Pré-Álgebra SeM MiSTéRio
Série SeM
MiSTéRio
Alemão Sem Mistério Álgebra Sem Mistério Cálculo Sem Mistério Conversação em Alemão Sem Mistério Conversação em Espanhol Sem Mistério Conversação em Francês Sem Mistério Conversação em Italiano Sem Mistério Espanhol Sem Mistério Francês Sem Mistério Geometria Sem Mistério Gramática Inglesa Sem Mistério Italiano Sem Mistério Pré-Cálculo Sem Mistério Química Orgânica Sem Mistério Química Sem Mistério
Pré-Álgebra SeM MiSTéRio
Allan G. Bluman
Tradução da 2a Edição
Rio de Janeiro, 2013
Para Brooke Leigh Bluman
Sobre o Autor Allan G. Bluman ensinou
matemática e estatística no ensino médio, em cursos de graduação e pós-graduação por 39 anos. Escreveu três compêndios de matemática publicados pela McGraw-Hill. Escreveu também outros três livros de matemática. Dr. Bluman é ganhador do prêmio “Apple for the Teacher” [“Maçã para o Professor”], por trazer excelência ao meio do aprendizado, e do prêmio “Most Successful Revision of a Textbook” [“Revisão mais Bem-sucedida de um Livro Didático”] da McGraw-Hill. Seu registro biográfico aparece na quinta edição de Who’s Who in American Education [“Quem é Quem na Educação Americana”].
Sumário Prefácio Agradecimentos
CAPÍTULO 1
CAPÍTULO 2
CAPÍTULO 3
Números Naturais
xiii xvii
1
Nomeando Números Naturais Arredondando Números Naturais Adição de Números Naturais Subtração de Números Naturais Multiplicação de Números Naturais Divisão de Números Naturais Problemas Teste Rápido
2 3 5 6 8 10 13 17
Números Inteiros
21
Conceitos Básicos Ordem Adição de Números Inteiros Subtração de Números Inteiros Adição e Subtração Multiplicação de Números Inteiros Divisão de Números Inteiros Expoentes Ordem das Operações Teste Rápido
22 25 26 30 32 33 36 38 40 43
Frações: Parte 1
47
Conceitos Básicos Reduzindo Frações Convertendo Frações em Termos Maiores
48 50 52
ix
x
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CAPÍTULO 4
CAPÍTULO 5
CAPÍTULO 6
Convertendo Frações Impróprias em Números Mistos Convertendo Números Mistos em Frações Impróprias Teste Rápido
54 56 58
Frações: Parte 2
65
Encontrando Denominadores Comuns Adição de Frações Adição de Números Mistos Subtração de Frações Subtração de Números Mistos Princípios do Empréstimo Multiplicação de Frações Multiplicação de Números Mistos Divisão de Frações Divisão de Números Mistos Problemas Comparando Frações Operações com Frações Positivas e Negativas Teste Rápido
66 69 72 73 75 76 79 81 83 85 87 90 92 95
Decimais
101
Nomeando Decimais Arredondando Decimais Adição de Decimais Subtração de Decimais Multiplicação de Decimais Divisão de Decimais Comparando Decimais Problemas Convertendo Frações em Decimais Convertendo Decimais em Frações Frações e Decimais Operações com Decimais Positivos e Negativos Teste Rápido
102 103 105 106 107 108 111 112 114 117 119 121 123
Porcentagem
127
Conceitos Básicos Convertendo Percentuais em Decimais Convertendo Decimais em Percentuais Convertendo Frações em Percentuais Convertendo Percentuais em Frações Três Tipos de Problemas de Porcentagem Problemas Teste Rápido
128 128 130 132 135 136 143 149
SUMÁRIO
CAPÍTULO 7
CAPÍTULO 8
CAPÍTULO 9
CAPÍTULO 10
CAPÍTULO 11
Expressões e Equações
