0.2777 )
P ( Z < 0.5554 )
¿ P ( Z <0.2777 )− ( Z <−0.5555 )
P ( Z < X <−0.5555 )
¿ 1− P ( Z < 0.5555 )
P ( Z < X < 3.5 )
1− p ( z 0.5555 ) z < 0.2777−¿
¿ P ¿ (abla de distribución normal $alor para) .;M y .;N en .;MMM en .@@ y @R en .@@@@ (abla normal
( 0 . 27 )=0 . 6064
(abla normal
( 0 . 28 )=0 . 6103
(abla normal
( 0 . 55 )=0 . 708
(abla normal
( 0 . 56 )=0 . 7123
$alores para .;MMM .@@@@, .;MM+ (abla normal para .;M es .RRC y para .;N es .R+< $alor para .;MMM* .RRC O .MMMM
( 0 . 6103−0 . 6064 )
* .RYC tabla normal para .@@ y .@R $alor para .@@@@ * .MNN O .@@@@ Z
( 0 . 7103 . −0 . 7088 )
* .M+M P (2 < Z < 3 . 5 )=( Z < 0 . 2777 ( 1− PZ < 0 . 555 ) )
¿ 0.6094 −( 1−0.7107 ) * .RYC .;NY< P (2 < Z < 3.5 )= 0,3201
espuesta * ,<;+
b. probabilidad de que una llamada dure más de cinco minutos. P ( X > 5 )
T
P ( X > 5 )=1 − P ( X < 5 )
Z =
X − M X −3 = 1. 8 σ
(
1− P ( X < 5 ) =1− P Z <
5 −3 1.8
)
(
=1− P Z <
1 1.8
)
1− P ( X < 5 ) =1− P ( Z < 1.1111 )
tabla normal, valores para +.++ y +.+; $alor tabla %+.++& * .NRR@ $alor tabla
( 1.12 )=0.8686
!or lo tanto el valor +.++++
¿ 0.8665 + 0.1111 ( 0.8686− 0.8665 ) ¿ 0.8665 + 0.1111 ( 0.0021 ) * .NRRM P ( X > 5 )=1 − P ( X < 5 )=1 −0.8667 = 0.1333
espuesta) la probabilidad de que una llamada dure más de cinco minutos es de .+<<<
EVE8G8GF C Un piloto privado desea asegurar su avión por @. dólares. 0a compa=a de seguros estima que puede ocurrir una p5rdida total con probabilidad de .;, una p5rdida de @A con una probabilidad de .+ y una de ;@A con una probabilidad de .+. Si se ignoran todas las otras p5rdidas parciales, que prima debe cargar cada a=o la compa=a de seguros para obtener una utilidad media de US Q@. 'ESPF00F 0a probabilidad de que no exista p5rdida es) + [ %.; O .+ O .+& * .NN
0a utilidad media es) µ x =
E ( x ) = ( P *0.0888) − (5000*0.002) − (2500* 0.01) − (1250*0.1) = 5000
P *0.238 − 100 − 250 − 1250 = 5000 P *0.888 − 1600 = 5000 P =
5000 + 1600
0.888 P = 7432.43
0a compa=a debe cargar una prima de MC<;.C< dólares.
EVE8G8GF @ Según los registros universitarios fracasa el @A de los alumnos de cierto curso. 8uál es la probabilidad de que de R estudiantes seleccionados al a#ar, menos de < /ayan fracasadoT 'ESPF00F !%x\<& * !%x*& O !%x*+&O!%x*;&
*
()
*(0.05) 0 *(0.95) 6 0.7350
*
()
*(0.05)1 *(0.95)5
*
()
*(0.05)2 *(0.95)4
P ( x < 3)
P ( x = 1)
P ( x = 2)
6 0
=
6 0
6 0
=
=
0.2321
0.031
P ( x < 2) = 0.9981
EVE8G8GF R Un calentador de agua requiere por t5rmino medio < minutos para calentar C galones de agua /asta una temperatura determinada. Si los tiempos de calentamiento se distribuyen normalmente con una desviación estándar de ,@ minutos ]u5 porcenta"e de los tiempos de calentamiento son superiores a <+ minutosT
'ESPF00F µ = 30 yσ = 0.5
N = 40 x − µ
31 − 30
1
=2 0.5 0.5 P( Z > 2) = 1 − P( Z > 2) = 1 − 0.97725 = 0.0228
Z 1
=
=
=
σ
El porcenta"e de tiempos de calentamiento superiores a <+ minutos es de Cx.;;N*.Y+;x+*Y+.;A
EVE8G8GF M Una persona pide prestado un llavero con cinco llaves, y no sabe cuál es la que abre un candado. !or tanto, intenta con cada llave /asta que consigue abrirlo. Sea la variable aleatoria X que representa el número de intentos necesarios para abrir el candado. a. 'etermine la función de probabilidad de X. b. 8uál es el valor de ! % X - +&T 'ESPF00F) 0a probabilidad de abrir a la primera es +?@ 0a probabilidad de abrir a la segunda es la probabilidad de no abrir abrir 4 / 5∗1 / 4 = 1 / 5
a que primero tenemos @ llaves de las que C no abren C?@ y despu5s para la segunda tenemos C de las que + abre el candado ^ 'e la misma manera para < intentos
4 / 5∗3 / 4∗1 / 3= 1 / 5
!ara C intentos
4 / 5∗3 / 4∗2 / 3∗1 / 2=1 / 5
!ara @ intentos
