Probabilidad y estadística Temario
I.
Probabilidad a. Conteo b. Espacios muestrales c. Probabilidad de eventos, reglas aditivas y multiplicativas d. Eventos independientes, dependientes y probabilidad condicional e. Teorema de Bayes
II.
Variable Aleatoria a. Variable aleatoria b. Distribución de probabilidad (discretas y continuas) c. Distribución de probabilidad conjunta d. Esperanza, varianza y covarianza e. Algunas distribuciones de probabilidad (manejo de tablas) Binomial, Poisson, Hipergeométrica, Hipergeométrica, binomial negativa, uniforme, normal, chi, exponencial, t-student y F
III.
Estadística descriptiva e inferencial a. Gráficas de puntos, gráficas de barras e histogramas b. Estimación puntual c. Estimación por intervalos Pruebas de hipótesis estadísticos a. Definición
IV.
b. Hipótesis simples e hipótesis compuestas c. Error tipo I y error tipo II II d. Niveles de significancia
Bibliografía.
1. Devore JAY L (2001) Probabilidad y Estadística para ingenieros y ciencias, México Thomson Learning 2. Menden Hall William Sincichi Ferry Escalona Roberto (2007) Probabilidad t Estadística para ingeniería y ciencias, México Prentice-Hall
Evaluación
4 exámenes parciales
I.
Probabilidad Conteo.
Lanzamientos de dados, o monedas, juego con barajas, ruletas loterías, etc. Fenómenos meteorológicos como humedad, extensión de lluvia, velocidad del viento etc. se les llama fenómenos o procesos aleatorios los cuales tienen en común que son impredecibles, es decir aunque se repitan no siempre se observa el mismo resultado. La probabilidad y la estadística son las disciplinas que se encargan del estudio del azar desde el punto de vista de las matemáticas la primera propone modelos para los fenómenos aleatorios y estudia sus consecuencias lógicas, mientras que la segunda segunda nos provee de métodos y técnicas para elegir modelos adecuados a los fenómenos en estudio a partir de información empírica. Hoy en día, es incuestionable el impacto que la teoría de la probabilidad ha tenido en el pensamiento científico moderno y su influencia se nota en campos tan diversos como ecología, explotación de recursos renovables y no renovables, demografía, medicina, comunicaciones, computación, finanzas, economía, actuaría etc. La tarea de calcular probabilidades se reduce a contar. En muchos experimentos es prohibitivo contar ya que el conjunto de resultados es demasiado grande y entonces podemos hacer uso de algunas reglas Reglas del producto para pares ordenados
Nuestra primera regla de conteo se aplica cuando el conjunto consta de pares ordenados y queremos contarlos
Proposición 1.1 Si el primer elemento de un par ordenado se puede seleccionar en n1 formas y
por cada una de estas n1 formas se puede seleccionar el segundo elemento del par en n2 formas entonces el número de pares es n1.n2 Ejemplo 1.2 El propietario de una casa desea efectuar algunas remodelaciones y requiere los
servicios de un plomero y un electricista. Si hay 12 plomeros y 9 electricistas en la zona ¿De cuantas formas puede seleccionarlo? seleccionarlo? Podemos representar por p1, p2, …,p12 y e1, e2,…,e6 a
los plomeros y electricistas por tanto queremos el número de pares ordenados de la forma (pi, e j) con n1=12 y n2=9, el producto es 12x9=108 formas posibles de escogerlos. Una forma más general de esta primera regla es:
I.
Probabilidad Conteo.
Lanzamientos de dados, o monedas, juego con barajas, ruletas loterías, etc. Fenómenos meteorológicos como humedad, extensión de lluvia, velocidad del viento etc. se les llama fenómenos o procesos aleatorios los cuales tienen en común que son impredecibles, es decir aunque se repitan no siempre se observa el mismo resultado. La probabilidad y la estadística son las disciplinas que se encargan del estudio del azar desde el punto de vista de las matemáticas la primera propone modelos para los fenómenos aleatorios y estudia sus consecuencias lógicas, mientras que la segunda segunda nos provee de métodos y técnicas para elegir modelos adecuados a los fenómenos en estudio a partir de información empírica. Hoy en día, es incuestionable el impacto que la teoría de la probabilidad ha tenido en el pensamiento científico moderno y su influencia se nota en campos tan diversos como ecología, explotación de recursos renovables y no renovables, demografía, medicina, comunicaciones, computación, finanzas, economía, actuaría etc. La tarea de calcular probabilidades se reduce a contar. En muchos experimentos es prohibitivo contar ya que el conjunto de resultados es demasiado grande y entonces podemos hacer uso de algunas reglas Reglas del producto para pares ordenados
Nuestra primera regla de conteo se aplica cuando el conjunto consta de pares ordenados y queremos contarlos
Proposición 1.1 Si el primer elemento de un par ordenado se puede seleccionar en n1 formas y
por cada una de estas n1 formas se puede seleccionar el segundo elemento del par en n2 formas entonces el número de pares es n1.n2 Ejemplo 1.2 El propietario de una casa desea efectuar algunas remodelaciones y requiere los
servicios de un plomero y un electricista. Si hay 12 plomeros y 9 electricistas en la zona ¿De cuantas formas puede seleccionarlo? seleccionarlo? Podemos representar por p1, p2, …,p12 y e1, e2,…,e6 a
los plomeros y electricistas por tanto queremos el número de pares ordenados de la forma (pi, e j) con n1=12 y n2=9, el producto es 12x9=108 formas posibles de escogerlos. Una forma más general de esta primera regla es:
Proposición 1.3. Supongamos que un conjunto está formado por grupos ordenados de k-
elementos y que hay n1 posibles opciones para el primer elemento, por cada opción del primer elemento hay n2 opciones para el segundo elemento….por cada posible opción de los
primeros k-1 elementos hay nk opciones del k-esimo elemento. Hay entonces n1.n2….nk posibles k arreglos. Una segunda regla: Permutaciones. Definición 1.4 Cualquier secuencia ordenada de k objetos tomados de un conjunto de n
objetos distintos se llama permutación de tamaño k de los objetos. El número de permutaciones de tamaño k que pueda construirse de los n objetos se simboliza por Pkn Pkn=n(n-1)(n-2)….(n-k+2)(n-k+1) El primer elemento se puede seleccionar de n formas distintas, por cada n formas el segundo elemento los podemos seleccionar de n-1 formas distintas y así sucesivamente. sucesivamente. Ejemplo 1.5 Hay ocho asistentes de enseñanza para calificar trabajos en un curso particular. El
primer examen consiste en cuatro preguntas y el profesor desea seleccionar un asistente para calificar cada pregunta (solo un asistente por pregunta) ¿En cuántas formas se puede seleccionar los asistentes asistentes para calificar el examen? examen? aquí n=número de asistentes para calificar calificar =8 y k =número de preguntas =4. Pkn=(8)(7)(6)(5)=1680 Una tercera regla. Combinaciones. Definición 1.6 En un conjunto de n objetos distintos, cualquier subconjunto no ordenado de
tamaño k de los objetos se llama combinación. En el número de combinaciones de tamaño k que se pueda formar de n objetos objetos distintos se denotará denotará por
=
.
