PROGRESIONES
ARITMETICAS
Y
GEOMETRICAS
ARITMETICAS ARITMETICAS 1.- HALLA ALLAR R LOS LOS TERM TERMIN INOS OS QUE SE INDI INDICA CAN N EN SIGUIENTES PROGRESIONES ARITMETICAS: ARITMETICAS: a)EL TRIGESIMO EN 1,6,11,16,... b)EL DECIMOSEXTO EN 1,5,9,13,... c)EL VIGESIMOCUARTO EN -8, -5, -2, 1, ... 2.2.- INTE INTERP RPOL OLAR AR LOS LOS MEDI MEDIOS OS INDICAN: a) CUATRO ENTRE 5 Y 25 b)TRES ENTRE 12 Y -2 c)CINCO ENTRE 3 Y 27
DIFE DIFERE RENC NCIA IALE LES S
QUE QUE
3.HALLAR LA SUMA DE LOS TERMINOS DE PROGRESION ARITMETICA EN LOS SIGUIENTES CASOS: a)DE 25 EN 3,8,13,... b)DE 22 EN 42,39,36,... c)DE 40 EN 1/2, 5/8, 3/4,...
LAS
SE
UNA
4.- ¿CUANTOS TERMINOS DE LA PROGRESION 3,1,-1,-3,5,... SE DEBEN TOMAR PARA QUE LA SUMA SEA -140? 5.- LOS ANGULOS DE UN EXAGONO FORMAN UNA PROGRESION ARIT ARITME METI TICA CA, , VALI VALIEN ENDO DO 80 EL MENO MENOR. R. CALC CALCUL ULAR AR LOS LOS DEMAS. 6.- SABIEN SABIENDO DO QUE LA DIFERE DIFERENCI NCIA A DE UNA PROGRE PROGRESIO SION N ARITMETICA ES 3 Y QUE LA SUMA DE LOS 25 PRIMEROS TERMINOS ES 29 VECES EL ULTIMO, CALCULAR ESTE Y EL PRIMERO 7.- HALLAR CUATRO TERMINOS EN PROGRESION ARITMETICA CUYA SUMA ES 22 Y LA SUMA DE SUS CUADRADOS ES 166. 8.- HALLAR HALLAR TRES TRES NUMERO NUMEROS S EN PROGRE PROGRESIO SION N ARITME ARITMETIC TICA A TALES QUE SU SUMA ES 111 Y LA SUMA DE SUS CUADRADOS ES 4157.
9.LA SUMA DE TRES NUMEROS EN PROGRESION ARITMETICA ES 33 Y SU PRODUCTO 1287. CALCULARLOS. 10.- LOS LADOS DE UN TRIANGULO RECTANGULO FORMAN UNA PROGRESION ARITMETICA DE DIFERENCIA 3. HALLAR LOS TRES LADOS. 11.-LA SUMA DE LOS TERMINOS DE UNA PROGRESION ARITMETICA ES 169 Y SU TERMINO CENTRAL VALE 13. HALLAR EL NUMERO DE TERMINOS. 12.- SI UN RELOJ TOCA SOLAMENTE LAS HORAS,CON TANTAS CAMPANADAS COMO HORA QUE ES, ¿CUANTAS CAMPANADAS DARA EN UN DIA (Nota: un día son dos veces doce horas) 13.- UN HOMBRE SE COMPROMETE A HACER UN POZO EN LAS SIGUIENTES CONDICIONES: POR EL PRIMER METRO RECIBIRA 80 euros, Y POR CADA METRO SIGUIENTE 20 euros MAS, ES DECIR, POR EL SEGUNDO METRO 100, POR EL TERCER METRO 120 euros,... SI EL POZO TIENE 27 M. DE PROFUNDIDAD, ¿CUANTO COBRARA POR EL POZO ENTERO? 14.- UNA EMPRESA COMPRA A PLAZOS UNA MERCANCIA POR 620 euros SE COMPROMETE A PAGAR 60 euros EL PRIMER MES, 65 EL SEGUNDO MES Y ASI SUCESIVAMENTE CON UN AUMENTO CONSTANTE POR MES DE 5 euros. ¿CUANTOS MESES NECESITARA PARA PAGAR LA MERCANCIA? 15.HALLAR TRES TERMINOS DE UNA PROGRESION ARITMETICA CUYA SUMA ES 18 Y LA SUMA DEL PRIMERO Y EL SEGUNDO ES IGUAL AL TERCERO DISMINUIDO EN 2. 16.- LA SUMA DE TRES TERMINOS DE UNA PROGRESION ARITMETICA ES 15 Y LA SUMA DE SUS CUADRADOS ES 107. HALLAR LOS NUMEROS. 17.-UN COCHE BAJA POR UN PLANO INCLINADO RECORRIENDO 1MT. EN EL PRIMER SEGUNDO, 4M. EN EL SEGUNDO SEGUNDO, 7MT. EN EL TERCER SEGUNDO,... ¿CUANTO RECORRE EN EL SEGUNDO 20?, ¿CUANTO RECORRE EN 10 SEGUNDOS?. ¿CUANTO TARDARA EN RECORRER LOS 1335 MTS. QUE TIENE EL PLANO INCLINADO?