153
Conceitos Básicos Calculando Expressões Algébricas A Propriedade Distributiva Agrupando Termos Semelhantes Removendo Parênteses e Agrupando Termos Semelhantes Fórmulas Resolvendo Equações Simples Resolvendo Equações Usando Dois Princípios Resolvendo Equações Mais Difíceis Representação Algébrica de Enunciados Problemas Resolvendo Problemas de Porcentagem Usando Equações Teste Rápido
154 154 156 158 160 162 164 167 170 173 174 177 180
Razão e Proporção
183
Razão Proporção Problemas Resolvendo Problemas de Porcentagem Usando Proporções Teste Rápido
184 185 187 190 193
Geometria
197
Figuras Geométricas Perímetro Área Volume Problemas Raiz Quadrada Teorema de Pitágoras Teste Rápido
198 199 203 209 214 216 217 220
Medidas
223
Conceitos Básicos Medidas de Comprimento Medidas de Peso Medidas de Capacidade Medidas de Tempo Problemas Teste Rápido
224 224 227 230 232 234 236
Gráficos
239
O Plano Cartesiano Pontos de Coordenadas
240 240
xi
xii
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CAPÍTULO 12
Equações Lineares Retas no Gráfico Retas Horizontais e Verticais Pontos de Intersecção Coeficiente Angular Resolvendo um Sistema de Equações Lineares Teste Rápido
244 247 253 258 260 264 269
Operações com Monômios e Polinômios
275
Monômios e Polinômios Adição de Polinômios Subtração de Polinômios Multiplicação de Monômios Elevando um Monômio a uma Potência Multiplicação de um Polinômio por um Monômio Multiplicação de Dois Binômios Elevando um Binômio ao Quadrado Multiplicação de Dois Polinômios Divisão de Monômios Divisão de um Polinômio por um Monômio Teste Rápido
276 276 278 279 281 282 283 285 287 288 290 292
Teste Final Respostas dos Testes Rápidos e do Teste Final Apêndice: Superando a Ansiedade Matemática Índice
295 311 315 329
Prefácio Para ser bem-sucedido em matemática, é necessário ter uma base forte. Esta base consiste no domínio dos conceitos básicos da aritmética, que incluem números naturais (Cap. 1), frações (Caps. 3 e 4), decimais (Cap. 5) e porcentagem (Cap. 6). Esses tópicos são a base da matemática. Uma vez que a maioria dos estudantes passará ao estudo de álgebra, incluímos aqui também seus conceitos básicos, que consistem em: números inteiros (Cap. 2), cálculo de expressões e equações (Cap. 7), gráficos (Cap. 11) e operações com monômios e polinômios (Cap. 12). Finalmente, foram incluídos, para auxiliá-los com as aplicações de solução de problemas no dia a dia, os tópicos de razão e proporção (Cap. 8), geometria plana (Cap. 9) e medidas (Cap. 10). No apêndice, apresentamos um tutorial sobre técnicas de estudo e sobre como superar a ansiedade matemática. A Parte I explica a natureza e as causas da ansiedade, a Parte II contém sugestões para superá-las e a Parte III lista dicas de estudo e de como fazer provas de matemática com sucesso. Mesmo que você não tenha ansiedade matemática, deveria ler e utilizar as sugestões dadas na Parte III, que foi escrita para todos os estudantes. Você deve estar consciente de que a matemática exige raciocínio analítico, habilidade na resolução de problemas e pensamento crítico. Para entender matemática é necessário muito mais do que apenas memorização.
