Prof. dr Marina Mijalković
OTPORNOST MATERIJALA I ŠKOLSKA 2014/2015
��������� ���������� ������ ���������� �������� ���������� �������� ������������� ����
Nastavnik: Kancelarija: Telefon: E-Mail: Konsultacije:
dr Marina Mijalković V sprat 063-10-48-207
[email protected] utorak 14h, četvrtak 12h
Saradnici:
Stepa Paunović, PhD student, student , V sprat E-Mail:
[email protected]
Ivan Nesovic, PhD student, V sprat E-Mail:
[email protected]
Andrija Zorić, PhD student, V sprat E-Mail:
[email protected]
OPŠTE UVODNE NAPOMENE Potrebno predznanje: Tehnička mehanika I Matematika I Fizika
• Učenje
osnovnih pojmova Pokazati (dokazati) veštinu oslobađanja tela veza, određivanja reakcija veza i crtanja dijagrama unutrašnjih sila • Učenje o ponašanju materijala • Učenje kako rešavati probleme. Postupak rešavanja većine
problema uključuje jedan ili više sledećih zadataka: Statička analiza u cilju određivanja unutrašnjih sila • Određivanje napona i deformacija u delovima tela kao • posledica unutrašnjih odnosno spoljašnjih sila i opterećenja Upoređivanje sračunatih vrednosti napona i • deformacija sa poznatim dozvoljenim vrednostima • Osposobljavanje za projektovanje objekata
OBAVEZE STUDENATA I VREDNOVANJE AKTIVNOSTI Obaveze studenata u toku nastave: • Grafički radovi • Testovi (fakultativno) • Aktivnost u toku predavanja
2x7.5 poena 2x5=10 poena 10 poena
Studenti su obavezni da pohađaju nastavu i aktivno učestvuju u predavanjima i vežbama.
Minimalne obaveze u toku semestra: Grafički 9 poena Aktivnost 6 poena Ukoliko student ne ostvari 15 poena nema pravo na potpis i mora da sluša predmet opet sledeće godine. ISPIT
• Ispit se sastoji od pismenog dela i usmenog dela, koji je posle • • • •
pismenog Pismeni deo ispita (dva kolokvijuma) Usmeni deo ispita Minimalni broj poena da bi se položio pismeni Minimalni broj poena da bi se položio usmeni deo
30 poena 35 poena 16 poena 18 poena
Ocenjivanje se vrši na sledeći način: ostvarenih 51-60 poena je ocena 6 (šest); ostvarenih 61-70 poena je ocena 7 (sedam); ostvarenih 71-80 poena je ocena 8 (osam); ostvarenih 81-90 poena je ocena 9 (devet); ostvarenih 96-100 poena je ocena 10 (deset).
LITERATURA Udžbenici: Vlatko Brčić, Otpornost materijala, Građevinska knjiga, Beograd, 1975. Biljana Deretić Stojanović, Šerif Dunica, Otpornost materijala, Beograd, 2008. Čirović M., Otpornost materijala I, Mašinski fakultet Kragujevac, 2008. Nikolić, Miletić, Marjanović, Otpornost materijala, Skripta u el. formi, Mašinski fakultet, Kragujevac R. C. Hibbler, Statics and Mechanics of Materials, Person, Prentise Hall Danilo Rašković, Teorija elastičnosti, Naučna knjiga, Beograd, 1985. Ivan Šestak, Ines Grozdanović, Mehanika 1, Univerzitet u Beogradu, Rudarsko geološki fakultet, 2013.
Zbirke zadataka: Dragan Veličković, Otpornost materijala I, zbirka rešenih zadataka, Univerzitet u Nišu, Građevinski fakultet, Niš, 1981. Dragan Veličković, Otpornost materijala II, zbirka rešenih zadataka, Univerzitet u Nišu, Građevinski fakultet, Niš, 1981. Šerif Dunica, Živorad Bojović, Zbirka rešenih zadataka iz Otpornosti materijala sa izvodima iz teorije, Građevinski fakultet Beograd, Naučna knjiga,1985.
SADRŽAJ PREDMETA 1. 2. 3. 4.
