PROGRESIÓN ARITMÉTICA Una progresión aritmética (P.A) es una sucesión de números llamados términos tales que dos números cualesquiera consecutivos de la sucesión están separados por una misma cantidad llamada diferencia común o diferencia constante (razón). (raz ón). Esta diferencia constante se llama diferencia aritmética de la progresión (razón aritmética) y se designa con la letra ´dµ. Si: , son tres términos consecutivos de una progresión aritmética de diferencia d, entonces se cumple que:
Luego, podemos deducir una fórmula que nos permita calcular cualquier término de una progresión aritmética.
: :
: :
TÉRMINO ENÉSIMO
De donde:
é úé éé Una progresión aritmética es: a) Creciente: si la diferencia diferencia o razón es mayor m ayor que cero, o sea: se a:
Decreciente: si la diferencia o razón es menor que cero, o sea: c) Constante: si la diferencia o razón es igual a cero, o sea: b)
Ejemplos:
1. Se sabe que en una P.A. el término que ocupa el lugar 3 es -7 y que la razón es 7.Se desea sa ber cuál es el noveno término de la progresión. Solución
Los datos son:
d =7 ; incógnita:
Luego, calculamos el noveno término, aplicand o la misma fórmula:
2. ¿Cuántos números impares hay desde 19 hasta 271? Solución:
La cantidad de números impares que hay entre 19 hasta 271 son 127. INTERPOLACIÓN DE MEDIOS ARITMÉTICOS O MEDIOS DIFERENCIALES . Interpolar, significa interponer, insertar o intercalar una o más cosas entre otras dos dadas o conocidas. De la fórmula:
Despejando ´dµ, se tiene:
Fórmula que nos permite resolver el problema de la interpolación de medios aritméticos. Ejemplos: 1. Interpolar 4 medios aritméticos entre los números 3 y 28. Solución:
Aplicando la fórmula:
Conociendo la razón o diferencia, se forma la progresión aritmética.
d
Medios aritméticos
3 ; 8 ; 13 ; 18 ; 23 ; 24 +5
+5
Luego, los 4 medios aritméticos entre los número 3 y 28 son: 8; 13; 18 y 23. SUMA DE LOS ´nµ PRIMEROS TÉRMINOS DE UNA PROGRESIÓN ARITMÉTICA Podemos encontrar una expresión para la sumatoria de los ´nµ primeros términos de una progresión aritmética la que designamos por , de la manera siguiente: 1º Escribimos la suma de los ´nµ primeros términos de la P.A.
2º Escribimos esta misma suma en orden inverso:
3º Sumamos miembro a miembro y término a término las igualdades anteriores.
´nµ veces
Esta fórmula, nos permite calcular la suma de los ´nµ primeros términos de una P.A., conociendo el primer término, la razón y el número de términos. De donde, se deduce también una expresión equivalente.
PROPIEDADES 1. La suma de dos términos equidistantes de los extremos es igual a la suma de los extremos. 2. En una progresión aritmética de un número impar de términos, el término central es igual a la semisuma de los extremos. Ejemplos: 1. Sea la progresión aritmética: 3 ; 9 ; 15 ; 21 ; 27 ; 33 ; 39 Equidistantes Equidistantes Extremos 2. Sea la progresión aritmética: 5 ; 8 ; 11 ; 14
;
17 ; 20 ; 23 ; 26
Equidistantes Equidistantes Equidistantes Extremos Ejemplo 1. Dada la P. A: -8 ; -4 ; 0 ; 4 ; 8 ; 12 ; 16 ; 20 ; 24. Hallar el término central. Solución: Aplicando la fórmula:
De donde:
Luego:
é úé
Por lo tanto, el té rmino central de la P.A. es 8. Ejemplo 2: Hallar el té rmino de lugar 50 en la siguiente P.A. : 2 ; 5 ; 8 ; 11 ; «««. SOLUCION: DATOS:
Aplicando la fórmula:
;
Ejemplo 3: La suma de los cuatro términos de una P.A. creciente es 56 y el término mayor es 20. Escribir la progresión. Solución: Datos: Aplicando la fórmula:
De donde:
Por otro lado:
; Entonces se tiene: Entonces, la progresión es: 8 ; 12 ; 16 ; 20
PROGRESIÓN GEOMÉTRICA Una progresión geométrica es una sucesión de números tales que cada uno de ellos (salvo el primero) es igual al anterior multiplicado por un número constante llamado razón, que se representa por ´rµ.