18.-CALCULAR LAS SUMAS QUE SE INDICAN SIGUIENTES SUCESIONES: a. 5 TERMINOS EN 36,30,24,... b.10 TERMINOS EN 4,-1,-6,... c. 5 TERMINOS EN 2A-4, 2A-1,2A+2,... d.15 TERMINOS EN 0,2,4,... e.8 TERMINOS 1,4,7,... f.6 TERMINOS EN 1/4, 1/2, 3/4, ...
EN
LAS
19.EL COSTE DE IMPRESION DE UN FOLLETO PUBLICITARIO ES DE 30 euros EN CONCEPTO DE ELABORACION DE LA MAQUETA Y PREPARACION DE LA MAQUINA DE IMPRIMIR Y DE 10 euros MAS POR CADA EJEMPLAR. ENCONTRAR EL COSTE DE 1,2,3,4,...N FOLLETOS. 20.-EL ALQUILER DE UNA CANOA CUESTA 6 euros. LA PRIMERA HORA Y 2,50 euros. CADA NUEVA HORA. ENCONTRAR EL COSTE DE 2,3,4,...N HORAS 21.-UN OFICIAL MANDA 5050 SOLDADOS Y QUIERE FORMAR CON ELLOS UN TRIANGULO PARA UNA EXHIBICION, DE MODO QUE LA PRIMERA FILA TENGA UN SOLDADO, LA SEGUNDA DOS, LA TERCERA TRES, ETC. CALCULAR CUANTAS FILAS HABRA
PROGRESIONES ARITMETICAS 1. Hallar los términos que se indican de las siguientes progresiones aritméticas: a) El término 20 en: 1, 6, 11, 16... b) El término 6 en: 3, 7, 11, 15... c) El 12 en: -4, 0, 4, 8... d) El término 10 en: 2, 5, 8, 11... Sol: a) 96; b) 23; c) 40; d) 29 2. Halla los términos a 4, a7, a2, a10 de las siguientes sucesiones: a) an = 3n-2 b) an = n2-1 c) an = 4n-3 d) an = 2n+3 Sol: a) a4=10, a7=19, a 2=4; a10=28; b) a 4=15, a7=48, a2=3; a10=99
c) a4=13, a7=25, a2=5; a10=37; b) a4=11, a7=17, a2=7; a10=23 3. Hallar el término a 10 en una progresión aritmética en la que a1 = 5 y la diferencia es d = -3. Sol: -22 4. Calcula el término general de las sucesiones: a) -1,1,3,5,7,9 b) 3,6,9,12,15,18 c) 5,6,7,8,9 d) -2,0,2,4,6 Sol: a) 2n-3; b) 3n; c) n+4; d) 2n-4
siguientes
5. Completa la siguiente tabla: a1
a2
a3
1
3
5
a4
4 10
a5
a6
16
19
13
16
an
Sol: 7,9,11,2n-1; 7,10,13,...,3n+1; 1,4,7,...,3n-2 6. Calcula el primer término de una progresión aritmética que consta de 10 términos, si se sabe que el último es 34 y la diferencia es 3. Sol: 7 7. En una progresión aritmética a 12 = -7 y d = -2. Hallar a1 Sol: 15 8. En una progresión aritmética a 20 = -33 y a 12 = -28, hallar a1 y d. Sol: a1 = 5; d = -3 9. En una progresión aritmética d = 5 y a 25 = 110, hallar a20. Sol: a20 = 85 10. ¿Cuántos términos tiene una progresión artimética cuyo primer término es 8 y el último 36, si se sabe que la diferencia es 2. Sol: 15
11. Interpola los términos que se indican en cada apartado: a) cuatro entre 7 y 17 b) cinco entre 32 y 14 c) Seis entre -18 y 17 Sol: a) 9, 11, 13, 15; b) 29, 26, 23, 20, 17; c) -13, -8, -3, 2, 7, 12 12. Interpolar los términos que se indican, de modo que resulte una progresión aritmética: a) Cuatro términos entre 15 y 30 b) Cuatro términos entre 15 y 5 c) Seis términos entre 3 y 38 d) Cinco términos entre 1 y 25 Sol: a) d = 3; b) d = -2; c) d = 5; d) d = 4 13. Si entre los números 8 y 16 hay tres medios aritméticos. ¿Cuál es la diferencia? Sol: 2 14. Calcula la diferencia de la progresión aritmética, sabiendo que entre 12 y 52 hay tres medios aritméticos. Sol: 10 15. Calcula el término a 15 de una progresión aritmética donde el primer término es 3 y la diferencia 5. Sol: a 15 = 73 16. Halla la suma de los términos de una progresión aritmética en los siguientes casos: a) De los 10 primeros términos de: 1, 6, 11... b) de los 20 primeros términos de: 22, 23, 24... c) De los 30 primeros términos de: 1/2, 3/4, 1... Sol: a) a10=46, S=235; b) a 20=41, S=630; c) a 30=31/4, S=495/4. 