Uvod. Osnovne pretpostavke i principi Geometrijske karakteristike ravnih površina Presečne sile kod grednih nosača Mehaničke karakteristike materijala. Veze između napona i deformacije. Hukov zakon 5. Aksijalno naprezanje. 6. Čisto pravo savijanje 7. Ravno stanje napona 8. Smičući naponi. Formula Žuravskog. Savijanje silama 9. Torzija štapa kružnog poprečnog preseka 10. Elastična linija grede. 11. Morova analogija. Jednačina triju momenata. 12. Izvijanje grednih nosača
Otpornost materijala je deo primenjene mehanike koji se bavi ponašanjem čvrstih tela koja su izložena raznim vrstama optere ćenja. Glavni cilj Otpornosti materijala je da se odrede naponi, deformacije i pomeranja u konstrukciji, kao i njihove komponente, kao posledica opterećenja koja deluju na konstrukciju. Ako možemo da odredimo ove vrednosti za sve intenzitete opterećenja, sve do opterećenja koje izaziva otkazivanje konstrukcije, imaćemo kompletnu sliku o mehaničkom ponašanju te konstrukcije. Razumevanje mehaničkog ponašanja je od suštinskog značaja za projektovanje svih tipova konstrukcija, bez obzira da li su to avioni, antene, zgrade i mostovi, mašine i motori ili brodovi i svemirke letilice.
Otpornost materijala osnovni predmet u ve ćini inženjerskih polja.
Svaka konstrukcija, koju je napravio čovek ili priroda, bez obzira to koja je njena osnovna funkcija, mora biti u stanju da nosi opterećenje kojem je izložena. Ovaj kurs treba da da osnove međusobne zavisnosti između opterećenja koje deluje na konstrukciju, njenog oblika, karakteristika materijala i raspodele napona i deformacija, i njima odgovarajućih ugiba, tj. pomeranja. Na osnovu ovoga se zaključuje da li će konstrukcija ispuniti svoj zadatak, što normalno zahteva izbegavanje prekomernih elastičnih ugiba, ili plastičnih deformacija, i obezbeđivanje da ne dođe do loma. Da bi se ovo postiglo, od suštinskog je značaja dobro poznavanje i razumevanje napona i deformacija, tako da predmet počinje sa predstavljanjem napona i deformacija. Posle toga je obrađeno ponašanje konstrukcije, posebno greda izloženih savijanju, torziji i aksijalnom pritisku, kao i načini njihovog otkazivanja usled izvijanja, drobljenja, preloma ili zamora.
UVOD OTPORNOST MATERIJALA – DEFINICIJA I PRAKTIČNA SVRHA PROUČAVANJE MEHANIČKOG PONAŠANJA ČVRSTIH TELA POD DEJSTVOM RAZLIČITIH SPOLJAŠNJIH UTICAJA
PROMENA STANJA NAPONA I STANJA DEFORMACIJA
CILJ – ODREĐIVANJE NAPONA I DEFORMACIJA U BILO KOJOJ TAČKI KONSTRUKCIJE KOJI NASTAJU USLED DELOVANJA RAZNIH SPOLJAŠNJIH UTICAJA RADI DIMENZIONISANJA ELEMENATA KONSTRUKCIJE
SIGURNOST I EKONOMIČNOST
PODELA MEHANIKE
STATIKA I DINAMIKA - pretpostavke
OTPORNOST MATERIJALA - pretpostavke
KONTINUUM APSOLUTNO KRUTO TELO
KONTINUUM DEFORMABILNO ČVRSTO TELO
KONTINUUM – materija je neprekidno raspoređena po čitavom telu, dok je realno čvrsto telo diskretni sistem materijalnih tačaka, tj. sastavljeno od malih čestica - molekula DEFORMABILNO TELO – čvrsto telo koje pod dejstvom sila deformiše, menja svoj oblik i zapreminu
TELA NISU APSOLUTNO KRUTA, TELA SU DEFORMABILNA – udaljenost između pojedinih tačaka tela se menja pod delovanjem raznih uticaja ali uvek u zavisnosti od fizičkih osobina materijala
A
A
B
A1
B1
A1
POMERANJE δ – je promena položaja tačke u prostoru (A u A1) DEFORMACIJA ∆l – je promena udaljenosti između dve tačke u prostoru (dužina AB u dužinu A1B1)
OSNOVNE PRETPOSTAVKE OTPORNOSTI MATERIJALA OSNOVNE PRETPOSTAVKE O SVOJSTVIMA MATERIJALA