4 / 5∗3 / 4∗2 / 3∗1 / 2=1 / 5
P ( X )=1 / 5 P ( X ≤1)= P ( X =1)= 1 / 5
EVE8G8GF N En el metro de la ciudad de Jedelln, los trenes deben detenerse solo unos cuantos segundos en cada estación, pero por ra#ones no explicadas, a menudo se detienen por intervalos de varios minutos. 0a probabilidad de que el metro se detenga en una estación más de tres minutos es de ,;. a. _alle la probabilidad de que se detenga más de tres minutos por primera ve#, en la cuarta estación desde que un usuario lo abordoT b. _alle la probabilidad de que se detenga más de tres minutos por primera ve# antes de la cuarta estación desde que un usuario lo abordoT
'ESPF00F)
a. B ( x p , n )=f ( x 0.2,4 )
( )∗
p ( x = 1 )=
4 1
1
3
0.2 ∗0.8
=0.4096 = 40.96
b. 3 − ∗ 0.2 ∗0.8 =0.488 =48.8 ∑ (i) = 3
i
p ( ¿ 4 ) =
3
i
i 1
EVE8G8GF Y
En una panadera se cortan panecillos con un peso que se a"usta a una distribución normal de media + g y desviación tpica Y. 8uál es la probabilidad de obtener un panecillo cuyo peso oscile entre N g y la mediaT
'ESPF00F)
6*+ y `*Y
p ( 80 < x < 100 )= z 1=
x −! 80 −100 20 = = =−2.22 σ 9 9
p ( 80 < x < 100 )= z 1=
x −! 100 −100 0 = = =0 σ 9 9
¿ 1− p ¿ #;.;;&&*.@%+.YNRMY& p (−2.22 < z < 0 ) = p ( z < 0 ) −¿ *.@.+<+;+*.CNRMY !robabilidad de obtener un panecillo con peso entre Ng y +g es de .CNRMY
EVE8G8GF +
Un "ugador tiene tres oportunidades de lan#ar una moneda para que apare#ca una cara, el "uego termina en el momento en que cae una cara o despu5s de tres intentos, lo que suceda primero. Si en el primero, segundo o tercer lan#amiento aparece cara el "ugador recibe Q;, QC o QN respectivamente, si no cae cara en ninguno de los tres pierde Q;. Si X representa la ganancia del "ugador) a. Encuentre la función de probabilidad f%x& b. Encuentre el valor esperado E%x&, la varian#a $%x& y la desviación estándar S%x&
'ESPF00F
a. Encuentre la función de probabilidad f%x& 0a probabilidad de que apare#ca una cara es +?;, la probabilidad de que apare#ca dos caras seguidas es %+?;&%+?;& * %+?C&, la probabilidad de que apare#can tres caras seguidas es %+?;&%+?;&%+?;& * +?N, que es la misma probabilidad de que no apare#ca una sola cara, por tanto la distribución de probabilidad es)
b. Encuentre el valor esperado E%x&, la varian#a $%x& y la desviación estándar S%x& f ( x )∗ x
∑
El valor esperado está denido por)
∑ f ( x )∗ x
E ( x )=
()
E ( x )=20000∗
1 2
()
+ 40000∗
1
4
()
+ 80000 ∗
1 8
()
−200000 ∗
1 8
E ( x )=10000 + 10000 + 10000−25000 E ( x )=5000
0a $arian#a está denida por)
[
] ∑ [ ( x − μ ) ∗f ( x )]
σ ( x )=" ( x ) = E ( x − μ ) = 2
2
()
¿ ( 20000−5000 )2∗
1 2
2
()
+ ( 40000 −5000 )2∗
1 4
σ ( x )=112500000 + 306250000 + 703125000 + 5253125000 2
()
+ ( 80000−5000 )2∗
1 8
()
+ (−200000 −5000 )2∗
1 8
σ ( x )=6375000000 2
0a 'esviación Estándar Está 'enida por)
# ( x ) =√ " ( x ) # ( x ) = √ 6375000000 # ( x ) = 79843,59
EVE8G8GF ++ R. El propietario de una farmacia local sabe que en promedio, llegan a su farmacia + personas cada /ora. a. encuentre la probabilidad de que en un periodo dado de < minutos nadie entre a la farmacia b. Encuentre la probabilidad de que en un periodo dado de < minutos entren más de @ personas a la farmacia
'ESPF00F
*+ personas?/ora + /ora + personas R minutos + personas @?< personas por minutos < minutos @?< Z< * @ personas *@ (− $ )
P ( X = x )= e
∗ $ x / x !
en este caso, (−5)
P ( X = x )= e
∗5 x / x !
a. encuentre la probabilidad de que en un periodo dado de < minutos nadie entre a la farmacia
P ( X =0 )=e
(−5)
∗50 / 0 ! =0.0067
b. Encuentre la probabilidad de que en un periodo dado de < minutos entren más de @ personas a la farmacia
P ( X > 5 )= P ( X = 6 )+ P ( X =7 )+ P ( X =8 )+ ...
