22-23-Fungsi-Gamma-Beta.pdf

TKS 4007 Matematika III

Fungsi Khusus (Pertemuan XXIII)

Dr. AZ Jurusan Teknik Sipil Fakultas Teknik Universitas Brawijaya

Pendahuluan • Fungsi Gamma dan Beta merupakan fungsi-fungsi istimewa yang sering muncul dalam pemecahan persamaan differensial, proses fisika, perpindahan panas, gesekan sumber bunyi, rambatan gelombang, potensial gaya, persamaan gelombang, mekanika kuantum, dan lainnya. • Fungsi Gamma dan Beta merupakan fungsi dalam bentuk pernyataan integral dan mudah untuk dipelajari. • Kedua fungsi ini biasanya dibahas secara rinci dalam fungsi bilangan kompleks (di sini hanya dibahas secara definisi dan sifat-sifat sederhana yang dimiliki fungsi tersebut).

1

Fungsi Gamma Didefinisikan dalam bentuk : ∞

𝚪 𝐧 =

𝐛

𝐱

𝐧−𝟏 −𝐱

𝐱 𝐧−𝟏 𝐞−𝐱 𝐝𝐱

𝐞 𝐝𝐱 = 𝐥𝐢𝐦

𝐛→∞

𝟎

𝟎

 konvergen untuk n > 0 Hasil integral menyatakan bahwa 𝚪 𝐧 = 𝐧 − 𝟏 ! 𝚪 𝐧 disebut juga fungsi factorial atau perkalian berlanjut dengan n = 1, 2, 3, ….

Fungsi Gamma (lanjutan) Contoh : ∞

b

x1−1 e−x dx = lim

Γ 1 =

x1−1 e−x dx

b→∞

0

0

b

e−x dx

= lim

b→∞ 0

b b→∞ 0 = lim −e−b + e0 = 1 = lim −e−x b→∞

2

Fungsi Gamma (lanjutan) Rumus rekursi dari fungsi Gamma : 𝚪 𝐧 + 𝟏 = 𝐧𝚪 𝐧 dimana 𝚪 𝟏 = 𝟏 Contoh : 1. Γ 2 = 1 + 1 = 1Γ 1 = 1 2. Γ 3 = 2 + 1 = 2Γ 1 = 2 3. Γ 3/2 = 1/2 + 1 = 1/2Γ 1 = 1/2

Fungsi Gamma (lanjutan) Bila n bilangan bulat positif : 𝚪 𝐧 + 𝟏 = 𝐧! dimana 𝚪 𝟏 = 𝟏 Contoh : 1. Γ 2 = 1 + 1 = 1! = 1 2. Γ 3 = 2 + 1 = 2! = 2 3. Γ 4 = 3 + 1 = 3! = 6

3

Fungsi Gamma (lanjutan) Bila n bilangan pecahan positif : 𝚪 𝐧 = 𝐧 − 𝟏 . 𝐧 − 𝟐 . ⋯ . 𝛂𝚪 𝛂 dimana 𝟎 < 𝛂 < 𝟏 Contoh : 1. Γ 3/2 = (1/2)Γ 1/2 2.Γ 7/3 = (4/3)(1/3)Γ 1/3 3.Γ 7/2 = (5/2)(3/2)(1/2)Γ 1/2

Fungsi Gamma (lanjutan) Bila n bilangan pecahan negatif :

𝚪 𝐧 =

𝚪 𝐧+𝟏 𝐧

atau

𝚪 𝐧 =

𝚪 𝐧+𝐦 𝐧 𝐧−𝟏 .⋯

m bilangan

4

Fungsi Gamma (lanjutan) Beberapa hubungan dalam fungsi Gamma :

• 𝚪 𝟏/𝟐 = 𝛑 • 𝚪 𝐧 = 𝐧−𝟏 ! • 𝚪 𝐧 =

𝚪(𝐧+𝟏) 𝐧

• 𝚪 𝐧 𝚪(𝟏 − 𝐧) =

𝛑 𝐬𝐢𝐧 𝐧𝛑

Fungsi Gamma (lanjutan) Tabel Nilai fungsi Gamma :