1. PRETPOSTAVKA O NEPREKIDNOSTI MATERIJE – KONTINUUM – Materija ispunjava celo telo. Ako je telo u ravnoteži, onda je i svaki njegov izdvojeni deo u ravnoteži pa se može koristiti metoda preseka
2. PRETPOSTAVKA O ELASTIČNOM PONAŠANJU MATERIJALA – Posle prestanka dejstva opterećenja (rasterećenja) telo se vraća u prvobitno stanje, položaj, odnosno oblik (čelik)
ELASTIČNO TELO – Posle rasterećenja telo se vraća u prvobitno stanje, položaj, odnosno oblik (čelik) PLASTIČNO TELO – Posle prestanka dejstva opterećenja (rasterećenja) telo se ne vraća u prvobitno stanje, deformacije ne iščezavaju potpuno. Ostaju trajne ili plastične deformacije • meki građevinski čelik posle granice elastičnosti σE VISKOPLASTIČNO TELO – Puzanje i relaksacija • PUZANJE - pojava porasta deformacija u toku vremena pri konstantnom naprezanju (beton) • RELAKSACIJA - pojava smanjivanja naprezanja tokom vremena pri konstantnim deformacijama (asfalt, metali pri povišenim temperaturama itd.)
OSNOVNE PRETPOSTAVKE OTPORNOSTI MATERIJALA 2. PRETPOSTAVKA O ELASTIČNOM PONAŠANJU MATERIJALA Linearna zavisnost napona i deformacija – Hukov (Hooke) zakon Posle prestanka dejstva opterećenja, sve deformacije nestaju i telo dobija oblik i dimenzija kakve je imalo pre opterećenja. Pored elastičnih deformacija postoje i trajne – plastične deformacije.
Linearna zavisnost napona i deformacija – Hukov (Hooke) zakon
σ
= E ⋅ ε
τ
= G ⋅γ
OSNOVNE PRETPOSTAVKE OTPORNOSTI MATERIJALA 3. MATERIJAL JE HOMOGEN I IZOTROPAN HOMOGEN – materijal koji ima ista svojstva u svim tačkama, u suprotnom je NEHOMOGEN ili heterogen • homogen – čelik, ima istu gustinu ρ = 7850 kg/m3 • nehomogen – beton, smesa agregata i cementa IZOTROPAN – materijal ima ista svojstva u svim pravcima, u suprotnom je ANIZOTROPAN, ORTOTROPAN ima ista, ali različita među sobom svojstva u međusobno upravnim pravcima • izotropan – čelik, ima isti moduo elastičnosti E u svim pravcima E = 21 000kN/cm3 • ortotropan – drvo EII = 1000 kN/m3 i E ┴ =30kN/m3
OSNOVNE PRETPOSTAVKE OTPORNOSTI MATERIJALA OSNOVNE PRETPOSTAVKE O DEFORMISANJU TELA 1. PRETPOSTAVKA O RAVNIM PRESECIMA – BERNOULLI – Zamišljeni ravni preseci upravni na osu nosača, ostaju i posle deformisanja ravni i upravni na osu nosača. 2. PRETPOSTAVKA O MALIM DEFORMACIJAMA – Deformacije tela su male u odnosu na dimenzije tela, pa se jednačine ravnoteže postavljaju na nedeformisano telo (kruto) Presek upravan na osu nosa ča i posle deformisanja
h b
v << a, l, b, h Ugib mnogo manji od dužine nosača, kao i od dimenzija poprečnog preseka
OSNOVNE PRETPOSTAVKE OTPORNOSTI MATERIJALA 2. PRETPOSTAVKA O MALIM DEFORMACIJAMA PRINCIP POČETNIH DIMENZIJA
Malim deformacijama odgovaraju mala pomeranja u odnosu na dimenzije tela: Mogu da se zanemare promene položaja opterećenja pri deformisanju tela pa se uslovi ravnoteže postavljaju kao i za apsolutno kruto telo
OSNOVNE PRETPOSTAVKE OTPORNOSTI MATERIJALA 3. ZAKON SUPERPOZICIJE – Ukupni napon ili pomeranje neke tačke jednak je zbiru napona ili pomeranja te ta čke od svake sile posebno
Rezultat dejstva sistema sila ne zavisi od redosleda opterećivanja tela i jednak je zbiru rezultata dejstva svake od sila pojedinačno
OSNOVNE PRETPOSTAVKE OTPORNOSTI MATERIJALA SAN-VENANOV PRINCIP
U tačkama tela dovoljno udaljenim od mesta dejstva opterećenja veličina unutrašnjih sila, odnosno napona ne zavisi od načina dejstva tog opterećenja.