Según la definición anterior, en la progresión geométrica a1, a2, a3, a4, a5,..., an, se verifica: a1 = a1 a2 = a1 · r a3 = a2 · r = a1 · r · r = a 1 · r 2 a4 = a3 · r = a1 · r 2 · r = a1 · r 3 a5 = a4 · r = a1 · r 3 · r = a1 · r 4 :
:
:
:
:
:
TÉRMINO ENÉSIMO n -
an = a1 · r
1
DE DONDE:
óé úé é é
En una progresión geomé trica de té rminos consecutivos:
Decreciente; si Constante; si ( Es decir : r=1 ) Creciente; si
En este caso , la P.G. es oscilante, es decir; consta de términos positivos y negativos en forma alternada, por lo que no es creciente ni decreciente. EJEMPLOS:
1. ¿Cuál es el quinto término de una P.G. cuya razón común es 2, siendo el primer término 6? Solución: Aplicando la formula:
an = a1 · r n ² 1 a5 = 6 · 2 5² 1 ; a5 = 96 2. Hallar la razón de una P.G., si el primer término es 160 y el sexto término es 5. Solución: an = a1 · r n ² 1 5 = 160 · r 6 ² 1 ;
INTERPOLACION DE UN NÚMERO FINITO DE TÉRMINOS EN UNA PROGRESIÓN GEOMÉTRICA Los términos que están entre dos términos cualesquiera de una progresión geométrica se denominan medios geométricos. Ejemplo: 1. Interpolar seis medios geométricos entre ½ y 64. Solución:
Para encontrar los seis medios geométricos entre ½ y 64 se forma una P.G. de ocho términos donde el primer y el ultimo son: ½ y 64 respectivamente, y los seis restantes son los medios geométricos que se desea encontrar. Datos:
Aplicando la fórmula:
an = a1 · r n ² 1
a8 = · r 8 ² 1 ; r = 2 Como r = 2 ; a partir de :
, los medios geométricos buscados son:
6 medios geométricos ½ ; 1 ; 2 ; 4 ; 8 ; 16 ; 32 ; 64
Los 6 medios geométricos que hay entre ½ y 64 son: 1;2;4;8;16;32 PRODUCTO DE LOS ´nµ TÉRMINOS DE UNA PROGRESIÓN GEOMÉTRICA El producto de los ´nµ términos de una progresión geométrica es igual a la raíz cuadrada del producto de los extremos elevado al número de términos. Sea la P.G. : Extremos Luego:
De donde:
términos extremos.
Producto de los ´nµ términos Ejemplo: 1. Calcular el producto de los seis primeros términos de la progresión geométrica : 2 ; 6 ; 18 ; «« Solución: La razón de la P.G. es : r = 6/2 = 3 Aplicando la fórmula:
an = a1 · r n ² 1 a6 = 2 · 3 6² 1 ; a6 = 486 Aplicando la fórmula:
; El producto de los 6 primeros términos
de la progresión geométrica es
PROPIEDADES 1. En toda progresión geométrica el producto de dos términos equidistantes de los extremos es igual al producto de los extremos. Ejemplo: Sea la P.G. 3 ; 9 ; 27
;
81 ; 243 ; 729
Equidistantes Equidistantes Extremos De donde: 27 . 81 = 9 . 243 = 3 . 729 = 2 187 2. En una progresión geométrica de un número impar de términos, el término central es igual a la raíz cuadrada de los extremos. Ejemplo: Sea la P.G. 2
;
6 ;
18
; 54
Extremo
;
162 Extremo
Termino central
Luego:
SERIE GEOMÉTRICA FINITA: SUMA DE LOS ´n ´PRIMEROS TÉRMINOS DE UNA P.G. La sumatoria de los ´n µprimeros términos de una P.G., que designamos por , podemos deducirla de la manera siguiente: 1º. Escribimos la suma de los ´n µprimeros términos de una P.G.
(I)
2º Multiplicamos por ´ r ´ a cada termino de esta igualdad :
(II)
3º. Restamos miem bro a miembro las igualdades (I) y (II).
( r 1)
De esta última expresión se deduce otra equivalente, o sea:
«««. (III)
De la fórmula:
an = a1 · r n ² 1 Obtenemos:
««««(IV)
Reemplazando (IV) en (III):
Ejemplos: 1. Calculemos la suma de los 5 primeros términos de la P.G.: 4 ; 12 ; 36 ; 108 ; 324 ; «««.. SOLUCIÓN: r = 36/12 = 3 Aplicando la fórmula:
Por lo tanto, la suma de los 5 primeros términos de la P.G. es: 484 2. La suma de los ´nµ primeros términos de una P.G. es 1 210, el primer término es 10 y el enésimo es 810 ¿Cuál es la razón común? Solución: Aplicando la fórmula:
PROGRESIÓN Y SERIE GEOMÉTRICA INFINITA Sea la progresión geométrica indefinida: Siendo: 0 < r < 1 se verifica <1, o sea , es decreciente , entonces podemos establecer el cambio: r = 1/q siendo: >1 Elevamos al cuadrado am bos miembros de la igualdad anterior, o bteniendo:
; la potencia
crece infinitamente al crecer el exponente ´nµ y, por
tanto, la fracción puede ser tan pequeña como se quiera, eligiendo ´nµ suficientemente grande. Es decir:
se aproxima a cero al crecer ´nµ. Siendo la progresión geométrica indefinida, el número ´nµ de términos es infinito y por tanto es prácticamente cero. Si en la fórmula:
, se hace ; queda así:
Es decir, la suma de los infinitos términos de una progresión geométrica indefinida decreciente es una fracción cuyo numerador es el primer término y cuyo denominador es la unidad disminuida en la razón. Ejemplo 1. Hallar el valor hacia el cual tiende la suma de infinitos términos de la siguiente progresión geométrica: 9; 3; 1; 1/3;1/9; «. Solución Aplicando la fórmula: Obtenemos:
; donde: (primer término) ; r = 3/9 = 1/3 (razón)
S = 13,5 Ejemplo 2. Hallar el valor hacia el cual tiende la suma de infinitos términos de la siguiente progresión geométrica: 20; 4 ; 4/5; 4/25; «
Rpta: S = 25