17. Halla la suma de los 12 primeros términos de una progresión aritmética sabiendo que a 3 = 7 y a 10 = 21. Sol: S = 168. 18. Halla la suma de los 10 primeros términos de una progresión aritmética sabiendo que a 1 = 7 y a 10 = 52.
Sol: S = 295. 19. Halla la suma de los 100 primeros números naturales: 1, 2, 3, ...., 1000. Sol: 5050 20. Halla la suma de los números pares: 2, 4, 6, ..., 100. Sol: 2525 21. Halla las expresión del n-ésimo número par y la suma de los n primeros números pares: Sol: a) 2n; b) (1+n)n 22. Halla la expresión del n-ésimo número impar y la suma de los n primeros números impares. Sol: a) 2n-1; b) n2. 23. Halla la expresión del n-ésimo múltiplo de 3 y la suma de los n primeros números. Sol: a) 3n; b) [(3+3n)n]/2 24. Halla la suma de todos los números impares de dos cifras. Sol: 2475 25. ¿Cuantos términos hay que sumar de la progresión aritmética 4, 8, 12,... para obtener como resultado 220. Sol: 10 26. La suma de los términos de una progresión aritmética limitada es 169 y su término central vale 13. Hallar el número de términos de la progresión. Sol: n = 13 27. La suma de x números naturales consecutivos tomados a partir de 35 es 1820. Calcular x. Sol: x = 35 28. ¿Cuántos números impares consecutivos a partir de 1 es preciso tomar para que su suma sea igual a 1482?. Sol: 39
29. Calcula la suma de los 50 primeros números pares. Sol: S = 2550 30. Si consideramos 9 términos consecutivos de una progresión aritmética, a5 = 27, a 7 = 39. Halla la suma de los 9 términos. Sol: 243 31. Se consideran 12 términos consecutivos de una progresión aritmética. La diferencia de los dos extremos es 55, y la suma del cuarto y octavo 56. Halla los extremos. Sol: a1 = 3, a16 = 58. 32. Se consideran 10 términos consecutivos de una progresión aritmética. Los dos extremos suman 22 y el producto del tercero y el cuarto es 48. Halla los términos de la progresión. Sol: d = 2, sucesión: 2, 4, 6, 8, 10, 12, ... 33. La suma de tres números en progresión aritmética es 24 y su producto 440. Halla estos números. Sol: 5, 8, 11
PROGRESIONES ARITMETICAS 1. Calcula el término que ocupa el lugar 100 de una progresión aritmética cuyo primer término es igual a 4 y la diferencia es 5. 2. El décimo término de una progresión aritmética es 45 y la diferencia es 4. Halla el primer término. 3. Sabiendo que el primer término de una progresión aritmética es 4, la diferencia 7 y el término n-ésimo 88, halla el número de términos. 4. Halla el primer término de una progresión aritmética y la diferencia, sabiendo que a3 = 24 y a 10 = 66. 5. El término sexto de una progresión aritmética es 4 y la diferencia 1/2. Halla el término 20. 6. Interpola cuatro medios aritméticos entre los números 7 y 27. 7. Calcula los lados de un triángulo rectángulo sabiendo que sus medidas, expresadas en metros, están en progresión aritmética de diferencia 3. 8. Halla tres números que estén en progresión aritmética y tales que, aumentados en 5, 4 y 7 unidades respectivamente, sean proporcionales a 5, 6 y 9. 9. Calcula la suma de los múltiplos de 59 comprendidos entre 1000 y 2000. 10. El producto de tres términos consecutivos de una progresión aritmética es 80 y la diferencia es 3. Halla dichos términos.