ZADATAK OTPORNOSTI MATERIJALA
1. ČVRSTOĆA 2. KRUTOST 3. STABILNOST KONSTRUKCIJA I DELOVA KONSTRUKCIJA
SIGURNOST I EKONOMIČNOST
ZADATAK OTPORNOSTI MATERIJALA ČVRSTOĆA je sposobnost elemenata konstrukcije da nose opterećenje bez pojave loma, bez trajnih plastičnih deformacija ili oštećenja (prsline, pukotine) Najveći naponi u elementima konstrukcije ne smeju da budu veći od dozvoljene vrednosti – DOZVOLJENOG NAPONA za upotrebljeni materijal. Ove vrednosti se određuju eksperimentalno na uzorcima (epruvetama) od tog materijala.
PRORAČUN ČVRSTOĆE Određivanje dimenzija elemenata koje islju čuju pojavu loma usled dejstva opterećenja USLOV ČVRSTOĆE Za normalno naprezanje Za smičuće naprezanje
σ<σdop τ<τdop
ZADATAK OTPORNOSTI MATERIJALA
KRUTOST konstrukcije je otpornost konstrukcije na deformisanje, tj. promenu oblika i dimenzija pod dejstvom optere ćenja Pod dejstvom opterećenja deformacije koje nastaju na konstrukciji ne smeju biti veće od dopuštenih da ne bi bila dovedena u pitanje sigurnost elemenata i cele konstrukcije
ZADATAK OTPORNOSTI MATERIJALA PRORAČUN KRUTOSTI - DEFORMABILNOSTI 1. Određivanje dimenzija koje obezbeđuju da se element konstrukcije pri datom optere ćenju deformiše u dozvoljenim granicama 2. Određivanje deformacija elementa konstrukcije pod opterećenjem
USLOV KRUTOSTI Za savijanje v
ZADATAK OTPORNOSTI MATERIJALA ELASTIČNA STABILNOST je sposobnost konstrukcije da pod dejstvom opterećenja zadrži početni ravnotežni oblik i položaj Dugački vitki vertikalni elementi izloženi pritisku su STUBOVI, a bočne pomeranja koja se u njima javljaju nazivaju se IZVIJANJE. Vrlo često izvijanje stubova može da dovede do iznenadnog i potpunog kolapsa konstrukcije. Posebna pažnja se mora posvetiti projektovanju stubova, tako da oni mogu sigurno da nose opterećenje bez izvijanja.
ZADATAK OTPORNOSTI MATERIJALA PRORAČUN STABILNOSTI Element konstrukcije pod dejstvom opterećenja zadržava prvobitni oblik i ne gubi stabilnu ravnotežu. Proračunom se obezbeđuje da malim opterećenjima uvek odgovaraju male deformacije elemenata
DIMENZIONISANJE
Poznat je: Oblik – geometrija nosača i opterećenje koje na njega deluje Materijal od koga je nosa č Treba odrediti dimenzije poprečnog preseka nosača tako da budu zadovoljeni uslovi čvrstoće krutosti stabilnosti
TIPOVI PROBLEMA 1. LINIJSKI 2. RAVANSKI 3. PROSTORNI
VRSTE ČVRSTIH TELA 1. ŠTAP 2. PLOČA 3. LJUSKA 4. MASIV
ŠTAP Štap je čvrsto telo čija je dužina znatno veća od dimenzija njegovog poprečnog preseka. Štap prema obliku može da bude • Prav • Kriv Prema poprečnom preseku • Pun ili masivan (prizmatičan) • Tankozidni sa otvorenim ili zatvorenim profilom
Primeri konstrukcija sastavljenih od štapova.
PLOČA Primeri konstruktivnih elemenata koji se nazivaju ploče
Ploča
Ploča je ravno telo kod koga je jedna dimenzija (debljina δ) mnogo manja od drugih dimenzija u ravni ploče.
