17. SOAL-SOAL PROGRAM LINEAR daerah 5x + y ≥ 10 berada pada garis persamaan tersebut dan di atas garis (I, II,III, V) ---(a) EBTANAS2000 1. Himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan 5x + y ≥ 10 2x + y ≤ 8 y ≥2
2. B adalah persamaan garis 2x + y = 8 titik potong dengan sumbu x jika y=0 x = 4 (4,0) titik potong dengan sumbu y jika x = 0 y = 8 (0,8) daerah 2x + y ≤ 8 berada pada garis persamaan tersebut dan di bawah garis (III, V) ….(b) 3. C adalah garis y = 2 daerah di atas atas garis y = 2 adalah I, II, III, IV …(b)
dari (a) , (b) dan (c) : 1. 2. 3.
B. II
C. III
II
I
II
III III III
V V IV
Yang memenuhi ketiga-tiganya adalah daerah III
ditunjukkan oleh daerah A. I
I
D. IV
E. V
jawab:
Jawabannya adalah C SIPENMARU1985 2. Himpunan penyelesaian pertidaksamaan-pertidaksamaan 2x+y ≥ 4 ; 3x + 4y ≤ 12, x ≥ 0, y ≥ 0 dapat digambarkan dengan bagian bidang yang diarsir sebagai berikut :
.
1. Terlihat pada gambar bahwa A adalah persamaan garis 5x + y = 10 titik potong dengan sumbu x jika y = 0 x = 2 titik (2,0) titk potong dengan sumbu y jika x = 0 y = 10 titik (0,10) www.matematika-sma.com - 1
Jawab : 2x+y ≥ 4 ; 2x + y = 4 titik potong dengan sumbu x , y = 0 x = 2 (2,0)
Jawabannya adalah E
titik potong dengan sumbu y, x = 0 y = 4 (0,4)
3x + 4y
≤
UN2005 SMK 3. Daerah yang diarsir merupakan himpunan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan linear…
12
3x + 4y = 12 titik potong dengan sumbu x, y = 0 x = 4 (4,0) titik potong dengan sumbu y, x = 0 y=3 (0,3) gambar sbb:
A. x+2y ≤ 8, 3x+2y ≤ 12, x ≥ 0, y ≥ 0 B. x+2y ≥ 8, 3x+2y ≥ 12, x ≥ 0, y ≥ 0 C. x-2y ≥ 8, 3x-2y ≤ 12, x ≥ 0, y ≥ 0 D. x+2y ≤ 8, 3x-2y ≥ 12, x ≥ 0, y ≥ 0 E. x+2y ≤ 8, 3x+2y ≥ 12, x ≥ 0, y ≥ 0 Jawab : persamaan garis melalui titik (0,6) dan (4,0) adalah:
(0,a)
Himpunan penyelesaiannya berada di atas persamaan garis 2x + y = 4 dan di bawah 3x + 4y = 12
Persaman garis =
x b
+
y a
=1
⇔
(b,0) ax + by = a.b
6x+4y = 24 ⇔ 3x + 2y = 12 karena daerah arsiran dibawah persamaan garis maka 3x + 2y ≤ 12 …(1) www.matematika-sma.com - 2
persamaan garis melalui titik (0,4) dan (8,0) adalah:
Jawab: 1. persamaan garis melalui titik (0,6) dan (10,0) adalah:
(0,a) Persaman garis =
x b
+
y a
=1
⇔
(b,0)
ax + by = a.b
4x+8y = 32 ⇔ x + 2y = 8 karena daerah arsiran dibawah persamaan garis maka x + 2y ≤ 8 ….(2)
12, x + 2y
≤
6x + 10y = 60 3x + 5y = 30
karena daerah arsiran dibawah persamaan garis maka 3x + 5y ≤ 30 ….(1)
(0,a)
sehingga daerah penyelesaiannya adalah: (1), (2), (3) dan (4) ≤
⇒
(b,0)
2. persamaan garis melalui titik (0,-4) dan (2,0) adalah:
Arsiran di atas sumbu x dan di kanan sumbu y maka x ≥ 0 dan y ≥ 0 ….(3) dan (4)
3x + 2y
(0,a)
ax + by = a.b
ax + by = a.b
⇒
8 dan x ≥ 0, y ≥ 0
(b,0)
-4x + 2y = -8 -2x + y = -4
jawabannya adalah A
karena daerah arsiran di sebelah kiri maka persamaan garisnya :
EBTANAS2001 SMK Teknologi 4. Daerah yang diarsir pada gambar di bawah adalah himpunan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan…
-2x + y
≥
-4 atau 2x – y
≤
4 …(2)
ingat untuk a < 0 dan b > 0 -ax + by
≥
-ab (b,0) x
(0,-a)
-ax + by ≤ -ab
y
3. Arsiran di atas sumbu x dan di kanan sumbu y maka x ≥ 0 dan y ≥ 0 ….(3) dan (4) A. 5x + 3y ≤ 30, x - 2y ≥ 4, x ≥ 0, y ≥ 0 B. 5x + 3y ≤ 30, x - 2y ≤ 4, x ≥ 0, y ≥ 0 C. 3x + 5y ≤ 30, 2x - y ≥ 4, x ≥ 0, y ≥ 0 D. 3x + 5y ≤ 30, 2x - y ≤ 4, x ≥ 0, y ≥ 0 E. 3x + 5y ≥ 30, 2x - y ≤ 4, x ≥ 0, y ≥ 0
sehingga daerah penyelesaiannya adalah: (1), (2), (3) dan (4) 3x + 5y
≤
30 ; 2x – y
jawabannya adalah D
www.matematika-sma.com - 3
≤
4 ; x ≥ 0 dan y ≥ 0
SIPENMARU1985 5. Daerah yang diarsir pda gambar di bawah ini menunjukkan himpunan titik (x,y) yang memenuhi pembatasan di bawah ini, yaitu ….
