Circuitos Eléctricos II
Análisis de estado senoidal permanente
Objetivos: Al terminar podrá:
1.
Describir las propiedades fundamentales de las funciones senoidales
2.
Grafica Graficarr funciones funciones senoidal senoidales es en Matlab.
3.
Describir el concepto de atraso y adelanto de fase
4.
Manejar la respuesta forzada forzada a señales señales senoidales en circuitos eléctricos
5.
Resolver usando Matlab problemas de la respuesta forzada forzada a señales senoidales
2
Función de tensión senoidal v(t ) = V m sen ωt V m – amplitud de la onda ωt –
argumento
La función se repite cada 2π radianes y por lo tanto el periodo (T ) de la senoidal es de 2π radianes. La frecuencia es f = 1/ T , así que ωT ω
= 2π
= 2π f
Grafica de la función seno Función senoidal en función de ωt .
Función senoidal en función de t .
Grafica de la función seno en matlab Código en Matlab >> fplot('sin',[-pi/2 2*pi+0.1 -1.5 1.5])
Retraso y adelanto Forma general de la senoide θ
v(t ) = V m sen (ωt + θ)
– ángulo de fase.
Se dice que v(t ) = V m sen (ωt + θ) adelanta a v(t ) = V m sen (ωt ) en θ radianes. Las señales se encuentran fuera de fase.
Retraso y adelanto En la Ingeniería, se acostumbra indicar el ángulo de fase en grados, en vez de hacerlo en radianes; para evitar confusiones debemos asegurarnos de usar siempre el símbolo de grados. Por lo tanto, en lugar de escribir: v(t ) = 100 sen (2π1000t − ) 6 π
Podemos emplear: v(t ) = 100 sen (2π1000t − 30°) Al evaluar esta expresión en algun instánte de tiempo, por ejemplo en t =10−4s, 2π1000t se convierte en 0.2 π radianes, lo cual debe expresarse como 36 ° antes de que se le resten 30°. Dos ondas senoidales cuyas fases se van a comparar deben: 1. Escribirse como ondas senoidales o como cosenoidales. 2. Expresearse como amplitudes positivas. 3. Tener cada una la misma frecuencia.
Conversión de senos a cosenos Se cumple que V m sen ωt = V m cos(ωt –
90°)
En general – sen ωt = sen(ωt ± 180 ) °
– cos
ωt =
cos(ωt ± 180 ) °
sen ωt = cos(ωt ± 90 ) °
±
cos ωt = sen(ωt ± 90 ) °
m
Ejemplo Determinar el ángulo mediante el cual i1 está retrasada respecto a v1, si v1 = 120 cos(120πt – 40°) e i1 = 1.4 sen(120πt – 70°) 1.4 sen(120πt – 70°) = 1.4 cos(120πt – 70° – 90°) = 1.4 cos(120πt – 160°) la diferencia de fases es 120πt – 40° – 120πt + 160° = 120° por tanto el retraso es de 120°.
Tarea 4 Determinar el ángulo mediante el cual i1 está retrasada respecto a v1, si v1 = 120 cos(120πt – 40°) e i1 es igual a: a) 2.5 cos(120πt + 20°) b) –0.8 cos(120πt – 110°) En general – sen ωt = sen(ωt ± 180 ) °
– cos ωt = cos(ωt ± 180 ) °
sen ωt = cos(ωt ± 90 ) °
±
cos ωt = sen(ωt ± 90 ) °
Respuesta forzada a funciones senoidales Se utilizan los términos respuesta forzada o respuesta en estado permanente. Considere el circuito serie RL con una fuente senoidal v(t ) = V m cos ωt .
+ V – R + V L –
Aplicando LVK V L + V R = v(t )
Respuesta forzada a funciones senoidales Se debe cumplir con la ecuación diferencial
L
di dt
+ Ri = V m
cos ωt
La corriente debe ser senoidal, en general puede ser de la forma: i(t ) = I 1cos ωt + I 2 sen ωt Donde I 1 e I 2 dependen de V m , R, L, y ω y no pueden estar presentes una función constante o exponencial.