Kuća na vodopadima, Frenk Lojd Rajt
LJUSKA
Ljuska
Primeri konstruktivnih elemenata koji se nazivaju ljuske
Ljuska je prostorno telo kod koga je debljina zida δ mnogo manja od drugih dimenzija. Ravna ljuska je u stvari ploča.
) Ploče i cevasti površinski nosa či; b) ploče i zidna platna; c) sferna ljuska na cevastom toranjskom nosaču; d) površinski nosači – ljuske, opera u Sidneju, Australija; e) površinski nosa či – ljuske, paviljon u Sočimilku, Meksiko; f) šatorasta konstrukcija – zategnuto platno, auditorijum u Sidneju, Australija; g) šatorasta konstrukcija – zategnuta mreža, olimpijski stadion u Minhenu, Nema čka. a
MASIV
Masivno telo – masiv je telo kod koga su sve dimenzije veličine istog reda.
) c) d) e) a
Keopsova piramida; b) Veliki zid, Kina; Tunel u Sićevačkoj klisuri; Brana hidroelektrane Đerdap 1 na Dunavu; Brana Huver na reci Kolorado, SAD.
UZROCI PROMENA STANJA NAPONA I STANJA DEFORMACIJA SPOLJAŠNJI UTICAJI – STATIČKI I DINAMIČKI
ZEMLJOTRESI
Razarajući zemljotres magnitude 7.4 pogodio je 17. avgusta 1999. Anadoliju na severozapadu Turske
ZEMLJOTRESI
Razarajući zemljotres magnitude 7.4 pogodio je 17. avgusta 1999. Anadoliju na severozapadu Turske
RUŠENJE MOSTA NA RECI MISISIPI
Most na reci Misisisipi se srušio 1. avgusta 2007
RUŠENJE MOSTA CAN THO
26. septembra 2007. deo pristupne rampe dužine 90 m, koji je bio na visini od 30 m se srušio verovatno zbog slabljenja temelja usled kiša
SPOLJAŠNJE SILE
Dele se na: 1. Aktivne sile 2. Reaktivne sile
SPOLJAŠNJE SILE Po mestu delovanja dele se na: • Zapreminske sile • Površinske sile • Linijske • Koncentrisane
ZAPREMINSKE SILE deluju na svaki delić zapremine tela Gravitacione
sile – sopstvena težina, sila zemljine teže Inercujalne sile Magnetne sile Centrifugalne sile Promena temperature Skupljanje Ove sile zavise od mase tela. Intenzitet ovih sila meri se silom koja deluje na jedinicu zapremine, pa je njihova dimenzija F/L3.
POVRŠINSKE SILE predstavljaju delovanje drugih čvrstih tela, tečnosti ili gasova na veću ili manju površinu posmatranog tela. •Dejstvo snega i vetra na krov •Pritisak tečnosti ili gasova na zid rezervoara.
Intenzitet ovih sila meri se silom koja deluje na jedinicu površine, pa je njihova dimenzija F/L2.
LINIJSKE SILE predstavljaju delovanje po nekoj uzanoj površini, tj. liniji. •Delovanje raspodeljenog tereta na gredu
Intenzitet ovih sila meri se silom koja deluje na jedinicu dužine, pa je njihova dimenzija F/L.
KONCENTRISANE SILE predstavljaju delovanje na veoma malu površinu - tačku. •Delovanje tereta na kuku dizalice •Delovanje nožice stola ili stolice na pod •Delovanje kugle na ravnu ploču •Dejstvo točka vagona na šinu
Dimenzija: sila F. Jedinica za silu je Njutn N.
SPOLJAŠNJE SILE Po karakteru dejstva dele se na: • Statičke • Dinamičke • Udarne
UNUTRAŠNJE SILE METODA PRESEKA
Projektovanje i analiza bilo kog konstruktivnog elementa zahteva poznavanje unutrašnjih sila koje se javljaju u njemu kao posledica delovanja spoljašnjeg opterećenja, ne samo kad je on deo konstrukcije, već i u toku izgradnje, transporta, montaže i eksploatacije. Da bi se pravilno izabrale dimenzije nosača, odnosno da bi nosači mogli da izdrže predviđena opterećenja, tako da dozvoljeni naponi ne budu prekoračeni, a deformacije koje su posledica tog opterećenja ostanu u dozvoljenim granicama, tj. ne pređu preko granice kada bi nosač postao neupotrebljiv, potrebno je poznavati unutrašnje sile.