El número de combinaciones de tamaño k de un conjunto particular es menor que el número de permutaciones porque el orden no se considera. Ejemplo 1.7 Una mano de baraja está formada por 13 cartas seleccionadas de un grupo de 52
cartas, sin considerar ningún orden. Hay resultado alrededor de 635 mil millones.
manos de barajas diferentes lo que da por
Espacios muestrales. Definición. 1.8 Un experimento aleatorio es aquel que proporciona diferentes resultados aún
cuando se repita siempre de la misma manera. Definición 1.9 Un espacio muestral de un experimento aleatorio denotado por S. es el
conjunto de todos los posibles resultados de este experimento. Ejemplo 1.10 Experimentos sencillos donde se aplica la probabilidad es aquel que tiene dos
posibles resultados. Uno consiste en examinar un solo fusible para ver si esta defectuoso o no. S={N,D}, N significa no defectuoso, D defectuoso, otro consiste en observar el sexo del siguiente niño recién nacido en el hospital local S={M,F} M masculino, F femenino. Uno más, si examinamos examinamos tres fusibles en secuencia y observamos el resultado de cada examen el resultado total del experimento es cualquier secuencia de letras N y D de tamaño 3. S={NNN, NND, …, DDD}. Ejemplo 1.11 Dos gasolineras se encuentran en cierto cruce de caminos. En cada una hay 6
bombas de gasolina. El experimento especifica cuantas bombas están en uso en la primera gasolinera y cuantas en la segunda. Hay 49 posibles resultados S={(0,0), (0,1),…(6,6) } Ejemplo 1.12 Si una batería nueva tipo D para linterna tiene voltaje fuera de ciertos límites, se
considera como una falla (F), si una batería tiene un voltaje dentro de los límites prescritos es un éxito (E). Supongamos que un experimento consiste en probar cada batería hasta observar un éxito. El espacio muestral es S={E, FE, FFE,…} con un número infinito de posibles resultados. Definición 1.13 Un evento es cualquier colección (subconjunto) de resultados contenido en el
espacio muestral S. Un evento es simple si está formado por un resultado y compuesto si consta de más de un resultado. Ejemplo 1.14 Considere un experimento donde cada uno de tres automóviles toma una salida
en particular de una autopista y dan vuelta a la izquierda (L) o a la derecha (R). Algunos eventos son: A={RLL, LRL,LLR} el evento donde exactamente uno de los tres automóviles dan vuelta a la derecha. B={LLL,RLL,LRL,LLR} a lo sumo uno de los automóviles automóviles dan vuelta a la derecha. C={LLL,RRR} los tres automóviles dan vuelta en la misma dirección. Ejemplo 1.15 Al observar el número de bombas en dos gasolineras, con seis bombas cada una,
podemos tener los siguientes eventos: A={(0,0), (1,1), (2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6)} el evento en donde el número de bombas en uso es el mismo para ambas gasolineras. B={(0,4), (1,3),(2,2),(3,1),(4,0)} el evento en donde el número total de bombas en uso es 4. C={(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)} el evento en que a lo sumo una bomba esta en uso en cada gasolinera. Ejemplo 1.16 El espacio muestral para el experimento del examen de las baterías contiene un
número infinito de resultados. Ejemplos de eventos son: A={E,FE,FFE} el evento en donde a lo sumo se examinan tres baterías. B={FE,FFFE,FFFFFE} B={FE,FFFE,FFFFFE} el evento donde se examinan un número par de baterías.
Ejercicio 1.17 Cada muestra de cuatro hipotecas para vivienda está clasificada como tasa fija
(F) y tasa variable (V) a) ¿Cuáles son los 16 resultados en S?. b) ¿Cuáles resultados están en el evento donde exactamente tres de las hipotecas seleccionadas seleccionadas son de tasa fija? c) ¿Cuáles resultados están en el evento donde cuatro hipotecas son del mismo tipo?. d) Cuáles resultados están en el evento donde, a lo sumo una de las cuatro hipotecas es de tasa variable? e) ¿Cuál es la unión de los eventos de los incisos c) y d) y cuál es la intersección de estos dos eventos? f) ¿Cuáles son la unión e intersección de los dos eventos de los incisos b) y c) Ejercicio 1.18 Una familia formada por tres personas A, B y C asisten a una clínica médica que
siempre tiene un médico en cada uno de los puestos 1, 2 y 3. Durante cierta semana cada miembro de la familia visita una vez a la clínica y se le asigna al azar un médico, el experimento consiste en registrar el número de puestos asignado a cada miembro de la familia. Un resultado de (1,2,1) es para A el puesto 1, B el puesto 2 y C el puesto 1. a) Haga una lista de los 27 resultados del espacio muestral. b) Haga una lista de todos los resultados del evento en el cual las tres personas de la familia vayan al mismo puesto. c) Haga una lista de todos los resultados del evento en el cual todos los miembros de la familia vayan a diferentes puestos. d) Haga una lista de todos los resultados del evento en el cual ningún miembro de la familia vaya al puesto 2. Ejercicio 1.19 Un departamento académico acaba de terminar una votación secreta para elegir
al jefe del departamento. La urna de votos contiene cuatro papeletas con votos para el candidato A y tres papeletas con votos para el candidato B. Suponga que las papeletas se sacan de la caja una por una. a) Haga una lista de todos los resultados r esultados posibles b) Suponga que se realiza un conteo a medida que se sacan las papeletas. ¿En cuáles resultados A se mantiene delante de B en el conteo? Los eventos son subconjuntos y por tanto podemos emplear las operaciones normales de la teoría de conjuntos para combinar eventos. Definición 1.20. Evento nulo. El evento que contiene a ningún resultado del espacio muestral
recibe el nombre de evento nulo o vacio. Definición 1.21 Unión de dos eventos. El evento formado por todos los posibles resultados en A o en B o en ambos, recibe el nombre de la unión de A y B y se denota por AB. Ejemplo 1.22 Supongamos que A es el evento en que el dado cae en un número que es par, B
que es primo. AB={2,4,6} {2,3,5}={2,3,4,5,6} Definición 1.23. Intersección de dos eventos. El evento formado por los resultados comunes tanto de A como de B recibe el nombre de intersección de A y B y se denota por AB.
Ejemplo 1.24. A es el evento en que el dado cae en un número que es par y B en el que cae en un número primo, entonces AB={2,4,6} {2,3,5}={2}. Definición 1.25 Eventos disjuntos. Se dice que los eventos A y B son mutuamente excluyentes o disjuntos si no tienen resultados en común, en otras palabras AB=. Definición 1.26 Contención de eventos. Si cualquier resultado de B es también resultado de A, se dice que el evento B está contenido en A y se denota por BA. Definición 1.27 Diferencia de eventos. El conjunto A-B es el evento en que sucede A pero no
sucede B. Ejemplo 1.28 En el ejemplo de tirar un dado A-B={2,4,6}-{2,3,5}={4,6} Definición 1.29 Complemento de un evento. El complemento de un evento A con respecto al
espacio muestral S, es aquel que contiene a todos los resultados de S que no se encuentren en A y se denota por A´. Ejercicio 1.30 Para el experimento donde se observa el número de bombas en uso, en una sola
gasolinera de 6 bombas, es A={0,1,2,3,4}, B={3,4,5,6} y C={1,3,5}, entonces AB= AC= A A A´= {A
Ejercicio 1.31. En un torneo de baloncesto vacacional participan 4 universidades 1, 2, 3 , 4. En
la primera ronda 1 jugará contra 2 y 3 contra 4. Los dos ganadores jugarán por el campeonato y los dos perdedores también jugarán. Un posible resultado se puede representar por 1324 (1 le gana a 2 y 3 le gana a 4 en la primera ronda y después 1 derrota a 3 y 2 le gana a 4). a) Haga una lista de todos los resultados de S. b) Sea en evento en que 1 gana el torneo. Haga una lista de los resultados en A c) Sea el evento en que 2 llega a la final. Haga una lista de los resultados en B d) ¿Cuáles son los resultados en AB y en AB?, ¿Cuáles son los resultados en A´ ?