11. ¿Cuántos términos hay que sumar de la progresión aritmética 2, 8, 14,... para obtener como resultado 1064? 12. La suma de n números naturales consecutivos tomados a partir de 11 es 1715. ¿Cuántos términos hemos sumado? 13. Sabiendo que el quinto término de una progresión aritmética es 18 y la diferencia es 2, halla la suma de los nueve primeros términos de la sucesión. 14. Se consideran 16 términos consecutivos de una progresión aritmética . La diferencia de los dos extremos es 16, y la suma del cuarto y el decimotercero es 18. Calcula los extremos. 15. Una progresión aritmética limitada de 10 términos es tal que la suma de los extremos es igual a 20, y el producto del tercero y el octavo es 75. Formar los 10 primeros términos de la progresión. 16. La suma de tres números en progresión aritmética es 33 y su producto 1287. Halla estos números. 17. Tres números en progresión aritmética tienen por producto 16640; el más pequeño vale 20. Halla los otros dos. 18. El producto de cinco números en progresión aritmética es 12320 y su suma 40. Halla estos números sabiendo que son enteros. 19. Calcula tres números sabiendo que están en progresión aritmética, que su suma es 18 y que la suma del primero y del segundo es igual al tercero disminuido en dos unidades. 20. La suma de los once primeros términos de una progresión aritmética es 176 y la diferencia de loa extremos es 30. Halla los términos de la progresión. 21. Halla cuatro números en progresión aritmética, conmociendo su suma, que es 22, y la suma de sus cuadrados, 166. 22. La diferencia de una progresión aritmética es 4. El producto de los cuatro primeros términos es 585. Halla los términos. 23. Halla los seis primeros términos de una progresión aritmética sabiendo que los tres primeros suman - 3 y los tres últimos 24. 24. En una progresión aritmética el undécimo término excede en 2 unidades al octavo, y el primero y el noveno suman 6. Calcula la diferencia y los términos mencionados. 25. En una progresión aritmética, los términos segundo y tercero suman 19, y los términos quinto y séptimo suman 40. Hállalos. 26. Halla los ángulos de un triángulo sabiendo que están en progresión aritmética. 27. Sabiendo que las medidas de los tres ángulos de un triángulo están en progresión aritmética y que uno de ellos mide 100º, calcula los otros dos. 28. Halla las dimensiones de un ortoedro sabiendo que están en progresión aritmética , que suman 78 m. y que el volumen del ortoedro es de 15470 m3. 29. Los seis ángulos de un hexágono están en progresión aritmética. La diferencia entre el mayor y el menor es 60º. Calcula el valor de cada ángulo. 30. Las longitudes de los tres lados de un triángulo rectángulo están en progresión aritmética y suman 36 metros. ¿Cuánto mide cada lado?
