Objetivo El alumno: -
Explicará la relación que existe entre la fuerza aplicada a un resorte y la deformación que sufre.
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Verificará que el cuadrado del periodo de oscilación (T) de un cuerpo suspendido a un resorte es directamente proporcional a la masa M (M= m + 1/3 m r1 mr = masa del resorte)
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Obtendrá el valor numérico de la aceleración de la gravedad midiendo el periodo de oscilación de un cuerpo suspendido al resorte y la def ormación de este.
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Ajustará una curva a los puntos experimentales obtenidos, aplicando el método de mínimos cuadrados.
Introducción Uno delos movimientos mas observados en la naturaleza es el movimiento oscilatorio. En nuestra vida diaria tenemos contacto con una gran cantidad de estos movimientos, como por ejemplo: el latido de nuestro corazón, la vibración de una cuerda de guitarra, las vibraciones del tímpano y la laringe, lo que permite escuchar y hablar, etc. Entre todos estos movimientos oscilatorios, el más importante es el movimiento armónico simple, debido a que, además de der el movimiento más simple de describir matemáticamente, constituye una aproximación cercana de muchas oscilaciones encontradas en la naturaleza. El movimiento armónico simple ocurre cuando un cuerpo de masa m vibra, con respecto a su posición de equilibrio, bajo la influencia de una fuerza, la cual es proporcional a la distancia que existe del cuerpo de posición de equilibrio. Esta fuerza actúa de tal manera que en todo movimiento dirige al cuerpo hacia su posición de equilibrio y se le llama fuerza restauradora. Tal vez el sistema mecánico más simple cuyo movimiento es armónico simple, es el de una masa m fija a un resorte. Si el re sorte se considera perfectamente elástico, de acuerdo con la Ley de Hooke, la fuerza F requerida para deformarlo una distancia x, es: F = -kx ------ (1) Donde k es una constante de restitución del resorte. El signo negativo indica que la dirección de la fuerza es opuesta a la del desplazamiento.
Cuando el cuerpo de masa m, suspendido del extremo inferior del resorte, es desplazado de la posición de equilibrio una distancia x, la fuerza restauradora no es exactamente igual a ma; sino a una cantidad MA donde M no incluye solamente la masa m del cuerpo, sino también una pequeña parte de la masa distribuida del resorte. Por lo tanto: -kx = Ma ------ (*)
Por otro lado sabemos que: a
Entonces, sustituyendo lo anterior en la ecuación (*) tenemos:
En donde al igualar a cero, se tiene:
Esta ecuación es característica del estudio dinámico del oscilador armónico simple. Del análisis de esta ecuación se demuestra que la masa M, vibrando bajo la acción de una fuerza restauradora, tiene un periodo de oscilación T dado por:
√ El estudio del oscilador armónico simple es importante por dos razones. En primer lugar, cualquier problema de vibraciones mecánicas se reduce al del oscilador armónico simple para pequeñas amplitudes de vibración o a una combinación de vibraciones de este tipo. En segundo lugar, ecuaciones como la ecuación (2), se presentan en una gran variedad de problemas físicos de acústica, óptica, mecánica, electrónica, etc.
Material
1 Balanza de Jolly 1 Resorte helicoidal 1 Marco de pesas de 50 a 500g 1 Cronómetro 1 Dinamómetro de 1N
Desarrollo Experimental
Experimento 1.- Determinación de la constante de restitución del resorte (k) Procedimiento: Arme del dispositivo que se muestra en la fi gura
a) Coloque el resorte en la balanza de Jolly y tome un punto de referencia en la parte interior del resorte Io (auxíliese con el espejo de la balanza). b) Ahora coloque una pesa de 50g (0.050kg) En la argolla libre del resorte y mida la deformación (Xi) que sufrió el resorte, esto es: la distancia que existe entre el punto de referencia inicial y la nueva posición de dicho punto Ii (Xi = Ii - Io )
Precaución: La fuerza máxima que soporta un resorte, sin deformarse permanentemente, es aquella que duplica su longitud original, por lo tanto: No deben colocarse pesas que estiren el resorte más del doble de su longitud original. c) Convierta su resultado a metros (m) y regístrelo en la tabla 1. d) Repita el procedimiento para los valores de m i indicados en la tabla 1
2
e) Calcule la fuerza aplicada al resorte Fi = mi g (g = 9.78 m/s ) 2
f) Calcule Fi Xi , Xi ,
∑ ∑ y
y anote sus resultados en la tabla 1 Tabla 1
mi (kg)
Xi (m)
Fi (N)
Métodos de
Métodos de
mínimos
mínimos
cuadrados
cuadrados
Fi Xi (Nm)
Xi (m)
2
0.050 0.100 0.150
0.200 0.250 0.300 0.350 0.400
Discusión En base a los resultados obtenidos hasta ahora ¿Puede usted determinar qué tipo de relación existe entre las deformaciones y las fuerzas aplicadas? ¿Puede precisar si se cumplió experimentalmente la Ley de Hooke?