Probabilidades de eventos, reglas aditivas y multiplicativas Dado un experimento y un espacio muestral S, a cada evento A le asignamos un número P(A) llamado la probabilidad del evento A, que dará una medida de que tan frecuente o que tan probable ocurre un evento. Toda probabilidad es un número real entre 0 y 1. Para los casos extremos, si el evento nunca ocurre, este tiene probabilidad 0, en cambio si el evento siempre ocurre, entonces tiene probabilidad 1. Toda probabilidad debe cumplir con los siguientes axiomas: Axioma 1. Para cualquier evento P(A)≥0 Axioma 2. P(S)=1
Axioma 3.
a)
b)
si A1, A2, …,Ak es un conjunto finito de eventos mutuamente excluyentes, entonces P(A1, A2, …,Ak)= Si A1, A2, … es un conjunto infinito de eventos mutuamente excluyentes entonces P(A1, A2, …,Ak)=
∑ ∑
La probabilidad cumple con las siguientes propiedades: Proposición 1.32. Para cualquier evento A, P(A)=1-P(A´) Ya que A y A´ son eventos disjuntos y como S=A A´
1=P(S)=P(A)+P(A´) por axioma 2 y 3 Entonces 1-P(A´)=P(A) Proposición 1.33. Si A y B son mutuamente excluyentes P(A B)=0
Debido a que A y B no contienen elementos en común entonces S=(AB)´ Así 1=P(S)=P((A B)´)=1-P(A B) así, P(AB)=1-1=0 Proposición 1.34. Para cualquiera dos eventos A y B P(AB)=P(A)+P(B)- P(A B) Observe que AB=A (A´B) Y como A y A´ B son disjuntos, entonces P(AB)=P(A)+P(A´ B) Pero B=( AB) ( A´B) P(B)= P( AB) +P( A´ B) P(AB)-P(A)=P(B)- P(AB) P(AB)=P(A)+P(B)- P(A B) Nota. Si son tres o más eventos se calculan de manera análoga.
Por ejemplo para tres eventos: P(ABC))=P(A)+P(B)+P(C)- P(A B)- P(AC) -P(BC)+P(ABC)
Cuando los diversos resultados de un experimento son igualmente probables, la tarea de calcular las probabilidades se reduce a contar. En particular si N es el número de resultados en un espacio muestral y N(A) es el número de resultados contenidos en el evento A entonces:
P(A)=
(1)
Algunas probabilidades de algunos experimentos son: Ejemplo 1.35 Tirar un dado
S={1, 2, 3, 4, 5, 6} P(1)=P(2)=P(3)=P(4)=P(5)=P(6)=
Ejemplo 1.36 Par de dados.
S={1, 2, 3, 4, 5, 6}x{1, 2, 3 , 4, 5, 6}={(1,1), (1,2), …,(6,6)}
P(s)=
para todo s Є S
Ejercicio 1.37 Indicador giratorio (la aguja gira y apunta a cualquiera de las cuatro
regiones)
4
3 4 3
2
1
1
2
S= P(1)=
P(2)=
P(3)=
P(4)=
Ejercicio 1.38. Si se tiran dos dados. ¿Cuál es la probabilidad de que la suma de los dos
dados sea 7? Ejercicio 1.39 Ahora se tira al aire cinco veces una moneda. ¿Cuál es la probabilidad de
sacar exactamente una cara? Ejemplo 1.40 Una mano de baraja está formada por 13 cartas seleccionadas de un
= “manos de diferentes. Hay 13 cartas en cada “palo”. Supongamos que una “mano” de
grupo de 52 cartas, sin considerar ningún orden. Hay
barajas” cartas se reparte de un “grupo” bien barajeado, sea A: el evento de la mano formada sólo de espadas y bastos con ambos palos representados B: el evento de la mano formada por exactamente dos palos
Entonces N=
resultados son igualmente probables por lo que: posibles
=
P(A)=
(el -2 es porqué quitamos todos espadas y todos bastos)
=6 combinaciones formadas de dos palos, entonces
Como hay
P(B)= = =.0000983
Es decir, una mano formada sólo por cartas de exactamente dos de los cuatro palos se presentara casi una vez en cada 10 000 manos. Ejemplo 1.41 Mano de póquer (es un conjunto de cinco cartas de 52 que tiene la
baraja)
N=
P(s)=
para toda sЄS
Ejercicio 1.42 Se tira al aire una moneda cinco veces. ¿Cuál es la probabilidad de
obtener exactamente dos caras?. Ejercicio 1.43 Se tiran 10 dados. ¿Cuál es la probabilidad de que ninguno muestre el
número 1? Ejercicio 1.44 Una mano de póquer se llama pócar si cuatro de las cinco cartas tienen
el mismo valor, por ejemplo cuatro 7 o cuatro reyes. ¿Cuál es la probabilidad de que una mano de póquer salga pócar? Ejercicio 1.45. Una pareja tiene cuatro hijos. ¿Qué es lo más probable: que tengan dos
niños y dos niñas, o que tengan tres de un género y uno del otro? Ejercicio 1.46. Problema del cumpleaños.
a) Se escogen cuatro personas al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que dos o más de ellas tengan el mismo aniversario?. Haciendo la hipótesis de que ninguna de las personas nazca el 29 de Febrero. b) Si se eligen 23 personas ¿Cuál es la probabilidad de que algunas de ellas tengan el mismo aniversario? Ejercicio 1.47. En cierto suburbio residencial, 60% de las familias, están suscritas al
periódico metropolitano que se publica en una ciudad cercana, 80% están suscritas al periódico vespertino local y el 50% de todas las familias están suscritas a ambos periódicos. Si se selecciona una familia al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que esté suscrita a) al menos a uno de los dos periódicos y b) Exactamente a uno de los dos periódicos? Ejemplo 1.48 Señalemos los seis eventos elementales {1}, {2}, {3}, {4}, {5}, {6} asociados
con lanzar al aire un dado por E 1, E2, E3, E4, E5, E6. Si en el dado cualesquiera de los tres resultados pares tiene el doble de probabilidad de ocurrir que los tres resultados impares, entonces una apropiada asignación de probabilidades para eventos
elementales es P(E 1)= P(E3)= P(E5)= y P(E2)= P(E4)= P(E6)= , entonces P(el resultado es
par)= P(E2)+P(E4)+P(E6)=
P(el resultado ≤3)= P(E1)+ P(E2)+P(E3)= .
Ejercicios de repaso.
Ejercicio 1.49 Sea (S, P) el espacio muestral en que S={1,2,3,4} y P(1)=.1, P(2)=.1,
P(3)=.2, P(x)=x, calcule x. Ejercicio 1.50. Sea (S, P) el espacio muestral en el que S={1, 2, 3, 4}. Suponga que
P(1)=x, P(2)=2x, P(3)=3x y P($)=4x. Calcule x. Ejercicio 1.51. Se lleva a cabo un experimento en el que se arroja una moneda al aire y
se tira un dado. Describa éste experimento en forma de un espacio muestral. Haga una lista explicita de todos los elementos del conjunto S. (H cara, T cruz)
Ejercicio 1.52.Dados tetraédricos. Un tetraedro es un cuerpo con cuatro caras, cada
una de las cuales es un triángulo equilátero. Se puede hacer dados en forma de tetraedros y marcar sus caras con los números del 1 al 4. Cuando se tiran, la cantidad que cae boja abajo sobre la mesa es el resultado. a) Forme un espacio muestral que represente el tirar un dado tetraédrico. b) Forme un espacio muestral que represente el tirar un par de dados tetraédrico. Ejercicio 1.53 Una bolsa contiene 20 canicas. Son canicas idénticas pero están
numeradas del 1 al 20. Se toman 5 canicas al azar de la bolsa. Hay barias formas de imaginarlo. a) Las canicas se toman una por una, sin devolverlas. Una vez que se toma una canica no se devuelve a la bolsa. Se forman todas las listas posibles de canicas. En éste caso el sacar las canicas en orden 1, 2, 3, 4, 5 es distinto a sacarlas en el orden 5, 4, 3, 2, 1. ¿Cuál es la probabilidad de cada evento individual? b) Las canicas se toman de una vez, sin devolverlas se sacan de una vez las 5 canicas. En este caso se considera el mismo resultado sacar las canicas 1, 2, 3, 4, 5 que sacar 5, 4, 3, 2, 1. ¿Cuál es la probabilidad de cada evento individual? c) Las canicas se sacan una por una, devolviéndolas cada vez una vez tomada una canica, se mete a la bolsa, donde se mezcla con las que hay en ella, se saca la siguiente canica, se regresa y así sucesivamente. En este caso sacar 1,1,2,3,5 y sacar 1,2,1,3,5 son resultados distintos. ¿Cuál es la probabilidad de cada evento individual? Ejercicio 1.54. Se lanza un dardo con los ojos vendados hacia el blanco que se ve en la
siguiente figura. La probabilidad de que se clave en cada una de las cuatro regiones concéntricas es proporcional al área de la región. Los radios de los círculos son 1, 2, 3 y 4 unidades respectivamente. Observa que la región 2 es el anillo que va del radio 1 al radio 2, sin tener en cuenta la región 1 encerrada por ella. Sea (S,P) un espacio muestral que modela este caso. El conjunto S consta de cuatro resultados: dar en la región 1, 2, 3, 4. Se puede abreviar esto en la forma S={1, 2, 3,4} calcular P(1), P(2), P(3) y P(4).