ax + by = a.b
4x + 6y = 24 2x + 3y = 12
⇒
karena daerah arsiran di bawah persamaan garis maka : 2x + 3y
≤
12 …(2)
3. Arsiran di atas sumbu x dan di kanan sumbu y maka x ≥ 0 dan y ≥ 0 ….(3) dan (4)
sehingga daerah penyelesaiannya adalah: (1), (2), (3) dan (4) -x + y A. x ≥ 0, y ≥ 0, 2x + 3y ≤ 12, - x + y ≥ 2 B. x ≥ 0, y ≥ 0, 2x + 3y ≥ 12, -x + y ≥ 2 C. x ≥ 0, y ≥ 0, 2x + 3y ≤ 12, -x + y ≤ 2 D. x ≥ 0, y ≥ 0, 2x + 3y ≥ 12, -x + y ≤ 2 E. x ≥ 0, y ≥ 0, 2x + 3y ≤ 12, -x + y ≤ 2
≤2
; 2x +3y
≤
12 ; x ≥ 0 dan y ≥ 0
jawabannya adalah C EBTANAS1998 6. Daerah yang diarsir pada gambar merupakan grafik himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan… y
jawab:
B(3,6)
1. persamaan garis melalui titik (0,2) dan (-2,0) adalah: C(0,4) (0,a) ax + by = a.b
⇒
(b,0)
2x - 2y = -4 x - y = -2
A(7,0)
karena daerah arsiran di sebelah kanan persamaan garis maka x – y ≥ -2 atau –x + y ≤ 2….(1)
untuk a > 0 dan b <0 y
ax - by
≤
-ab
A. 3x + 2y ≤ 21, -2x +3y ≤ 12, x ≥ 0, y ≥ 0 B. 2x + 3y ≤ 21, -2x - 3y ≤ 12, x ≥ 0, y ≥ 0 C. -3x +2y ≥ 21, -2x+3y ≥ 12, x ≥ 0, y ≥ 0 D. -3x-2y ≥ 21, 2x +3y ≥ 12, x ≥ 0, y ≥ 0 E. 3x -2y ≥ 21, 2x -3y ≥ 12, x ≥ 0, y ≥ 0 jawab: . Persamaan garis melalui titik (x 1 , y 1 ) dan (x 2 , y 2 ) adalah:
(0,a) ax - by
≥
-ab
y − y1 y 2
x
− y1
=
x − x1 x 2
− x1
(-b,0)
2. persamaan garis melalui titik (0, 4) dan (6,0) adalah:
(0,a)
1. persamaan garis melalui titik (0,4) dan (3,6) (x 1 , y 1 ) (x 2 , y 2 ) y − 4 x − 0 y − 4 x = ⇔ = 6−4 3−0 2 3
(b,0) www.matematika-sma.com - 4
3(y-4) = 2x 3y – 12 = 2x 2x – 3y = -12 daerah yang diarsir berada di kanan sehingga 2x – 3y ≥ -12 atau -2x+3y ≤ 12 ….(1)
Sistem pertidaksama-an linier itu adalah …… A. y ≥ 0, 3x + y ≥ 6, 5x + y ≤ 20, x – y ≥ -2 B. y ≥ 0, 3x + y ≤ 6, 5x + y ≥ 20, x – y ≥ -2 C. y ≥ 0, x + 3y ≥ 6, x + 5y ≤ 20, x - y ≤ 2 D. y ≥ 0, x + 3y ≤ 6, x +5y ≥ 20, x – y ≥ -2 E. y ≥ 0, 3x - y ≥ 6, 5x -y ≤ 0, x - y ≥ -2
untuk a > 0 dan b <0 y
ax - by
≤
-ab
Jawab: y − y1
(0,a) ax - by
≥
-ab
y 2
− y1
=
x − x1 x 2
− x1
terdapat 3 persamaan garis:
x (-b,0) 2. persamaan garis melalui titik (3,6) dan (7,0) (x 1 , y 1 ) (x 2 , y 2 ) y − 6 x − 3 y − 6 x − 3 = ⇔ = 0−6 7−3 −6 4 4(y-6) =-6(x-3) 4y – 24 = -6x + 18 6x + 4y = 42 ⇔ 3x + 2y = 21 daerah yang diarsir berada di bawah grafik sehingga 3x + 2y ≤ 21 ….(2) 3. Arsiran di atas sumbu x dan di kanan sumbu y maka x ≥ 0 dan y ≥ 0 ….(3) dan (4) sehingga daerah penyelesaiannya adalah: (1), (2), (3) dan (4) -2x+3y
≤
12 , 3x + 2y
≤
1. persamaan garis melalui titik (2,0) dan (1,3) (x 1 , y 1 ) (x 2 , y 2 ) y − 0 x − 2 y x − 2 = ⇔ = 3−0 1− 2 3 −1
3(x-2) = -y 3x – 6 = -y 3x + y = 6 daerah yang diarsir berada di atas sehingga 3x + y ≥ 6 ….(1)