Sustituyendo se obtiene L(– I 1ωsen
ωt + I 2ωcos ωt )
+ R( I 1cos ωt + I 2sen ωt ) = V mcos ωt
Respuesta forzada a funciones senoidales Agrupando términos coseno y seno, se obtiene (– LI 1 ω + RI 2)sen ωt + ( LI 2ω + R I 1 –V m) cos ωt = 0 esto debe cumplirse para todo t , por lo tanto los coeficientes del seno y del coseno deben ser cero. Es decir: – LI 1 ω + RI 2 = 0
y I 1
despejando I 1 e I 2 se obtiene
LI 2ω + R I 1 –V m = 0 RV m
=
R
2
2
2
+ ω L
,
I 2
ω LV m
=
R
2
La respuesta forzada se escribe como:
i (t ) =
RV m R
2
2
2
+ ω L
cos ωt +
LV m R
2
2
2
+ ω L
2
2
+ ω L
senωt
Una forma mas sencilla y compacta de la respuesta forzada Suponiendo una respuesta de la forma
cos( x
−
y )
cos x cos y
=
+
sen x sen y
i(t ) = A cos (ωt – θ)
Procedemos a determinar A y θ, expandiendo la función cos (ωt – θ) e igualando con la solución de la corriente i(t ) obtenida anteriormente: RV m ω LV m cos ωt + 2 senωt A cos θ cos ωt + A sen θ sen ωt = 2 2 2 2 2 R + ω L R + ω L de aquí encontramos que A cos θ =
dividiendo
RV m R
2
2
2
+ ω L
A sen θ A cos θ
y
=
A sen θ =
tan θ =
ω L
R
ω LV m
R
2
2
2
+ ω L
Una forma mas sencilla y compacta de la respuesta forzada elevando al cuadrado las anteriores expresiones y sumando 2
2
A cos
2
θ + A
2
sen
2
θ = A =
En consecuencia
i (t ) =
θ=
2
2
R V m
2
( R
tan
2
2
+ ω L
−1
ω L
R
)
2 2
+
2
2
2
ω L V m
( R
2
2
)
2 2
+ ω L
V m
=
R
2
2
2
+ ω L
V m
A = R
2
2
2
+ ω L
L −1 ω cos ωt − tan 2 2 2 R R + ω L V m
La expresión anterior es la forma alternativa de la respuesta forzada
Ejemplo Encontrar i L en el siguiente circuito i L
Si buscamos el equivalente de Thévenin entre a y b. El voltaje de circuito abierto voc es: voc
=
(10 cos 10 t ) 3
100 100
+
=
25
8 cos 10 3 t V
Ejemplo Puesto que no hay fuentes dependientes a la vista, calculamos Rth Rth =
25 × 100
=
25 + 100
20 Ω
Entonces el circuito equivalente de Thévenin. Entonces la respuesta forzada es: i (t ) =
i (t ) =
V m R
2
2 + ω
2
L
cos ω t − tan
−1
L
ω
R
3 −1 30radH cos10 t − tan 2 3 −3 20Ω ( 20Ω) + (10 rad × 30 × 10 H ) 8V
i ( t ) = 222 cos 103 t − 56.3
o
) mA
respuesta forzada
Solución de la respuesta forzada en Matlab Ejemplo 1 R = 20 Ω y L = 30mH, v(t ) = 8 cos 103t . R = 20; L = 30e-3; omega = 1000; clf; hold off; tiempo = linspace(0,8.1*1e-3,1000); v = 8*cos(1e3*tiempo); a = 8/sqrt(R^2+omega^2*L^2); fase = atan(omega*L/R); i = a*cos(1e3*tiempo - fase); plot(tiempo,v,'-b',tiempo,i,':b'); xlabel('tiempo (sec.)'); ylabel('v (volts), i(amps)'); legend('v(t)','i(t)',0);
Tarea 5 Sea vs = 40 cos 8000t V en el circuito de la figura. Recurra al teorema Thévenin en los casos en que esté sea más adecuado, y determine el valor en t = 0 para: a) i L, b ) v L ,b) i R , c) i1. Donde v L es el voltaje en la bobina.
i (t ) =
V m R
2
2 + ω
2
L
Respuesta: 18.71 mA, 15.97 V, 5.32 mA, 24.0 mA
L
1 ω
cos ω t − tan −
R
Tarea 6 Resolver los ejercicios propuestos del libro de Análisis de Circuitos en Ingeniería del autor W. H. Hayt 1,3,5,7 página 364 11, 12, 13, 14 y 15 página 365 y 366 20, 21, 22, 23, 24, 25 página 367
Guardar en un portafolio de evidencias para entrega al final del parcial y posteriormente en el examen final.