4
3
2
Ejercicio 1.55. Describa un ejemplo de un espacio muestral con tres elementos en el
que uno de ellos tiene una probabilidad igual a 1. Ejercicio 1.56. Describa un ejemplo de un espacio muestral en el que todos los
elementos tengan probabilidad 1. Ejercicio 1.57. En la definición (
∑ ). Se requiere que el conjunto S no sea
vacio. De hecho este requisito es redundante. Demuestre que si se omite este requisito en la definición de todos modos es imposible tener un espacio muestral en el que el conjunto S sea vacio. Ejercicio 1.58. Recuerde a los dados tetraédricos. Suponga que se tira un par de esos
dados. La suma de los valores que se obtienen (cara abajo) puede ir de 2=1+1 hasta 8=4+4. Sea Ak el evento en que la suma de los valores de los dados es k. Para cada valor de k de 2 a 8 haga lo siguiente: a) Escriba el evento A k mostrando en forma explícita sus elementos entre llaves. b) Calcule P(Ak). Ejercicio 1.59. Se arroja cuatro veces una moneda. Sea A el evento en que anotamos
una cantidad igual de caras y de cruces. Escriba el evento A mostrando en forma explícita a sus elementos entre llaves. Evalué P(A). Ejercicio 1.60. Se tira una moneda 10 veces. ¿Cuál es la probabilidad de que anotemos
una cantidad igual de caras y de cruces?. Ejercicio 1.61. Se tira una moneda n veces. ¿Cuál es la probabilidad de sacar
exactamente h caras?. Ejercicio 1.62. Sea (S,P) el espacio muestral al arrojar una moneda 10 veces. Sea A el
evento en que los resultados sean caras y cruces alternadas. Ejercicio 1.63. Se tira un par de dados. Sea A el evento en que la suma de los números
que salen sea 8. a) Escriba en forma explícita el conjunto A, en forma de pares ordenados. b) Evalúe P(A) Ejercicio 1.64. Se tiran tres dados. ¿Cuál es la probabilidad de que los tres caigan en
números pares?. Ejercicio 1.65 Se tiran tres dados. ¿Cuál es la probabilidad de que la suma de los
números que salieron sea par? Ejercicio 1.66.Se tiran dos dados. Sea A el evento en que la cantidad del primer dado
es mayor que la del segundo a) Escriba en forma explícita A en forma de conjunto. b) Evalúe P(A).
Ejercicio 1.67. Una bolsa contiene 10 cajas con envoltura idéntica pero con contenidos
de distinto valor por ejemplo cada una contiene una cantidad distinta de monedas. Alicia y Roberto van a sacar una caja cada uno de la bolsa. Suponga que Alicia saca al azar una de las 10 cajas y que después Roberto saca la suya al azar entre las que quedan. ¿Cuál es la probabilidad de que el contenido de la caja de Alicia sea más valiosa que el de la caja de Roberto?. ¿Hay alguna ventaja en ser el primero en extraerla? Ejercicio 1.68. Dados no transitivos. En este problema consideramos tres dados con
numeración desacostumbrada. Los llamaremos dados 1, 2, y 3. Los puntos de cada uno se muestran en la siguiente tabla. Dado 1 Dado 2 Dado3
5 2 1
6 3 10
7 4 11
8 15 12
9 16 13
18 17 14
Con esos dados se jugará, a cada jugador se le da un dado, dos de los jugadores tienen dados distintos, cada quién tira su dado y gana el que se muestre el número más alto. a) Si se tiran los dados 1 y 2. ¿Cuál es la probabilidad de que el dado 1 le gane al dado 2? b) Si se tiran los dados 2 y 3. ¿Cuál es la probabilidad de que el dado 2 le gane al 3? c) SI se toma los dados 3 y 1. ¿Cuál es la probabilidad de que el dado 3 le gane al dado 1? d) ¿Cuál es el mejor de los dados? Ejercicio 1.69. Manos de póquer.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que una mano de póquer sea una tercia?. Una tercia tiene tres cartas del mismo valor y dos de distintos valores; por ejemplo tres dieces, un 7 y una sota. b) ¿Cuál es la probabilidad de que una mano de póquer sea full?. Un full tiene tres cartas de un mismo valor y un par de cartas de otro valor, por ejemplo tres reinas y dos cuatros. c) ¿Cuál es la probabilidad de que una mano de póquer tenga un par?. Un par quiere decir dos cartas del mismo valor y tres son de valores distintos por ejemplo, dos nueves, un rey, un ocho y un cinco. d) ¿Cuál es la probabilidad de que una mano de póquer tenga dos pares?. Dos pares quiere decir que dos cartas son de un mismo valor dos cartas más son de otro valor común y una carta es de cualquier otro valor, por ejemplo, dos sotas, dos ochos y un tres. e) ¿Cuál es la probabilidad de que una mano de póquer sea una flor?. Una flor quiere decir que las cinco cartas son del mismo palo.
Ejercicio 1.70. Una moneda se tira al aire 10 veces.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que haya cantidades iguales de caras que de cruces? b) ¿Cuál es la probabilidad de que los tres primeros tiros salgan cara? c) ¿Cuál es la probabilidad de que haya cantidades iguales de caras que de cruces y además de que los tres primeros tiros salgan cara? d) ¿Cuál es la probabilidad de que haya igual cantidad de caras que de cruces o de que los tres primeros tiros salgan cara o de ambas alternativas? Ejercicio 1.71.Se tiran tres dados
a) ¿Cuál es la probabilidad de que ninguno de ellos caiga en 1? b) ¿Cuál es la probabilidad de que al menos uno muestre el 1? c) ¿Cuál es la probabilidad de que al menos uno caiga en 2? d) ¿Cuál es la probabilidad de que ningún dado muestre el 1 o el 2? e) ¿Cuál es la probabilidad de que al menos un dado caiga en 1 o al menos uno caiga en 2 o de ambos casos, es decir que al menos uno caiga en 1 y al menos uno caiga en 2? f) ¿Cuál es la probabilidad de que al menos con un dado se obtenga un 1 y en otro un 2? Eventos independientes, dependientes y probabilidad condicional.