UNUTRAŠNJE SILE se javljaju u zamišljenim presecima čvrstog tela u napregnutom stanju između pojedinih delova tela
SPOLJAŠNJE SILE su u ravnoteži UNUTRAŠNJE SILE se redukuju u težište preseka i dobija se GLAVNI VEKTOR R’ I GLAVNI MOMENT M
UNUTRAŠNJE SILE KOD GREDNOG NOSAČA OPTEREĆENOG SILAMA KOJE DELUJU U ISTOJ RAVNI Pogledati prezentaciju Sile u presecima 1
GLAVNI VEKTOR se može razložiti u dve komponente: – u pravcu ose štapa – normale na presek (N) normalna ili aksijalna sila; – u pravcu upravnom na normalu preseka (osu štapa) (T) transverzalna ili poprečna sila. GLAVNI MOMENT jednak je momentu redukcionog sprega i predstavlja moment unutrašnjih sila obzirom na težište preseka - naziva se napadni moment ili moment savijanja.
ČA OP ĆENOG SILAMA UNUTRAŠNJE UNUTR AŠNJE SILE SILE KOD KOD GREDN GREDNOG OG NOSA NOSAČ OPTE TERE REĆ SILA MA KOJE NE DELUJU U ISTOJ RAVNI RAVNI GLAVN VNII VE VEK KTOR R’ I GLAVNI MOMENT M, se razlažu na po tri komp ko mpon onen ente te u prav pravci cima ma osa osa loka lokaln lnog og ko koor ordi dina natn tnog og sist sistem ema: a: N, Ty, Tz, Mx, My, Mz. Pogledati prezentaciju prezentaciju Sile u presec presecima ima 2
Kom ompo pone nennte glav glavnnog vekt vektor oraa i glav glavno nogg mo mome ment ntaa su: su: dužžna ili no norrmalna sila, N - uzdu Ty - poprečna sila u ravni xOy ili transverzalna sila u y pravcu, Tz - poprečna sila u ravni xOz ili transverzalna sila u z pravcu, uvrrtanja nja ili moment ent torzij zije, Mx - moment uv My - moment savijanja u ravni xOz, tj. oko ose y, Mz- moment savijanja u ravni xOy, tj. oko ose z.
Pozitivni Pozitivni smerovi smerovi unutrašnjih unutrašnjih sila u preseku preseku štapa optere opterećenog prostornim sistemom sila
Proje Projekc kcije ije glavn glavnog og vekt vektora ora R’ i glav glavno nogg mo mome ment ntaa M su unutrašnje sile: sile: način određivanja unutrašnjih sila: sila: N- normalna, normalna, podužna, podužna, aksijalna aksijalna sila sila Ty – poprečna, transverzalna sila Tz – pop poprečna, transverzalna sila Mx – mo mome ment nt torzi torzije je My – mo mome ment nt savijan savijanja ja Mz – mo mome ment nt savija savijanja nja
ΣX=0 ΣY=0 ΣZ=0 ΣMx=0 ΣMy=0
ΣMz=0
6 uslova ravnoteže
POJAM NAPONA
x, y, z ose globalnog koord. sistema n, l, m ose lokalnog koord. sistema
Telo je u ravnoteži pod dejstvom spoljašnjih sila Isečeni deo je u ravnoteži, unutrašnje sile u preseku su u ravnoteži sa silama F 1 i Fn Na maloj površini ∆A unutrašnja sila je ∆F, a odnos ove dve veličine je srednji napon na toj površini
Smanjivanjem površine ∆A količnik teži graničnoj vrednosti Ovo je ukupni, totalni napon u tački u presečnoj ravni čija je normala n
NAPONI Odnos unutrašnje sile ∆F, koja deluje na površinu ∆А preseka opterećenog tela, i veličine ove površine teži nekoj graničnoj vrednosti, ako se ova površina smanjuje do beskonačno malih dimenzija, sužavajući njenu graničnu konturu oko tačke M. Granična vrednost ovog odnosa, koja definiše intenzitet unutrašnjih sila koja deluju na datu površinu u posmatranoj tačk i M j e napon.