31. Un coronel manda 5050 soldados y quiere formar con ellos un triángulo para una exhibición, de modo que la primera fila tenga un soldado, la segunda dos, la tercera tres, etc. ¿Cuántas filas tienen que haber? 32. Por el alquiler de una casa se acuerda pagar 80000 ptas. al mes durante el primer año, y cada año se aumentará el alquiler en 6000 ptas. mensuales. ¿Cuánto se pagará mensualmente al cabo de 12 años? 33. Las edades de cuatro hermanos forman una progresión aritmética, y su suma es 32 años. El mayor tiene 6 años más que el menor. Halla las edades de los cuatro hermanos. 34. Un esquiador comienza la pretemporada de esquí haciendo pesas en un gimnasio durante una hora. Decide incrementar el entrenamiento 10 minutos cada día. ¿Cuánto tiempo deberá entrenar al cabo de 15 días? ¿Cuánto tiempo en total habrá dedicado al entrenamiento a lo largo de todo un mes de 30 días? 35. En una sala de cine, la primera fila de butacas dista de la pantalla 86 dm, y la sexta, 134 dm. ¿En qué fila estará una persona si su distancia a la pantalla es de 230 dm?
GEOMETRICAS
1.-HALLAR LOS TERMINOS QUE SE INDICAN EN SIGUIENTES PROGRESIONES: a. 1,2,4,8,... EL OCTAVO b. 1/4, 1/2, 1, ... EL DECIMO c. 0,001; 0,01 ; 0,1; ... EL DUODECIMO
LAS
2.- INTERPOLAR a.5 TERMINOS ENTRE 8 Y 1/8 b.5 TERMINOS ENTRE 3/8 Y 1536 c.3 TERMINOS ENTRTE -1 Y -1/16 3.- SUMA DE 10 TERMINOS EN a. 1, x, x 2 , b.4/3, 2/3, 1/3,... 4.- INSCRIBIR EN UN CUADRADO DE LADO 2 UN CIRCULO. EN ESTE UN CUADRADO. EN ESTE UN CIRCULO Y ASI SUCESIVAMENTE. HALLAR LA SUMA DE LAS AREAS DE TODOS LOS CUADRADOS. 5. CALCULAR
1/3 + 1/9 + 1/27 ----------------1/5 + 1/25 + 1/125
6.TRES NUMEROS ENTEROS ESTAN EN PROGRESION GEOMETRICA. SI EL SEGUNDO AUMENTA EN 8 UNIDADES SIN VARIAR LOS OTROS DOS, SE CONVIERTE EN OTRA ARITMETICA, Y SI EN ESTA EL ULTIMO TERMINO AUMENTA EN 64, VUELVE A SER GEOMETRICA. CALCULAR LOS NUMEROS. 7.- DE UN VASO LLENO DE VINO SE RETIRA LA MITAD Y SE REEMPLAZA POR AGUA. SE RETIRA LA MITAD DE ESTA MEZCLA Y SE LA REEMPLAZA POR AGUA. ESTO SE REPITE CINCO VECES. ¿QUE PARTE DE AGUA CONTIENE EL VASO?. 8.- UNA PERSONA ENVIA UNA COPIA DE UNA CARTA A DOS PARIENTES, ROGANDOLES QUE A SU VEZ CADA UNO DE
ELLOS ENVIA UNA COPIA A OTROS DOS PARIENTES Y ASI SUCESIVAMENTE. DESPUES DE 12 ENVIOS, ¿CUANTAS COPIAS SE HAN HECHO? 9.- LA SUMA DE LOS 8 PRIMEROS TERMINOS DE UNA PROGRESION GEOMETRICA ES 17 VECES LA SUMA DE LOS 4 PRIMEROS. HALLAR LA RAZON. 10.- CALCULAR EL PRODUCTO TERMINOS EN LA PROGRESION: a)
b)
a
3
a
2
=
=
6
1 8
a
, a3
4
=
=
DE
LOS CUATRO PRIMEROS
1 16
18
11.- EL PRODUCTO DE LOS 6 PRIMEROS TERMINOS DE UNA P.G. ES Y EL PRIMER TERMINO . HALLAR LA RAZON a a 21
12.- UNA PELOTA DE GOMA CAE DESDE UNA ALTURA DE 40 M. Y EN CADA REBOTE SUBE EL 40 % DE LA ALTURA ANTERIOR. HALLAR A QUE ALTURA CAE EN SU OCTAVO DESCENSO Y CUANTO RECORRRIO ANTES DE PARARSE. 13.- TRES NUMEROS ESTAN EN P.G. EL SEGUNDO ES 32 UNIDADES MAYOR QUE EL PRIMERO, Y EL TERCERO 96 UNIDADES MAYOR QUE EL SEGUNDO. CALCULARLOS
14.- HALLAR LA SUMA DE LAS SIGUIENTES PROGRESIONES ILIMITADAS: a)10, 5, 5/2,... b)
2,
1, 1
2
, ...