Sea A el evento en que un alumno pierde su transporte escolar. Sea B el evento en que funciona mal el despertador del alumno. Ambos eventos tienen pocas probabilidades. Pero ¿Cuál será la probabilidad de que el alumno pierda su transporte dado que el despertador funcionó mal?. Ahora si es muy probable que el alumno pierda el camión! Representaremos esta probabilidad como P(A/B), es la probabilidad de que suceda el evento A dado que sucedió el evento B. Definición 1.72 (Probabilidad condicional) Sean A y B eventos, supongamos que P(B)≠0. La probabilidad condicional P(A/B), que es la probabilidad de A dado B, es:
P(A/B)=
Ejemplo 1.73. Se tiran dos dados. Sean los eventos A y B definidos por
A: los números de los dados suman 8 B: los dos números de los dados son pares En forma de conjuntos, lo anterior puede escribirse como sigue: A={(2,6), (3,5), (4,4), (5,3), (6,2)} B={(2,2), (2,4), (2,6), (4,2), (4,4), (4,6), (6,2), (6,4), (6,6)}
Con ello P(A)=
P(B)= P(A/B)= )=
Note que si P(B)=0 la definición no tendría sentido. Ejercicio 1.74.Examinemos la flecha giratoria del ejemplo 1.37. Sea A el evento en que
gira y queda en 1, es decir, A={1}, y sea B el evento en que la flecha termina en las regiones {1,3}. ¿Cuál es la probabilidad de que llegue al 1 dado que la flecha quedó en la región {1,3}? Ejercicio 1.75. Se lanza al aire una moneda cinco veces. ¿Cuál es la probabilidad de que
el primer volado haya caído una cruz, dado que cayeron tres caras? Ejercicio 1.76. Suponga que de todos los individuos que compran una computadora
personal, 60% obtiene un programa procesador de palabras en su compra, 40% un programa de hoja de cálculo y 30% ambos programas. Se elige al azar un comprador y sean A y B los eventos que siguen: A: obtiene procesador de palabras incluido; B: obtiene hoja de cálculo incluido. Calcular P(A/B) y P(B/A) Ejercicio 1.77. Una revista de espectáculos publica tres columnas tituladas “arte” (A), “libros” (B) y “cine” (C). Los hábitos de lectura de un lector seleccionado al azar, con
respecto a estas columnas son: A B C A B .14 .23 .37 .08 Haga diagrama y calcule a) P(A/B)= b) P(A/BC= c) P(A/ABC)= d) P(AB/C)=
AC .09
BC .13
ABC .05
Definición 1.78. Regla de multiplicación para P(A B) P(AB)=P(A/B) P(B) Ejercicio 1.79. Cuatro individuos han respondido a una solicitud de un banco de
sangre. Ninguno de ellos ha donado sangre antes, por lo cual se desconocen sus tipos de sangre. Supongamos que se desea el tipo A+ y sólo uno de los cuatro lo tiene. Si los donadores potenciales se seleccionan al azar para determinar su tipo sanguíneo ¿Cuál es la probabilidad de que se deba determinar el tipo de sangre en al menos tres individuos para obtener el tipo deseado? Definición 1.80. La regla de multiplicación para tres eventos es: P(A1A2A3)=P(A3/A1A2)P(A1A2)=P(A3/A1A2)P(A2/A1) P(A1)
Donde A1 ocurre primero seguido de A 2 y finalmente A 3. Cuando el experimento de interés está formado por una secuencia de varias etapas es conveniente representarlas con un diagrama de árbol. Ejemplo 1.81. Para el experimento del tipo sanguíneo
1º es A+
1º no es A+
2º es/1º no
2º no es /1º no es
3o es/1º no es y 2º no es
3º no es/1º no es y 2º no es
4º es/1º no es y 2º no es y 3º no es ç Una cadena de tiendas vende tres marcas diferentes de videograbadoras (VCR). De sus ventas de VCR, 50% son de la marca 1 (la menos costosa), 30% son de la marca 2 y 20% de la marca 3. Cada fabricante ofrece un año de garantía en partes y mano de obra, 25% de las VCR de la marca 1 requieren trabajo de reparación en garantía, mientras que los porcentajes correspondientes a las marcas 2 y 3 son 20% y 10% respectivamente. Ejercicio
1.82.
a) ¿Cuál es la probabilidad de un comprador seleccionado al azar haya comprado una VCR de la marca 1, que necesita reparación mientras tiene garantía? b) ¿Cuál es la probabilidad de un comprador seleccionado al azar haya comprado una VCR que necesite reparación mientras tiene garantía? c) Si un cliente regresa a la tienda con una VCR que necesita reparación dentro de la garactía. ¿Cuál es la probabilidad de que sea una VCR de la marca 1?.¿Una VCR de la marca 2? O ¿Una de la marca 3?
Ejercicio de repaso . Ejercicio 1.83. Sea (S,P) un espacio muestral con S={1, 2, 3, 4, 5} y P(1)=0.1, P(2)=0.1,
P(3)=0.2, P(4)=0.2, P(5)=0.4. A continuación hay una lista de varios pares de eventos A y B en cada caso calcule P(A/B) a) A={1,2,3} y B={2,3,4} b) A={2,3,4}, B={1,2,3} c) A={1,5}, B={1,2,5} d) A={1,2,5}, B={1,5} e) A={1,2,3}, B={1,2,3} f) A={1,2,3}, B={4,5} g) A=, B={1,3,5} h) A={1,3,5}, B= i) A={1,2,3,4,5}, B={1,3} j) A={1,3}, B={1,2,3,4,5} Ejercicio 1.84. Se tira un par de dados. ¿Cuál es la probabilidad de que ninguno de ellos
caiga en 2, si la suma de sus resultados es 7?
Ejercicio 1.85. Se tira un par de dados. ¿Cuál es la probabilidad de que sus resultados
sumen 7, si ninguno cayó en 2? Ejercicio 1.86. Una moneda se arroja al aire 10 veces. ¿Cuál es la probabilidad de que
en las tres primeras se obtenga cara si se obtienen cantidades iguales de caras que de cruces?. ¿Cómo se compara esta probabilidad condicional con la probabilidad simple de que los tres primeros volados salgan cara? Definición 1.87 Dos eventos A y B son independientes si P(A/B)=P(A) y son
dependientes en cualquier otro caso. Ejemplo 1.88. Considere lanzar un dado no cargado de seis caras y defina los eventos:
A={2,4,6}, B={1,2,3} y C={1,2,3,4}. Entonces tenemos P(A)= , P(A/B)= P(A/C)= . Es decir, los eventos A y B son dependientes, mientras que los eventos A y C son independientes. Ejercicio 1.89. Se tira al aire cinco veces una moneda. ¿Cuál es la probabilidad de que
la primera vez salga cara dado que el último salió cara? Proposición. 1.90. Sean A y B eventos en un espacio muestral S y supongamos que P(A)
y P(B) son distintas de cero. Entonces las siguientes afirmaciones son equivalentes a) P(A/B)=P(A) b) P(B/A)=P(B) c) P(AB)=P(A)P(B) Es decir, a)↔b), b) ↔c) y c) ↔a), demostración a↔b Sup. P(A/B)=P(A) pd P(B/A)=P(B) P(B/A)=
=
Sup P(B/A)=P(B) pd P(A/B)=P(A) P(A/B)= b↔c
=
Sup P(B/A)=P(B) pd P(A
P(B/A)=P(B) ↔
P(B)= c↔a
==P(B/A)
=P(B)
=P(A)
=P(B) ↔P(A
Sup P(A pd P(B/A)=P(B)
=
=
sup P(A pd P(A/B)=P(A) P(A/B)=
==P(A)
Sup P(A/B)=P(A) pd P(A
P(A/B)=P(A) ↔
↔P(A
Ejemplo 1.91. Sean A y B eventos mutuamente excluyentes con P(A)>0. Por ejemplo,
para un automóvil elegido al azar, sea A: el evento en que el automóvil es de cuatro cilindros, B: el evento en que el automóvil es de seis cilindros. Como los eventos son mutuamente excluyentes si ocurre B, entonces a posiblemente nunca ocurrió, por lo que P(A/B)=0≠P(A). El mensaje es que si dos eventos son mutuamente excluyentes, no pueden ser independientes. Proposición 1.92. A y B son independientes si y sólo si P(A B)=P(A)P(B) Ejercicio 1.93. Una bolsa contiene veinte pelotas: diez de ellas son rojas y diez son
azules. De la bolsa se toman dos pelotas. Sea A el evento en que la primera pelota que se saca es roja y sea B el evento en que la segunda pelota que se saca es roja. ¿Son independientes estos eventos?. Hay dos posibilidades a) Con reemplazo. b) Sin reemplazo. Ejercicio 1.94. Se saben que el 30% de las lavadoras de cierta compañía requieren
servicio cuando todavía están en garantía, mientras que sólo el 10% de las secadoras necesitan ese servicio. Si alguien compra una lavadora y una secadora fabricada por esa compañía. ¿Cuál es la probabilidad de que ambas máquinas necesiten servicio dentro de la garantía? Ejercicio 1.95. Cada día de lunes a viernes, un lote de componentes enviados por un
