Algebra Sem 11

TRIGONOMETRÍA TEMA 11

IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS PARA ARCO MÚLTIPLE I SNII2T11

DESARROLLO DEL TEMA IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS PARA ARCO DOBLE El objeto de estas igualdades es expresar las razones trigonométricas del ángulo doble en términos de las razones trigonométricas del ángulo simple ; estas igualdades serán válidas para todos los valores admisibles de sus variables.

Sen2x = 1 – Cos2x ⇒ Cos2x = Cos2x – (1 – Cos2x) Cos2x = 2Cos2x – 1

II. IDENTIDADES AUXILIARES 1 + Cos2x = 2Cos2x

I. IDENTIDADES FUNDAMENTALES 1 – Cos2x = 2Sen2x Senx = 2SenxCosx ∀x∈

Cotx – Tanx = 2Cot.2x

Cos2x = Cos2x – Sen2x

Cotx + Tanx = 2Csc2x

∀x∈ Tan2x =

III. ÁNGULO DOBLE EN FUNCIÓN DE TANGENTES

2Tanx 1 – Tan2x



∀ x ≠ {(2n + 1) p ; (2n + 1) p }; n ∈  4 2



Observación: Con la ayuda de la identidad sen2x + cos2x = 1, se puede expresar el coseno del ángulo doble (cos2x), ya sea en función del seno o coseno del ángulo simple (senx o cosx) para lo cual procederemos del modo siguiente:

Sabemos que: Cos2x = Cos2x – Sen2x = 1 Pero: Cos2x = 1 – Sen2x ⇒ Cos2x = (1 – Sen2x) – Sen2x ∴ Cos2x = 1 – 2Sen2x

SAN MARCOS REGULAR 2014 – II

1 + Tan2x



Sabemos que: Cos2x = Cos2x – Sen2x Pero:

11

Cuando se quiera expresar las razones trigonométricas del ángulo doble [RT(2x)] en función de la tangente del ángulo simple (Tanx), convendría elaborar el triángulo de las tangentes:

2Tanx

1 – Tan2x ⇒ Sen2x =

2Tanx 1 + Tan2x

⇒ Cos2x =

1 – Tan2x 1 + Tan2x

⇒ Tan2x =

2Tanx 1 – Tan2x

TRIGONOMETRÍA

TEMA 11

IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS PARA ARCO MÚLTIPLE I

IV. DEMOSTRACIÓN DE LAS IDENTIDADES FUNDAMENTALES • Demostración de Sen2x = 2SenxCosx

Sabemos que:

Sen(a + q) = Senacosq + senqCosa Haciendo a = x ∧ q = x tendremos: Sen(x + x) = SenxCosx + SenxCosx

2 ∴



•

IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS PARA EL ÁRCO MITAD DEFINICIÓN El objeto de estas igualdades es expresar las razones x a q trigonométricas del ángulo mitad  ; ;...  en términos de 2 2 2 las razones trigonométricas del ángulo simple estas igualdades son válidas para todos los valores admisibles de sus variables.

I. IDENTIDADES FUNDAMENTALES

Sen2x = 2Senx.Cosx

Demostración de:



Cos2x = Cos2x – Sen2x



Sabemos que:

x 1 – Cosx Sen   = ± 2 2



Cos(a + q) = CosaCosq – SenaSenq

∀x∈

Haciendo; a = x ∧ q = x; tendremos: Cos(x + x) = CosxCosx + SenxSenx

x 1 + Cosx Cos   = ± 2 2



2 ∴

∀x∈

Cos2x = Cos2x.Sen2x



Demostración de: 2Tanx Tan2x = 1 – Tan2x

∀ x ∈  – {2n – 1}; n ∈ 

Sabemos que:

Tana + Tanq Tan(a + q) = 1 – TanaTanq

∴

Tan2x =

x 1 + Cosx Cot   = ± 1 – Cosx 2



Haciendo; a = x ∧ q = x; tendremos: Tan + tanx Tan(x + x) = 1 – Tanx.Tanx 2x

x 1 – Cosx Tan   = ± 1 + Cosx 2



•

∀ x ∈  – {2np}; n ∈ 

2Tanx 1 – Tan2x

Observación: El signo que aparece en los radicales depende del cuadrante en el cual se ubique el ángulo mitad  x  y 2 del ordenador que lo afecte.