2. persamaan garis melalui titik (4,0) dan (3,5) (x 1 , y 1 ) (x 2 , y 2 ) y − 0 x − 4 y x − 4 = ⇔ = 5−0 3− 4 5 −1 5(x - 4) = -y 5x – 20 = -y 5x + y = 20
21, x ≥ 0 dan y ≥ 0
Jawabannya adalah A EBTANAS1994 7. Daerah yang diarsir merupakan himpunan penyelesaian suatu sistem pertidaksamaan linier.
daerah yang diarsir berada di bawah grafik sehingga 5x + y ≤ 20 ….(2)
3. persamaan garis melalui titik (1,3) dan (3,5) (x 1 , y 1 ) (x 2 , y 2 ) y − 3 x − 1 y − 3 x − 1 = ⇔ = 5−3 3 −1 2 2
(3,5) 5 (1,3) 3
2(x -1) =2(y-3) 2x – 2 = 2y-6 2x - 2y = -4 ⇔ x – y = -2 1
2
3
4
www.matematika-sma.com - 5
x – y = -2 memenuhi kriteria ax – by = -ab dengan a > 0 dan b < 0
Jawab: tentukan titik ekstrim terlebih dahulu: .
y …(a)
32 • ax - by
≤
-ab
(0,a) 24 ax - by
≥
-ab
x
…….(b)
•
16 (-b,0)
…(c) …(d)
•
daerah yang diarsir berada di kanan grafik sehingga x - y ≥ -2 atau y – x ≤ 2 ….(3)
•
16
4. Arsiran di atas sumbu x dan di kanan sumbu y maka x ≥ 0 dan y ≥ 0 ….(4) dan (5)
≤
20 , x - y
≥
36
48
Terdapat 4 titik ekstrim, yang sudah diketahui 2 titik yaitu titik a (0,32) dan titik d (48,0), tinggal mencari posisi 2 titik ekstrim yang lain.
sehingga daerah penyelesaiannya adalah: (1), (2), (3), (4) dan (5) 3x + y ≥ 6 , 5x + y x ≥ 0 dan y ≥ 0
24
Tentukan persamaan garis:
-2 atau y – x
≤
Jawaban yang memenuhi adalah A
2,
1. persamaan garis melalui titik (0,24) dan (36,0) ( 0,a) (b,0) ax + by = ab 24x + 36y = 864 : 6 4x + 6y = 144 2x + 3y = 72 … (1)
EBTANAS2001 8. 32
2. persamaan garis melalui titik (0,32) dan (16,0) ( 0,a) (b,0)
24
ax + by = ab 32x + 16y = 512 : 16 2x + y = 32 …..(2)
16 3. persamaan garis melalui titik (0,16) dan (48,0) ( 0,a) (b,0) 16
24
36
48
Nilai minimum fungsi objektif 5x + 10y pada himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan yang grafik himpunan penyelesaiannya disajikan pada daerah berarsir seperti gambar di atas adalah ....... A . 410 B . 320 C . 240 D . 200 E . 160 Jawab:
ax + by = ab 16x + 48y = 768 : 16 x + 3y = 48 …..(3) titik b didapat dari perpotongan grafik (1) dengan (2) 2x + 3y = 72 2x + y = 32 2 y = 40 y = 20 2x + 3y = 72 2x = 72 – 3y 2x = 72 – 3.20 x = 12/2 = 6 titik b = (6,20)
www.matematika-sma.com - 6
Titik c didapat dari perpotongan grafik (1) dan (3) 2x + 3y = 72 x + 3y = 48 x
= 24
x + 3y = 48 3y = 48 - x 3y = 48 – 24 y = 24/3 = 8 titik c = (24,8) Buat tabel: (0,32) 5x + 10y 320
(6,20) 230
(24,8) 200
(48,0) 240
Jawabannya adalah D
“Sketsa grafik diperlukan untuk melihat daerah himpunan penyelesaian dan titik-titik ekstrim, dibutuhkan skala yang tepat untuk mendapatkan grafik yang optimum (benar atau mendekati kebenaran) untuk memudahkan penyelesaian”
UAN2006 9. Seorang tukang roti mempunyai bahan A,B dan C masingmasing sebanyak 160 kg, 110 kg dan 150 kg.