P ( X > 5 )=1 − P ( X ≤5 )
donde
p ( X ≤5 )= P ( X =0 )+ P ( X =1)+ P ( X =2 )+ P ( X =3 )+ P ( X = 4 )+ P ( X =5 ) (−5)
P ( X =1)= e
(−5)
∗5 2 / 2 ! =0.0842
P ( X =3 )=e
(−5)
∗54 / 4 != 0.1754
P ( X =5 )=e
∗50 / 0 ! =0.0067
P ( X =0 )=e P ( X =2)= e P ( X =4 )= e
(−5)
(−5)
∗53 / 3 != 0.1403
(−5)
Sumando P ( X ≤5 )=0.6156 !or tanto P ( X > 5 )=1 −0.6156 =0.3844
EVE8G8GF +;
∗5 1 /1 ! =0.0336
∗55 / 5 ! =0.1754
Se /a determinado que para varones normales en una cierta población normalmente distribuida, la temperatura media es de
'ESPF00F
=37 % C
σ =0,5 % C
n =1000
P [ 37 % C ≤ x ≤ 37,6 % C ]= &
x ₁ = 37 % C
x ₂ = 37,6 % C
Estandari#amos)
z ₁ =( x ₁ − )/ σ
z ₁ =(37 % C − 37 % C )/ 0,5 % C
z ₂ =( x ₂ − )/ σ
z ₂ =( 37,6 % C −37 % C )/ 0,5 % C
z ₁ =0 % C / 0,5 % C
z ₂ =0,6 % C / 0,5 % C
z ₁ =0
z ₂ =1,2
_al
lamos la probabilidad de # y #, buscando en la tabla de distribución normal %de a #& o usando las funciones estadsticas de Excel %de a #&)
P [ z ' z ₁ ]= P [ z ' 0 ]= 0
P [ z ≤ z ₂ ]= P [ z ≤ 1,2 ]=0,3849
En este caso, P [ 37 %C ≤ x≤ 37,6 % C ] ( P [ z ₁ ≤ z ≤ z ₂ ] P [ 0 ≤ z ≤ 1,2 ]= P [ z ≤ 1,2 ]− P [ z ' 0 ]
P [ 0 ≤ z ≤ 1,2 ]= 0,3849
P [ z ₁ ≤ z≤ z ₂ ]= P [ z ≤ z ₂ ]− P [ z ' z ₁ ]
P [ 0 ≤ z ≤ 1,2 ]= 0,3849− 0
P [ 0 ≤ z ≤ 1,2 ]= 38,49
Ps, la probabilidad de que una persona tenga una temperatura entre
ES(U'GF 'E 8PSF
!or medio de las suposiciones de Seligman, calcule la probabilidad de que la estatura de un solo varón adulto c/ino escogido al a#ar sea menor o igual a +@C cm.
espuesta J* +RM.N cms σ * R.N cms X* $ariación con +.@C cms de estatura o menos. Se tiene distribución normal estándar. (omamos la tabla de distribución normal estándar. z =
X
M
− σ
!ara X* +@C cms
Z =
154 − 167.8 6.8
= −2.02
P (≤ 154cms )
(abla para W* ;,; P( Z
≤ −2.02) = 0.0217 = 2 P %
P( X
≤ 154cms) = 2%
espuesta) 0a estatura de un solo varón adulto c/ino escogido al a#ar sea menor o igual a +@C cm, es del ;A. 0os resultados de la pregunta +, concuerdan con las probabilidades de SeligmanT
espuesta 0os resultados parecen concordar con las suposiciones de Seligman, debido a que el porcenta"e obtenido es del ;A, en comparación del ;,@ A supuesto por 5l.
8omente acerca de la valide# de las suposiciones de Seligman _ay algún error básico en su ra#onamientoT
espuesta El error básico que podemos detectar en el ra#onamiento de Seligman es el /ec/o de que no se considera ninguna variable además de la altura y esto podra inclinar las conclusiones de estudio. 8on base en los resultados anteriores, argumente si considera o no que 'eng Xiaping tomo en cuenta la estatura al elegir a su sucesor.
espuesta Se puede concluir5 que no es suciente para generar la conclusión de que 'eng Xiaping tomó la decisión obedeciendo únicamente a criterios de la estatura, ya que, es importante conocer las demás caractersticas, no solo fsicas de los candidatos.