primer proveedor llega a cierta instalación de inspección. Dos días a la semana también llega un lote de un segundo proveedor, 80% de todos los lotes del proveedor 1 pasan la inspección, y el 90% de los del proveedor 2 hacen lo mismo. ¿Cuál es la probabilidad de que, en un día seleccionado al azar, pasen la inspección los dos lotes?. Supóngase que cuando se prueben los dos lotes si pasa o no pasa el primero es independiente de si pasa o no pasa el segundo. Definición 1.96. Los eventos A 1, A 2, … An son mutuamente independientes para toda k (k=2,3,…n) y todo subconjunto de índices i 1, i2,…,ik si P(Ai1A i2…Aik)= P(Ai1)P(A i2)…P(Aik). Ejercicio 1.97. Se saca una carta de un mazo normal de 52 cartas, bien barajeado.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que sea una espada?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que sea un rey? c) ¿Cuál es la probabilidad de que sea un rey de espadas? d) Los eventos de las partes a) y b) ¿son independientes? Ejercicio 1.98. Se toman sucesivamente dos cartas, sin reponer, de un mazo normal de
52 cartas bien barajeado. Sea A el evento en que las dos cartas tomadas tienen el mismo valor, por ejemplo, que las dos sean cuatro, y se B el evento en que la primera carta tomada es un as. ¿Son independientes esos eventos? Ejercicio 1.99. Se toman sucesivamente dos cartas, sin reponer, de un mazo normal de
52 cartas bien barajeado. Sea A el evento en que las dos cartas tomadas tienen el mismo valor, por ejemplo, que las dos sean cuatro, y se B el evento en que las dos cartas son del mismo palo, como por ejemplo, ambas diamantes. ¿Son independientes esos eventos? Ejercicios de repaso. Ejercicio 1.100. Suponga que P(A/B)=0.4 y P(B)=0.5. Calcule lo siguiente: a) P(AB)= b) P(A´B) Ejercicio 1.101. Suponga que P(A/B)=0.2, P(A/B´)=0.3 y P(B)=.8 ¿Cuál es el valor de
P(A)? Ejercicio 1.102. Suponga que P(A/B)=.8, P(A)=.5 y P(B)=.2 calcule P(B/A). Ejercicio 1.103.Se toman sucesivamente dos cartas sin reponer de un mazo normal de
52 cartas bien barajeado. Sea A el evento en que la primera carta que se toma sea un trébol y B que la segunda carta también sea un trébol. ¿Son independientes esos eventos? Ejercicio 1.104. Penélope la pesimista y Sandra la optimista son dos de las finalistas en
un concurso. De las 10 finalistas se elegirá una al azar para recibir el gran premio; las 10 finalistas tienen igual probabilidad de ganarlo, justa antes de otorgar el gran premio, un juez dice a ocho de ellas que no ganaron el premio mayor y sólo quedan Penélope y Sandra. Penélope piensa aun antes de que el juez eliminara a ocho concursantes lo sabía que al menos ocho de las demás deberían perder. Pero eso no me dice nada mis probabilidades de ganar siguen siendo el 10%. Que mala suerte!. Sandra piensa ahora que han eliminado a esas ocho sólo quedaron 2 en el concurso. Por consiguiente tengo el 50% de probabilidades de ganar. Qué suerte tan buena! ¿Cuál es el análisis correcto? Ejercicio 1.105. Suponga que el 2% de los rollos de tela de algodón son defectuosos,
al igual que el 3% de los rollos de tela de nylon. De los rollos utilizados por el fabricante el 70% son de algodón y 30% son de nylon. ¿Cuál es la probabilidad de que al seleccionar al azar uno de los rollos este sea defectuoso
Ejercicio 1.106.
La irregularidad del corte de productos de papel aumenta a medida que las hojas de la cuchilla se desgastan. Sólo el 1% de productos cortados con cuchillas nuevas tienen cortes irregulares, el 3% de los cortados con cuchillas de filo promedio exhiben irregularidades y el 5% de los cortados con cuchillas desgastadas presentan irregularidades.
sufrieron una merma considerable. a) Si se escogen dos partes al azar, sin reemplazo. ¿Cuál es la probabilidad de que la segunda parte seleccionada sea de las que experimentaron una merma considerable? b) Si se toman tres partes al azar sin reemplazo. ¿Cuál es la probabilidad de que la tercera parte sean de las que experimentan una merma considerable?. Fórmula de Bayes. Definición 1.108. Ley de probabilidad total. Si A 1, A2, …, Ak son eventos mutuamente
excluyentes, entonces para cualquier otro evento B. P(B)=P(B/A1)P(A1)+ P(B/A2)P(A2)+…. P(B/Ak)P(Ak).=
∑
Definición 1.109. Teorema de Bayes. Sean A 1, A2, …, Ak un conjunto de k eventos mutuamente excluyentes con P(A i)>0 para i=1,…,k. Entonces para cualquier otro
evento B para el que P(B)>0. P(A j/B)=
= ∑
j=1,…,k
La transición de la segunda a la tercera expresión se apoya en el uso de la regla de la multiplicación en el numerador y la ley de probabilidad total en el denominador. Ejercicio 1.110. Incidencia de una enfermedad rara. Sólo 1 de 1000 adultos está
afectado por una rara enfermedad, para la cual se ha desarrollado una prueba de diagnostico. Durante la prueba, cuando un individuo padece la enfermedad, presentará un resultado positivo 99% de las veces, mientras que un individuo sin la enfermedad mostrará un resultado de prueba positivo sólo en 2% de las veces. Si se hace una prueba en un individuo seleccionado al azar y el resultado es positivo. ¿Cuál es la probabilidad de que el individuo tenga la enfermedad?. Ejercicio 1.111.Se envían componentes de un cierto tipo a un proveedor en lotes de
diez. Suponga que 50% de estos lotes no tienen componentes defectuosos, 30% un componente defectuoso y 20% dos componentes defectuosos. Dos componentes de un lote se seleccionan al azar y se prueban. ¿Cuáles son las propiedades asociadas de que haya 0, 1 y 2 componentes defectuosos en un lote, bajo cada una de las siguientes condiciones? a) Ningún componente probado esta defectuoso.
b) Uno de los dos componentes probados es defectuoso (sugerencia dibuje un diagrama de árbol con tres ramas de primera generación para los tres tipos diferentes de lotes) . Ejercicio 1.112. Suponga que P(A/B)=0.8, P(A)=0.5 y P(B)=0.2. Calcule P(B/A). Ejercicio 1.113. Los láseres de semiconductor utilizados en los productos para
almacenamiento óptico requieren niveles de potencia mucho mayor para las operaciones de escritura que para las de lectura. Entre más grande es el nivel de potencia menor es la duración del laser. Los láseres utilizados en productos para el respaldo de discos magnéticos de alta velocidad se utilizan principalmente para escribir, y la probabilidad de que su vida útil sea mayor que cinco años es 0.95. Los láseres que se emplean en productos para almacenamiento, invierten aproximadamente el mismo tiempo en operaciones de lectura y escritura, y la probabilidad de que la vida útil de éstos sea mayor que cinco años es 0.995. El 25% de los productos de cierto fabricante se utilizan para operaciones de respaldo, mientras que el 75% restante se emplea para almacenamiento. Sea A: el evento donde la vida útil de láser es mayor que cinco años B: el evento donde el producto que emplea el láser se utiliza para respaldar información. B´: el evento donde el producto se utiliza para lectura/escritura (almacenamiento) a) Obtenga P(B)= P(AB)= P(AB´)= P(A)=
P(B´)=
P(A/B)=
P(A/B´)=
b) ¿Cuál es la probabilidad de que la vida útil del láser sea mayor que cinco años? c) ¿Cuál es la probabilidad de que el láser que falla antes de cinco años provenga de un producto que se emplea para respaldar información?