5

Fungsi Gamma (lanjutan) Contoh : 1. Γ −3/2 =

Γ −3/2+1 −3/2

Γ −1/2 −3/2

=

Γ 1/2

= (−3/2)(−1/2) = 2. Γ −5/2 = =

Γ −5/2+1 −5/2

Γ −1/2 (−5/2)(−3/2) Γ 1/2

Γ 1/2 (3/4)

Γ −3/2 −5/2

=

=

= (−15/8) = −

Γ −1/2+1

= (−3/2)(−1/2) =

4Γ 1/2 3 Γ −3/2+1

= (−5/2)(−3/2)

Γ −1/2+1 (−5/2)(−3/2)(−1/2)

8Γ 1/2 15

Fungsi Gamma (lanjutan) 3. Hitung

∞ 6 −2x x e dx 0

Jawab : Misal 2x = y  dx =1/2dy jika x = 0, maka y = 0 jika x = , maka y =  ∞ 6 −2x x e dx 0

=

= =

∞ 1 6 −y 1 ∞ 1 ( y) e 2 dy = 0 (2)7 𝑦 6 e−y dy 0 2 ∞ ∞ 1 1 (2)7 0 𝑦 6 e−y dy = (2)7 0 𝑦 7−1 e−y dy 1 7 6! 45 2

Γ 7 = 27 =

8

6

Fungsi Gamma (lanjutan) Latihan : 1. Γ 5/2 2. Γ −1/2 3. 4.

5. 6.

∞

3

7. Hitung 0 y e−y dx , dengan substitusi y3 = x.

Γ 5/2 Γ 1/2 Γ −1/2 Γ 1/2

8. Hitung

1 dx 0 − ln x

,

dengan

substitusi –ln x = u.

Γ 3 Γ 2,5 Γ 5,5 6Γ 8/3 5Γ 2/3

Fungsi Beta Didefinisikan dalam bentuk : 𝟏

𝐱 𝐦−𝟏 (𝟏 − 𝐱)𝐧−𝟏 𝐝𝐱

𝚩 𝐦, 𝐧 = 𝟎

 konvergen untuk m > 0 dan n > 0 Sifat : 𝚩 𝐦, 𝐧 = 𝚩 𝐦, 𝐧

7

Fungsi Beta (lanjutan) Bukti : 𝟏

𝐱 𝐦−𝟏 (𝟏 − 𝐱)𝐧−𝟏 𝐝𝐱

𝚩 𝐦, 𝐧 = 𝟎

𝟏

(𝟏 − 𝐲)𝐦−𝟏 (𝐲)𝐧−𝟏 𝐝𝐱

= 𝟎 𝟏

𝐲 𝐧−𝟏 (𝟏 − 𝐲)𝐦−𝟏 𝐝𝐱 = 𝚩 𝐧, 𝐦

= 𝟎

Terbukti!

Fungsi Beta (lanjutan) Hubungan fungsi Beta dan fungsi Gamma :

𝚩 𝐦, 𝐧 =

𝚪 𝐦 𝚪 𝐧 𝚪 𝐦+𝐧

Contoh : Γ(3)Γ(5) Γ(3)Γ(5) = Γ(8) Γ(3+5) 2! 4! 48 1 = 7! = 5040 = 105 1 4 1 x (1 − x)3 dx = 0 x 5−1 (1 − x)4−1 dx 0 Γ(5)Γ(4) 4! 3! = Β 5,4 = Γ(5+4) = 8!

1. Β 3,5 =

2.

144

1

= 40320 = 280

8

Fungsi Beta (lanjutan) Latihan :

1. Β 3/2, 2 2. Β 1/3, 2/3 3. 4.

2 x2 dx 0 2−x 1 2 x 1 − x 3 dx 0

Terima kasih dan

Semoga Lancar Studinya!

9