Ukupni totalni napon se može razložiti na tri komponente: U
pravcu normale na presek u ravni preseka–tangencijalnoj ravni koji može da se razloži na komponente u ravni preseka u pravcima l, m Ukupni totalni napon: Intenzitet totalnog napona:
normalni napon σn smičući napon τn τnl, τnm
POMERANJA I DEFORMACIJE Pod uticajem spoljašnjih sila telo se deformiše, tj. menja svoj oblik i zapreminu. Telo se može deformisati i zbog promene temperature i vlažnosti, promene svoje strukture.
r′ = r + s
s vektor pomeranja tačke .
s = u i + v j + w k
u, v i w komponente vektora pomeranja ili komponentalna pomeranja
POMERANJA I DEFORMACIJE
ε=
Dilatacija
ε
∆l l
predstavlja relativno ili specifično izduženje
POMERANJA I DEFORMACIJE
ε m,sr =
M ′B′ − MB . MB
srednje izduženje za pravac
γ ml,sr = ∠BMA − ∠B′M ′A ′ =
,
m
π 2
− ∠B′M ′A ′
i srednja promena ugla između pravaca
m
i
l
u tački M
π π ′ ′ ′ − ∠ B M A = −θ → → B→M B M , A M MB 2 2 Veličina εm=ε naziva se dilatacija u tački M za pravac m ε m = ε = lim
M ′B′ − MB
,
γ ml = γ =
lim
γ ml=γ je
klizanje u tački M između pravaca m i l
Klizanje predstavlja promenu prvobitno pravog ugla izraženu u radijanima.
POMERANJA I DEFORMACIJE Dilatacija je pozitivna ako se dužina povećava, a klizanje je pozitivno ako se smanjuje prav ugao.
Deformacija u okolini neke tačk e M b iće poznata ako su poznate dilatacije i klizanja za sve moguće prave kroz tačku. Skup svih dilatacija i svih klizanja za sve moguće prave kroz posmatranu tačku naziva se stanje deformacije u tački M. U opštem slučaju je stanje deformacije u svakoj tački tela različito.
POMERANJA I DEFORMACIJE
Klizanje kod čistog smicanja promena prvobitno pravog ugla između x i y
∆s c
= tg γ ≈ γ
Jedinice SI sistema – International Standard
Jedinica za napon 1 Pa = 1 N/m2 Veća jedinica 1 MPa = 1 N/mm2
10 MPa = 1 kN/cm2
Dilatacija i klizanje su bezdimenzionalne veličine
OSNOVNE VRSTE NAPREZANJA Aksijalno
Smicanje Uvijanje Savijanje Izvijanje
naprezanje
Zatezanje
Pritisak
Smicanje
Savijanje
VRSTE NAPREZANJA AKSIJALNO NAPREZANJE ZATEZANJE
PRITISAK
Aksijalno naprezanje izazivaju sile koje deluju u pravcu ose štapa ili više sila čija rezultanta deluje u pravcu ose štapa.
SMICANJE Ako deluju samo transverzalne (poprečne sile) naprezanje je čisto smicanje.
SAVIJANJE
Ako u preseku deluje samo moment savijanja naprezanje je čisto savijanje.
UVIJANJE - TORZIJA
Ako u preseku deluje samo moment torzije naprezanje je čisto uvijanje – torzija.
IZVIJANJE
Ako je štap napregnut aksijalnim silama, a poprečni presek štapa mali u odnosu na dužinu štapa (vitki štapovi) nastaje izvijanje vlakana.
SAVIJANJE PROSTE GREDE SILAMA Savijanje i smicanje U presecima grede postoje momenti savijanja koji izazivaju savijanje. U presecima grede postoje transverzalne sile koje izazivaju smicanje.
SAVIJANJE KONZOLE SILOM Savijanje i smicanje U presecima grede postoje momenti savijanja koji izazivaju savijanje. U presecima grede postoje transverzalne sile koje izazivaju smicanje.
UVIJANJE KONZOLE SILOM Savijanje, uvijanje i smicanje U presecima grede postoje momenti savijanja koji izazivaju savijanje. U presecima grede postoje momenti uvijanja koji izazivaju uvijanje. U presecima grede postoje transverzalne sile koje izazivaju smicanje.