Daerah yang diarsir adalah himpunan penyelesaian dari tiga grafik tsb. Didapat 4 titik ekstrim yaitu (0,50), (80,0), titik A dan titik B
Roti I memerlukan 2 kg bahan A, 1 kg bahan B dan 1 Kg bahan C Roti II memerlukan 1 kg bahan A, 2 kg bahan B dan 3 Kg bahan C
perpotongan (1) dan (2)
Dari tabel terlihat bahwa nilai minimum adalah nilai yang terkecil yaitu 200.
2x + y = 160 |x1| x + 2y = 110 |x2|
⇒ ⇒
titik B
2x + y = 160 2x +4y = 220
Sebuah roti I dijual dengan harga Rp.30.000 dan sebuah roti II dijual dengan harga Rp.50.000, pendapatan maksimum yang dpat diperoleh tukang roti tersebut adalah… A. Rp. 8000.000,- C. Rp. 3900.000,B. Rp. 4500.000,- D. Rp. 3100.000,-
-
- 3y = -60 y = 20 2x + y = 160 2x = 160 – 20 x = 140/2 = 70
E. 2900.000,-
titik B = (70,20) Jawab: perpotongan (2) dan (3)
titik A
Buat persamaan : Misal roti I = x dan roti II = y didapat persamaan sbb: 2x + y x + 2y x + 3y
≤ ≤ ≤
160 …..(1) 110 …..(2) 150 ….(3)
buat sketsa grafiknya:
x + 2y = 110 x + 3y = 150 - y = -40 y = 40
-
x + 2y = 110 x = 110 – 2.40 x = 30 titik A = (30,40) yang ditanyakan adalah nilai maksimum dari : 30.000 x + 50.000 y www.matematika-sma.com - 7
Titik A adalah perpotongan dari dua grafik: buat tabelnya: 30.000x+50.000y
(0,50) 2500.000
(30,40) 2900.000
(70,20) 3100.000
(80,0) 2400.000
x + 5y = 440 x + y = 200
-
4y = 240 y = 60
Didapat nilai maksimumnya adalah Rp. 3100.000 Jawabannya adalah D
UN2007 2 10. Luas daerah parkir 1.760 m . Luas rata-rata untuk 2 2 mobil kecil 4 m dan mobil besar 20 m . Daya tampung maksimum hanya 200 kendaraan, biaya parker mobil kecil Rp. 1000/jam dan mobil besar Rp.2000/jam. Jika dalam satu jam terisi penuh dan tidak ada kendaraan yang pergi dan dating, maka hasiul maksimum tempat parkir itu adalah: A. Rp.176.000,- C. Rp.260.000,- E. Rp.340.000,B. Rp. 200.000,- D. Rp. 300.000,Jawab:
x + y = 200 x = 200 – y = 200 – 60 = 140 titik A = (140, 60)
Buat tabel :
1000x + 2000y
Jawabannya adalah C
4 x + 20 y ≤ 1760 x + 5y ≤ 440 …..(1) ≤
200
….(2)
nilai maksimum 1000x + 2000y = ? buat sketsa grafiknya:
(0,200)
Titik potong (A) (0,88)
(200,0)
(140,60) 260.000
Didapat nilai maksimumnya adalah Rp.260.000
Dibuat persamaan-persamaannya terlebih dahulu: Misal mobil kecil = x dan mobil besar = y
x+y
(0,88) (200,0) 176.000 200.000
(440,0)
Dari grafik didapatkan tiga titik ekstrim yaitu: (0,88), (200,0) dan titik A
www.matematika-sma.com - 8