Ejemplo 1.114. Una placa de metal tiene 20 tornillos. Suponga que cinco de ellos no
están bien apretados. Se escogen cuatro de ellos, al azar y sin reemplazo, para determinar si están bien apretados. a) ¿Cuál es la probabilidad de que los cuatro tornillos estén bien apretados? b) ¿Cuál es la probabilidad de que al menos uno de ellos no estén bien apretados? Ejemplo 1.115. Una máquina robótica de inserción contiene 10 componentes
primarios. La probabilidad de que cualquier componente falle durante el periodo de garantía es 0.01. Suponga que los componentes fallan de manera independiente y que la máquina falla cuando alguno de sus componentes falla. ¿Cuál es la probabilidad de que la máquina falle durante el periodo de garantía?.
Ejemplo 1.116. Un lote de 50 arandelas espaciadoras contiene 30 que son más gruesas
que la dimensión requerida. Suponga que del lote se escogen tres arandelas al azar, sin reemplazo. a) ¿Cuál es la probabilidad de que las tres arandelas sean más gruesas que la dimensión requerida? b) ¿Cuál es la probabilidad de que la tercera arandela sea más gruesa de lo necesario si las dos primeras son más delgadas que la dimensión requerida? c)
¿Cuál es la probabilidad de que la tercera arandela sea más gruesa que la dimensión requerida?
d) Se escogen arandelas de un lote al azar y sin reemplazo. ¿cuál es el mínimo número de arandelas que es necesario tomar del lote, para que la probabilidad de que todas ellas sean más delgadas que la dimensión requerida sea menor que 0.10? e) ¿Cuál es el número mínimo de arandelas que es necesario tomar del lote, para que la probabilidad de que una o más de ellas sea más gruesas que la dimensión requerida sea al menos 0.90?
Ejercicios de repaso Ejercicio 1.117. El software para detectar fraudes en tarjetas telefónicas utilizadas por
los consumidores registran todos los días el número de áreas metropolitanas donde se originan todas las llamadas. Se tiene que el 1% de los usuarios legítimos hacen al día llamadas que se originan en dos o más áreas metropolitanas. Sin embargo el 30% de los usuarios fraudulentos hacen al día llamadas desde dos o más áreas metropolitanas. La proporción de usuarios fraudulentos es 0.01%. Si el mismo usuario hace en un día dos o más llamadas desde dos o más áreas metropolitanas. ¿Cuál es la probabilidad que sea un usuario fraudulento?. Ejercicio 1.118. Los clientes se encargan de evaluar los diseños preliminares de varios
productos. En el pasado, el 95% de los productos que con mayor éxito en el mercado recibieron buenas evaluaciones, el 60% de los productos con éxito moderado recibieron buenas evaluaciones y el 10% de los productos de escaso éxito recibieron buenas evaluaciones. Además el 40% de los productos han tenido mucho éxito y el 35% un éxito moderado y el 25% una baja aceptación. a) ¿Cuál es la probabilidad de que un producto obtenga una buena evaluación? b) Si un nuevo diseño obtiene una buena evaluación ¿Cuál es la probabilidad de que se convierta en un producto de gran éxito?
c) Si un producto no obtiene una buena evaluación ¿Cuál es la probabilidad de que se convierta en un producto de gran éxito? a) ¿Cuál es la probabilidad de tener un error en la lectura? b) Si se presenta un error en la lectura. ¿Cuál es la probabilidad de que se deba a una alineación oblicua? Ejercicio 1.119. La probabilidad de que la orden no se envíe a tiempo es 0.05. Un cliente realiza tres pedidos pero el tiempo que hay entre ellos es tan grande que pueden considerarse como eventos independientes. a) ¿Cuál es la probabilidad de que todos los pedidos se envíen a tiempo? b) ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente uno de ellos no se envíe a tiempo? c) ¿Cuál es la probabilidad de que dos o más pedidos no se envíen a tiempo? Ejercicio 1.120 En una operación de llenado automático, la probabilidad de que el
volumen de llenado sea incorrecto es 0.001 cuando el proceso se realiza a baja velocidad. Cuando el proceso se efectúa a alta velocidad, la probabilidad de un llenado incorrecto es 0.01. Suponga que el 30% de los contenedores se llena cuando el proceso se efectúa a alta velocidad, mientras que el resto se lleva a cabo a baja velocidad. a) ¿Cuál es la probabilidad de encontrar un contenedor lleno con un volumen incorrecto? b) Si se encuentra un contenedor lleno con un volumen incorrecto, ¿Cuál es la probabilidad de que haya sido llenado cuando el proceso se realizaba a alta velocidad? Ejercicio 1.121. Una máquina herramienta está desocupada durante el 15% del tiempo
total de uso. Usted le pide al operador que haga uso de la herramienta en cinco ocasiones distintas durante el año. Suponga que las solicitudes de uso son eventos independientes. a) ¿Cuál es la probabilidad de que la herramienta esté desocupada todas las veces que usted le pide al operador utilizarla? b) ¿Cuál es la probabilidad de que la herramienta esté desocupada exactamente cuatro de las cinco veces en que usted le pide al operador utilizarla? c) ¿Cuál es la probabilidad de que la herramienta esté desocupada al menos tres de las cinco veces en que usted le pide al operador utilizarla? Ejercicio 1.122. La alineación entre la cinta magnética y la cabeza de un sistema de
almacenamiento en cinta magnética, afecta al desempeño del sistema. Suponga que el 10% de las operaciones de lectura se ven atenuadas por la alimentación oblicua, el 5% de ellas son atenuadas por una alineación descentrada, y que las demás operaciones de lectura se realizan de manera correcta. La probabilidad de un error en la lectura por una alineación oblicua es 0.01, por una alineación descentrada 0.02 y 0.001 por una alineación correcta.
d) Si un producto no obtiene una buena evaluación ¿Cuál es la probabilidad de que se convierta en un producto de gran éxito?
Variable aleatoria
En muchos de los ejemplos de experimentos aleatorios considerados hasta el momento, el espacio muestral sólo es una descripción de los posibles resultados, en algunos casos las descripciones de los resultados son suficientes, pero en otros es útil asociar un número con cada resultado del espacio muestral. Ya que el resultado de un experimento no se conoce con anticipación, sucede lo mismo con el valor de la variable. Por esta razón la variable que asocia un número con el resultado de un experimento aleatorio se conoce como variable aleatoria. Definición. 2.1. Una variable aleatoria (va) es una función que asigna un número real a
cada resultado en el espacio muestral de un experimento aleatorio. Las va se denotan con una letra mayúscula tal como X, y con una letra minúscula el valor posible de X. El conjunto de los posibles valores de la va X recibe el nombre de rango de X. Ejemplo 2.2. El sistema de comunicación por voz de una empresa tiene 48 líneas
externas. En un determinado momento, se observa el sistema y algunas líneas están ocupadas. Sea X la va que denota el número de líneas en uso. X={0,1…48} Ejemplo 2.3. Se evalúa un nuevo proceso para la fabricación de partes moldeadas en
plástico en términos de la coloración y la reducción del tamaño. Una de las primeras corridas del proceso proporciona la información para el uso muestral y las probabilidades que aparecen en la siguiente tabla. Tabla Características del plástico moldeado Coloración Reducción del tamaño probabilidad X -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
aprobado aprobado inaceptable inaceptable
aprobado inaceptable aprobado inaceptable
.64 .16 .16 .04
2 1 1 0
Supóngase que el interés recae en resumir los resultados de este experimento aleatorio con el número de características (de coloración y reducción del tamaño) que
son aprobadas. Por lo cual se define una va X, para ser igual al número de características aprobadas. Ejemplo 2.4 El análisis de una muestra de aire puede resumirse en términos de un
número de variables y descripciones. Un resumen particular es el conteo de moléculas raras presentes en la muestra. Sea X la va que denota el número de moléculas raras en la muestra. Así X={0,1,…} Ejemplo 2.5. Lanzar una moneda 10 veces. Sea X= el número de caras obtenidas. X={1, 2,…,10} Ejemplo 2.6. Una máquina herramienta desgastada produce 1% de partes defectuosas.