xiii
xiv
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Como Usar Este Livro Como sabe, para se construir um prédio alto é preciso começar com uma fundação forte. É também verdade que para dominar a matemática deve-se começar com uma base sólida. Este livro apresenta os tópicos da aritmética e da álgebra introdutória de uma forma lógica e fácil de ler e pode ser utilizado para se estudar de maneira independente ou como complemento para um curso de pré-álgebra. Para aprender matemática, você deve conhecer o vocabulário, entender as regras e os procedimentos e estar apto a aplicá-los na resolução de problemas. Este livro é escrito de uma forma que irá auxiliá-lo em seu aprendizado. Termos importantes estarão em negrito e regras e procedimentos importantes em itálico. Fatos básicos e sugestões úteis poderão ser encontrados nas Notas Matemáticas. Cada seção contém diversos exemplos – que mostram como utilizar as regras e os procedimentos – e vários problemas práticos, a fim de verificar se você entendeu os conceitos; as respostas são dadas imediatamente após, para que você confira se os resolveu corretamente. No fim de cada capítulo há um teste, com 20 questões de múltipla escolha. Se responder à maioria das questões corretamente, poderá partir para o próximo capítulo, se não, repita o capítulo. Não olhe as respostas antes de tentar resolver os problemas. Mesmo que saiba uma parte ou todo o material de um capítulo é bom lê-lo e fazer uma revisão. O esforço extra será de grande ajuda quando se deparar com conteúdos mais difíceis depois. Após concluir o estudo do livro inteiro, você poderá fazer o teste final, com 100 questões, e descobrir seu nível de competência. Sugerimos que não use a calculadora, que é apenas uma ferramenta, pois tende-se a pensar que, apertando alguns botões e conseguindo as respostas corretas, conseguiu-se entender os conceitos. Isso está longe de ser verdade! Eu gostaria de responder à velha questão, “Por que eu tenho que aprender esse negócio?”. Há muitas razões. Em primeiro lugar, a matemática é utilizada em muitos campos acadêmicos. Se você não sabe matemática, limita seriamente suas opções na área acadêmica. Em segundo lugar, pode ser que seja exigido que faça uma prova de matemática em testes para emprego, para faculdade ou pós-graduação. A maioria desses testes tem uma seção de matemática. Por fim, um conhecimento eficiente de aritmética será muito útil para ajudá-lo a resolver problemas matemáticos encontrados no dia a dia. Espero que este livro o ajude a aprender matemática.
PREFÁCIO
Para esta segunda edição, a maioria dos exemplos e exercícios foram alterados. Também, acrescentei mais de 20 novas Notas Matemáticas, para tornar o material mais fácil de ser seguido; incluí também uma seção no Capítulo 3 sobre regras de divisibilidade, para auxiliar no tópico de redução de frações. Finalmente, uma explicação de mais dois símbolos de agrupamentos, colchetes e chaves, foi incluída no Capítulo 7. Boa sorte! Allan G. Bluman
xv
Agradecimentos Gostaria de agradecer à minha esposa, Betty Claire, por me ajudar neste projeto, e expressar minha gratidão ao meu editor, Judy Bass, e à Carrie Green, por sua assistência na publicação deste livro.
xvii
Capítulo
1
Números Naturais Os números são a base da matemática. Os primeiros números utilizados foram os números naturais: 1,2,3... Quando o zero é acrescentado a esses números, eles passam a se chamar números inteiros. Este capítulo explica as operações básicas de adição, subtração, multiplicação e divisão desses números.
OBJETIVOS DO CAPÍTULO Neste capítulo, você aprenderá como:
1
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Nomeando Números Naturais Nosso sistema numérico é chamado de sistema hindu-arábico ou sistema decimal . Consiste de 10 símbolos, ou dígitos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9, que são usados para compor nossos números. Cada dígito em um número tem um valor de posição. Os nomes do valor de posição são mostrados na Fig. 1-1. Valor de Posição Trilhões s e õ h l i r t m e C
s e õ h l i r T z e D
Bilhões
o ã h l i r T
s e õ h l i b m e C
s e õ h l i b z e D
Milhões
o ã h l i B
s e õ h l i m m e C
s e õ h l i m z e D
Milhares
o ã h l i M
l i m m e C
l i m z e D
Unidades
l i M
s a n e t n e C
s a n e z e D
s e d a d i n U
FIGURA 1-1
Em números maiores, cada grupo de três dígitos (chamado de período) é separado por um ponto. Os nomes no topo das colunas na Fig. 1-1 são chamados de intervalos. Para falar um número, comece da esquerda para a direita, leia cada grupo de três dígitos separadamente usando o nome do intervalo ao chegar ao ponto que separa cada um.