Experimento 2.- Relación entre la masa y el periodo
Tenemos:
√ Elevando al cuadrado
Definiendo la constante A como:
Tenemos:
En donde: T = Periodo de oscilación. M = Masa suspendida + Contribución del resorte. A = Constante que depende del resorte. Procedimiento.- Monte el dispositivo que se muestra en la segunda imagen. Con ayuda del dinamómetro mida el peso del resorte (W r) y calcule su masa
Calcule m’ = (1/3)
y registre este valor. Es la cantidad de masa del resorte que
contribuye a la masa efectiva. Mida el tiempo t de 20 oscilaciones (verifique este valor 2 ó 3 veces). Determine, para cada uno de los valores de m (masa suspendida en el resorte), indicados en la tabla II: a) Los valores de la masa efectiva: M = m + m’ b) El periodo T =
2
Para determinar la relación que existe entre T y M: 2
c) Haga la gráfica T vs. M en papel milimétrico d) Ajuste una recta por el método de mínimos cuadrados y obtenga de la pendiente el valor de la constante A. e) Anote la ecuación de interdependencia. Tabla II
m1
M1 (kg)
t1 (s)
T1 (s)
2
2
T1 (s )
0.100 0.200 0.250 0.300 0.350 0.400 0.450 m’ = _____________Kg Experimento 3.- Obtención de la aceleración de la gravedad (g) El periodo del oscilador armónico simple está expresado también por la fórmula:
√ Donde x es la deformación sufrida por el resorte y g es la aceleración de la gravedad, por lo tanto, de la formula anterior se obtiene el valor de g:
Procedimiento.- Coloque en el extremo inferior del resorte una pesa de masa m cuyo peso sea tal que el resorte sea alargado aproximadamente aproximadamente 2/3 de su longitud. Mediciones Registre el valor de m, mida el alargamiento sufrido por el resorte y anótelo en la tabla II. Mida el tiempo requerido para que la masa m efectúe 20 oscilaciones completas, efectúelo en 3 ocasiones, obtenga el valor promedio de t, calcule el valor del periodo T y regístrelo. Asocie al alargamiento y al periodo las incertidumbres correspondientes. correspondientes. m (kg)
x (m)
δx (m)
t (s)
T (s)
δT (s)
Sustituyendo en la ecuación (7), los resultados de la tabla anterior se obtiene: 2
g = ___________________ m/s
La incertidumbre del valor g la obtenemos de la siguiente ecuación:
Por lo tanto, el valor de la aceleración de la gravedad (g) en el lugar donde se realizó la medición es: go = g
δg = _______________
2
________________ m/s
Exprese su conclusión respecto al resultado obtenido y el método empleado para su obtención, tomando en cuenta que el valor de la aceleración de la gravedad de la Ciudad 2
de México es de 9.78 m/s .
Cuestionario 1.- Diga usted ¿Por qué para medir el periodo de oscilación por el método empleado en esta práctica, no es conveniente utilizar cuerpos de masa muy pequeña? 2.- Supongamos que tenemos un bloque de masa desconocida y un resorte de rigidez constante desconocida. Explique cómo puede predecirse el periodo de oscilación de ese sistema bloque – resorte midiendo simplemente la deformación que sufre el resorte al colgar el bloque. 3.- Diga usted ¿Por qué son raros los movimientos que sean exactamente armónicos simples?