PROBLEMAS RESUELTOS Problema 1 Simplificar:

A=

A=

Sen20° + Sen10° 2Cos10° + 1

A) Sen5° B) Sen20° C) Sen10° D) Sen15° E) Sen25°

A) 1/12 D) 1/8

2Sen10°Cos10° + Sen10° 2Cos10° + 1

NIVEL INTERMEDIO

Resolución: Por degradación de arco doble 2Sen2a = 1 – Cos2a

Respuesta: C) Sen10° UNMSM - 2000

Resolución: Desarrolamos por arco doble Sen20° = 2Sen10°.Cos10°

TEMA 11

Remplazando Cos4a + 1 – cos2a = 0

Problema 2 Si: Cos4a + 2Sen2a = 0 y Cos2a ± 0 Calcule Cos2a

TRIGONOMETRÍA

C) 2/9 UNMSM 2011-I

Factorizando Sen10° (2Cos10° + 1) A= 2Cos10° + 1 A = Sen10°

NIVEL FÁCIL

B) 1/3 E) 3/4

22

2Cos22a – Cos2a = 0 Cos2a(2Cos2a – 1) = 0; (Cos2a ≠ 0 )

SAN MARCOS REGULAR 2014 – II

IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS PARA ARCO MÚLTIPLE I

1 A) CosaSen3a cm2 2

Nos queda: 2Cos2a – 1 = 0 Por arco doble: 2(2Cos2a – 1) – 1= 0 4Cos2a – 3 = 0 Cos2a = 3/4

C a

1 B) Cos4aSena cm2 2

Respuesta: E) 3/4

Problema 3 En el gráfico, el triángulo rectángulo ABC es recto en B (a < 45°) y AM = MC = 1/2 cm. Calcular el área del triángulo ABC. C

1 C) Cos2aSena cm2 2

a

1 D) Cos3aSena cm2 2 1 E) CosaSen2a cm2 2

M

11 1 Sen2a  (1 + Cos2a) 2  2 2

S ABC =

11 1 2Sen2a  (2Cos2a) 2  2 2

S ABC =

1 SenaCos 3a cm2 2

Resolución: Por resolución en (MCB)

B

2a M 1 Cos2a B 2

S ABC =

UNMSM 2010–II

A

1 2

A

NIVEL INTERMEDIO

a

1 Sen2a 2

1 2

Respuesta: E) 2 + 1

PROBLEMAS DE CLASE EJERCITACIÓN

5 5. Si: Tanq = 180° < q < 270° 2 Calcule: q Cos   2

1. Simplifica la expresión R= A) Tan(x/2) C) Tanx E) 2

Secx – 1 ; x ∈ 〈0; 90°〉 Secx + 1 B) Cot(x/2) D) Cotx

2. Hallar el valor de: A = Sec20°Sec40°Sec80° A) 4 B) 10 C) 6 D) 12 E) 8

B) –

1 5

D) –

1 4

E) –

1 6

6. Si: Cscb = –

B) ±1/ 2 D) ±1/ 5

C)

1 5

Calcule: b Sen   2

6 11

C)

5 6

; 180° < b < 270°

A)

11 12

B)

10 11

D)

7 8

E)

5 7

7. Simplificar:

4. Si Cos2x + Cos2y + Cos2z = a Calcule: Cos2x + cos2y + Cos2z A) a – 3 B) 2a – 3 C) a + 3 D) 2a + 3 E) 6a – 2

SAN MARCOS REGULAR 2014 – II

1 3

PROFUNDIZACIÓN

1 3. Si Senq = 3 Calcule: q Tan  45° –  2   A) ±1/ 3 C) ±1/2 E) ±1/ 6

A) –

T=

A) 1/ 2 D) 1/4

33

(1 + Cos2x)(Csc2x – Cot2x) x Sen2x(1 + Cosx)  1 + Tan2  2  B) 1 E) 2

TRIGONOMETRÍA

C) 1/2

TEMA 11

IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS PARA ARCO MÚLTIPLE I

8. Reduce en términos de "x"  (Senq + Cosq)2 – 1  A=  –1  (Senf + C os f)2 – 1  

Si: Cosq.Cosf = Senx Senq.Senf = Cosx 1 1 A) – Sen4x B) Sen2x 2 2 1 D) Sen4x E) 2Sen2x 4

11. Si: Sena =

1 C) Sen4x 2

9. Reducir: M= A) Senx D) 2Sex

1 – Cos4x ;(4x : agudo) 1 – Cos2x B) Cosx E) 2Cosx

Halle: Tan a 2 A)

a +1 b +1

B)

a –1 b –1

C)

a+b b–b

D)

a–b b+b

b E) a

C) Tanx

SISTEMATIZACIÓN q 10. Si: Tan   = a 2 Calcula: M = Senq + Cosq + 1 2a A) a + 1 B) 2(1 + a) C) 2 a2 3(1 + a2 ) 1+ a 2 D) 1 – a E) a3 1 + a2

TEMA 11

2ab a2 + b2

TRIGONOMETRÍA

12. Si la siguiente igualdad: 2 2 + = P + qCot2 x 1 + Cosx Secx – 1

Verifica una identidad: Hallar "p + q" A) 1 D) 4

44

B) 2

E) 3Csc p 6

C) 3

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