EXEMPLO Fale 62.432.709
SOLUÇÃO Sessenta e dois milhões, quatrocentos e trinta e dois mil e setecentos e nove.
EXEMPLO Fale 560.711
SOLUÇÃO Quinhentos e sessenta mil e setecentos e onze.
3
EXEMPLO Fale 87.001.000.012.
SOLUÇÃO Oitenta e sete bilhões, um milhão e doze.
NOTA MATEMÁTICA Outros nomes de intervalos, depois de trilhões, são: quatrilhões, quintilhões, sextilhões, septilhões, octilhões, nonilhões, decilhões e assim sucessivamente.
Pratique Fale cada número: 1. 515 2. 27.932 3. 1.607.003 4. 63.902.400.531
Respostas 1. Quinhentos e quinze. 2. Vinte e sete mil, novecentos e trinta e dois. 3. Um milhão, seiscentos e sete mil e três. 4. Sessenta e três bilhões, novecentos e dois milhões, quatrocentos mil e quinhentos
e trinta e um.
Arredondando Números Naturais Muitas vezes, não é necessário usar um número exato. Nesses casos, um número aproximado pode ser usado. Essa aproximação pode ser obtida pelo arredondamento de números. Todos os números podem ser arredondados para valores inteiros. Para arredondar um número para um valor inteiro, primeiro ache o dígito deste valor no número. Se o dígito à direita daquele valor inteiro específico for 0, 1, 2, 3 ou 4, se manterá inalterado. Se o dígito à direita for 5, 6, 7, 8 ou 9, some 1 ao valor específico. Em qualquer caso, todos os dígitos à direita do valor inteiro serão trocados por zeros.
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EXEMPLO Arredonde 52.183 para a centena mais próxima.
SOLUÇÃO Nós estamos arredondando para a casa das centenas, que é o dígito 1. Sendo 8 o dígito à direita do 1, some 1 ao 1 da centena para obter 2. Substitua todos os outros dígitos à direita por zeros. Então, 52.183 arredondado para sua centena mais próxima é 52.200.
EXEMPLO Arredonde 53.462 para o seu milhar mais próximo.
SOLUÇÃO Estamos arredondando para a casa dos milhares, que é o dígito 3. Sendo 4 o número à direita do 3, o 3 permanece. Substitua todos os dígitos à direita do 3 por zeros. Daí, 53.462 arredondado para seu milhar mais próximo é 53.000.
EXEMPLO Arredonde 1.498.352 para a dezena de milhar mais próxima.
SOLUÇÃO Estamos arredondando para a casa dos dez mil, que é o dígito 9. Sendo 8 o número à direita do 9, este se torna 10. Em seguida escrevemos o zero e adicionamos 1 ao próximo dígito à esquerda. Então, o 4 vira um 5. Daí, a resposta é 1.5000.000.
Ainda com dificuldades?
Pratique 1. Arredonde 7.831 para o milhar mais próximo. 2. Arredonde 294.183 para a dezena de milhar mais próxima.
5
3. Arredonde 92.308 para a dezena mais próxima. 4. Arredonde 682.611 para a centena de milhar mais próxima. 5. Arredonde 163.793.244 para o milhão mais próximo.
Respostas 1. 8.000 2. 290.000 3. 92.310 4. 700.000 5. 164.000.000
Adição de Números Naturais Em matemática, adição, subtração, multiplicação e divisão são chamadas de operações. Os números que se somam chamam-se parcelas. O resultado é chamado de soma.
Para somar dois ou mais números, primeiro escreva-os em colunas, em seguida, some os dígitos destas, da direita para a esquerda. Se a soma dos dígitos em qualquer coluna for 10 ou mais, escreva o dígito da casa das unidades, eleve o dígito da dezena na próxima coluna à esquerda e some-o aos números dela.
EXEMPLO Some: 192 + 7 + 5.684 + 273.
