Unidad 01 PROPORCIONALIDAD
Ing. Ana E. Kronawetter E.
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1.11 LAS R AZONES 1. Una RAZÓN es una relación de comparación entre dos cantidades. Razón Aritmética o por Diferencia Diferenc ia Es la diferencia indicada entre dichas cantidades Ejemplo: Ejemplo : Hallar la razón aritmética entre 6 y 4. Se escribe 6-4, se lee 6 es a 4, 6 se denomina antecedente y 4 consecuente. La razón por diferencia es 6-4 = 2
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Razón Geométrica o por Cociente Cocie nte Es el cociente indicado entre dichas cantidades Ejemplo: Hallar la razón geométrica 8 y 4. Se escribe 8:4 o 8, se lee 8 es a 4, 4 8 se denomina antecedente y 4 consecuente. La razón por cociente es 8 % 4 = 2 Obs.: Cuando se habla simplemente de “Razón” normalmente se entiende como razón geométrica o por cociente
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Ejemplos: 1. En una sala hay diez sillas y dos escritorios. La razón de las sillas a los escritorios escritorios es de diez diez a dos, dos, lo que simbolizar simbolizaremos emos por por 10 : 2 o 10 2 2. En un salón de clases hay 15 niñas y 10 niños. La razón de niñas a niños es de 15 a 10, lo que simbolizaremos por 15 : 10 o 15 10 3. La edad de de Pedro es es ocho años mientra mientrass que David tiene tiene 10 años. años. La razón de de sus edades edades es de de 8 a 10, lo que simboliza simbolizaremos remos por por 8 : 10 o 8 10
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1.22 PROP ORCION ES 1. Proporción Aritmética Es la igualdad de dos razones aritméticas. Ejemplo • a – b = c - d , se lee a es a b , como c es a d Los términos a y d se denominan extremos, extremos , b y c se denominan medios. También a y c se laman antecedentes y a b y d consecuentes. • 7 – 5 = 1 0 – 8 , la razó razónn es es 2 Propiedad: Propiedad : La suma de los extremos es igual a la suma de los medios Ing. Ana E. Kronawetter E.
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Proporción Geom étrica étric a Es la igualdad de dos razones geométricas. Ejemplo a
=
b
c
o
a:b::c:d
d
•Se lee a es a b , como c es a d . Los términos a y d se denominan extremos, extremos , b y c se denominan medios. Igualmente a y c se llaman a nte nt e c e d e nte nt e s , b y d cons co nsee cuen cu ente tess 8 4
=
10 5
o
8:4::10:5 , la razón es 2
Propiedades: Propiedades : - El producto producto de los extremos extremos es igual igual al producto producto de los medios Ing. Ana E. Kronawetter E.
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- Si los medios medios de una proporción proporción geométr geométricas icas son son iguales, iguales, el valor de la media proporcional proporcional es a b
=
b
b
2
= a×c
b
=
a×c
c
Transform aciones en las proporciones geométricas a
Dada la proporción
b
=
c d
- Interca Intercambia mbiando ndo los los medio medioss de la propor proporción ción geomét geométric rica, a, la proporción subsiste ( la razón cambia en ambos términos de la igualdad) a b =
c
Ejemplo:
8 4
=
d
10 5
se cumple
8
=
10
4 5
(el producto de los
extremos es igual al producto de los medios) Ing. Ana E. Kronawetter E.
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- Si dos dos prop propor orci cione oness tien tienen en una una razón razón común común,, las las otr otras as do doss razones forman proporción geométrica. a b
=
c
a
y
d
=
b
m
se cumple
n
c d
=
m n
Operaciones con las proporciones - Multiplicar o dividir antecedentes o consecuentes por un número -Elevar todos los términos a una misma potencia -Extraer una misma raíz a todos los términos - Sea Sea la prop propor orci ción ón 1)
a±b b
=
c ± d d
a b
=
c
se cump cumple le
d
2)
a a±b
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=
c c ± d
8
a+c
3)
b + d
=
a b
4)
a+b a −b
=
c + d c − d
5)
a+c a−c
=
b + d b − d
-En toda serie de razones iguales, la suma de los antecedentes es a la suma de los consecuentes como un antecedente es a un consecuente. a b
=
c d
=
m n
=L
se cumple
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a + c + m +L b + d + n + L
=
a b
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Ejemplos 1. En un aula, la proporción de hombres a mujeres es de 4 : 5. Si están 20 mujeres, cuántos hombres hay? Solución. Buscamos el número H de hombres, y sabemos que H : 20 = 4 : 5. Luego
H
=
20
de donde H = 20 × 4 = 16 Por tanto concluimos que había 16
4
5
5
hombres en el aula 2. Si tres mangos cuestan Gs. 5000 , cuánto cuestan 30 mangos? :
Solución. El problema consiste en buscar un número V , el valor de 30 mangos; de modo que ese número sea a 5000 como 30 es a 3 mangos. O sea Resp.: Gs. 50.000 30 Tendremos entonces V = 5000 × 30 = 50000 V =
5000
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3
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1.3 MAGNITUDES PROPORCIONALES Dos magnitudes son proporcionales cuando multiplicando o dividiendo una de ellas por un número, la otra queda multiplicada o dividida (o viceversa) por el mismo número. Directamente Direc tamente Proporcionales Proporcionale s Son magnitudes tales que: - Multiplicando Multiplicando una de ellas ellas por un número número la otra otra queda queda multiplicada por el mismo número -Dividiendo una de ellas por un número la otra queda dividida por el mismo número
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Ejemplo: Una cuadrilla de obreros construye en 4 días 20 m. de muralla. La misma cuadrilla de obreros construye en 8 días 40 m. de la misma muralla. In versam versam ente Proporcionales Son magnitudes tales que: - Multiplicando Multiplicando una de de ellas por por un número número la otra queda dividida por el mismo número -Dividiendo una de ellas por un número la otra queda multiplicada por el mismo número. Ejemplo: 4 obreros construyen una obra en 8 días, 8 obreros construyen la misma obra en 4 días. Ing. Ana E. Kronawetter E.
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1.44 RAZÓ 1. RAZÓ N DE PROPO PRO PORC RCIO IONAL NALIDA IDAD D Si las magnitudes son homogéneas la razón se mantiene constante. Ejemplo: Si 5m. de tela cuestan 10 US$ 10 m. de tela costarán 20 US$ La razón es 2 20 m. de tela costarán 40 US$
}
Directa
Formación de P roporciones roporc iones
}
3 naranjas cuestan 500 Gs. 6 naranjas cuestan 1000 Gs.
3 6
=
500 1000
directa ↵ directa ↓
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r =
1 2
misma razón 13
Inversa
}
3 hombres construyen una obra en 8 días. 6 hombres construyen la misma obra en 4 días.
3
=
6
4 8
↓ directa ↵ inversa
r =
1 2
Misma razón
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