ISTORIJAT OTPORNOSTI MATERIJALA
Arhimed iz Sirakuze (287-212. p.n.e) je prvi uočio osnovna svojstva sile. U svom delu O ravnoteži postavo je zakon poluge, poznat kao zlatno pravilo mehanike, i teoriju o težištu tela. Konstruisao je kotur, zavrtanj, točak na vretenu. Otkrio je zakon o potisku tečnosti na potopljeno telo.
Leonardo da Vinci (1452-1519) proučavao je padanje tela, kretanje tela po strmoj ravni, trenje, a uveo je i pojam momenta sile. Bavio se proučavanjem čvrstoće tehničkih konstrukcija, eksperimentalnim istraživanjima proste grede i konzole.
Galileo Galilei (1564-1642) prvi je zaključio da mehanika krutog tela nije dovoljna za rešavanje mnogih problema sigurnosti konstrukcija i da se moraju uzeti u obzir fizička svojstva materijala. Njegova publikacija “Discorsi e Dimostrazioni matematiche intorio e due nuove scienze” prva je u oblasti Otpornosti materijala i ozna čava početak razvoja Mehanike deformabilnih tela . Izveo je eksperimente u cilju određivanja čvrstoće žica, štapova i greda.
Leonhard Euler (1707-1783) istraživao je stabilnost pritisnutih štapova. Razvio je matemati čku teoriju stubova i sračunao teorijsko kritično opterećenje stubova 1744. godine, mnogo pre izvedenih eksperimenata koji bi pokazali značaj njegovih rezultata. Bez odgovarajućih eksperimenata koji bi potvrdili njegovu teoriju, Ojlerovi rezultati su ostali neiskoriš ćeni više od sto godina, mada su danas oni osnova za projektovanje i analizu ve ćine stubova.
C. A. Colomb (1785-1806) proučava među prvima torziju štapa kružnog poprečnog preseka. Proučavao je mehanička svojstva materijala. Odredio je granicu elastičnosti za neke materijale i dao tačno rešenje savijanja konzole.
Claude-Louis Navier (1785-1836) izdaje 1862. prvi udžbenik iz Otpornosti materijala. Za razliku od ostalih naučnika koji su tražili opterećenje koje dovodi do rušenja konstrukcije, on je tražio opterećenje do koga se konstrukcija ponaša potpuno elastično bez najave trajnih deformacija. Prvi je formulisao opšte jednačine ravnoteže.
Augustin-Louis Cauchy (1789-1857) uvodi pojam glavnih napona i glavnih deformacija i dokazuje stav o konjugovanosti smičućih napona.
Robert Hooke (1635-1703) proučava elastična svojstva materijala. Na osnovu eksperimenata na oprugama, žicama i drvenim konzolama postvlja zakon o linearnoj vezi između opterećenja i deformacija pri zatezanju, na čemu se zasniva Teorija elastičnosti.
Jakob Bernoulli (1654-1705) proučavao je oblik savijene grede i da jednu od osnovnih hipoteza u Otpornosti materijala – hipotezu ravnih preseka.
Tomas Young (1773-1829) je dao matematičku formulaciju Hukovog zakona i uveo pojam modula elastičnosti E pri zatezanju i pritisku, koji se naziva po njemu. Uvodi pojam smičućeg napona. Prvi je proučavao dinamičko opterećenje.
Siméon Poisson (1781-1840) uvodi koeficijent bočne kontrakcije, Posson-ov koeficijent ν, koji daje vezu između poprečne i podužne dilatacije u elastičnoj oblasti.
Christian Otto Mohr (1835-1918) je Nemački građevinski inženjer, profesor i naučnik. 1882. godine je razvio grafičku metodu za analizu napona, poznatu kao Mohr-ovi krugovi. Razvio je i Williot-Mohr-ov dijagram za određivanje pomeranja kod rešetaka, kao i Maxwell-Mohr-ovu metodu za analizu statički neodređenih konstrukcija.
Gabriel Lamé (1795-1870), Francuski matematičar koji je dao veliki doprinos u teoriji parcijalnih diferencijalnih jednačina i teoriji elastičnosti. Uveo je konstante λ i µ. Lamé-ove jednačine su osnovne diferencijalne jednačine ravnoteže elastičnog tela.