c)1,35 ; O,045 ; 0,0015 ; .... d) 2, 2 , 1, .....
15.- EN UNA P.G. LA RAZON ES 1/4. CALCULAR EL PRIMER TERMINO PARA QUE LA SUMA DE UN NUMERO INFINITO DE TERMINOS SEA 80. 16.- EN UNA P.G. EL PRIMER TERMINO ES 5. CALCULAR LA RAZON PARA QUE LA SUMA DE UN NUMERO INFINITO DE SUS TERMINOS SEA 50/11. 17.- EN UNA P.G. LA SUMA DE INFINITOS TERMINOS ES 64 VECES LA SUMA DE LOS 6 PRIMEROS. CALCULAR LA RAZON. 18.- EL PRIMER TERMINO DE UNA P.G. ES 225, Y EL CUARTO 72/5. HALLAR LA RAZON Y LA SUMA DE LOS INFINITOS TERMINOS.
PROGRESIONES GEOMETRICAS
1. Prueba cuales de las siguientes sucesiones son progresiones geométricas y cuales no. Y de las que sean calcula su razón. a) 5, 5/3, 5/9, 5/27,... b) 3, 12, 60, ... c) 54, 36, 24, 16, ... Sol: a) Si r=1/3; b) No; c) Si r=2/3 2. Hallar el término décimo de la progresión: 2, 4, 8, ... Sol: a10 = 210 3. Hallar el décimo término de la progresión: 1/64, 1/32, 1/16, ... Sol: r = 2, a 10 = 8 4. Determinar los seis primeros términos de una progresión geométrica si los dos primeros valen 5 y 3, respectivamente. Sol: 5, 3, 9/5, 27/25, 81/125, 243/625 5. El término a 5 de una progresión geométrica vale 324 y la razón vale 3. Hallar el primer término.
Sol: 4 6. En una progresión geométrica se sabe que a 5 = 48 y a10 = 1536. Hallar el primer término y la razón. Sol: a1 = 3, r = 2 7. En una progresión geométrica a 10 = 64 y la razón es 1/2. Hallar el término octavo. Sol: a8 = 256 8. Indica la razón de las siguientes progresiones: a) 1, 4, 16, 64... b) 3, -9, 27, -81... c) -2, 10, -50, 250... d) 27, 9, 3, 1... e) 2, 1/2, 1/8, 1/32... f) 24, -8, 8/3, -8/9... Sol: a) 4; b) -3; c) -5; d) 1/3; e) 1/4; f) -1/3 9. Calcula el octavo geométrica: 3, 6, 12, 24... Sol: 384
término
de
la
progresión
10. En una progresión geométrica a 1 = 10 y a 10= 5120. Hallar el término a5. Sol: a5 = 160 11. Demostrar que en toda progresión geométrica cada término es igual a la raíz cuadrada del producto del que le precede por el que le sigue. 12. Dos términos consecutivos de una progresión geométrica son 54 y 81, respectivamente. Hallar el lugar que ocupan en la progresión, si el primer término vale 24. Sol: puestos 3 y 4 13. En una progresión geométrica a 5 = 2 y a 7 = 8. Hallar la razón y los primeros 5 términos. Sol: a) r = 2; b) 1/8, 1/4, 1/2, 1, 2 14. Calcula el decimosegundo término de la progresión: 1/3, 1, 3, 9, 27... Sol: 59049
15. Halla el primer término de una progresión geométrica sabiendo que la razón es 1/2 y el octavo término es 17/64. Sol: 34 16. Calcula la razón de una progresión geométrica donde el primer término es 5 y el quinto es 405. Sol: 3 17. En una progresión geométrica a 1 = 3 y la razón 2, hallar el lugar que ocupa el término que vale 1536. Sol: n = 10 18. En una progresión geométrica a 2 = 5 y la razón 3, hallar el lugar que ocupa el término que vale 2187. Sol: n = 9 19. Intercalar 4 términos entre 4 y 972 de modo que formen una progresión geométrica. Sol: r = 3. 12,36, 108, 324 20. Halla el primer término de una progresión geométrica de razón 3 y cuyo sexto término es 27. Sol: 1/9 21. Interpolar 6 términos entre 64 y 1/2 de modo que formen progresión geométrica. Sol: r = 1/2. 32, 16, 8, 4, 2, 1 22. Intercalar 3 términos entre 5 y 405 de modo que formen progresión geométrica. Sol: r = 3. 15, 45, 135 23. En una progresión geométrica a 1 = 2 y la razón r = 3, hallar el término a 5 y el producto de los cinco primeros términos. Sol: a5 = 162; P = 1889568 24. Hallar tres números en progresión geométrica sabiendo que su suma es 31 y su producto 125. Sol: 1, 5, 25 (r=5)
25. Hallar el producto de los 7 primeros términos de una progresión geométrica sabiendo que el central vale 5. Sol: 78125 26. Halla la suma de los cinco primeros términos de la progresión geométrica: 3, 6, 12, 24... Sol: 93 27. Halla la suma de los diez primeros términos de la progresión geométrica: 768, 384, 192... Sol: 3069/2 28. En una progresión geométrica el primer término vale 8 y la razón 1/2. Hallar el producto de los 6 primeros términos. Sol: 8 29. Hallar tres números en progresión geométrica, sabiendo que su suma vale 12 y su producto -216. Sol: 3, -6, 12. 30. Tres números en progresión geométrica suman 155 y su producto vale 15625. Calcular dichos números. Sol: 5, 25, 125 31. Determinar cuatro números en progresión geométrica tal que los dos primeros sumen 95 y los dos últimos 36. Sol: 3, 6, 12, 24 32. Halla la suma de los seis primeros términos de la progresión geométrica: 1/4, 1/8, 1/16... Sol: 63/128 33. Halla la suma de los términos de las siguientes progresiones decrecientes e ilimitadas: a) 6, 3, 3/2, 3/4... b) 1/2, 1/6, 1/18, 1/54... b) 18, 6, 2, 2/3... c) 27, 9, 3, 1, ... Sol: a) 12; b) 3/4; c) 27; d) 81/2 34. Sabiendo que a 1 = 5 y r = 2, hallar la suma de los 8 primeros términos de la progresión geométrica.
Sol: S = 1275 35. Hallar la suma de los 4 primeros términos de la progresión geométrica: 8/5, 4/5, 2/5, ... Sol: r = 1/2, S = 3 36. Calcula el término a12 de la sucesión: an = 2n+5 Sol: 29 37. ¿Cuál es la diferencia en la sucesión: 5, 2, -1, ...? Sol: -3 38. ¿Cuál es la suma de los 10 primeros términos de la sucesión: 2, 10, 50...? Sol: 4882812 39. ¿Cuánto es la suma de los infinitos términos de la sucesión: 6, 3, 3/2, 3/4...? Sol: 12
PROGRESIONES GEOMETRICAS
1. Calcula el término undécimo de una progresión geométrica cuyo primer término es igual a 1 y la razón es 2. 2. El quinto término de una progresión geométrica es 81 y el primero es 1. Halla los cinco primeros términos de dicha progresión. 3. En una progresión geométrica de primer término 7 y razón 2, un cierto término es 28672. ¿Qué lugar ocupa dicho término? 4. Sabiendo que el séptimo término de una progresión geométrica es 1 y la razón 1/2, halla el primer término. 5. Interpola tres medios geométricos entre los números 8 y 128. 6. En una progresión geométrica se sabe que el término decimoquinto es igual a 512 y que el término décimo es igual a 16. Halla el primer término y la razón. 7. Descompón el número 124 en tres sumandos que formen progresión geométrica, siendo 96 la diferencia entre el mayor y el menor. 8. El volumen de un ortoedro es de 3375 cm 3. Halla la longitud de sus aristas, sabiendo que están en progresión geométrica y que la arista intermedia mide 10 cm. más que la menor. 9. Halla el producto de los ocho primeros términos de la progresión 3, 6, 12, 24,... 10. Halla la suma de los diez primeros términos de la progresión geométrica 3, 6, 12, 24,... 11. La suma de los ocho primeros términos de una progresión geométrica es 17 veces la suma de los cuatro primeros. Halla el valor de la razón.