SOLUÇÃO
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NOTA MATEMÁTICA Para tirar a prova real, some de baixo para cima.
Pratique Some: 1. 443 + 27 + 7 2. 4.593 + 14 + 863 3. 7.324 + 625.713 4. 18 + 46.933 + 36 + 557 5. 5.641 + 300 + 65 + 77.325
Respostas 1. 477 2. 5.470 3. 633.037 4. 47.544 5. 83.331
Subtração de Números Naturais Na subtração, o número de cima é chamado de minuendo. O número sendo subtraído (logo abaixo) chama-se subtraendo. O resultado é chamado de resto ou diferença.
Para subtrair dois números, escreva-os em uma coluna vertical e subtraia os números de baixo dos de cima, da direita para a esquerda. Quando o dígito de baixo for maior que o de cima, tome um (1) emprestado do topo da coluna logo à esquerda e some dez ao que quer subtrair. Quando tomar emprestado, lembre-se de subtrair também 1 do número do qual foi feito o empréstimo.
7
EXEMPLO Subtraia: 19.784 – 4.213.
SOLUÇÃO
EXEMPLO Subtraia: 5.386 – 748.
SOLUÇÃO
NOTA MATEMÁTICA Para tirar a prova real da subtração, some a diferença ao subtraendo e verifique se o resultado é igual ao minuendo.
Prova real
Pratique Subtraia: 1. 961 – 87 2. 24.271 – 6.314 3. 867.281 – 23.779 4. 73.307.641 – 863.259 5. 8.000.000 – 81.406
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Respostas 1. 874 2. 17.957 3. 843.502 4. 72.444.382 5. 7.918.594
Multiplicação de Números Naturais Na multiplicação, o número de cima é chamado de multiplicando . O número diretamente abaixo é chamado de multiplicador. O resultado é chamado de produto. Os números entre o multiplicador e o produto são chamados de produtos parciais.
Para multiplicar dois números quando o multiplicador for composto de um único dígito, disponha os valores verticalmente em coluna e multiplique cada dígito do multiplicando, da direita para a esquerda, pelo multiplicador. Se qualquer um dos produtos for maior que 9, adicione o dígito da dezena ao multiplicando na coluna à esquerda.
EXEMPLO Multiplique: 416 x 7.
SOLUÇÃO
Para multiplicar dois números, quando o multiplicador for composto de dois ou mais dígitos, disponha-os verticalmente e multiplique cada dígito do multiplicando pelo dígito mais à di-
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reita do multiplicador. Em seguida, multiplique cada dígito do multiplicando pelo próximo dígito do multiplicador e ponha o segundo produto parcial abaixo do primeiro, movendo uma casa para a esquerda. Continue o processo para cada dígito no multiplicador e, então, some os produtos parciais para obter o produto final.
EXEMPLO Multiplique: 3.742 X 814.
SOLUÇÃO
NOTA MATEMÁTICA Para tirar a prova real na multiplicação, multiplique o multiplicador pelo multiplicando.
Pratique Multiplique: 1. 92 5 2. 651 87 3. 4.135 216 4. 61.405 892 5. 154.371 43
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Respostas 1. 460 2. 56.637 3. 893.160 4. 54.773.260 5. 6.637.953
Divisão de Números Naturais Na divisão, o número que representa o valor que será dividido chama-se dividendo, o número que representa o valor em que irá se dividir aquele valor chama-se divisor. O resultado da divisão chama-se quociente. Às vezes, o resultado não é exato; neste caso, haverá o resto.
O processo de divisão longa consiste em uma série de passos, que são divididos em: multi plicar, subtrair e levar abaixo. Quando estiver fazendo divisão, é necessário também estimar em quantas vezes o divisor dividirá o dividendo. Quando o divisor for composto por dois ou mais dígitos, a estimativa pode ser feita dividindo-se o primeiro número do divisor em dois ou mais dígitos do dividendo. O processo é mostrado a seguir.
EXEMPLO Divida 863 por 52
SOLUÇÃO 1º passo:
