���������� ������� ������������ ���������� � ���������� ���������� �� ����� � ���
AULA 17: Regressão linear e análise de variância da regressão ��
��
��������� ������ ������������������������������������������������������������������������ ������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������ ������������������������������������������������ � 1.1.
Entendendo a relação verificada na população......................................................... ........................... 2
1.2.
Estimadores dos parâmetros do modelo de regressão ......................................................... ................. 4
1.3.
Hipóteses do modelo ........................................................... ........................................................... ....... 7
1.4.
Visualizando os desvios....................................................... ........................................................... ....... 7
1.5.
Igualdades envolvendo somatório........................................................... ............................................ 13
1.6.
Calculando a reta de regressão .................................................... ...................................................... 14
1.7.
Reta de regressão passando pela pela origem .......................................................... .................................. 33
������� �� ��������� �� ��������� ����������������������������������������������������������������� �������������������������������������������������������������������������������������� ��������������������� �� 2.1.
Somas de quadrados ........................................................................................................................... 35
2.2.
Quadrados médios e estatística F .............................................................................. ......................... 38
2.3.
Coeficiente de determinação ......................................................... ...................................................... 39
��
������ ���������� ��������������������������������������������������������������������� �������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� ����������������������������������������������� ��
��
������� �������������������������������������������������������������������������� ������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� ����������������������������������������������������������� ��
��
�������� ������������ �� ���� �������������������������������������������������������������������� ������������������������������������������������������������������������������������������ ���������������������� ��
��
�������� ������������������������������������������������������������� ������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� ������������������������������������������������������������������������ ��
����� ����� �������
������������������������������
�
���������� ������� ������������ ���������� � ���������� ���������� �� ����� � ���
��
��������� ������
Na c�����a��� ����a�, �����a��� ��������a��� �� ��� �� ��a� �a������� � � � ����a� ��a ���a��� ����a� ����� �� ���. P��� b��, c��������� ��� � � � ����a� ����a� ��a ���a��� ����a� �����. O� ���a, a ���a��� ����� a�ba� � ��a�� ��a ���a. N���� ca��, ��� ���a ����a ���a? Q�a� a ���a ��� ������ ���c���� a ���a��� ����a� ����� � � � � ? � ����a����� ���� ��� a ��������� ����a� �a� ��� �����.
����
���������� � ������� ���������� �� ���������
S��a� � � � ��a� ��a� �a�������. U� ������ �� ��������� ����a� ��� a� ���ac���a � �a �������� ����a: Y i = α + β X i + ε i
N���� ������, α � β ��� c����a���� � ε � ��a �a������ �a������ a��a����a �� ����a ����a ����. Ma� � ��� �������ca ���� ������? Pa�a �������� ������, �a��� a �� �������. Va��� �a� �a�����. S��a� � � � � ��a� ��a� �a������� a��a����a� ��� �����a� ��a� ca�ac�������ca� �� ��a �����a���. P�����a� ��� ���� � a����a ��� ���������� �� �� �a��. O� ����� ��c�� b���� � �a���� c�� ����a�a��a �� ������a� �� �� �a�� �����. O� ��a����� ����a c���a. C�������� � �������� ������ �� ���������: Y i = 5 + 2 X i + ε i , ���� ε ��� ������ �a���� �a���� ���a� a 2.
N���� ������, α = 5 � β = 2 . E ε � ��a �a������ a��a����a a��a����a �� ����a ���� � ������ �a���� ���a� a 2. O ��� �������ca � ������? Pa�a ��� ��� �������ca��, �a��� c�������a� � ca�� �� ��� � � � ���a� a 1. Q�a��� � �a�� �a�� 1, � �a��� �� � ��ca: ��ca: Y = 5 + 2 + ε = 7 + ε � � � ���a� a 7 �a�� a����a c���a.
Q�a��� � ��� ��� ���a� a 1, � � � ��a �a������ a��a����a ��� a����� �a����� a� ����� �� 7. � � � ��a �a������ a��a����a �� ����a 7 � ������ �a���� ���a� a 2 (� � ����� ������ �a���� �a �a������ ε ). ). S������ �� E�c�� 40 �a����� �a�a ��a �a������ a��a����a ����a� �� ����a 7 � ������ �a���� ���a� a 2. Q�a��� 1 � A�����a �� 40 �a����� �� � ��a��� ��a��� � �a�� �a�� 1
����� ����� �������
������������������������������
�
���������� ������� ������������ ���������� � ���������� ���������� �� ����� � ���
6,593141232 7,852422253 7,371164634 7,192761653 9,048459033 7,347612528 7,86536918 10,32428016 7,59146052 8,697223503
9,006039634 7,316731652 8,337094106 7,710131408 7,557574931 6,111238398 4,804578704 6,267005594 6,939884906 6,689966794
7,529331787 5,709223237 8,492395516 4,163608098 6,200254493 7,921807047 6,595492192 6,12221455 7,191285009 8,674250951
8,790447066 1,517279637 4,537325404 6,193114621 7,898396375 7,114042863 7,695790475 6,72314475 6,939555013 7,633455534
P������ c�������a� ��� a �����a��� �� ���� �����a��� �� 40 �a����� ac��a ��� ����a 7 � ������ �a���� ���a� a 2. O� ���a, ������� c�������a� ��� ������ ��a �����a��� �� �a����� �� � c������������� c������������� a � ���a� a 1. E��a �����a��� ��� ����a 7 � ������ �a���� ���a� a 2. Q�a��� � ��� ��� ���a� a 2, � ��ca: ��ca: Y = 5 + 2 × 2 + ε = 9 + ε
A���a � � ���a� a 9 �a�� a����a c���a. E��� �a����a c���a� � a �a������ a��a����a ε , �� ����a ���� � ������ �a���� ���a� a 2. P���a���, � � � ��a �a������ a��a����a �� ����a 9 � ������ �a���� ���a� a 2. A����, ��a��� � ��� ���a� a 2, ����� ����a �����a��� �� �a����� � , ����a ��� c�� ����a 9. U� ������� �� a�����a ����a ������a �����a���, �����a���, �a�b�� c�� 40 �a�����, ����a: Q�a��� 2 � A�����a �� 40 �a����� �� � ��a��� ��a��� � �a�� �a�� 2 6,53861127 6,235802132 6,628522819 8,955476207 12,78643385 9,423242246 8,588672066 9,438625799 3,332867904 7,937743916
9,678841758 9,645271814 11,58429767 10,5235668 7,361538895 6,951347174 8,72768786 10,71337193 13,24592769 10,38333066
10,18699647 7,816967558 7,855252513 10,29363849 9,911730171 8,884513449 12,15872381 8,195035187 9,393588155 9,099585603
12,04425824 7,710536605 7,904572561 6,979009116 8,295251334 9,189919391 9,237865804 9,452390476 6,613649783 9,034490197
O ����� �a�� ��a��� � ��� ��� ���a� a ��a����� ����� �a���. N���� ������ Y i = 5 + 2 X i + ε i ���������a ������a��a����� ������a��a� ���� ������a� �����a���� �� �a����� �� � . Pa�a ca�a �a��� �� � , ��� ����� ��a �����a��� �� �a����� �� � �� �� �a� ���� ��� ��a ����a � ���a� a 5 + 2 X .
����� ����� �������
������������������������������
�
���������� ������� ������������ ���������� � ���������� ���������� �� ����� � ��� O� �a����� �� � �a��a� �a��a� �� ����� ����� �a��� ����� ��a�a� � �a������ ε , , a��a����a. P������ ����a� ��� � � � � ��a��a� ��a��a� ��a ���a��� ��a�� ����a�. A ���a��� �� ��� � �������a����� ����a� ������ � �������a ����a �a������ ε , , ��� ���������a ���a� a� ���a�� ����������c�a� �� �a��� �� � ��� ��� ��� ��� �����ca�a� ���a �a������ � .
A �a������ ε ���� ��� ����a c��� � ���� ��� �� c����� ��a��� �� a������a a������a a ���a��� ����� � � � � ��� ��� ��a ���a. M���a� ����� acaba ����� c�a�a�a, ��a������, �� ����. A����, �� � ������ �� ��������� Y i = 5 + 2 X i + ε i ���������a� a����a�a����� � c������� ����a�� ��� ���a� a� �����a���� �� �a����� �� � , �ab���� ���, �a�a ca�a �a��� �� � , ����� c��� ca�c��a� a ����a �a c������������� �����a��� �� �a����� �� � . R��������: R��������: a ���a��� ����� � � � � � � ��a��ca����� ��a ���a. O� �a��� �����a��� ( � ,� ) �� ��� �� c������a� ��a�a����� c��� ��a ���a ��� ca��a �a �a������ a��a����a ε . . D���� ����, �� �a��� �����a��� ( � ,� ) ��� �� ����a� �� ����� �a ���a Y i = 5 + 2 X i C�������� ��� � a����a a���a� �� �a����� 1, 2, 3, 4, 5. C�������� a���a ��� � ������ Y i = 5 + 2 X i + ε i (���� ε ��� ������ �a���� ���a� a 2) ���c���a b�� a �����a��� �� �a����� �� � . P������ ����a� ��� ���a �����a��� �, �a ����a��, �������a �� 5 �����a���� �������. U�a �a�a � ca�� �� ��� � � � ���a� a 1. O���a �a�a � ca�� �� ��� � � � ���a� a 2. E a���� ��� ��a���, a�� � ���a� ���a� a 5. Aba��� ���a��a��� a� c��c� �����a���� �� �a����� �� � : •
X = 1 ⇒ � ��� ��� ����a 7 � ������ �a���� ���a� a 2.
•
X = 2 ⇒ � ��� ��� ����a 9 � ������ �a���� ���a� a 2.
•
X = 3 ⇒ � ��� ��� ����a 11 � ������ �a���� ���a� a 2.
•
X = 4 ⇒ � ��� ��� ����a 13 � ������ �a���� ���a� a 2.
•
X = 5 ⇒ � ��� ��� ����a 15 � ������ �a���� ���a� a 2.
O�. E���� ����� ������ ���������a a����a�a����� ���a a �����a��� (c������a ���a� c��c� ��b������a���� ac��a). O� ���a, ����� ac���� a ���a a �����a���, ������� ������ca� ���, �a�a ca�a �a��� �� � , �� �a����� �� � c�������������� c�������������� ���a� �� ����� �a ���a �a�a ��� Y = 5 + 2 X
����
����������� ��� ���������� �� ������ �� ���������
C���������� c�� � ������ �� ��������� �� ������� a�������. Sab���� ��� �a �����a���, ������ca��� ��� � � � � �� �� ���ac���a� ���: Y i = 5 + 2 X i + ε i
O� ���a, �� �a��� �����a��� ( X i , Y i ) ���a� �� ����� �a ���a Y i = 5 + 2 X i ��a�a� � �a������ a��a����a ε i .
����� ����� �������
������������������������������
�
���������� ������� ������������ ���������� � ���������� ���������� �� ����� � ���
E�����a���, � c���� ��� ��� ����a��� ac���� a ���a a �����a���. C����c���� a���a� ��a a�����a. O�a, �� ����� ac���� a���a� a ��a a�����a, c��� �ab�� ��a� a ���a ��� ���������a a����a�a����� a ���a��� ��������� �a �����a��� ������a? S�����a ��� ������� ��a a�����a��� �� 42 �a��� �� �a����� �� ( � ,� ), ), c������� �ab��a aba���: Q�a��� 3 � A�����a c�� 42 �a��� ( � ,� ) Y 7,063739369 11,95962905 10,86307743 9,717082904 10,06782671 14,90233153 9,246338915 12,38290526 15,98044467 6,626939124 11,73251019 14,69927599 12,31403234 5,7256837
X 2 5 2 3 2 4 2 4 3 2 3 4 4 2
Y 13,00534171 9,82060755 5,144500964 12,88447035 14,46402381 9,778894668 7,114699575 10,05856893 15,58187542 9,415041267 9,513621757 9,472612778 12,09695304 15,04573598
X 3 2 1 5 4 3 2 3 5 2 2 3 3 4
Y 9,94831727 12,55329724 14,78463119 10,67968811 5,624151428 8,989367058 17,07556754 11,80226689 12,87295011 8,836479018 4,243240553 5,20115496 14,88629319 11,74230544
X 3 4 5 3 3 2 5 3 4 3 1 1 5 3
O ���b���a ��� ���a������ ����� �a ��������� ����a� � � ��������. N�� �ab���� ��a� a ���a ��� ���������a a����a�a����� ���a a �����a���. N���� ������� ��� ���a��� ��aba��a���, �� c����c������� ���a a �����a���, �ab���a��� ��� ��a ���� ��� ���������a�a ��� Y i = 5 + 2 X i . E�����a���, E�����a�� �, �� ��� c����c����� ���a a �����a���, ��� ����� c��� �ab�� ��� a ���a Y i = 5 + 2 X i ���������a a ���a��� ����� a� �a������� �����a�a�. O� a���a: ��� �ab���� ��� �� �a��� �����a��� ��� �� ����a� �� ����� �a ���a Y i = 5 + 2 X i . O ��� ����������� � ����a����� ��������a� ��a� a ���a �� ����� �a ��a� �� ������ ( � , � ) ����� ����a���. I���, ba��a������� a���a� �a a�����a �� Q�a��� 3. U� ������ �a�a ��c����a� a ������ ���a �� ��������� � c�a�a�� �� ������� �� ������� ��a��a���. A ������ �� �������� ��a� ��� ����������� ��c����a� � �a ����a: ˆ = a + bX Y i i
ˆ � ��a �����a���a �� Y . O��� a � ��a �����a���a �� �� α , b � ��a �����a���a �� �� β � Y .
� ��������a ����� � � � ��a �����a���a, c�a�a��� ������. O ������ � �a�� ���: ˆ e = Y − Y
P��� ������ �� ������� ��a��a���, ����a��� �b��� ��a ���a �� �a� ���� ��� a ���a ��� ��a��a��� ��� �a����� �� e (������) ���a �����a.
����� ����� �������
������������������������������
�
���������� ������� ������������ ���������� � ���������� ���������� �� ����� � ��� � �������� ��������a� ��� �� �a����� �� a � b (�����a����� �� α � β ), ), �b����� a �a���� �a
c�������a��� �� ��� a ���a ��� ��a��a��� ��� ������� ���a �����a, ���:
b=
∑ [( X i − X )× (Y i − Y )] ∑ ( X i − X ) 2
a = Y − b X
O� ���a, a �a���� ��� �a����� �� � � � � ������c����� ������c����� � a�����a, �b����� �� �a����� �� � � � ˆ = a + bX . ���c����� ac��a. A �a���� �����, c���������� a ���a Y i i E��c��a��� ���� ���c�������� �� ��c�� �a�a a a�����a �� Q�a��� 3, �b�����: a = 3,71 b = 2,33
O �����c� aba��� ���������a ���������a �� ������a��� ������a��� �b�����:
F����a 1 � R�������� ����a� ����� �a������� � � � � O� ������ �� a��� ��c��� ��� �� �a��� �b����a��� �a a�����a. S�� �� �a��� �����a��� c�������������� � a�����a �� Q�a��� 3. A ���a �a�a��a c���������� � ���a ���a��. � a ���a ��� ���������a a �����a��� ������a. T�a�a��� �a ���a Y i = 5 + 2 X i . S� ��� ���a ���a ��� ��� c����c����. N�� c����c���� ���a a �����a���. E��a��� ���c��a��� ��� ��a ���a ��� ���b����� a ���a��� ����� � � � � . O ���a� ����a c���a� ��a������ �a ���a �a�a��a, ��� ���������a a����a�a����� ���a a �����a���.
����� ����� �������
������������������������������
�
���������� ������� ������������ ���������� � ���������� ���������� �� ����� � ��� C������, ����� ���������� a���a� ��a a�����a �� 42 �a��� ( � ,� ), ), a ���a �� ��������� ���
ca�c��a���, �� �a� ����a ��� �� ������� �� �����a���a c�������� �� c�������� ������� a c������� �� ������� ��a��a���, ��� a ���a a���.
����
��������� �� ������
A���a, a����� c���������� a��c���a��, ��� ��ca�a� �����c���� a� ����� �� �������. O ������ �� ��������� ����a� �a� � a� a����a� c�������a����. S�� ��a�: • E (ε i ) = 0 •
V (ε i ) = σ 2
•
cov(ε i , ε j ) = 0 , �a�a i ≠ j
Na �������a c�������a���, ����� ��� � ���� (�a������ a��a����a ε ) ��� ����a ����. E��a c������� � �� ���c� �a�� ��c�� �� ��������. Ba��a ��a���a� a ����a��� �� ��� a �a������ ���� ��� ��� ����a ����. S������ca ��� �� �� �����a ���, �� ����a, �� c����a �� ���� ��������� �� ����. J� �� �ab� ��� a ��������� ��� �� ���� (��� ���� ��� �������� �� ���a����). O� ���a, � ������ ��� ���� ����� a����a��. � ������ ��������a� � ������. A ������a c�������a��� ��� ��� ��� a �a����c�a �� ���� � c����a���. E��� �a�� � �������a�� ����c��a���c�a. I��� ��� ������a�� ��a��� �������� ��� �a��a c��c� �����a���� �� �a����� �� � (c�� (c�� ����a� 7, 9, 11, 13 � 15). E� ���a� ��a�, � ������ �a���� ��a � ����� (����a���, a �a����c�a �a�b��). I��� �� � �������� �� a �a������ ε ����� �a����c�a c����a���. O� ���a, �� �� ��a ����� ������ a ����a �a����c�a, ������������ �� ��a� � �a��� �� � . A ���c���a c������� ��� ��� ��� �� ����� c�������� ��� ��� c�����ac���a���.
��������� ���������� ������� �� ��������� ��� ����� ����������
R������a: ���, �� c��c����� ab����� a ca����a��� �� ���a� a� ���a�, ��� �� �a����� c�b�a��a� ��b�� �a�� ���������. O ����c�c�� ������������ ��� ��� ��a� ���a� a������a� � ������. N���� ��aba��� � �� a���ca� a� ������a� �a�a ac�a� a � b . S� a� ���c����� ������, �� a ������� �a�a� ��a����� c���a a ��������, a� ��c�� ��� ���c��a� ��ca� ����c��a���, ac�a��� ��� � ��a �c���a �� ����� ������. � �� ca�c��a� ����a������ �� c����c������ � � �, � ������.
����
������������ �� �������
C�������� � ��a��a�a �� ��������� aba���, ���ac���a��� ���� � a����a �� �� c���� ����� �� ����������.
����� ����� �������
������������������������������
�
������ ��� ������� ������������ ���������� � ���������� ���������� �� ����� � ���
F����a F����a 2 � D�a��a D�a��a�a �a �� ����� ����� ��� ���� � a����a C��� C����� ���� ���� ��� ��� ���a ���a ��� ���aa a� �a� ��a ��a a�����a a�����a c���� c������� ��� ���� ������ � a��� a� �a�a �� c���� ������ ������ �� ����� �����a� a� ��� ������ ����a �a �a�. V���� ��� � c����c����� �� c�����a�� ����ca ��� ������ c��� c���aa �� ���a��� a��� ��� ����a� �a�a a�a a� � ������� ���� � a����a. Na ��������� ����a�, ���a��� ��������a��� �� �ab�� ��� ���a��� � ���a. E�c����a� a ������ �� �������� ��a� ��� ������� ��a a ���a��� ����� ���� � a����a. S��a � � � ����. S��a � a a a����a. O ��� ����� ��� � �� �� ��a ��a ���� ������ ���� ��� � ����a� ������� �: Y i = α + β X i + ε i
R����b�a���. N���� ������ , α � β ��� ��� c��� c����a �a�� ���� ��.. A��� A����, �, �� � � ���� ����� a���a� + β X i , a� ����a��� ������a����� ��a ������ �� �������� ��a�. A ���a��� ����� ���� Y i = α + � a����a ����a ��a�a����� ��a ���a. Ma� ��� � � ��� ac����c�. A ���a��� ��� � ��a�a����� ��a ���a. + β X i , � � ��� �� ���� a���a E��a��� c�������a��� ���, a��� �a c��������� ����a� α + ���� ������ ���� �� �� ��a ��a �a�c �a�c�� ��aa a�� a��aa ����a. T�a�a��� �a �a������ a��a����a ε . .
E��a �a������ a��a����a � ��� ����� �������� ����� ���� ���� ���� �a�� ��� ����� ������� �� ������ �������a��� �� ����� �a ���a ��� ��� ����� �������� ����a �a a ���a� ���a� � ����a� ����� � � � . R��a ���a ��� ��� ���a��� �������� ����� �������� ���a�. a�. A �a��� �a������ ��� a��a� a��a����a ε ���� ��� ��� ����a c��� �� ���� �� ����� �a ���a �� ���������. S�����a ��� a ���a �a�a��a a �����a �����a aba��� aba��� ���a ���a a ���a �� ������� ��������� �� ( � ���a, a ���a ��� ���� ������ ���� ���a �a a ��� ���a� a��� �� ���� ����a� a� ��������� �a �����a��� �� �a����� ( � ,� )). )).
����� ����� �������
���� �� ���� ���� ���� ���� ���� ���� ���� ���� ���� ���� ���� �� ���
�
���������� ������� ������������ ���������� � ���������� ���������� �� ����� � ���
F����a 3 � R��a �� ��������� C�������� ��� a ���a��� �a ���a �� ��������� ���a: Y = 100 X − 106
E ���a ���a ��� ��� c����c����, ���� ��� ����� ac���� a ���a a �����a���. N�� �������� ����a����� ��c����a� ��c����a� ���a ���a, ���a, a �a���� �a a�����a �����c��a. Va��� ��� ���a� �a ���a Y = 100X − 106 Va��� ���a� � �a��� �� a����a ���a� a 1,86�.
F����a 4 � R��a �� ���������: ����a��� �a�a � = = 1,86 Va��� ca�c��a� � �a�a �a�a � ca�� �� ��� X = 1,86 � Y = 100 X − 106 Y = 186 − 106 = 80
O ���� c������������� � 80 ( Y = 80 ). A����, a ���a �� ��������� �a��a ���� ����� (1,86; 80).
����� ����� �������
������������������������������
�
���������� ������� ������������ ���������� � ���������� ���������� �� ����� � ���
Pa�a a ����a a�����a (������ a���� �a �����a ac��a), �b����� ��� �� �������� �a����� �� ���� �a�a a a����a ���a� a 1,86. A����, �� ����� ����� �� �����a� �������a�a�, �� c��c� c�� a����a �� 1,86�. U�a ���a� ��� ���� 70,67 ��. A ����a ��� 71,01 �� (����� ���� ��������� �a����� ����� ��b�������� �a �����a ac��a). U�a ���c���a ��� � �� 79,91 ��. A ��a��a �� ��� � 76,79 ��. E a �����a ��� 83,69. C�� ����� ������ �� ��������� ����a�, �������� ����� ���, �a�a ca�a �a��� �� � (a����a), (a����a), �� �a����� �� � c�������������� c�������������� (����) ����a�� �� ����� �a ���a �� ���������. D���� ����, c�������a��� ���a� a� �����a� c�� a����a 1,86 �, ��a� ���, �� ����a, �� ���� �� 80 ��. Pa�a ��a �a�a a�����a, �b������� ������ ��� ��� ��c���a��a����� ��ca� ��b�� a ���a �� ���������. E��� ����� �������a����� ca�� ���a �a ���a �� ��������� ��� ca��a �� �� ���� a��a����� ( ε ). ). D� �a��, �a�a � ������� ac��a, ������a �a� c��c� �����a� c�� a����a �� 1,86 ����a ���� ��a�a����� ���a� a 80 ��. A ���a �� ��������� �� ��� ������a �a����� ������, �� ����� ��� ��a�� ���a� �� �a����� �a �����a���. D������ �� ����� ����: � ��� a ���a �� ��������� ����ca, �� ca�� �� X = 1,86 � ���, �� ���������� ac���� a ���a a �����a��� �� �����a� c�� 1,86 � �� a����a, � ���� �� �a�� �����a� ����a ����a 80 �� � �a����c�a ���a� a σ 2 . A����, ��a��� a a����a (= � ) �a�� 1,86, �� �a����� �� ���� ���a� �� ����� �� 80. N� ca�� ����a a�����a, ���� ���a� ���a�� a 70,67; 71,01; 79,91 76,79; 83,69. O� �a����� �� ���� ����� ��������� �� ����� �� 80 ��. Q�a��� a����a��� ��� a �a������ ε ��� �a����c�a c����a���, c����a���, �������� �������� ����� ����� ���, �� ���������� a�a���a� ���a a �����a��� �� �����a� c�� a����a �� 1,86 �, �� ����� ����a� �����a� ����a ����a 80 �� � �a����c�a σ 2 . M������ �� �����. A ���a �� ��������� �a��a ���� ����� (1,90; 84). O� ���a, Y = 84 �� ��a��� X = 1,90 �. A����, ��a��� X = 1,90 �, ����� ��� �� �a����� �� � ��� ��� ���a� �� ����� �� 84 ��. E��� ���a��� ��������� �� ����� �� 84 ��, �a�b�� c�� �a����c�a σ 2 (���� a �a����c�a � c�������a�a c����a���). T���� ac���� � ���a a �����a��� �� �����a� c�� a����a 1,90 �, ������ca��a��� ��� � ���� ����a� �����a� ��� ����a 84 �� � �a����c�a σ 2 . E a���� ��� ��a���. O� ���a, �a�a ��a����� �a��� �� � ��� a���a����, �� �a����� �� � c�������������� c�������������� ����� �a����c�a σ 2 � ����a �a�a ���a ���a �� ���������. O ���b���a � ���, �� ���a�, ����� ac���� a���a� a ��a a�����a. N�� c����c���� a ���� ���a �� ���������. N�� c����c���� a ���a �a�a��a �a F����a 3. N���� ca��, ����a����� ��c����a� ��a ���a ���, c�������a��� a���a� a a�����a ��� ����� � ����������, ���a a ������ �����a���a �a�a a ���a ��a� �� ���������. Pa�a �a���, �������� a� ����� ��a��a�a �� ���������.
����� ����� �������
������������������������������
��
���������� ������� ������������ ���������� � ���������� ���������� �� ����� � ���
F����a 5 � R��a� �a�a ���������a� a ���a��� ����a� D������� ��a� ���a� (��a ����� � ��a �������a) ��� ������a� ���������a� a ���a��� ����a� ����� ���� � a����a. Q�a� ���a� ��c�����? A �����? A �������a? N�����a? S��� ��� ������ ����a ���a ��� ���������a ������ a ���a��� ����a� ����� ���� � a����a? L��b������ �� ��� ���a��� ���c��a���, a �a���� �a a�����a c����c��a (�a����� ��� ������ a���� �a �����a ac��a), ��c����a� ��a �����a���a �a�a a ���a �� ���������. O ������ ��� ���a��� �����a��� �a�a ��c����a� a ������ ���a �� ��������� � c�a�a�� �� ������� �� ������� ��a��a���. A ������ �� �������� ��a� ��� ����������� ��c����a� � �a ����a: ˆ = a + bX Y i i
ˆ � ��a �����a���a �� Y . O��� a � ��a �����a���a �� �� α , b � ��a �����a���a �� �� β � Y .
S�����a��� ��� a ���a �������a �a F����a 5 ���a a ���a ��� ���������a ������ a ���a��� ����a�, �b���a a �a���� �� ������ �� ������� ��a��a���. E�a � a ����a ���a �ca�c��a�a�, a �a���� �a a�����a. C��� �b����a? Ba��a ���a� �� �a����� �� � � � � �a �a a�����a � ca�c��a�:
b=
∑ [( X i − X )× (Y i − Y )] 2 − ( ) X X ∑ i a = Y − b X
����� ����� �������
������������������������������
��
���������� ������� ������������ ���������� � ���������� ���������� �� ����� � ���
F����a 6 � R��a �� ��������� �b���a ��� ������� ��a��a��� L��b������ �� ��� a ���a �a�a��a (F����a 3) � a ���a �� ��������� ��� ��� ��� c����c���� � ��� ���������a a����a�a����� a �����a���. A ���a �������a �a F����a 6 � a ���a �b���a, a �a���� ��� �a����� �������a��� (������ a���� �a ����a F����a 6), ���a ����a���a �� a������a� a ��a� ���a �� ��������� (���a �a�a��a). E�a� ����� ��� ���a�� �� ���. Va��� ��������ca� ����� �� ��������� a ��� ����� ��� ��������. Pa�a �a���, �a��� ��� c��c����a� �� ����� �� ��� a a����a �a�� 1,98 (����� ����aca��, �a F����a 6, c�� � c��c��� ��������). Na �����a aba���, ����� a���a� ���� �����:
F����a 7 � P���� (1,98; 97,41) � ���a �b���a ��� ������� ��a��a��� Pa�a a a����a 1,98 � ( � =1,98), =1,98), � ���� �b���� � �� 97,41 ��. E��� � � �a��� �� � . X = 1,98 ⇒ Y = 97,41
Pa�a ���� �a��� �� � (1,98) (1,98) ����a ���a �� ��������� ca�c��a�a (���a �������a) ����ca ��� a �����a���a �� �a��� �� � � � 92,90 ��.
����� ����� �������
������������������������������
��
���������� ������� ������������ ���������� � ���������� ���������� �� ����� � ���
O� ���a, a �����a���a �� � �: �: ˆ = 92,90 Y
� ��������a ����� � � � ��a �����a���a, c�a�a��� ������. ������. O ������, ����� ca��, ��ca: � �ca: ˆ = 97,41 − 92,90 = 4,51 e = Y − Y
P��� ������ �� ������� ��a��a���, ����a��� �b��� ��a ���a �� �a� ���� ��� a ���a ��� ��a��a��� ��� �a����� ��� ������� ���a �����a. R��������: � �������� ��������a� ��� �� �a����� �� a � b (�����a����� �� α � β ), ), �b����� a �a���� �a c�������a��� �� ��� a ���a ��� ��a��a��� ��� ������� ���a �����a, ���:
b=
∑ [( X i − X )× (Y i − Y )] 2 ∑ ( X i − X ) a = Y − b X
O� ���a, a �a���� ��� �a����� �� � � � �a �a a�����a, �b����� �� �a����� �� � � � ���c����� ˆ = a + bX , ��� � a ���a �������a �a F����a 6. ac��a. A �a���� �����, c���������� a ���a Y i i
����
���������� ���������� ���������
Pa�a �������� a����� ���b���a� �� ��������� ����a�, ���� ��� ���� c����c�� a����a� ���a��a��� ���������� ���a������, �������a� �� ��a��� aba���: Q�a��� 4 � I��a��a��� ���������� ���a����� �������������� ������������ n
n
∑ [( X − X )× (Y − Y )] = ∑ ( X × Y ) − n X Y i
i
i
i =1
i
i =1
n
n
∑ ( X − X ) = ∑ ( X ) − n X 2
2
i
2
i
i =1
i =1
n
n
∑ (Y − Y ) = ∑ (Y ) − nY 2
i
2
2
i
i =1
i =1
A����� ������ ����a� ��������ca� �� ���c� a ��c���a. Pa�a �a���, ���� ���������a� ��� ����a �����c��a a ��������a ����� ��a �a������ � ��a ����a. E������:
����� ����� �������
�
−
�
−
������������������������������
��
���������� ������� ������������ ���������� � ���������� ���������� �� ����� � ���
C�� ����, a� ��a������a���� �� ��a��� ac��a ����� ��� ����c���a�:
�
�
�
−
−
−
E a� ������a� �a�a � ��ca�:
∑∑ �
�
����
−
���������� � ���� �� ���������
A�� a��� ��� ������a��� �������, �� �a�a ��� ���������� ����a� �� c���a�� c�� �� c��c����� ���������� �a ���������. A���a �a���, �� �a��, �a��� c���a�. Pa�a ��a��ca�, �a��� ca�c��a� a ���a �� ��������� �a�a � ca�� ��� ��a��� a����� ��� �����a� a� ����a� �� ����ca � �a������ca (������� ������a�� �� ����c� �� c�����a���). Va��� c�������a� ��� ����� 4 a����� ��� ��a a�����a �� �� c������� �a��� �� �����a���� ��� �� ��b�����a� � �a� ����a. A� ���a� ������ a����� ���: A���� 1 2 3 4 M���a
N��a �� �a������ca
N��a �� ����ca
( X )
(Y )
2 6 8 10 6,5
6 7 7 8 7
E��a��� ������� ��� a �����a��� �� ���a� �� ����ca �a ��a� ���a� ���a�a� a� ���a� ac��a ���� ��� ���c���a ������� � �������� ������: Y i = α + β X i + ε i
O� ���a, ���a��� ������� ��� ������ ��a ���a��� ����� a� ���a� �� �a������ca � ����ca. A �a�c��a ε � �� ���� a��a�����. E����ba E����ba ���a� ����a� ����a� �a������� (�������a� �a ���a �� �a������ca) ��� �������c�a� �a ���a �� ����ca. A �a���� ������ �a����� �� ���a�, c���������� � ��a��� aba���:
����� ����� �������
������������������������������
��
���������� ������� ������������ ���������� � ���������� ���������� �� ����� � ���
A���� X 1 2 3 4
2 6 8 10
Y
X − − X
Y − − Y
6 7 7 8
�4,5 �0,5 1,5 3,5
�1 0 0 1
( X − X )× (Y − − Y ) ( X − − X )
2
(Y − − Y )
2
4,5 0 0 3,5
20,25 0,25 2,25 12,25
1 0 0 1
�
��
�
�����
Va��� ca�c��a� �� c����c������ a � b .
b=
∑ [( X i − X )× (Y i − Y )] 2 ∑ ( X i − X ) b=
8 35
≅ 0,23
a = Y − b X
a = 7−
8 35
× 6,5 ≅ 5,51
E a ���a �� ��������� �����a�a (�ca�c��a�a�) ��ca: ˆ = 5,51 + 0,23 X Y
R��a�� ��� ��� �ab���� �� ���a � a ��a� ���a �� ���������. Ma�, a �a���� ��� �a����� �� ����a a�����a, ���a � a ����a �����a���a �a�a a ���a �� ���������. � ��a ���a �a� ��� a ���a ��� ��a��a��� ��� ������� � �����a. L��b�a��� ��� � ������ c���������� � ˆ ). ��������a ����� �a��� �b����a�� ( Y ) ) � ��a �����a���a ( Y A �ab��a aba��� �����a �� �a����� �����a��� �a ���a �� ����ca, �a��� �� �a����� �a ���a �� �a������ca. A����
N��a �� �a������ca
N��a �� ����ca �����a�a
( X )
N��a �� ����ca �b����a�a (Y )
2 6 8 10
6 7 7 8
5,97 6,89 7,34 7,80
1 2 3 4
ˆ Y
P���a��� ����� �a����� ��� �����c�, ��ca��� c��:
����� ����� �������
������������������������������
��
���������� ������� ������������ ���������� � ���������� ���������� �� ����� � ���
F����a 8 � R��a �� ��������� �����a�a A ���a �� �������� � �a� ��� a ���a ��� ��a��a��� ��� ������� �� ���a��� �� ���a� �� ����ca ��a������ �b���a� � �����a. � a ����a ���a �����a�a (�ca�c��a�a�). O ������ �� ��������� �: Y i = α + β X i + ε i
C��� ��� ����� ac���� � �����a��� ������a, ��� �ab���� ��a�� �� �a����� �� α � β . . T���� c�������� a���a� �� ���������� (�b����� a � b ) C�� ����, a ���a �� ��������� �����a�a �: ˆ = a + bX Y i i
O� ���a, a � b ��� �����a����� �a�a α � β . . S�� �����a����� ��� ��c�a���. I��� ������, �b���c��a� a����a� c�������� (a����a� ��� ����ca��� a������������: E (ε i ) = 0 ; V (ε i ) = σ 2 � cov(ε i , ε j ) = 0 , �a�a i ≠ j ), � �������� ��������a� ���: E (b) = β � E (a ) = α
������� �
��������� ������ ������������
Na �����a���a �� ��a ��������� ����a�, � ���b���a �a ������c��a���c��a�� �c���� ��a��� (A) �� �a��� ��� ��a������a��. (B) �� a�������a��� ��� ��������. (C) �� c�����a��� �������a ����� a� �a������� �������������. �������������. (D) a �a����c�a ��� ����� ��� � c����a���. (E) a� �a������� ������������� ������������� ��� ���a���a�.
����� ����� �������
������������������������������
��
���������� ������� ������������ ���������� � ���������� ���������� �� ����� � ��� ���������.
V���� ��� ��a �a� ��������� �� ������ � ��� a �a����c�a ��� ����� ���a c����a��� (����c��a���c�a). S� a �a����c�a ��� ����� ��� � c����a���, ����� � ���� a ������c��a���c��a��. ��������� �
������� �
����� � ���� �����
U�a ������a, c�� ���a���a�� �� ��������a� a ���a��� ����� �a���� a��a�� c�� ����a�a��a ( � ), ), �� R$ 1.000,00 � � ��c�� b���� a��a� ( � ), ), �� R$ 1.000,00, ����� ��� ������a� � ������ ����a� ������� Y i = α + β X i + ε i , �� ��� Y i � � �a��� �� ��c�� b���� a������� �� a�� � � ε i � ���� a��a����� c�� a� �����c���a� ��������� c�������a�a� c�������a�a� �a�a a ��������� ����a� ������� ( α � β ��� �a�������� ���c����c����). C���������, �a�a � ������, a� ��������� ������a���� ������a� ��� ���������� �� �b����a���� ��� ������� 10 a��� �a ������a: 10
10
∑ Y i = 100 ; ∑ X i i =1
10
= 60 ;
∑ X i × Y i = 650 ; ∑ ( X i )
i =1
2
10
= 400 ;
i =1
∑ (Y i )
2
= 1080
i =1
U�����a��� a ���a��� �a ���a �b���a ���� ������ ��� ������� ��a��a���, ������ ���, ca�� �a�a �� �a��� a��a� c�� ����a�a��a �� 80 ��� ��a��, a �������� �� ��c�� b���� a��a�, �� ��� ��a��, ���� ��: a) 84 b) 102,5 c) 121 �) 128,4 �) 158 ���������.
A� ��������� ��� � ����c�a�� ����� ��� ���a� �b���c��a� ��� a����a� ��� ����ca��� a������������ � E (ε i ) = 0 ; V (ε i ) = σ 2 � cov(ε i , ε j ) = 0 , �a�a i ≠ j . Pa�a ca�c��a� a ��������, ���c��a��� ��c����a� �� �a����� �� a � b �� ������ �� ���������.
b=
∑ [( X i − X )× (Y i − Y )] 2 ∑ ( X i − X )
b=
b=
����� ����� �������
∑ ( X i Y i ) − n X Y ∑ ( X i ) − n X 2
2
650 − 10 × 6 × 10 400 − 10 × 6 2
������������������������������
��
���������� ������� ������������ ���������� � ���������� ���������� �� ����� � ���
b=
650 − 600 400 − 360
=
50 40
= 1,25
E � �a��� �� a ��ca: a = Y − b X
a=
100 10
− 1,25 ×
60 10
= 10 − 7,5 = 2,5
P���a���, � ������ �� ��������� �: ˆ = a + bX Y i i ˆ = 2,5 + 1,25 X Y i i
Q�a��� X i = 80 , a �����a���a �� ��c�� b���� ��ca: ˆ = 2,5 + 1,25 × 80 = 102,5 Y i
��������� �.
O���a ������� b�� �a��c��a: ������� �
����� ���� �����
U�a ������a, c�� ���a���a�� �� ��������a� a ���a��� ����� �a���� a��a�� �� �������a � ��������������� ( � ), ), �� ����a��� �� ��a��, � � ac���c��� a��a� �a� ����a� ( � ), ), �a�b�� �� ����a��� �� ��a��, ����� ��� ������a� � ������ ����a� ������� Y i = α + β X i + ε i , �� ��� Y i � � ac���c��� �a� ����a� �� a�� � � ε i � ���� a��a����� c�� a� �����c���a� �����c���a� ��������� ��������� c�������a�a� �a�a a ��������� ����a� ������� ( α � β ��� �a�������� �a������ �� ���c����c����). ���c����c����) . C���������, �a�a � ������, a� ��������� ������a���� ���������� �� �b����a���� ��� ������� 10 a��� �a ������a: 10
10
∑ Y i = 160 ; ∑ X i i =1
10
= 100 ;
i =1
∑ X i × Y i = 1900 ; ∑ ( X i ) i =1
2
10
= 1200 ;
∑ (Y i )
2
= 3060
i =1
U�����a��� a ���a��� �a ���a �b���a ���� ������ ��� ������� ��a��a���, �b�������, �a�a �� ��������a�� �a��� �� �������a � ���������������, ��a �������� �� ac���c��� �a� ����a� �� �a��� �� 19 ��� ��a��. O �a��� ��� �� c��������� �a�a � �a��� c�� �������a � ���������������, ���������������, �� ��� ��a��, ���: a) 14 b) 13,75 c) 13,0 �) 12,4 �) 12,0
����� ����� �������
������������������������������
��
���������� ������� ������������ ���������� � ���������� ���������� �� ����� � ��� ���������.
Pa�a ca�c��a� a ��������, ���c��a��� ��c����a� �� �a����� �� a � b �� ������ �� ���������.
b=
∑ [( X i − X )× (Y i − Y )] 2 ∑ ( X i − X )
b=
b=
∑ ( X i Y i ) − n X Y 2 2 − ( ) X n X ∑ i
1.900 − 10 × 16 × 10 1.200 − 10 × 10
2
=
300 200
= 1,5
E � �a��� �� a ��ca: a = Y − b X
a=
160 10
− 1,5 ×
100 10
= 16 − 15 = 1
P���a���, � ������ �� ��������� �: ˆ = a + bX Y i i ˆ = 1 + 1,5 X Y i i ˆ = 19 , � �a��� �� X �: Q�a��� Y i i
19 = 1 + 1,5 × X i
X i =
18 1,5
= 12
��������� �.
������� �
����� �� ���� �����
E� �� ��������a�� �a��, �����a��� ��������a� a ���a��� ����� a ����a ���������� ( � ), ), �� b������ �� ���a���, � � c������ (C), �a�b�� �� b������ �� ���a���. F�� ������a�� � ������ ����a� ������� C i = α + β Y i + ε i , �� ��� C� � � c������ �� a�� �, Y � � � �a��� �a ����a ���������� �� a�� � � ε i � ���� a��a����� a��a����� c�� a� �����c���a� �����c���a� ��������� ��������� �a�a a ��������� ����a� �������, α � β ��� �a�������� ���c����c����, ���c����c����, c��a� �����a���a� ���a� ���a� �b���a� a��a��� �� ������ ��� ������� ��a��a���. Pa�a �b������ ����a ���a��� c������������ a���a a� ��������� ������a���� c�����a� a��a��� �a �b����a��� ��� ������� 10 a���:
����� ����� �������
������������������������������
��
���������� ������� ������������ ���������� � ���������� ���������� �� ����� � ��� 10
10
10
10
∑ C i = 90 , ∑ Y i = 100 , ∑ Y i C i = 1.100 , ∑ Y i i =1
i =1
i =1
2
10
= 1.250 ,
i =1
∑ C i
2
= 1.010
i =1
Pa�a � c��c��� �� c����c����� �� c�����a��� �� P�a���� (�), ������� a ������a: cov(Y , C )
�� ��� cov(Y , C ) � a c��a����c�a ����� DP( y ) × DP(C ) �a���� �� � � � DP(C ) � � ������ �a���� �� C. r =
� �
C, DP(Y ) � � ������
E����: a) �b����� �a�a �� ��������a�� a�� ��a �������� �a�a � c������ �� 10 b������ �� ���a���, �������ca ��� a ����a ���������� c�������a�a ��� �� 12,5 b������ �� ���a���. b) � �a��� �a �����a���a ��c����a�� �a�a � �a������� β � ���a� a 0,4 c) � �a��� �a �����a���a ��c����a�� �a�a � �a������� α � ���a� a 10. �) � c����c����� �� �����ca��� � � c������������� � 64%. �) ������a��� a ���a��� �a ���a �b���a ���� ������ ��� ������� ��a��a���, ������ ���, �� �� a��, ca�� a ����a ���������� ���a ���a� a 15 b������ �� ���a���, � c������ ���� ���a� a 13 b������ �� ���a���. ���������.
Va��� ��c����a� �� �a����� �� � � �.
b=
∑ [( X i − X )× (Y i − Y )] 2 ( ) − X X ∑ i
b=
∑ ( X i Y i ) − n X Y 2 2 ∑ ( X i ) − n X
S� ��� a���, �� ���a� �� � ����� ����� � . E �� ���a� �� � ����� ����� C. b=
b=
∑ (Y i C i ) − nC Y 2 2 ∑ (Y i ) − nY
1.100 − 10 × 9 × 10 1.250 − 10 × 10
2
=
200 250
= 0,8
A����, a �����a���a �a�a � �a������� β � ���a� a 0,8. 0,8. A ����a B ���� ���� ���a�a. a = Y − b X
S� ��� a���, �� ��� �� � ����� ����� � � � �� ��� �� � ����� ����� C. a = C − bY
a = 9 − 0,8 × 10 = 1
A �����a���a �� �a������� α � ���a� a 1. A ����a C ���� ���a�a.
����� ����� �������
������������������������������
��
���������� ������� ������������ ���������� � ���������� ���������� �� ����� � ���
S� �a�a �� ��������a�� a�� a �������� �� c������ ��� �� 10 b������, ����� a ����a c�������a�a c�������a�a ���: C = a + bY 10 = 1 + 0,8Y
Y =
(10 − 1) 0,8
= 11,25
A ����a A �a�b�� ���� ���a�a. Ca�� a ����a ���������� ���a �� 15 b������, � c������ ����: C = a + bY C = 1 + 0,8 × 15 = 13
A ����a E ���� c�����a. ��������� �.
������� �
������ � ���� �����
U� ������ ��a���a�� �� ��a ������a ��b�� a ���a��� ����� � ��c�� b���� a��a� ( � ), ), �� ����a��� �� ��a��, � �� �a���� a��a�� c�� ����a�a��a ( � ), ), �a�b�� �� ����a��� �� ��a��, ����ca ��� ��a b�a ����� � a ������a��� �� ������ ����a� ������� Y i = α + β X i + ε i , �� ��� Y i � � ��c�� ��c�� b���� �� a�� a�� ���, X i ���������a �� �a���� c�� ����a�a��a �� a�� ���, ε i � �
���� a��a����� c�� a� �����c���a� ��������� c�������a�a� �a�a a ��������� ����a� � α � β ��� �a�������� ���c����c����. ��� ���� �� ������ ��� ������� ��a��a��� �b������� � �a��� �� 150 �a�a a �����a���a �� �a������� α , c�������a��� a� ��������� ������a���� �b���a� ���a� �b����a���� ��� ������� 10 a���: 10
∑ Y i = 2.500 i =1
10
∑ X i
= 400
i =1
U�����a��� a ���a��� �a ���a �b���a ���� ������ ��� ������� ��a��a���, ca�� a ������a a����� �b��� �� �� ��������a�� a�� �� ��c�� b���� �� 450 ��� ��a��, ���� a�������a� �� ���a� �� �a���� c�� ����a�a��a, �� ��� ��a��, ��: a) 60 b) 80 c) 120 �) 160 �) 200 ���������.
����� ����� �������
������������������������������
��
���������� ������� ������������ ���������� � ���������� ���������� �� ����� � ���
P������ ca�c��a� a� ����a� �� � � � � . 10
∑ Y i Y =
i =1
10
=
2.500
= 250
10
10
∑ X i X =
i =1
10
=
400
= 40
10
Sab���� ��� a �����a���a �� α � �a�a ���: a = Y − b X
− b X 150 = Y − 150 = 250 − b × 40 ⇒ b = 2,5
A ���a �� ��������� ��ca: ˆ = a + bX Y i i ˆ = 150 + 2,5 × X Y i i
Pa�a �b��� �� ��c�� �� 450 ��� ��a��, �����: 450 = 150 + 2,5 × X i
⇒
X i = 120
��������� �.
������� �
������� ����������� �����
Pa�a �������� � ������� ��������, c�������� ��� ��� ��a���a�� �� ������ �� �� �a�� c�� a ���a���a�� �� �� ��������a� a ���a��� ����� a R���a D��������� ( � ), ), �� ������� �� ���a���, � � c������ (C), �a�b�� �� ������� �� ���a���. Sab���� ��� ��� ������a�� � ������ ����a� ������� C i = a + bY i + ei , �� ��� C� � � c������ �� a�� �, Y � � a ����a ���������� �� a�� ��� � ei � ���� a��a����� a��a����� c�� a� �����c���a� �����c���a� ��������� ��������� c�������a�a� �a�a a ��������� ����a� �������. E��� ������ a��������� a� ��������� ������a���� c�����a� a��a��� �a �b����a��� ��� ������� 10 a���: 10
∑ C i = 800 i =1
10
10
∑ Y i = 1.000 ∑ Y i C i = 83.600 i =1
i =1
10
2
∑ Y i i =1
10
= 105.000
∑ C i
2
= 67.240
i =1
A ���a��� �a ���a a����a�a ���� ������ ��� ������� ��a��a��� ��c����a�a ���: ˆ = 20 + 0,60 × Y a) C i i ˆ = 10 + 0,70 × Y b) C i i ˆ = 8 + 0,72 × Y c) C i i ˆ = 6 + 0,74 × Y �) C i i
����� ����� �������
������������������������������
��
���������� ������� ������������ ���������� � ���������� ���������� �� ����� � ��� ˆ = 4 + 0,76 × Y �) C i i
���������. N�� ����� ���������a�� �� �a�������� �� ������ ��� α � β . E ���������a��� ��a� �����a���a� ��� a � b . P��� b��, ����� ����c�c�� �� �a�������� ����� ����� c�a�a��� �� a � b . Va��� c�a�a� ��a� �����a���a� �� aˆ � bˆ . O���a ���a��a ��� ����� � a ��� �����. G��a������ c�a�a��� a �a������ ������������ �� � � � a ���������� �� � . A��� ��a� ���a� ���ca�a�, �����c���a�����, ��� � � � C.
bˆ =
∑ [(Y i − Y )× (C i − C )] 2 ∑ (Y i − Y )
bˆ =
∑ (Y i × C i ) − n × Y × C 2 2 ∑ (Y i ) − nY
83.600 − 10 × 100 × 80 bˆ = = 0,72 105.000 − 10 × 100 2
E c�� ���� �� �� �a�a �a�ca� a ����a C. D� ���� ����, �a��� ��c����a� a �����a���a �� a aˆ = C − bY = 80 − 0,72 × 100 = 8
A ���a �� ��������� ��ca: ˆ = 8 + 0,72 × Y C i i
��������� �. ������� 7
�� ���� 200� �����
E� ��a ��������a�a ������a � ��a���a�� �� ������ ��b�� a ���a��� ����� �� �a���� c�� ��b��c��a��, �� R$ 1.000,00, � � ac���c��� �� �a���a����� a��a�, �� R$ 1.000,00. F�� ��c������ �a�a a������ � ������ ����a� ������� Y� = α + βX� + ε�, ����� ��� Y� � � ac���c��� �� �a���a����� �� a�� �, X� ���������a �� �a���� c�� ��b��c��a�� �� a�� � � ε� � � ���� a��a����� c�� a� �����c���a� ��������� c�������a�a� �a�a a ��������� ����a� ������� (α � β ��� �a�������� ���c����c���� ). Pa�a �b������ �a� �����a���a� �� α � β ����������� � ������ ��� ������� ��a��a��� c�� ba�� �a� ������a���� ��� ������� 10 a��� �a ������a, �� ���a:
����� ����� �������
������������������������������
��
���������� ������� ������������ ���������� � ���������� ���������� �� ����� � ��� 10
10
∑ Y i = 180 ; ∑ X i i =1
10
= 100 ;
i =1
10
∑ X i Y i = 1.912 ; ∑ X i i =1
2
10
= 1.080 ;
i =1
2
∑ Y i
= 3.440
i =1
U�����a��� a ���a��� �a ���a �b���a ���� ������ ��� ������� ��a��a���, ������ ��� �� a ������a a����a� �� ac���c��� �� �a���a�����, �� �� ��������a�� a��, �� R$ 25.000,00 ������ a�������a�, ����� �������, �� ���a� �� �a���� c�� ��b��c��a�� �� (A) R$ 20.000,00. 20.000,00. (B) R$ 18.000,00. (C) R$ 17.000,00. (D) R$ 16.000,00. (E) R$ 15.000,00. ���������� Va��� �a�� �a���a�����? b=
1912 − 1800 1080 − 1000
= 1,4
a = 18 − 1,4 × 10 = 4
M�����: ˆ = 4 + 1,4 X Y 25 = 4 + 1,4 X ⇒ X = 15
��������� � ������� 8
�� �� 100� �����
C�������� ��� ��� �b���� a��a��� �� ������ ��� ������� ��a��a��� � a����a����� �� ������ Y i = α + β X i + ε i , �� ��� � c���������� c���������� a ������a �b����a���, α � β ��� �a�������� ���c����c���� � ε i � ���� a��a�����, c�� a� �����c���a� ��������� c�������a�a� c�������a�a� �a�a a ��������� ����a� �������. F�� ������a�a ��a a�����a a��a����a c�� 100 �a��� �� �b����a���� (X , Y ), � = 1, 2, 3, . . . , 100; �b�������� �a�a a �����a���a �� β � �a��� �� 2,5. O �a��� �a ����a �a� �b����a���� X � ��� ���a� a 30 � �� Y � ���a� a 100. �
�
O �a��� ��c����a�� �a �����a���a �� α ��� ���a� a (A) 70. (B) 50. (C) 40. (D) 25. (E) 20.
����� ����� �������
������������������������������
��
���������� ������� ������������ ���������� � ���������� ���������� �� ����� � ���
���������� � − ��� − ��� ��� � �� � ��� ��� − �� � �� �� � ���
��������� � ������� �
�� �� 100� �����
C�������� ��� ��� �b���� a��a��� �� ������ ��� ������� ��a��a��� � a����a����� �� ������ Y i = α + β X i + ε i , �� ��� � c���������� c���������� a ������a �b����a���, α � β ��� �a�������� ���c����c���� � ε i � ���� a��a�����, c�� a� �����c���a� ��������� c�������a�a� c�������a�a� �a�a a ��������� ����a� �������. F�� ������a�a ��a a�����a a��a����a c�� 100 �a��� �� �b����a���� (X , Y ), � = 1, 2, 3, . . . , 100; �b�������� �a�a a �����a���a �� β � �a��� �� 2,5. O �a��� �a ����a �a� �b����a���� X ��� ���a� a 30 � �� Y ���a� a 100. �
�
�
�
U�����a��� a ���a��� �a ���a �b���a ���� ������ ��� ������� ��a��a���, ������ ��� �a�a �� �a��� �����a�� �� 115 �a�a Y, � �a��� c������������� �� X � (A) 24. (B) 36. (C) 46. (D) 48. (E) 52. ���������� N� ����c�c�� a������� ����� ��� a �����a���a �� � 25. A����, a ���a �b���a ���� ������ ��� ������� ��a��a��� ��ca: � �
Pa�a Y �����a�� �� 115, �����: ��� �� � � �� � ��� ��� �� � − �� � ��� ���
�
�� ���
� ��
��������� � ������� 10
����� �� 200� �����
O �����c� aba��� ��������a a �������� �a ��c���a ���b�����a a��a� �� ���a�� �� S�� Pa��� ����� 1999, c�� �� �a����� a���ca�a��� �� b������ �� ��a��. ����� ����� �������
������������������������������
��
���������� ������� ������������ ���������� � ���������� ���������� �� ����� � ���
Pa�a �����a� a ��c���a ���b�����a �� �� ��������a�� a�� c�� ba�� �� c������a����� �������� ���� �����c�, a�������� � ������ Y t = α + β t + ε t ; � = 1, 2, 3 ..., ����� Y t = ln(RT t ) Y = �� (RT ), �� ��� RT � a ��c���a ���b�����a �� a�� (1998 +�) �� b������ �� ��a�� � �� � ���a����� ������a�� ( ln e = 1). α � β ��� �a�������� ���c����c���� � ε t � ���� a��a����� c�� a� �����c���a� ��������� c�������a�a� �a�a � ������ �� ��������� ����a� �������. U�����a��� � ������ ��� ������� ��a��a���, c�� ba�� �a� �b����a���� �� 1999 a 2008, �b������� �a�a a �����a���a �� β � �a��� �� 0,12, �ab������� ���: �
�
�
10
∑ Y t = 39,0 t =1
A �������� �a ��c���a ���b�����a �a�a 2009, �� b������ �� ��a��, �� ������ �a ���a��� �b���a ���� ������ ��� ������� ��a��a��� � ���a� a (A) ����� (B) ����� (C) ����� (D) ����� (E) ����� ���������� A ����a �� Y ���� ��� ca�c��a�a a �a���� �� ���a����� �����c���: �
�� ��
� ���
A ����a �� � � ���a� a 5,5 (����a ��� ������� �a���a�� �� 1 a�� 10).
����� ����� �������
������������������������������
��
���������� ������� ������������ ���������� � ���������� ���������� �� ����� � ��� � ��� �
L���: � − ��� − ��� ���� � ��� � ���
� ����
P���a���: � � � ���� ���� � ���� ���� � �� �� � ���� ����
Sab���� ���: � ��
L���: �
P���a���, a �����a���a �a ��c���a ���b�����a ����: �
��������� � ������� 11
�� �� 2005 ������������
C�������� �� �a��� a�����a�� �� �� ������ �a ���a��� ����� � ������ �� a��� ��� �� ca����a��� a �������� �� �� ��������a�� ba�c� c����c�a� �����a�a� ������ �a �ac���a�� � a� ���a� �b���a� �� �� ����� � ���� �� �����c���c�a ����a �����a.
C�� ba�� ����a� ������a����, a ���a �� ������� ��a��a��� ��� ������ �����ca a ���a��� ����� � ������ �� a��� �� ������ � a ���a �� ����� �� ������ � ���a� a: (A) � = 1,33 + 3,56� (B) � = 2,25 + 1,32�
����� ����� �������
������������������������������
��
���������� ������� ������������ ���������� � ���������� ���������� �� ����� � ���
(C) � = 6,97 + 3,56� (D) � = 35,32 + 10,9� (E) � = 254,56 + 13,3� ���������. Na� �������� a���������, � ����c�a�� ������ �����c�a �������� ���a������, �a�a �ac����a� � ��aba��� b�a�a�. I��� ��� ac����c�� ����a �������. O� ���a, �a�a ca�c��a� a ���a �� ���������, ���c��a��a��� ���c��a��a��� �a��� ���a� a� c���a� �a ���, � ��� ���a ����� �����. Ta���� ��� ���� ������ a ������� a�������� a�����a���a� ����� ���������� ����� ��. Ob������ ���, �a�a ��a����� �a��� �� � ����� 2 � 5, � ��� �����a 10. J� ������� ���ca��a� a� a�����a���a� C, D, E, ��� ������� �a����� a���� �a�a � (����� ���������� a 10), ����� ��a��� � � ba���. Pa�a �� ��� ��a ����a, c�������� a ����a E. S� �������� � ���a� a 1, � ���� a������a�a����� ���a� a 270, a��� ���a������ ��c���a����� c�� a �ab��a �����c��a. � ����c��a. F�ca��� ����� a� a�����a���a� A � B. Pa�a ��c����� ����� a�ba�, �a��� ��aba��a� c�� �� �a����� �������� �� � . Q�a��� � � ���a� a 2, a� ���a� �a� ����a� A � B ������� �� ��������� �a����� �a�a � : L���a A: 8,45 L���a B: 4,89 Ob������ ��� � �a��� �a L���a B � ����� �a�� ������� ��� �a����� ��� � ��a������ a�����, ��a��� � � ���a� a 2. J� �� �a�a �a�ca� ����a B. S� ��c� a���a ��ca� �� �����a, ���� �a��� � ����� ����� �a�a � ���a� ���a� a 5. N���� ca��, a� �����a���a� ����a�: L���a A: 19,13 L���a B: 8,85 N��a�����, a �����a���a �a ����a B ��� � �� b�� ������. ��������� � ������� 12
��������� 2008 ������������
A �ab��a aba��� �����a a� ���a��a� ��� �c�����a� ���a ��������a�a ��������.
����� ����� �������
������������������������������
��
���������� ������� ������������ ���������� � ���������� ���������� �� ����� � ���
C�� ba�� ��� c��c����� �� R�������� L���a� S������, ��a��a� ����a��� c������ a ���a��a �a�a �����? (A) 4.000 (B) 5.000 (C) 6.000 (D) 7.000 (E) 8.000 ���������. O���a ������� ��� ��� �����c�� ���a������. A �a��a��� a���a � ��� �� ������� ���������� ��� �������� (���� ��� ����a � ��aba��� b�a�a�, �a� ���� ����� ����a a� c���a� �� ��������� �a�� ��a�����a�). Va��� �a� ������� �a�a �� ����� �� a�� (1 �a�a �a�����, 2 �a�a ���������, � a���� ��� ��a���). Pa�a �ac����a� a���a �a�� ������ c��c����, �a��� ����ca� a ���a��a �� ��� ����a���.
���a�
X 1 2 3 4 5 6 21
Y 11 21 17 14 7 5 75
∑ X i
= 21
XY 11 42 51 56 35 30 225
T����:
∑ X i
2
= 1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36 = 91
∑ XY = 225 X =
����� ����� �������
21 6
= 3,5
������������������������������
��
���������� ������� ������������ ���������� � ���������� ���������� �� ����� � ��� 75 Y = = 12,5 6
L���:
b=
b=
∑ [( X i − X )× (Y i − Y )] ∑ ( X i − X ) 2
∑ XY − n × X × Y = 225 − 6 × 3,5 × 12,5 = −2,14 91 − 6 × 3,5 ∑ X − n X 2
2
2
a = Y − b X a = 12,5 + 2,14 × 3,5 = 20
D���� ����, ��a��� X = 7 , a �����a���a �a ���a��a ���a��a ��ca: ˆ = 20 − 2 ,14 × 7 = 5,02 Y
��������� � ������� 13
����� �� 2005 ������
C�������� � ������ �� ��������� ����a� Y i = α + β X i + ε ,
= 1, 2, ..., 25 � =
O��� �� Y i ���������a� ���������a� �b����a���� �a �a������ �������a � , �� X i ���������a� �b����a���� �a �a������ ������a �� � �� ε i ��� ����� ��� c�����ac���a��� c�����ac ���a��� c�� ������b����� ������b��� �� c���� ����a� c�� ����a ���� � �a����c�a 9. E� �������a� a�����a� �� ������, �a�� X i , a����a�� a ����� ��� �� a ��������� �����a�a �� �b����a���� �� Y ��� ������� �� �� �a��� ab������ �� ��a ����a ��� �� ������ 1,5. E� ��a �������a �a�a ��� �a �ab��a �a ������ �� ������b����� φ ( X ) �a ����a� �a���� �a�a aba���. X
0,40 0,50 1,00 1,50
φ ( X ) 0,655 0,691 0,841 0,933
a) 0,650 b) 0,950 c) 0,933 �) 0,382 �) 0,975
����� ����� �������
������������������������������
��
���������� ������� ������������ ���������� � ���������� ���������� �� ����� � ���
���������. Pa�a �� �a�� �a��� X i , Y i � �a�� ���: Y i = α + β X i + ε
A �����a��a �� � � � ��ca: E (Y i ) = E (α + β X i + ε ) = E (α ) + E ( β X i ) + E (ε )
C��� a �����a��a �� ε � ���a� a ���� � �� ���a�� ���a�� ������ ��� c����a����, c����a����, ��ca��� c��: + β X i E (Y i ) = α +
I��� �����a�� a ����� ��� a ����a �� � ���� ���� ����a����� ��b�� a ���a �� ���������. Pa�a �� �a�� �a��� �� X i , a �a����c�a �� � � � ��ca: Y i = α + β X i + ε V (Y i ) = V (α ) + V ( β X i ) + V (ε )
A �a����c�a �� ε � ���a� a 9 (�a�a �� �� ����c�c��). O� ���a�� ������ ������ ��� c����a���� (�a����c�a (�a����c�a ����). V (Y i ) = V (ε ) = 9
I��� �����a�� a ����� ��� a �a����c�a �� � , �a�a �� �a��� �� � �a��, �a��, � ���a� � �a����c�a �a �a������ ε . . A����, a �a������ � � � ���a �� ����� �� ��a ����a c�� �a����c�a 9. C��� � ����c�c�� ����� ��� ε ��� ������b����� ����a�, �� �a����� �� � � � ���a� �� ����� �� ��a ����a ������� ��a ������b����� ����a� �� �a����c�a 9. G���a��a��� �� �ab�� � ���c����a� �� �a����� �� � ��� ��� ���� a ��a ������c�a ��, �� ������, 1,5 �a ����a. P��c��a��a��� c������a� a �ab��a �� ���a� �a �a������ ����a� �a�a � �a��� α + β X i + 1,5. C������, a �ab��a �����c��a �� ����c�c�� � �� �a�a a �a������ �������a (= �a����). P��c��a��� ������a� a �a������ �������a: Z =
Y i − E (Y i )
σ
Sab���� ��� a �a����c�a � 9. σ 2 = 9 ⇒ σ = 3 Z =
α + β X i + 1,5 − α + β X i 3
=
1,5 3
= 0,5
P���a���, c������a��� a �ab��a �a�a � �a��� 0,5. Da �ab��a, ����� ��� 69,10% ��� �a����� �� Z ��� ������� �� ���a�� a 0,5.
����� ����� �������
������������������������������
��
���������� ������� ������������ ���������� � ���������� ���������� �� ����� � ���
P���a���, 30,90% ��� �a����� ��� ���������� a 0,5. C��� a �a������ ����a� ��� ������ ������a�� �� ���bab����a�� �������ca, 30,90% ��� �a����� ��� ���������� a �0,5.
F����a 9 � ���a �����: ���c����a� �� �a����� �a �a������ Z ����� �0,5 � 0,5 R�����a ��� 38,2% ��� �a����� ����� ����� �0,5 � 0,5. A ��������� �����a�a �� �a����� �� � ��� ����a� �� ������ 0,5 �� ��a ����a � ���a� a 38,2%. O ����� �� a���ca a�� �a����� �� � ��� ��� ���� ��� c��������������. 38,2% ��� �a����� �� � ����a� �� ������ 1,5 �� ��a ����a. ��������� �. ������� 14
���� 2006 ������
C�� � �b������ �� �����a���� � ������ Y = α + β X, ��� �����a�a ��a a�����a c�� c��c� �a��� �� �b����a���� (X,Y), �b�������� �� ��������� ������a���:
D���� ����, a) Y = � 2 � 2X b) Y = 2 � 2X c) Y = 2X �) Y = 2 + 2X
����� ����� �������
������������������������������
��
���������� ������� ������������ ���������� � ���������� ���������� �� ����� � ���
�) Y = � 2 + 2X ����������
β =
∑ ( X i Y i ) − n X Y = 140 − 5 ⋅ 3 ⋅ 8 = 140 − 120 = 20 = 2 55 − 45 10 55 − 5 ⋅ 3 ∑ ( X i ) − n X 2
2
2
α = Y − b X = 8 − 2 ⋅ 3 = 2
A����, Y = α + β X=2+2� ��������� �
����
���� �� ��������� �������� ���� ������
H� ����� ������ �� ��������� ������a����� ��������� �� ��� ����� a�� a���, �� ��� �� �a� c�� ��� a ���a �a��� ���a ������. E��� ������� ������ � ��a�� �� ca��� ��c��c���a��, ��a��� �� a����a �a��� �����ca ��� ��� ������� ��� ���� � ������ �a�� a����a��. Va��� ��� c��� ��ca��a ���� ������� ������, ��� ���� �� ����c�c�� a ������. ������� 15
���/2008 �������
U�a a���c�a �� ��������������� ��ba�� �������� �� �a��� a�������a��� �a �ab��a a ������, ac��ca ��� ������� �� ������� �����a��� ( � ) � �������� ( � ) �� ��������a�� ����c����, ��� a��� �� 2005 a 2007. A�� 2005 2006 2007
N����� �� ������� O����a��� ( � � ) V������� (� ) 1.500 100 1.750 400 2.000 700
C�������a��� a� ������a���� �� �����, ������ � ���� ��b��������. A �����a���a �� �a��� �� c����c����� α �a ���a �� ��������� Y = α X , �� ��� � ���������a ���������a � ������ �����a�� �� ������� �������� �a�a ��a ��a����a�� � �� ������� �����a���, � �������� a 0,23 � �������� a 0,26. ���������.
����� ����� �������
������������������������������
��
���������� ������� ������������ ���������� � ���������� ���������� �� ����� � ��� ˆ a �����a���a �� Y . S��a a a �����a���a �� α . . S��a Y . Da��� �� �a����� �� X , , a� �����a���a� �� Y ��ca�: ��ca�: ˆ = aX Y
O ������ ��ca: ˆ e = Y − Y
e = Y − aX
S��a��� �� ��a��a��� �� ����� �� �������, ��� c������� �� � �b����a����:
∑e
2
= ∑ (Y − aX )
2
E �������� ac�a� � �a��� �� � ��� �������a ���a ���a. � �������� ��������a� ��� a �����a���a �� � ��� �������a a ���a ��� ��a��a��� ��� ������� � �a�a ���: a=
∑ ( XY ) ∑ ( X ) 2
���� ����!!! ���� �� ��������� �������� ���� ������ M�����: Y = α X + ε A �����a���a �� α � �a�a ���: a=
∑ ( XY ) ∑ ( X ) 2
E��a � a ������a ��� ����� ��� ��a�. A�� 2005 2006 2007 TOTAL
X
Y
X × × Y
X 2
1.500 1.750 2.000 5.250
100 400 700 1200
150.000 700.000 1.400.000 2.250.000
2.250.000 3.062.500 4.000.000 9.312.500
a=
a=
∑ ( XY ) 2 ∑ ( X )
2.250.000 9.312.500
≅ 0,242
I��� c������. ��������� �����
����� ����� �������
������������������������������
��
���������� ������� ������������ ���������� � ���������� ���������� �� ����� � ���
������� 16
�� �������� 2005 ������������
N� ������ �� ��������� Y = β X + ε , � �����a��� �� ������� ��a��a��� �� β �:
���������. A���, � c����c����� �� a����a� �a ���a �� ��������� ���� ����� c�a�a�� �� β (��a���, �� ����c�c�� a�������, ��� c�a�a�� c �a�a�� �� α ). ) . T�a�a��� �� a���ca��� �����a �a ������a �����a�a. ��������� �
��
������� �� ��������� �� ���������
U� ����� �� ��������� ����� c���� � a����� ��� ����a a �������� ���a �� ��� � c����c����� β �a ���a �� ��������� � ����. Ca�� a �������� ���a ���a ����a����a, ����a����a , ����� ��� a ���a �� ��������� � ��������a�. R����b�a��� � �������ca�� �a ���a �� ���������. Pa�a ca�a �a��� �� � ��� ����� ��a ��b� �����a��� �� �a����� �� �� c�� ����a �a�a ���a ���a �� ��������� � �a����c�a σ 2 . S� a ���a � ��������a�, ����� ���a� a� ��b������a���� ����� a ����a ����a. A��a �a��a�a ��� ����� ��a ����a����a �a�a ����a� �� a ����a �� ���������� �����a���� ��� ���a�� ����� ��. E��a ����a����a ��a a a������ �� �a����c�a. C��� ����a� a �������� �� β ��� ���a� a ���� �����a�� �����a�� a ����a� a �������� �������� �� a� �a�a�� �����a���� ��� a ����a ����a, ����� ������� ��a� a a������ �� �a����c�a �a�a ����. Va��� ��� c��� ��ca.
����
����� �� ���������
ˆ , ��� � ��a �����a���a �a�a Y . Q�a��� ������a��� a ��������� ����a�, �b����� Y . A i ��������a ����� ���a� ��a� ��a����a� � � ������. ˆ ei = Y i − Y i
����� ����� �������
������������������������������
��
���������� ������� ������������ ���������� � ���������� ���������� �� ����� � ���
R�a��a��a��� �� ������: ˆ Y i = ei + Y i
S�b��a���� Y ��� ���� �a���: ˆ − Y Y i − Y = ei + Y i
E���a��� a� ��a��a��:
(Y − Y ) = (e i
(Y − Y )
2
i
ˆ − Y ) + Y i
2
2
i
ˆ − Y ) + 2 × e × (Y ˆ − Y ) = ei + (Y i i i 2
2
S��a��� a� �a�c��a� ac��a �a�a ����� �� �a����� �� �:
∑ (Y i − Y )
2
� �������� ��������a� ���
ˆ − Y ) + 2 × = ∑ ei + ∑ (Y ∑ [ei × (Y ˆi − Y )] i 2
2
∑ [ei × (Y ˆi − Y )] = 0 .
P���a���:
∑ (Y − Y ) = ∑ e 2
i
2
i
ˆ − Y ) + ∑ (Y i
2
E � ��� � ��� ����� a� �� c��a? T���� ���a� �� ��a��a���. Ca�a ��a ����a� �a�c��a� ��c�b� �� ���� ����c�a�: •
∑ (Y − Y )
•
∑ ei
•
∑ (Y ˆ − Y )
2
i
2
⇒
⇒
���a �� ��a��a��� ��� �������� (S.Q.R�������) (S.Q.R�� �����) 2
i
���a �� ��a��a��� ��a��a��� ���a� (S.Q.T��a�)
⇒
���a �� ��a��a��� �� ������ �� ��������� (S.Q.R��������) (S.Q.R��� �����) �
c���������� � S��a �� ��a��a�� �� ��a�a������, ����a �a a��a �a��a�a. P���a���: SQTotal = SQ Re gressao + SQ Re siduos
� �������� ��������a� ���:
(
)(
)
SQ Re gressao = b × ∑ X − X Y − Y
O��� � � a �����a���a �� c����c����� c ����c����� a����a� �a ���a �� ���������. ���� ������� ������ ��� ����� �� ���������
SQTotal = SQ Re gressao + SQ Re siduos
[(
)(
)]
SQ Re gressao = b × ∑ X − X Y − Y
����� ����� �������
������������������������������
��
���������� ������� ������������ ���������� � ���������� ���������� �� ����� � ���
Va��� ca�c��a� ca�a �� ������ �a����� �a�a a������ 4 a����� ��� �����a� a� ����a� �� ����ca � ���ca � �a������ca. A����
N��a �� �a������ca
N��a �� ����ca
( X )
(Y )
2 6 8 10 6,5
6 7 7 8 7
1 2 3 4 M���a
N���a a��a ������� � ������ �� ��������� ����a� �a�a, a �a���� �a� ���a� �� �a������ca, �����a� a� ���a� �� ����ca. O ������a�� ���: A����
N��a �� �a������ca
N��a �� ����ca
N��a �� ����ca �����a�a
( X )
(Y )
(Y ˆ )
2 6 8 10
6 7 7 8
5,97 6,89 7,34 7,80
1 2 3 4
A �a���� ��� �a����� ac��a, ������� ����a� � ��a��� aba���: N��a �� ����ca
N��a �� ����ca �����a�a
(Y )
(Y ˆ )
6 7 7 8
5,97 6,89 7,34 7,80
(
)
ˆ e 2 = Y − Y
0,0009 0,0121 0,1156 0,04 0,1686
TOTAL
2
− Y ) (Y ˆ −
− Y ) (Y −
1,0609 0,0121 0,1156 0,64 1,8286
1 0 0 1 2
2
2
Da �����a ����a �a �ab��a, �����: SQTotal = 2 SQ Re gressao = 1,8286 SQ Re siduos = 0,1686
N��� ���:
∑ (Y − Y ) = ∑ e 2
i
2
i
ˆ − Y ) + ∑ (Y i
2
O� a���a:
����� ����� �������
������������������������������
��
���������� ������� ������������ ���������� � ���������� ���������� �� ����� � ��� SQTotal = SQ Re gressao + SQ Re siduos
Na ����a��, ��b��������� �� �a�����, �b�����: 2 = 1,9972
A ��������a �� ���� a�� a�������a������ (�� �a����� a�������a��� �a�a a� ���a� �� ����ca �����a�a ����� a�������a���).
����
��������� ������ � ����������� �
A a������ �� �a����c�a, a���ca�a � ���a �� ���������, ����� �a�a ����a� a �������� �� ��� β � ���a� a ����. V���� ���, �a�a ca�a �a��� �� � , ��� ����� ��a �����a��� �� �a����� �� � ��� ���a �� ����� �a ���a �� ���������. Ca�� a ���a ���a ��������a�, ���a� a� �����a���� �� �a����� �� � ���a��� �� ����� �� ����� �a���. T��a� ��a� ����� a ����a ����a. L���, a� ���a� �� ��a��a��� �� �������, ac��a �������a�, ����� ��� ��a�a� �a�a ����a� a �������� �� ��� � c����c����� β � ���a� ���a� a ����. A �������� ���a ( β = 0 ) �a�a �a�� � ��� ����� ����� ��� a ���a �� ��������� � ��������a� ��������a�.. O� ���a, � a �������� �� ��� ���a� a� ��b������a���� �� � ������, �a ����a��, �� ��a ���ca �����a��� (�� ���a, a�������a� ����a ����a � ����a �a����c�a). E ����� �a a��a �a��a�a ��� a a������ �� �a����c�a ���� ��� ������a�a ����a����� �a�a ����. Ba��a ca�c��a� a ���a�����ca F, c�� ba�� ��� ��a��a��� ������. N� ca�� �a ��������� ����a�, �����: •
∑ (Y − Y )
•
∑ ei
•
∑ (Y ˆ − Y )
2
i
2
⇒
⇒
SQ Re siduos ⇒ n − 2 ��a�� �� ��b���a�� 2
i
SQTotal ⇒ n − 1 ��a�� �� ��b���a��
⇒
SQ Re gressao ⇒ 1 ��a� �� ��b���a��
E �� ��a��a��� ������ ��ca� a����. SQTotal
•
Q�a��a�� ����� ���a�: QMTotal =
•
Q�a��a�� ����� ��� �������: QM Re siduos =
•
Q�a��a�� ����� �� ������ �� ���������: QM Re gressão =
n −1 SQ Re siduos n−2 SQ Re gressao 1
Pa�a � ca�� ��� a����� ��� �����a� a� ����a� �� ����ca � �a������ca, �����: QMTotal =
����� ����� �������
2 4 −1
=
2 3
������������������������������
��
���������� ������� ������������ ���������� � ���������� ���������� �� ����� � ��� QM Re siduos =
0,1686
QM Re gressao =
= 0,0843
4−2 1,8286 1
= 1,8286
E a ���a�����ca F ��ca: F _ teste =
����
QM Re gressao
QM Re siduos
=
1,8286 0,0842
= 21,71
����������� �� ������������
A� ���a� �� ��a��a��� ������ �a�a ������� ��a ��a����a c����c��a c��� c����c����� �� ��������a��� �a ��������� ����a�. E�� � �a�� ���: r 2 =
SQ Re gressao SQTotal
E��a ��a����a, �� ca�� �� ������ Y i = α + β X i + ε i , � ���a� a� ��a��a�� �� c����c����� c����c� ���� �� c�����a��� ����a�, �����a�� �a a��a �a��a�a. S� a ���a ��� ��a��a��� ��� �������� ��� ������a, �� �a� ����a ��� r 2 �� a������� �� 1, ���� �������ca ��� a� ��������a� ����� �� �a����� �b����a��� ( Y i ) ) � a ����a ( Y ) ) ��� ��a�� ���a������ �����ca��� ���a ���a �� ���������. S� a ���a ��� ��a��a��� ��� �������� ��� ��a���, �� �a� ����a ��� r 2 �� a������� �� ����, ���� �������ca ��� a ���a �� ��������� ���c� �����ca ��b�� a� ��������a� ����� �� �a����� �b����a��� �b����a��� � a ����a. O� ���a, � ���ca �� ����� ��ca� ca�c��a��� ���a �� ��������� �� ��a � �� �����a��� ����. C��� � c����c����� �� c�����a��� ( � ) a����� �a����� ����� �1 � 1, ����� � c����c����� �� ��������a��� (� �) a����� �a����� ����� 0 � 1. ������� 1�
����� 200� �����
U�a ������a, c�� ���a���a�� �� ��������a� a ���a��� ����� �a���� a��a�� c�� ����a�a��a � ), ( � ), �� R$ 1.000,00 � � ��c�� b���� a��a� ( � ), ), �� R$ 1.000,00, ����� ��� ������a� � ������ ����a� ������� Y i = α + β X i + ε i , �� ��� Y i � � �a��� �� ��c�� ��c�� b���� a������� a������� �� a�� � � ε i � ���� a��a����� c�� a� �����c���a� ��������� c�������a�a� c�������a�a� �a�a a ��������� ����a� ������� ( α � β ��� �a�������� ���c����c����). ���c����c����). C���������, C���������, �a�a � ������, a� ��������� ������a���� ���������� �� �b����a���� ��� ������� 10 a��� �a ������a: 10
10
∑ Y i = 100 ; ∑ X i i =1
10
= 60 ;
∑ X i × Y i = 650 ; ∑ ( X i )
i =1
����� ����� �������
i =1
2
10
= 400 ;
∑ (Y i )
2
= 1080
i =1
������������������������������
��
���������� ������� ������������ ���������� � ���������� ���������� �� ����� � ���
M���a��� � ��a��� �� a������ �� �a����c�a, ������ ���: a) a �a��a��� �����ca�a, ����� �� �a��a��� ������ � ���������, a�������a a�������a �� �a��� ���a� a 80; b) ��������� a �a��a��� ������a� ���a �a��a��� ���a�, �b����� � c������������� c����c����� �� ��������a���; c) � �a��� �a ���a�����ca F ��c������a �a�a � ����� �a �������c�a �� ��������� � ���a� a� c����c����� �a ������� �a �a��a��� �����ca�a ���a �a��a��� ������a� �) a �a��a��� ������a� a�������a �� �a��� ���a� a 17,5 �) a �a��a��� ���a� � ��a� a�������a �� �a��� ���a� a 62,5. [Ob����a���: c�������� ��� ��c� �� �ab� ��� �� c����c������ b = 1,25 , c������� c��c���� �a Q������ 2]
� � ��� �a��� ���: a = 2,5 ;
�
���������.
E� ��� �� ������a� � ����� ����a �� ��a��a����, a ������� ���� ������a��� ��a��a����. A����, �a����� a c�����������c�a ��� ������ �a ������� c�� a������ ��� ��� �����: � S��a �� ��a��a��� ��a��a��� ���a�: �a��a��� ���a� � S��a �� ��a��a��� ��� ��������: �a��a��� ������a� � S��a �� ��a��a��� �a ���������: �a��a��� �����ca�a (�� ���a, � a �a��� �a �a��a��� ���a� ��� � �����ca�a ���� ������ �� ���������). A �a��a��� ���a� ��ca:
(
)
SQTotal = ∑ Y i − Y
2
U�����a��� a ��a������a��� ��� �����:
(
)
2
2
2
SQTotal = ∑ Y i − Y = ∑ Y i − nY SQTotal = 1.080 − 10 × 10 2 = 80
P���a��� a ����a E ���� ���a�a. A �a��a��� �����ca�a (=�a��a��� �� ������ = S��a �� Q�a��a��� �a R��������) ��ca:
[(
)(
)]
SQ Re gressao = b × ∑ X − X Y − Y
U�����a��� a� ��a������a���� ����a�: S Re gressao = b ×
(∑ ( XY ) − n X Y )
Re gressao = b × S Re
(∑ ( XY ) − n X Y )
SQ Re gressao = 1,25 × (650 − 10 × 6 × 10) = 1,25 × 50 = 62,5
D���� ����, a ����a A ���� ���a�a.
����� ����� �������
������������������������������
��
���������� ������� ������������ ���������� � ���������� ���������� �� ����� � ���
A �a����c�a ������a� (=S��a �� Q�a��a��� �� R�������) � ���a� a: SQ Re siduos = SQTotal − SQ Re gressão = 80 − 62,5 = 17,5
E a ����a D ���� c�����a. Va��� c��ca� a a�����a���a B. V���� ���: r 2 =
A ����a B �������� ����� ��� r 2 =
SQ Re gressao SQTotal
SQ Re siduos SQTotal
, � ��� ���� ���a��.
P�� ���, ���a��� a ����a C. A ���a�����ca F � �a�a ���: F _ teste =
QM Re gressao QM Re siduos
=
SQ Re gressao / 1 SQ Re siduos /( n − 2)
A a�����a���a C ���� ���a�a, ���� a����a ��� a ���a�����ca F � �a�a ���
SQ Re gressao SQ Re siduos
,
�����a��� a� �������� ����� ��a�� �� ��b���a��. ��������� �.
������� 1�
����/�� ������ 200� �����
Pa�a �������� � ������� ��������, c�������� ��� ��� ��a���a�� �� ������ �� �� �a�� c�� a ���a���a�� �� �� ��������a� a ���a��� ����� a R���a D��������� ( � ), ), �� ������� �� ���a���, � � c������ (C), �a�b�� �� ������� �� ���a���. Sab���� ��� ��� ������a�� � ������ ����a� ������� C i = a + bY i + ei , �� ��� C� � � c������ �� a�� �, Y � � a ����a ���������� �� a�� ��� � ei � ���� a��a����� a��a���� � c�� a� �����c���a� �����c��� a� ��������� c�������a�a� �a�a a ��������� ����a� �������. E��� ������ a��������� a� ��������� ������a���� c�����a� a��a��� �a �b����a��� ��� ������� 10 a���: 10
10
∑ C i = 800 i =1
10
∑ Y i = 1.000 i =1
10
∑ Y i C i = 83.600 i =1
2
∑ Y i = 105.000 i =1
10
∑ C i
2
= 67.240
i =1
O c����c����� �� c�����a��� r �� P�a���� ����� a� �a������� � � � C � �b���� ���a ������a: r =
cov(C , Y )
DP(Y ) × DP(C )
�� ���:
C��(C,� ) � a c��a����c�a c ��a����c�a ����� C � � ; DP(� ) � � ������ �a���� �� � ����� ����� �������
������������������������������
��
���������� ������� ������������ ���������� � ���������� ���������� �� ����� � ���
DP(C) � � ������ �a���� �� C. T����� ��� � �a��� �� c������������� �� ��������a��� r 2 � ���a� a: a) 60% b) 72% c) 76% �) 80% �) 90% ����������
N�� ����� ���������a�� �� �a�������� �� ������ ��� α � β . E ���������a��� ��a� �����a���a� ��� a � b . P��� b��, ����� ����c�c�� �� �a�������� ����� ����� c�a�a��� �� a � b . Va��� c�a�a� ��a� �����a���a� �� aˆ � bˆ .
(
)
SQTotal = ∑ C i − C n
=
2
∑ (C ) − nC
2
2
i
i =1
P���a���: n
SQTotal =
∑ (C ) − nC
2
2
i
= 67.240 − 10 × 80 2 = 3.240
i =1
SQ Re gressao = bˆ ×
(∑ (YC ) − n × Y × C )
SQ Re gressao = bˆ × (83.600 − 10 × 100 × 80)
L� �a Q������ 6 ��� ����� ��� bˆ = 0,72 L���: SQ Re gressao = 0,72 × (83.600 − 10 × 100 × 80) = 2.592
P�� ���, c���a��� a: r 2 = 2
SQ Re gressao
r =
SQTotal 2.592 3.240
= 0,80
��������� �
����� ����� �������
������������������������������
��
���������� ������� ������������ ���������� � ���������� ���������� �� ����� � ��� ������� 1�
��� �� 200� ������������
A�a��a���� �� �������� ba���a����, ���a������, �� ������� �� ��������� ����a� ��� ��a�� � ����� �� ����a � ��a ������ �� a����a� �a������� �a�� c��� � �a�a��� �� �������, ��a� c�������� � ��ca���a���. U�a a�����a �� �������� c����c�a���a��� �� ������ ��� c������ �a��� ��b�� � ����� �a ����a, �� R$ 1 000,00, � �a�a��� �� �������, �� �2, � a ������c�a a� c����� �a c��a��, �� ��. P������a����� �b������� � ������ c�� a���a� a �a������ �a�a��� �� �������, � �, c��� �����ca���a �� ����� �� ����a. O� ����c��a�� ��a����a����� ���a����� a ���� ������ ���a� ca�c��a��� c���:
C�������a��� � ��a��� ac��a, �� �a����� �� �� � � � � , �����c���a�����, ���: (A) 2826, 121 � 3,65E�07 (B) 2178, 121 � 0,77 (C) 2178, 36 � 0,77 (D) 648, 36 � 60,5 (E) 32,4, 18 � 34,1 ���������.
O ��a��a�� ����� ��� �������� � ���a� a 36 (�a�� �� ����c�a��). QM Re siduos =
SQ Re siduos 18
= 36
SQ Re siduos = 18 × 36 = 648
L���: X = 648
C�� ���� �� ������� �a�ca� a ����a D. O ��a��a�� ����� ��� �������� � 36 (�a�� �� ����c�a��). P���a���, � = = 36.
����� ����� �������
������������������������������
��
������ ��� ������� ������������ ���������� � ���������� ���������� �� ����� � ���
A ���a �� ��a��a��� ���a� � �� 2826 (�a�� ����c�a��). P���a���, a ���a �� ��a��a��� �a ��������� �: SQ Re gressao = SQTotal − SQ Re siduos Q Re gressao = 2826 − 648 = 2178
A ���a�����ca F ��ca: F _ teste =
Q
Re gressao SQ Re gressao / 1
Q M Re siduos
=
36
=
2178 36
= 60,5
��������� �
������� 20
����� 200� ������������
O C����c����� �� C�����a��� L���a� �� P�a���� ����� �� ���������� �� ��������a��� a��� a����� �� �� ��a� ��a� a�a� a�a��a �a�� ���� �� �ac���a�� � ���a� a 0,844. N���� N���� ca��, ca��, c��c���� � ��� a ��������� �a �a��ab��� �a��ab����a�� �a�� ��� ��� ������a� ������a��� �� ��a ��a �a� �a� a�a� a�a��a �a�� ���� �� ��� �������ca ca�a �a ��� ���aa � �a��� ����a� ����� ��a� � (A) 15,6% (B) 39,4% (C) 71,2% (D) 84,4% (E) 91,8% ���������.
O c����c����� �� �� ��������a�� ��������a��� � � ��a��a�� �� c����c����� �� c�����a��� . 2 = 0,712 r 2 = 0,844 ��������� �
����� ����� �������
�������� ���� �������� ������� ������� ������� ������� ������ ����
��
���������� ������� ������������ ���������� � ���������� ���������� �� ����� � ��� ������� 21
��������� 200� ������������
U� ������ �� ��������� ����a� ������� �� � �� �� � , c�� ��a �a������ �����ca���a � � ����� c����a���, ��� �����a�� c�� 32 �b����a����, ���a��� �� � � �� 0,25. N� ����� �� �a���a�� �� ������, � F�ca�c��a�� �� F��b����a�� � ���a� a (A) 10 (B) 11 (C) 12 (D) 13 (E) 14 ���������. 2 r =
SQ Re gressao
0,25 =
SQTotal SQ Re gressao SQTotal
SQ Re gressao = SQtotal × 0,25
L��b�a��� ���: SQTotal = SQ Re gressao + SQ Re siduos
L���: SQ Re siduos = 0,75 × SQTotal
A ���a�����ca F ��ca:
F _ teste =
QM Re gressao QM Re siduos
=
SQ Re gressao / 1 SQ Re siduos /(32 − 2)
=
0,25 × SQtotal 0,75 × SQTotal / 30
= 10
��������� �
������� 22
����� 200�/2 ����������� � ������� ���������
U� ����������� ��� ��a���a�� c�� � �b������ �� �����a� � ����� �� ��a a���, �a�� � ��� �a��� �a�������a�, a�b�� �� ��a��. U�a a�����a �� a���� ����c�a�a� ��c��������� �����c�� �a��� ��b�� � ����� � � �a��� �a�������a� ��� a���. A���c����� � ������ �� ��������� ����a� ������� Y = α + β X + ε . A����� ������a��� �a �ab��a �a a������ �a �a����c�a, �b���a a �a���� ��� �a��� ����a a�����a, ����� a�������a��� a ������.
����� ����� �������
������������������������������
��
���������� ������� ������������ ���������� � ���������� ���������� �� ����� � ���
J����� �� ����� aba���: I � O c����c����� �� ��������a��� �����a ��� � ������ �������� �����ca a������a�a����� 63% �a �a��ab����a�� ���a�. II � O �a��� �a ���a�����ca ���������� � 100, � a c��c����� �� ����� � ��� a �a������ �a��� �a�������a� � �������ca���a, ���� �, ������� ������a� a �������� ���a H 0 : β = 0 .
���������.
P������� ����. SQ Re gressao = QM Re gressao / 1 SQ Re gressao = 56.000
O c����c����� �� ��������a��� ��ca: r 2 =
SQ Re gressao SQTotal
=
56.000 88.480
= 0,63
P���a���, 63% �a �a��a��� � �����ca�a ���a ���a �� ���������. O� ���a, � ������ �� ��������� �����ca 63% �a �a��ab����a�� ���a�. O �������� ���� ���� c����. S������ ����. SQ Re siduos = SQTotal − SQ Re gressao SQ Re siduos = 88.480 − 56.000 = 32.480
A ���a�����ca F ��ca: F _ teste =
QM Re gressao QM Re siduos
=
SQ Re gressao / 1
SQ Re siduos /(60 − 2)
=
56.000 32.480 / 58
= 100
O ������� ���� �a�b�� ���� c����. ��������� �����, �����
E�b��a ���a ������a��� ��� ����a ���� ��c������a �a�a �������� a �������, �a��� �a�a� ��b�� � F���, ��� a�a��c� �a �ab��a. O �a��� �� F��� �a�a �a�� � ��� � �a��� ���c������ �� ����� �� ��������� �a�a β = 0 . O� ���a, � a ���bab����a�� �� ��a �a������ c�� ������b����� F, c�� 1 ��a� �� ��b���a�� �� �����a��� � 58 �� �������a���, a������ �a����� �a����� ��� 100 (��� � a ���a�����ca �����).
����� ����� �������
������������������������������
��
���������� ������� ������������ ���������� � ���������� ���������� �� ����� � ��� ������� 2�
����� �� 200� ������
� �, � �) �� ��a� �a������� a��a����a� � � U�a a�����a a��a����a ������� ( � � � � �), ( � � � � �), ..., ( � � � �����c�� a� ��������� ��a����a���: n
∑ ( X i − X )
2
= 414
i =1 n
∑ (Y i − Y )
2
= 359
i =1 n
∑ ( X i − X )× Y i = 345 i =1
Ca�c��� � �a��� �a�� ������� �� c����c����� �� ��������a��� �a ��������� ����a� �� Y �� X. a) 0,88 b) 0,92 c) 0,85 �) 0,80 �) 0,83 ����������
N� ca�� �� ������ ���a� �� ��������� ����a�, � c����c����� �� ��������a��� � ���a� a� ��a��a�� �� c����c����� �� c�����a���. A��� a ������� ������a ����a ���a��a�� ���������� ���a������. O �����a��� �a ������a �� c����c����� �� c�����a��� �: n
∑ [( X i − X )× (Y i − Y )] i =1
Fa����� a ��������ca���, ��ca��� c��: n
∑ [( X i − X )× Y i − ( X i − X )× Y ] i =1
S��a�a��� � ���a����� �a ��������a �� ��������a �� ���a������: n
n
i =1
i =1
= ∑ [( X i − X )× Y i ] − ∑ [( X i − X )× Y ] A ����a �� � � � c����a��� � ���� ��a��� �� ���a�����: n
n
i =1
i =1
= ∑ [( X i − X )× Y i ] − Y ∑ [( X i − X )] A ���a ��� ������� �� ���a��� � ����a �� � � � ���a� a ����: n
= ∑ [( X i − X )× Y i ] − Y × 0 i =1
����� ����� �������
������������������������������
��
������ ��� ������� ������������ ���������� � ���������� ���������� �� ����� � ��� n
= ∑ [( X i − X )× Y i ] i =1
L���, ����a ������a �a�a � c ���c����� �� c�����a��� ����a: n
∑ [( X i − X )× (Y i )] i =1
r =
n
n
∑ ( X − X ) × ∑ (Y − Y ) 2
i
2
i
i =1
i =1
E, �a�a �a�a ���a ���a ������ ������a, a, � ���� ����cc �a�� �� ��� ���a� a� c���a� �����a�: r =
345 414 × 359
E���a��� � c����c����� a� �� ��a��: r 2 =
345 414
×
345 359
Fa����� a �������a �������, � ���: 2 r = 0,83 ×
345 359
O �0,83� �0,83� ���� ���� ���� ����� � ����� �������� ���cca�� ��� �� ������ ����� ��� 1. T��a ��� ��� ��������ca��� �� ��� ������ ��� ��� ��� ���� ����� � ��� ��� � �a ����� ��� 1, � ������ ������a� �������. L���, a �������a ���c��a� ���c��a�aa ���� ���� ����� ����� ��� ��� 0, 0, 3. A ���ca ����� � a ����a D. ��������� �
������� 24
������ 200� ������������
O ���a� ���a��� ����c ��c� � �� �� ��a ��a ���� ���� ��������� ����� a �a����a��� a���, � � ����� �� a�����a� P������a����� ���������� a
���a �� �������� ����a������c�� �����a �����a� a ���a��� � c������ (� ), ), �� ��a ��ca�a �� 0 a 100, a ��a ��a�� ( � �), �� � �), �� ����c ( � ����c�. �. Pa� Pa�aa ����, ����, ���a ���a� � ����c ����c��� ���a��� 46 �ac������. ��a��� ����� a �a����a��� �� �ac����� �ac����� � a �� ��a��.
a) C�������a��� � ������ � ��������� Y = b0 + b1 X 1 + ε , ��������� � �a����� �� A � B �a �ab��a �a ANOVA.
���������. F _ calculad =
����� ����� �������
QM Re gressao QM Re siduos
=
A 67
⇒
A = 67 × 36 = 2 12
����������� ������ ��������� ��������� ���������� �������� �����
��
���������� ������� ������������ ���������� � ���������� ���������� �� ����� � ��� SQTotal − SQ Re gressao = SQ Re siduos 5363 − 2412 = B
B = 2951
Ob�: �a�a ���a �������, ab���a, ��� c����a � �aba���� ���c�a� �� ���� �a ba�ca. S� ��c�� ac�a��� a���� ���� �a ����a ���������, � �� �a�a�.
��
������ ����������
Na ������c�a, ��a�� ����c�c��� �� a������� ��� ��� ���c� c�b�a���. C���� ��� a ���bab����a�� �� ����� �������� �� ����a � ������a. P�� ���� ������, �������, �� �a��a���, c��� �����������, ��� a�����a� ����� �a �����a. ������� 25
����� 200� ������������ � �����������
O ����� �� �������� �� ��� a c�����a��� ����a� ����� � � � � � ���a a��������� �� �a��� ���c������ (���a���) �� 0,480. C��c������, �����, ��� I � a �������� ��� ρ = = 0 �a�a ��a����� ����� �� �������c��c�a ����� �� ��� 0,480 ��� ���� ��� ������a�a; II � � c����c����� �� ��������a��� � ����� �� ��� 4,0%; III � c�� 48,0% �� c����a��a a����a��� ��� a ���a��� ����� � � � � � ������, �a� � ��� ����a�; IV� a �a������ � ��� ��� ���� ��� �������a c��� ��a ������ ����a� �a �a������ � �. ����� ����� �������
������������������������������
��
���������� ������� ������������ ���������� � ���������� ���������� �� ����� � ���
S�� c�����a� ������ a� a����a���� (A) I � II (B) III � IV (C) I, II � III (D) I, III � IV (E) II, III � IV ���������.
C�������� ��� ���a��� �����a��� �� ������ ���a��� ����a� ����� ��a� �a������� � � � . Q������� �ab�� �� � c����c����� �� c�����a��� ����� ��a� � ������� �� ����, �� �� ��� ������ ������� �� 1. Q������� �����a� a ���a �� ��������� ( Y = α + β X + ε ). U�a �a�a a�����a, c������� � �a��� �����a��� �a�a a� �a������� � � � � , �a� �����c�� c����� �a����� �a�a � c����c����� �� c�����a��� � �a�a a� �����a���a� � � � �a�a �� �a�������� α � β . . S� ����a���� �� ���a� a� a�����a� ���������, ���������, ����� �� �a����� �� r � � � � � ��� �a������� a��a����a�. S���� �a������� a��a����a�, ���� ������� ��a c���a ����a � �� c���� ������ �a����. P������ ��a c���a ������ ������a�� �� ���bab����a��. O�a, �� �� � � � ��� �a������� a��a����a�, ������� �a��� ���� � ��� �����a��� a������������: ��a���a� ����� �� ���������, ��������a� ������a��� �� c����a��a, ��������a� � �a�a��� ��� ���� ��� a a�����a �a�a c�������� �� c���� ���� ������ ��c. N���a �������, ����c���ca�����, ����������� ��a���a� �� ����� �� ��������� �a�a � c����c����� �� c�����a��� (��� ���� ����� c�a�a�� �� ρ ). G��a������, ��a��� ��� ��������� a� c����c����� �� c�����a��� �a �����a���, �����a���, ��a��� ρ . . Q�a��� ��� ��������� a� c����c����� �� c�����a��� �a a�����a, ��a��� � . A �������� ���a �: H 0 : ρ = 0
O� ���a, a �������� ���a ����ca ��� ��� �� ���a��� ����a� ����� a� ��a� �a�������. N�� �������, c�� ���a����, c��� �a��� ���� �����. N�� ������� c��� ca�c��a� a ���a�����ca �����, ��� c��� ��������a� � �a��� c����c�, ��� ��a� a ������b����� �� c����c����� �� c�����a��� a�����a� ( � ). ). I��� ������ ���� ���� �� ������� ��� � ����� c����. Pa�a ���a ������� �� ����c�a�, ��� ��a ���c��� �ab�� �a�a �����. P�� ���? P����� a ������� ��� � ���a���. Pa�a ��c���� �� ������� ������a� a �������� ���a �� ���, ba��a c���a�a� � ���a��� c�� � ����� �� �������c��c�a. S� � ���a��� � �a��� ��� � ����� �� �������c��c�a, ac���a��� a �������� ���a. S� � ���a��� � ����� ��� � ����� �� �������c��c�a, ������a��� a �������� ���a. O �������� ���� a����a ���, �� � ����� �� �������c��c�a ��� ����� ��� � ���a���, ����� ��� ������a��� a �������� ���a, � ��� ���� c������.
����� ����� �������
������������������������������
��
���������� ������� ������������ ���������� � ���������� ���������� �� ����� � ���
S������ ����. O c����c����� �� ��������a��� � ���a� a� ��a��a�� �� c����c����� �� c�����a���. − 0,059 2 = 0,003
D� �a��, ���� ������ � ����� ��� 4%. T��c���� ����. Na�a ������� a����a� ��b�� ������� �� ��� ���a���� ��������a���. Na ����a �������, � ���� ���� ���a��. N� �aba���� ���c�a� ����������, ��� ��� �a�� c��� c����. Q�a��� ����. A ��c���� ��b�� �������a� ��a �a������ c��� ������ ����a� �a ����a ���� ���ac���a�a c�� � ����� �� c����a��a ��� �� �������� a���a�. Q�a����� ��c���� ba��a�a �� �a��� a�����a�� ������ ���a�� ������a a ����. ��������� � (�a ����a �������, ����a ����a A. S� a����� ac�a� a���� ���� �a ����a �������,
��� �a��� �� a����). ������� 2�
����� 2002 ������.
Ob����a���� ( X i , Y i ) �� ��a� �a������� �c�����ca� �a����a��� � ������ ����a� Y i = α + β X i + ε i ���� �� X i ��� c����a����, α � β ��� �� �a�������� ���c����c���� � �� ε i ��� ����� ����a�� ��� �����a����� �b���������, ��� c�����ac���a��� c�� ����a ���a � ����a �a����c�a σ 2 . D����a��� ����a� a �������� H �: β ≥ 0 c����a a �������� a�����a���a H�: β < 0 . O ������ �� ������� ��a��a��� a���ca�� �� ��a a�����a �� �a�a��� 18 �������� � ������ a����a��: ˆ = 2 − 2,12 X Y
S���� � ������ �a���� �� c����c����� � �����a�� �� 1. A����a�� a ����� ��� �� � �a��� ���bab������c� (���a���) �� ����� �� �������� �� c����a a �������� H �. U�� a �ab��a � ab��a �a ������ �� ������b����� �a �a������ � �� S������ �a�a a ������.
����� ����� �������
������������������������������
��
���������� ������� ������������ ���������� � ���������� ���������� �� ����� � ���
G�a�� �� ��b���a�� 15 15 15 16 16 16 17 17 17 18 18 18
�
� ) F( �
1,341 1,753 2,131 1,337 1,746 2,120 1,333 1,740 2,110 1,330 1,734 2,101
0,900 0,950 0,975 0,900 0,950 0,975 0,900 0,950 0,975 0,900 0,950 0,975
a) 0.533 b) 0.440 c) 0.630 �) 0.438 �) 0.300 ���������.
O ����� �a�� c���� ��b�� � �a��� �� β c������� �a �������� �� ��� ��� β =0. =0. Ca�� ���������� ���a �������� ���a, c��c������ ��� �� ��������� �� � ��b�� ��b�� � . E��� ���c�������� ����� �a�a ������ca���� a ��a���a�� �� ������ �� ���������. J� ����� �� ���� �� �a��� ����. F�� ��� ���� �a a������ �� �a����c�a �a ���������, ������a��� a ���a��� ����� � ��a��a�� ����� �a ��������� � � ��a��a�� ����� ��� ��������. P��� b��, ������ ����a ����a �� �a�����. Pa�a � ����� �� β , , �a�b�� ������� ������a� a ������b����� T, c�� n − 2 ��a�� �� ��b���a��. A ������� ��� ����� �a�a �a������ � ����� c�������. P��c��a��� a���a� ca�c��a� � ���a���. J� �����, �a a��a �� ����� �� ���������, ��� � ���a��� � a ���bab����a�� �� �b������ �a����� ��� �������� ��a��� a ���a�����ca �����. A ���a�����ca ����� ��� �����a��� �a����a a��a, ��a��� ��� �� c����c� a �a����c�a �� �a�������, ���: t _ teste =
X − µ s X
N� �����a��� ����� a �����a���a ( X ) � � �a������� ( µ ) . N� �������a��� � ������ �a���� �a �����a���a. A��� � a ����a c���a. S� ���a ��� � � a �����a���a. E � �a������� �����a�� � β . .
����� ����� �������
������������������������������
��
���������� ������� ������������ ���������� � ���������� ���������� �� ����� � ���
A ���a�����ca ����� ��ca: t _ teste =
b − β sb
O �a��� �� β ��� �� �������� �������� ����a� � 0. O �a��� �� �� � �b���� ��� �2,120 (�����c��� �� ����c�a��). A �a����c�a �� � � 1 (�����c��� �� ����c�a��). P���a���: t _ teste =
− 2,120 − 0 1
= −2,120
C������a��� a �ab��a �a�a � �a��� 2,120 (� 16 ��a�� �� ��b���a��), �b����� 97,5%. P���a���, 97,5% ��� �a����� �� � ��� ������� �� ���a�� a 2,120. O� ���a, 2,5% ��� �a����� ��� 2,120. D����� � �������a �a ������a�� �� �, 2,5% ��� ������� ��� �2,120. P���a���, a ���bab����a�� �� �b������ �a����� ��� �������� ��a��� a ���a�����ca ����� (�� ���a, �a����� ������� �� ���a�� � �2,120) � �� 2,5%. ��������� �.
D���a ������� ��a��� ���, �a�a ����a� a �������� ��b�� � �a��� �� β , , ������� a ������b����� T c�� n − 2 ��a�� �� ��b���a��. ������� 2�
���� 200� ������������
E� �� ������ �� ��������� ����a� �������, �� ������a�� �� c����a��a �� 95,0% �b���� �a�a � c����c����� a����a� ��� (−0,24 ; 1,68). C�� ���� ������a�� �� �� ���� c��c���� ��� (A) � �����c���� � ���a� a ����. (B) � c����c����� a����a� � ���a����. (C) a ���a��� ����� a� �a������� � ��� ����a�. (D) a �a������ ���������� a����� �a����� ���a�����. (E) ��� ������ ���a��� ����a� ����� a� ��a� �a�������. ���������.
U�����a������ a ������b����� T c�� n − 2 ��a�� �� ��b���a�� �a�b�� � �������� ��������a� ������a��� �� c����a��a �a�a β . . A ������� �� �����c�� � ������a�� �� c����a��a ������. J� �ab���� ���, c�� c����a��a �� 95%, β ���� ����� 0,24 � 1,68. 1,68. Ob������ ��� � �� ������a�� ������a�� ��� c�������a �a����� �a����� �������� �� ���� (�a��� ���a����� ��a��� ���������). Va����� ��������� �a�a β ����ca� ���a��� �����a. Va����� ���a����� �a�a β ����ca� ���a��� ������a. ������a. O�a, �� a a�����a a�����a ��� � ca�a� ��� �� ��� �a� ��a �a��� �����a��a ��a��� a� ���a� �� β (�� �������� �������� �� ���a����),
����� ����� �������
������������������������������
��
���������� ������� ������������ ���������� � ���������� ���������� �� ����� � ���
���� � �� ����� � ���� ���a� �� ��� ��� ������ ���a��� ����a� ����� a� �a������� �����a�a�. P�� ����, a a�����a���a E ���� c�����a. V��a��� �� ����� �a� ���a�� a�����a���a�. a�� ���a���a�. A ����a �A� �a�a �� �����c����. I����c���� �a�a �a�� � ��� � ����� �� ��� a ���a �� ��������� c���a � ���� �. S���a � �a��� �� α . . Sab�� a���a� � ������a�� �� c����a��a �a�a β ��� a���a �� �a�a �a ��������a��� �� �a��� �� α . . A a�����a���a �B� a����a ��� � c����c����� a����a� � ���a����. C��� �� ��������, ��� ����� �����a��a ��� ��a��� a� ���a� �� β . . A a����a���a �C� ��� ��� ��� a ���a��� ����� a� �a������� � ��� ����a�. B��, ca�� β ���a ��a������ ����, ���� �������ca ��� ��� �� ���a��� ����a�. Ma� ��� �������ca ��� �����a ����� ���� �� ���a��� (c��� ��a�����ca, �������c�a�, �������c�a�, ���a�����ca ��c). A a����a���a �D� ��� ��� a �a������ ���������� a����� a���a� �a����� ���a�����. N�� �� ��a����� ������a��� ��b�� �� �a����� a�������� ���a� �a������� �� ������� (���a a ���������� �� ������������). ��������� �
B�� �����, ��c���a��� a��� ����� ����� c���� �� �ac��c���� ����c�, �a������ca ���a�c���a � ���a�����ca. Fa��a a���a a ����a �� ������� �� ���a�����ca, ��� ��ca �a�a a ���a�a ��� ���. B��� �������. V����.
��
�������
����� ����� �������
������������������������������
��
���������� ������� ������������ ���������� � ���������� ���������� �� ����� � ��� ���������
������
R�������� ����a�
M�����: Y i = α + β X i + ε i
E����a����� ��� �a��������:
b=
∑ [( X i − X )× (Y i − Y )] ∑ ( X i − X ) 2
a = Y − b X
R��a �� ��������� �a��a��� ���a ������
M�����: Y = α X + ε A �����a���a �� α � �a�a ���: a=
A������ �� �a����c�a �a ��������� � ���a� �� ��a��a���
∑ ( XY ) ∑ ( X ) 2
SQTotal = SQ Re gressao + SQ Re siduos
[(
)(
)]
SQ Re gressao = b × ∑ X − X Y − Y
Q�a��a��� ������
Q�a��a�� ����� ���a�: QMTotal =
SQTotal n −1
Q�a��a�� ����� ��� �������: QM Re siduos =
SQ Re siduos n−2
Q�a��a�� ����� �� ������ �� ���������: SQ Re gressao QM Re gressão = 1
C����c����� �� ��������a��� ��������a��� r 2 =
SQ Re gressao SQTotal
E��a�����ca F F _ teste =
����� ����� �������
QM Re gressao QM Re siduos
������������������������������
��
���������� ������� ������������ ���������� � ���������� ���������� �� ����� � ���
��
�������� ������������ �� ����
������� 1
��������� 200�/2 ������������
Na �����a���a �� ��a ��������� ����a�, � ���b���a �a ������c��a���c��a�� �c���� ��a��� (A) �� �a��� ��� ��a������a��. (B) �� a�������a��� ��� ��������. (C) �� c�����a��� �������a ����� a� �a������� �������������. �������������. (D) a �a����c�a ��� ����� ��� � c����a���. (E) a� �a������� ������������� ������������� ��� ���a���a�. ������� 2
����� � 200� �����
U�a ������a, c�� ���a���a�� �� ��������a� a ���a��� ����� �a���� a��a�� c�� ����a�a��a � ), ( � ), �� R$ 1.000,00 � � ��c�� b���� a��a� ( � ), ), �� R$ 1.000,00, ����� ��� ������a� � ������ ����a� ������� Y i = α + β X i + ε i , �� ��� Y i � � �a��� �� ��c�� b���� a������� �� a�� � � ε i � ���� a��a����� c�� a� �����c���a� ��������� c�������a�a� c�������a�a� �a�a a ��������� ����a� ������� ( α � β ��� �a�������� ���c����c����). C���������, �a�a � ������, a� ��������� ������a���� ������a� ��� ���������� �� �b����a���� ��� ������� 10 a��� �a ������a: 10
10
∑ Y i = 100 ; ∑ X i i =1
10
= 60 ;
∑ X i × Y i = 650 ; ∑ ( X i )
i =1
i =1
2
10
= 400 ;
∑ (Y i )
2
= 1080
i =1
U�����a��� a ���a��� �a ���a �b���a ���� ������ ��� ������� ��a��a���, ������ ���, ca�� �a�a �� �a��� a��a� c�� ����a�a��a �� 80 ��� ��a��, a �������� �� ��c�� b���� a��a�, �� ��� ��a��, ���� ��: a) 84 b) 102,5 c) 121 �) 128,4 �) 158 ������� 3
����� 200� �����
U�a ������a, c�� ���a���a�� �� ��������a� a ���a��� ����� �a���� a��a�� �� �������a � ��������������� ( � ), ), �� ����a��� �� ��a��, � � ac���c��� a��a� �a� ����a� ( � ), ), �a�b�� �� ����a��� �� ��a��, ����� ��� ������a� � ������ ����a� ������� Y i = α + β X i + ε i , �� ��� Y i � � ac���c��� �a� ����a� �� a�� � � ε i � ���� a��a����� c�� a� �����c���a� �����c���a� ��������� ��������� c�������a�a� �a�a a ��������� ����a� ������� ( α � β ��� �a�������� �a������ �� ���c����c����). ���c����c����) . C���������, �a�a � ������, a� ��������� ������a���� ���������� �� �b����a���� ��� ������� 10 a��� �a ������a:
����� ����� �������
������������������������������
��
���������� ������� ������������ ���������� � ���������� ���������� �� ����� � ��� 10
10
∑ Y i = 160 ; ∑ X i i =1
10
= 100 ;
∑ X i × Y i = 1900 ; ∑ ( X i )
i =1
2
10
= 1200 ;
i =1
∑ (Y i )
2
= 3060
i =1
U�����a��� a ���a��� �a ���a �b���a ���� ������ ��� ������� ��a��a���, �b�������, �a�a �� ��������a�� �a��� �� �������a � ���������������, ��a �������� �� ac���c��� �a� ����a� �� �a��� �� 19 ��� ��a��. O �a��� ��� �� c��������� �a�a � �a��� c�� �������a � ���������������, ���������������, �� ��� ��a��, ���: a) 14 b) 13,75 c) 13,0 �) 12,4 �) 12,0 ������� 4
����� �� 200� �����
E� �� ��������a�� �a��, �����a��� ��������a� a ���a��� ����� a ����a ���������� ( � ), ), �� b������ �� ���a���, � � c������ (C), �a�b�� �� b������ �� ���a���. F�� ������a�� � ������ ����a� ������� C i = α + β Y i + ε i , �� ��� C� � � c������ �� a�� �, Y � � � �a��� �a ����a ���������� �� a�� � � ε i � ���� a��a����� a��a����� c�� a� �����c���a� �����c���a� ��������� ��������� �a�a a ��������� ����a� �������, α � β ��� �a�������� ���c����c����, ���c����c����, c��a� �����a���a� ���a� ���a� �b���a� a��a��� �� ������ ��� ������� ��a��a���. Pa�a �b������ ����a ���a��� c������������ a���a a� ��������� ������a���� c�����a� a��a��� �a �b����a��� ��� ������� 10 a���: 10
10
∑ C i = 90 ,
∑ Y i = 100 ,
i =1
i =1
10
10
∑ Y i C i = 1.100 , i =1
2
∑ Y i = 1.250 , i =1
10
∑ C i
2
= 1.010
i =1
Pa�a � c��c��� �� c����c����� �� c�����a��� �� P�a���� (�), ������� a ������a: cov(Y , C )
�� ��� cov(Y , C ) � a c��a����c�a ����� � � C, DP(Y ) � � ������ DP( y ) × DP(C ) �a���� �� � � � DP(C ) � � ������ �a���� �� C. r =
E����: a) �b����� �a�a �� ��������a�� a�� ��a �������� �a�a � c������ �� 10 b������ �� ���a���, �������ca ��� a ����a ���������� c�������a�a ��� �� 12,5 b������ �� ���a���. b) � �a��� �a �����a���a ��c����a�� �a�a � �a������� β � ���a� a 0,4 c) � �a��� �a �����a���a ��c����a�� �a�a � �a������� α � ���a� a 10. �) � c����c����� �� �����ca��� � � c������������� � 64%. �) ������a��� a ���a��� �a ���a �b���a ���� ������ ��� ������� ��a��a���, ������ ���, �� �� a��, ca�� a ����a ���������� ���a ���a� a 15 b������ �� ���a���, � c������ ���� ���a� a 13 b������ �� ���a���.
����� ����� �������
������������������������������
��
���������� ������� ������������ ���������� � ���������� ���������� �� ����� � ��� ������� 5
���/�� � 200� �����
U� ������ ��a���a�� �� ��a ������a ��b�� a ���a��� ����� � ��c�� b���� a��a� ( � ), ), �� ����a��� �� ��a��, � �� �a���� a��a�� c�� ����a�a��a ( � ), ), �a�b�� �� ����a��� �� ��a��, ����ca ��� ��a b�a ����� � a ������a��� �� ������ ����a� ������� Y i = α + β X i + ε i , �� ��� Y i � � ��c�� ��c�� b���� �� a�� a�� ���, X i ���������a �� �a���� c�� ����a�a��a �� a�� ���, ε i � �
���� a��a����� c�� a� �����c���a� ��������� c�������a�a� �a�a a ��������� ����a� � α � β ��� �a�������� ���c����c����. ��� ���� �� ������ ��� ������� ��a��a��� �b������� � �a��� �� 150 �a�a a �����a���a �� �a������� α , c�������a��� a� ��������� ������a���� �b���a� ���a� �b����a���� ��� ������� 10 a���: 10
10
∑ Y i = 2.500
∑ X i
i =1
= 400
i =1
U�����a��� a ���a��� �a ���a �b���a ���� ������ ��� ������� ��a��a���, ca�� a ������a a����� �b��� �� �� ��������a�� a�� �� ��c�� b���� �� 450 ��� ��a��, ���� a�������a� �� ���a� �� �a���� c�� ����a�a��a, �� ��� ��a��, ��: a) 60 b) 80 c) 120 �) 160 �) 200 ������� �
����/�� ������/2005 �����
Pa�a �������� � ������� ��������, c�������� ��� ��� ��a���a�� �� ������ �� �� �a�� c�� a ���a���a�� �� �� ��������a� a ���a��� ����� a R���a D��������� ( � ), ), �� ������� �� ���a���, � � c������ (C), �a�b�� �� ������� �� ���a���. Sab���� ��� ��� ������a�� � ������ ����a� ������� C i = a + bY i + ei , �� ��� C� � � c������ �� a�� �, Y � � a ����a ���������� �� a�� ��� � ei � ���� a��a����� a��a����� c�� a� �����c���a� �����c���a� ��������� ��������� c�������a�a� �a�a a ��������� ����a� �������. E��� ������ a��������� a� ��������� ������a���� c�����a� a��a��� �a �b����a��� ��� ������� 10 a���: 10
∑ C i = 800 i =1
10
10
∑ Y i = 1.000 ∑ Y i C i = 83.600 i =1
i =1
10
2
∑ Y i i =1
10
= 105.000
∑ C i
2
= 67.240
i =1
A ���a��� �a ���a a����a�a ���� ������ ��� ������� ��a��a��� ��c����a�a ���: ˆ = 20 + 0,60 × Y a) C i i ˆ = 10 + 0,70 × Y b) C i i ˆ = 8 + 0,72 × Y c) C i i ˆ = 6 + 0,74 × Y �) C i i ˆ = 4 + 0,76 × Y �) C i i
����� ����� �������
������������������������������
��
���������� ������� ������������ ���������� � ���������� ���������� �� ����� � ���
������� �
�� ���� ���� �����
E� ��a ��������a�a ������a � ��a���a�� �� ������ ��b�� a ���a��� ����� �� �a���� c�� ��b��c��a��, �� R$ 1.000,00, � � ac���c��� �� �a���a����� a��a�, �� R$ 1.000,00. F�� ��c������ �a�a a������ � ������ ����a� ������� Y� = α + βX� + ε�, ����� ��� Y� � � ac���c��� �� �a���a����� �� a�� �, X� ���������a �� �a���� c�� ��b��c��a�� �� a�� � � ε� � � ���� a��a����� c�� a� �����c���a� ��������� c�������a�a� �a�a a ��������� ����a� ������� (α � β ��� �a�������� ���c����c���� ). Pa�a �b������ �a� �����a���a� �� α � β ����������� � ������ ��� ������� ��a��a��� c�� ba�� �a� ������a���� ��� ������� 10 a��� �a ������a, �� ���a: 10
10
∑ Y i = 180 ; ∑ X i i =1
10
= 100 ;
i =1
10
∑ X i Y i = 1.912 ; ∑ X i i =1
i =1
2
10
= 1.080 ;
2
∑ Y i
= 3.440
i =1
U�����a��� a ���a��� �a ���a �b���a ���� ������ ��� ������� ��a��a���, ������ ��� �� a ������a a����a� �� ac���c��� �� �a���a�����, �� �� ��������a�� a��, �� R$ 25.000,00 ������ a�������a�, ����� �������, �� ���a� �� �a���� c�� ��b��c��a�� �� (A) R$ 20.000,00. 20.000,00. (B) R$ 18.000,00. (C) R$ 17.000,00. (D) R$ 16.000,00. (E) R$ 15.000,00. ������� �
�� �� ���� �����
C�������� ��� ��� �b���� a��a��� �� ������ ��� ������� ��a��a��� � a����a����� �� ������ Y i = α + β X i + ε i , �� ��� � c���������� c���������� a ������a �b����a���, α � β ��� �a�������� ���c����c���� � ε i � ���� a��a�����, c�� a� �����c���a� ��������� c�������a�a� c�������a�a� �a�a a ��������� ����a� �������. F�� ������a�a ��a a�����a a��a����a c�� 100 �a��� �� �b����a���� (X , Y ), � = 1, 2, 3, . . . , 100; �b�������� �a�a a �����a���a �� β � �a��� �� 2,5. O �a��� �a ����a �a� �b����a���� X � ��� ���a� a 30 � �� Y � ���a� a 100. �
�
O �a��� ��c����a�� �a �����a���a �� α ��� ���a� a (A) 70. (B) 50. (C) 40. (D) 25. (E) 20. ������� �
�� �� ���� �����
C�������� ��� ��� �b���� a��a��� �� ������ ��� ������� ��a��a��� � a����a����� �� ������ Y i = α + β X i + ε i , �� ��� � c���������� c���������� a ������a �b����a���, α � β ���
����� ����� �������
������������������������������
��
���������� ������� ������������ ���������� � ���������� ���������� �� ����� � ���
�a�������� ���c����c���� � ε i � ���� a��a�����, c�� a� �����c���a� ��������� c�������a�a� c�������a�a� �a�a a ��������� ����a� �������. F�� ������a�a ��a a�����a a��a����a c�� 100 �a��� �� �b����a���� (X , Y ), � = 1, 2, 3, . . . , 100; �b�������� �a�a a �����a���a �� β � �a��� �� 2,5. O �a��� �a ����a �a� �b����a���� X ��� ���a� a 30 � �� Y ���a� a 100. �
�
�
�
U�����a��� a ���a��� �a ���a �b���a ���� ������ ��� ������� ��a��a���, ������ ��� �a�a �� �a��� �����a�� �� 115 �a�a Y, � �a��� c������������� �� X � (A) 24. (B) 36. (C) 46. (D) 48. (E) 52. ������� ��
����� �� ���� �����
O �����c� aba��� ��������a a �������� �a ��c���a ���b�����a a��a� �� ���a�� �� S�� Pa��� ����� 1999, c�� �� �a����� a���ca�a��� �� b������ �� ��a��.
Pa�a �����a� a ��c���a ���b�����a �� �� ��������a�� a�� c�� ba�� �� c������a����� �������� ���� �����c�, a�������� � ������ Y t = α + β t + ε t ; � = 1, 2, 3 ..., ����� Y t = ln(RT t ) Y = �� (RT ), �� ��� RT � a ��c���a ���b�����a �� a�� (1998 +�) �� b������ �� ��a�� � �� � ���a����� ������a�� ( ln e = 1). α � β ��� �a�������� ���c����c���� � ε t � ���� a��a����� c�� a� �����c���a� ��������� c�������a�a� �a�a � ������ �� ��������� ����a� �������. U�����a��� � ������ ��� ������� ��a��a���, c�� ba�� �a� �b����a���� �� 1999 a 2008, �b������� �a�a a �����a���a �� β � �a��� �� 0,12, �ab������� ���: �
�
�
10
∑ Y t = 39,0 t =1
����� ����� �������
������������������������������
��
���������� ������� ������������ ���������� � ���������� ���������� �� ����� � ���
A �������� �a ��c���a ���b�����a �a�a 2009, �� b������ �� ��a��, �� ������ �a ���a��� �b���a ���� ������ ��� ������� ��a��a��� � ���a� a (A) ����� (B) ����� (C) ����� (D) ����� (E) ����� ������� ��
�� �� ���� ������������
C�������� �� �a��� a�����a�� �� �� ������ �a ���a��� ����� � ������ �� a��� ��� �� ca����a��� a �������� �� �� ��������a�� ba�c� c����c�a� �����a�a� ������ �a �ac���a�� � a� ���a� �b���a� �� �� ����� � ���� �� �����c���c�a ����a �����a.
C�� ba�� ����a� ������a����, a ���a �� ������� ��a��a��� ��� ������ �����ca a ���a��� ����� � ������ �� a��� �� ������ � a ���a �� ����� �� ������ � ���a� a: (A) � = 1,33 + 3,56� (B) � = 2,25 + 1,32� (C) � = 6,97 + 3,56� (D) � = 35,32 + 10,9� (E) � = 254,56 + 13,3� ������� ��
��������� ���� ������������
A �ab��a aba��� �����a a� ���a��a� ��� �c�����a� ���a ��������a�a ��������.
����� ����� �������
������������������������������
��
���������� ������� ������������ ���������� � ���������� ���������� �� ����� � ���
C�� ba�� ��� c��c����� �� R�������� L���a� S������, ��a��a� ����a��� c������ a ���a��a �a�a �����? (A) 4.000 (B) 5.000 (C) 6.000 (D) 7.000 (E) 8.000 ������� ��
����� �� ���� ������
C�������� � ������ �� ��������� ����a� Y i = α + β X i + ε ,
� = = 1, 2, ..., 25
O��� �� Y i ���������a� ���������a� �b����a���� �a �a������ �������a � , �� X i ���������a� �b����a���� �a �a������ ������a �� � �� ε i ��� ����� ��� c�����ac���a��� c�����ac ���a��� c�� ������b����� ������b��� �� c���� ����a� c�� ����a ���� � �a����c�a 9. E� �������a� a�����a� �� ������, �a�� X i , a����a�� a ����� ��� �� a ��������� �����a�a �� �b����a���� �� Y ��� ������� �� �� �a��� ab������ �� ��a ����a ��� �� ������ 1,5. E� ��a �������a �a�a ��� �a �ab��a �a ������ �� ������b����� φ ( X ) �a ����a� �a���� �a�a aba���. X
0,40 0,50 1,00 1,50
φ ( X ) 0,655 0,691 0,841 0,933
a) 0,650 b) 0,950 c) 0,933 �) 0,382 �) 0,975 ������� ��
���� ���� ������
C�� � �b������ �� �����a���� � ������ Y = α + β X, ��� �����a�a ��a a�����a c�� c��c� �a��� �� �b����a���� (X,Y), �b�������� �� ��������� ������a���:
����� ����� �������
������������������������������
��
���������� ������� ������������ ���������� � ���������� ���������� �� ����� � ���
D���� ����, a) Y = � 2 � 2X b) Y = 2 � 2X c) Y = 2X �) Y = 2 + 2X �) Y = � 2 + 2X ������� ��
���/���� �������
U�a a���c�a �� ��������������� ��ba�� �������� �� �a��� a�������a��� �a �ab��a a ������, ac��ca ��� ������� �� ������� �����a��� ( � ) � �������� ( � ) �� ��������a�� ����c����, ��� a��� �� 2005 a 2007. A�� 2005 2006 2007
N����� �� ������� � ) O����a��� ( � V������� (� ) 1.500 100 1.750 400 2.000 700
C�������a��� a� ������a���� �� �����, ������ � ���� ��b��������. A �����a���a �� �a��� �� c����c����� α �a ���a �� ��������� Y = α X , �� ��� � ���������a ���������a � ������ �����a�� �� ������� �������� �a�a ��a ��a����a�� � �� ������� �����a���, � �������� a 0,23 � �������� a 0,26. ������� ��
�� �������� ���� ������������
N� ������ �� ��������� Y = β X + ε , � �����a��� �� ������� ��a��a��� �� β �:
����� ����� �������
������������������������������
��
���������� ������� ������������ ���������� � ���������� ���������� �� ����� � ���
������� ��
����� ���� �����
U�a ������a, c�� ���a���a�� �� ��������a� a ���a��� ����� �a���� a��a�� c�� ����a�a��a � ), ( � ), �� R$ 1.000,00 � � ��c�� b���� a��a� ( � ), ), �� R$ 1.000,00, ����� ��� ������a� � ������ ����a� ������� Y i = α + β X i + ε i , �� ��� Y i � � �a��� �� ��c�� ��c�� b���� a������� a������� �� a�� � � ε i � ���� a��a����� c�� a� �����c���a� ��������� c�������a�a� c�������a�a� �a�a a ��������� ����a� ������� ( α � β ��� �a�������� ���c����c����). ���c����c����). C���������, C���������, �a�a � ������, a� ��������� ������a���� ���������� �� �b����a���� ��� ������� 10 a��� �a ������a: 10
10
10
∑ Y i = 100 ; ∑ X i i =1
= 60 ;
∑ X i × Y i = 650 ; ∑ ( X i )
i =1
10
2
= 400 ;
i =1
∑ (Y i )
2
= 1080
i =1
M���a��� � ��a��� �� a������ �� �a����c�a, ������ ���: a) a �a��a��� �����ca�a, ����� �� �a��a��� ������ � ���������, a�������a a�������a �� �a��� ���a� a 80; b) ��������� a �a��a��� ������a� ���a �a��a��� ���a�, �b����� � c������������� c����c����� �� ��������a���; c) � �a��� �a ���a�����ca F ��c������a �a�a � ����� �a �������c�a �� ��������� � ���a� a� c����c����� �a ������� �a �a��a��� �����ca�a ���a �a��a��� ������a� �) a �a��a��� ������a� a�������a �� �a��� ���a� a 17,5 �) a �a��a��� ���a� � ��a� a�������a �� �a��� ���a� a 62,5. [Ob����a���: c�������� ��� ��c� �� �ab� ��� �� c����c������ � � � ��� �a��� ���: a = 2,5 ; b = 1,25 , c������� c��c���� �a Q������ 2] ������� ��
����/�� ������ ���� �����
Pa�a �������� � ������� ��������, c�������� ��� ��� ��a���a�� �� ������ �� �� �a�� c�� a ���a���a�� �� �� ��������a� a ���a��� ����� a R���a D��������� ( � ), ), �� ������� �� ���a���, � � c������ (C), �a�b�� �� ������� �� ���a���. Sab���� ��� ��� ������a�� � ������ ����a� ������� C i = a + bY i + ei , �� ��� C� � � c������ �� a�� �, Y � � a ����a ���������� �� a�� ��� � ei � ���� a��a����� a��a���� � c�� a� �����c���a� �����c��� a� ��������� c�������a�a� �a�a a ��������� ����a� �������. E��� ������ a��������� a� ��������� ������a���� c�����a� a��a��� �a �b����a��� ��� ������� 10 a���: 10
10
∑ C i = 800 i =1
10
∑ Y i = 1.000 i =1
10
∑ Y i C i = 83.600 i =1
2
∑ Y i = 105.000 i =1
10
∑ C i
2
= 67.240
i =1
O c����c����� �� c�����a��� r �� P�a���� ����� a� �a������� � � � C � �b���� ���a ������a: r =
cov(C , Y )
DP(Y ) × DP(C )
�� ���:
C��(C,� ) � a c��a����c�a c ��a����c�a ����� C � � ; DP(� ) � � ������ �a���� �� � ����� ����� �������
������������������������������
��
���������� ������� ������������ ���������� � ���������� ���������� �� ����� � ���
DP(C) � � ������ �a���� �� C. T����� ��� � �a��� �� c������������� �� ��������a��� r 2 � ���a� a: a) 60% b) 72% c) 76% �) 80% �) 90% ������� ��
��� �� ���� ������������
A�a��a���� �� �������� ba���a����, ���a������, �� ������� �� ��������� ����a� ��� ��a�� � ����� �� ����a � ��a ������ �� a����a� �a������� �a�� c��� � �a�a��� �� �������, ��a� c�������� � ��ca���a���. U�a a�����a �� �������� c����c�a���a��� �� ������ ��� c������ �a��� ��b�� � ����� �a ����a, �� R$ 1 000,00, � �a�a��� �� �������, �� �2, � a ������c�a a� c����� �a c��a��, �� ��. P������a����� �b������� � ������ c�� a���a� a �a������ �a�a��� �� �������, � �, c��� �����ca���a �� ����� �� ����a. O� ����c��a�� ��a����a����� ���a����� a ���� ������ ���a� ca�c��a��� c���:
C�������a��� � ��a��� ac��a, �� �a����� �� �� � � � � , �����c���a�����, ���: (A) 2826, 121 � 3,65E�07 (B) 2178, 121 � 0,77 (C) 2178, 36 � 0,77 (D) 648, 36 � 60,5 (E) 32,4, 18 � 34,1 ������� ��
����� ���� ������������ � �����������
����� ����� �������
������������������������������
��
������ ��� ������� ������������ ���������� � ���������� ���������� �� ����� � ���
O C����c����� �� C�����a��� L���a� �� P�a���� ����� �� ���������� �� ��������a��� a��� a����� �� �� ��a� ��a� a�a� a�a��a �a�� ���� �� �ac���a�� � ���a� a 0,844. N���� N���� ca��, ca��, c��c���� � ��� a ��������� �a �a��ab��� �a��ab����a�� �a�� ��� ��� ������a� ������a��� �� ��a ��a �a� �a� a�a� a�a��a �a�� ���� �� ��� �������ca ca�a �a ��� ���aa � �a��� ����a� ����� ��a� � (A) 15,6% (B) 39,4% (C) 71,2% (D) 84,4% (E) 91,8% ������� ��
��������� � �� ������������
U� ����� ������ � �� ��� ������ ����� ��� � ��� a� ������� �� � �� �� � , c�� ��a �a������ �����ca���a � � ����� c����a���, ��� �����a�� c�� 32 �b����a����, ���a��� �� � � �� 0,25. N ����� �� �a���a�� �� ������, � F�ca�c��a�� �� ��b����a�� � ���a� a (A) 10 (B) 11 (C) 12 (D) 13 (E) 14 ������� ��
����� ����/� ����������� � ������� ���������
U� ����������� ����������� ��� ��a���a� c�� � �b������ �� �����a� � ����� ����� �� �� a a���, �a�� � ��� �a��� �a�������a�, a�b�� �� ��a��. U�a U�a a��� a����� ��aa �� a��� a����� �� ���� ��c�a�a� ��c��������� �����c�� �����c�� �a��� ��b� � ����� � � �a��� �a�������a� ��� a���. A���c ���� � ������ �� ��������� ��������� ����a� ����� � Y = α + β X + ε . A����� ������a��� �a �ab��a �a a������ a������ �a �a����c� �a����c�a, a, �b���a �b���a a �a���� �a���� ��� ��� �a��� ����a a�����a, ����� a�������a��� a ������.
����� ����� �������
�������� ���� ��������� �������� ������� �������� �������� ������
��
���������� ������� ������������ ���������� � ���������� ���������� �� ����� � ���
J����� �� ����� aba���: I � O c����c����� �� ��������a��� �����a ��� � ������ �������� �����ca a������a�a����� 63% �a �a��ab����a�� ���a�. II � O �a��� �a ���a�����ca ���������� � 100, � a c��c����� �� ����� � ��� a �a������ �a��� �a�������a� � �������ca���a, ���� �, ������� ������a� a �������� ���a H 0 : β = 0 . ������� ��
����� �� ���� ������
� �, � �) �� ��a� �a������� a��a����a� � � U�a a�����a a��a����a ������� ( � � � � �), ( � � � � �), ..., ( � � � �����c�� a� ��������� ��a����a���: n
∑ ( X i − X )
2
= 414
i =1 n
∑ (Y − Y )
2
i
= 359
i =1 n
∑ ( X i − X )× Y i = 345 i =1
Ca�c��� � �a��� �a�� ������� �� c����c����� �� ��������a��� �a ��������� ����a� �� Y �� X. a) 0,88 b) 0,92 c) 0,85 �) 0,80 �) 0,83 ������� ��
������ ���� ������������
O ���a�����c� �� ��a ��������a �� �������� ����a������c�� �����a �����a� a ���a��� ��������� ����� a �a����a��� �� c������ ( � ), ), �� ��a ��ca�a �� 0 a 100, a ��a ��a�� ( � �), �� a���, � � ����� �� a�����a�� ( � �), �� ����c�. Pa�a ����, ���a� ����c���a��� 46 �ac������. P������a����� ���������� a ���a��� ����� a �a����a��� �� �ac����� � a ��a ��a��. a) C�������a��� � ������ �� ��������� Y = b0 + b1 X 1 + ε , ��������� �� �a����� �� A � B �a �ab��a �a ANOVA.
����� ����� �������
������������������������������
��
������ ��� ������� ������������ ���������� � ���������� ���������� �� ����� � ���
������� �� ����� ���� ������������
O ����� �� �������� �� ��� a c�����a��� ����a� ����� � � � � � ���a a��������� �� �a��� ���c������ (���a���) �� 0,480. C��c������, �����, ��� I � a �������� ��� ρ = = 0 �a�a ��a����� ��a����� ����� �� �������c��c�a ����� �� ��� 0,480 ��� ���� ��� ������a�a; II � � c���� c����c� c��� ���� �� �� �� ��� ����� ���� ��� � ��� � ����� �� ��� 4,0%; III � c�� 48,0% �� c����a��a a����a��� ��� a ���a��� ����� � � � � � ���� ������ ��,, �a� � ��� ����a�; IV� a �a������ � �� ��� ���� ��� �������a c��� ��a ������ ����a� �a �a������ � �. S�� c�����a� ������ a� a��� a���� (A) I � II (B) III � IV (C) I, II � III (D) I, III � IV (E) II, III � IV
����� ����� �������
�������� ���� ��������� �������� ������� �������� �������� ������
��
���������� ������� ������������ ���������� � ���������� ���������� �� ����� � ���
������� ��
����� ���� ������.
Ob����a���� ( X i , Y i ) �� ��a� �a������� �c�����ca� �a����a��� � ������ ����a� Y i = α + β X i + ε i ���� �� X i ��� c����a����, α � β ��� �� �a�������� ���c����c���� � �� ε i ��� ����� ����a�� ��� �����a����� �b���������, ��� c�����ac���a��� c�� ����a ���a � ����a �a����c�a σ 2 . D����a��� ����a� a �������� H �: β ≥ 0 c����a a �������� a�����a���a H�: β < 0 . O ������ �� ������� ��a��a��� a���ca�� �� ��a a�����a �� �a�a��� 18 �������� � ������ a����a��: ˆ = 2 − 2,12 X Y
S���� � ������ �a���� �� c����c����� � �����a�� �� 1. A����a�� a ����� ��� �� � �a��� ���bab������c� (���a���) �� ����� �� �������� �� c����a a �������� H �. U�� a �ab��a � ab��a �a ������ �� ������b����� �a �a������ � �� S������ �a�a a ������. G�a�� �� ��b���a�� 15 15 15 16 16 16 17 17 17 18 18 18
�
� ) F( �
1,341 1,753 2,131 1,337 1,746 2,120 1,333 1,740 2,110 1,330 1,734 2,101
0,900 0,950 0,975 0,900 0,950 0,975 0,900 0,950 0,975 0,900 0,950 0,975
a) 0.533 b) 0.440 c) 0.630 �) 0.438 �) 0.300 ������� ��
���� ���� ������������
E� �� ������ �� ��������� ����a� �������, �� ������a�� �� c����a��a �� 95,0% �b���� �a�a � c����c����� a����a� ��� (−0,24 ; 1,68). C�� ���� ������a�� �� �� ���� c��c���� ��� (A) � �����c���� � ���a� a ����. (B) � c����c����� a����a� � ���a����. (C) a ���a��� ����� a� �a������� � ��� ����a�.
����� ����� �������
������������������������������
��
���������� ������� ������������ ���������� � ���������� ���������� �� ����� � ���
(D) a �a������ ���������� a����� �a����� ���a�����. (E) ��� ������ ���a��� ����a� ����� a� ��a� �a�������.
��
��������
1
D
2
B
3
E
4
E
5
C
6
C
7
E
8
D
9
B
10
B
11
B
12
B
13
D
14
D
15
CERTO
16
C
17
D
18
D
19
D
20
C
21
A
22
CERTO CERTO
23
D
24
��� �aba���� ���c�a�
25
C
26
C
27
E
����� ����� �������
������������������������������
��