12. Halla la suma de los términos de la progresión ilimitada: 8, 4, 2, 1,... 13. Halla tres números en progresión geométrica sabiendo que su suma es 26 y su producto 216. 14. Calcula el producto de los once primeros términos de una progresión geométrica sabiendo que el término central vale 2. 15. Tres números en progresión geométrica suman 525 y su producto vale un millón. Calcula dichos números. 16. Determina cuatro números en progresión geométrica de manera que los dos primeros sumen 0,5 y los dos últimos 0,125. 17. ¿Cuántos términos se han tomado en una progresión geométrica, sabiendo que el primer término es 7, el último 448 y su suma 889? 18. La suma de los siete primeros términos de una progresión geométrica de razón 3 es 7651. Halla el primero y el séptimo términos. 19. Halla tres números en progresión geométrica cuyo producto es 328509, sabiendo que el mayor excede en 115 a la suma de los otros dos. 20. Tres números están en progresión geométrica; el segundo es 32 unidades mayor que el primero, y el tercero, 96 unidades mayor que el segundo. Halla los números. 21. Halla los cuatro primeros términos de una progresión geométrica, sabiendo que el segundo es 20 y la suma de los cuatro primeros es 425. 22. Halla los ángulos de un cuadrilátero, si se sabe que están en progresión geométrica y que el mayor es 27 veces el menor. 23. Las dimensiones de un ortoedro están en progresión geométrica. Calcula estas dimensiones sabiendo que su perímetro es 420 m. y su volumen 8000 m3 24. Divide el número 221 en tres partes enteras que forman una progresión geométrica tal que el tercer término sobrepasa al primero en 136. 25. La suma de tres números en progresión geométrica es 248 y la diferencia entre los extremos 192. Halla dichos números. 26. Halla cuatro números en progresión geométrica sabiendo que la suma de los dos primeros es 28 y la suma de los dos últimos 175. 27. En una progresión geométrica, los términos primero y decimoquinto son 6 y 54, respectivamente. Halla el término sexto. 28. Una progresión geométrica tiene cinco términos, la razón es igual a la cuarta parte del primer término y la suma de los dos primeros términos es 24. Halla los cinco términos. 29. Halla x para que x - 1, x + 1, 2(x + 1) estén en progresión geométrica. 30. A una cuerda de 700 m. de longitud se le dan dos cortes, de modo que uno de los trozos extremos tiene una longitud de 100 m. Sabiendo que las longitudes de los trozos están en progresión geométrica, determina la longitud de cada trozo. 31. Halla la fracción generatriz del número decimal 0,737373... como suma de los términos de una progresión geométrica ilimitada. 32. Se tiene una cuba de vino que contiene 1024 litros. El 1 de octubre se vació la mitad del contenido; al día siguiente se volvió a vaciar la mitad de lo que quedaba, y así sucesivamente todos los días. ¿Qué cantidad de vino se sacó el día 10 de octubre? 33. Dado un cuadrado de 1 m. de lado, unimos dos a dos los puntos medios de sus lados; obtenemos un nuevo cuadrado, en el que volvemos a
efectuar la misma operación, y así sucesivamente. Halla la suma de las infinitas áreas así obtenidas. 34. ¿Qué profundidad tendrá un pozo si por el primer metro se han pagado 7600 ptas. y por cada uno de los restantes 1500 ptas. más que por el anterior, sabiendo que en total se han pagado 43600 ptas.? 35. Tres números cuya suma es 36 están en progresión aritmética. Halla dichos números sabiendo que si se les suma 1, 4 y 43, respectivamente, los resultados forman una progresión geométrica.