Sea X=número de partes defectuosas en las siguientes 25 que se produzcan. Así, X={0,1..25} Ejemplo 2.7. De todos los bits transmitidos por un canal de transmisión digital, el 10%
se reciben con error. Sea X=número de bits con error en los siguientes cinco por transmitir. Así X={0,1..5} Ejemplo 2.8. Se sacan dos pelotas en sucesión, sin reemplazo, de una urna que
contiene 4 pelotas rojas y 3 negras. Sea X el número de pelotas rojas. Los resultados posibles son Espacio muestral X RR 2 BB 0 RB 1 BR 1 La notación X(s)=x indica que x es el valor asociado al resultado s por la va X. Ejemplo 2.9. Cuando un estudiante intenta utilizar una computadora conectada a un
sistema de tiempo compartido, todos los puertos podrían estar ocupados (F), en cuyo caso el estudiante no tendría acceso, o habría por lo menos un puerto libre (L), en cuyo caso el estudiante tendría acceso al sistema. Con S={F,L}, definimos una va X mediante X(L)=1, X(F)=0 La va X indica que el estudiante puede (1) o no puede (0) tener acceso. Ejemplo 2.10. Considérese el experimento donde se marca el número telefónico de
cierta clave de un área por medio de un marcador de números aleatorios (estos son utilizados por organizaciones encuestadoras) y defínase una va X mediante 1 si el número seleccionado no está en el directorio X= 0 si el número seleccionado está en el directorio Por ejemplo si 2338798 aparece en el directorio entonces X(2338798)=0 En los siguientes ejercicios determine los rangos de la va Ejercicio 2.11. La va es el número de conexiones soldadas, de las 1000 que tiene el
circuito impreso, que no cumplen con ciertos estándares de calidad
Ejercicio 2.12. En un sistema de comunicación por voz con 50 líneas, la va es el número
de líneas ocupadas en un momento particular. Ejercicio 2.13.Se utiliza un instrumento electrónico para medir pesos de empaques,
hasta la libra más cercana. Un instrumento de medición sólo tiene cinco dígitos. Cualquier peso mayor del que puede mostrarse aparece como “99999”. La variable aleatoria es el peso que aparece en el instrumento Ejercicio 2.14. Un lote de 500 partes maquinadas contiene 10 que no se ajustan a los
requerimientos del cliente. La va es el número de partes en una muestra de cinco que no cumplen con los requerimientos del cliente. Ejercicio 2.15. Un lote de 500 partes maquinadas contiene 10 que no se ajustan a los
requerimientos del cliente. Del lote se van tomando partes, sin reemplazo, hasta que se obtiene una que no cumple con los requerimientos. La va es el número de partes seleccionadas. Ejercicio 2.16. La va es el contenido de humedad de un lote de materia prima medido
hasta el porcentaje entero más cercano. Ejercicio 2.17. La va es el número de problemas en la superficie de una bobina grande
de acero galvanizado. Ejercicio 2.18. La va es el número de ciclos de reloj de una computadora necesaria para
finalizar un determinado cálculo aritmético. Ejercicio 2.19. En la orden de pedido de un automóvil puede seleccionarse el modelo o
añadir cualquier número de opciones hasta 15. La va es el número de opciones seleccionadas en un pedido Ejercicio 2.20. Un entablado de madera puede pedirse de 1/8, ¼, o 3/8 de pulgada. La
va es el espesor total del entablado de dos pedidos. Ejercicio 2.21. Considere un experimento donde un individuo llamado Claudio está
ubicado en el punto 0 del siguiente diagrama. A2
B2
A3
B1
0
B3
A1
B4
A4
Por medio de un aparato de aleatorización (como un dado tetraédrico) Claudio se mueve primero a uno de los cuatro lugares B 1, B2, B3, B 4. Cuando está en uno de estos
se utiliza otro aparato de aleatorización para determinar si Claudio regresa a 0 ó visita uno de los otros dos puntos adyacentes. El experimento continua de este modo, después de cada movimiento se determina otro movimiento a uno de los (nuevos) puntos adyacentes al lanzar un dado o una moneda adecuados. a) Sea X=número de movimientos que realiza Claudio antes de regresar a 0. ¿Cuáles son los valores posibles de X? b) Si también se permiten movimientos a lo largo de trayectorias diagonales que enlacen 0 a A1, A2 A3, A4 respectivamente, conteste la pregunta del inciso a) Distribución de probabilidad (discretas y continuas) Definición 2.22. Una va discreta es una va con un rango finito (o infinito contable), en
cambio si es infinito igual al número de puntos en un segmento de línea, entonces se llama va continua. Para estudiar propiedades básicas de va discretas sólo se requieren herramientas de matemáticas discretas. El estudio de variables continuas requiere matemáticas continuas del cálculo (integrales y derivadas) Distribución de probabilidad de una va discreta
Con mucha frecuencia es conveniente representar con una fórmula todas las probabilidades de una va X, denotemos a dicha fórmula con f(x)=P(X=x). Al co njunto de pares ordenados (x,f(x)) se le llama función de probabilidad de masa (pmf) o distribución de probabilidades de la va X, es decir, nos dice como la probabilidad total de una está distribuida entre todos los valores posibles de X. Ejemplo 2.23. Seis lotes de componentes están listos para ser enviados a cierto
proveedor. El número de componentes defectuosos de cada lote es: Lote 1 2 3 4 Número de componentes defectuosos 0 2 0 1
5 2
6 0
Uno de los lotes será seleccionado al azar para enviarse a un cliente en particular. Sea X el número de componentes defectuosos del lote seleccionado. Los tres posibles valores de X son: 0, 1 y 2. De los seis eventos simples igualmente probables, tres resultan X=0, uno en X=1, y los otros dos en X=2.Sea f(0) la probabilidad de que X=0 y f(1) y f(2) las probabilidades de los otros dos valores posibles de X. Entonces,
f(0)=P(X=0)=P(se envía el lote 1, 3, 6)= =.5
f(2)=P(X=2)=P(se envía el lote 2 ó 5)= =.333 f(1)=P(X=1)=P(se envía el lote 4)= =.167
Ejemplo 2.24. Considérese una vez más el ejemplo de las moléculas de aire. Sea X una
va que denota el número de muestras de aire que es necesario analizar para detectar una molécula rara. Supóngase que la probabilidad de que una muestra de aire contenga una molécula rara es 0.01 y que las muestras son independientes. Determínese la función de probabilidad de X Sea p: una muestra donde está presente la molécula rara a: una muestra donde la molécula rara está ausente S={p, ap, aap, ….} Consideremos unos casos. P(X=1)=P(p)=0.01 Si se emplea la hipótesis de independencia P(X=2)=P(ap)=0.99x.01=.0099 Una fórmula general es x-1 P(X=x)=P(aaaa….p)=.99 x.01, para 1,2,3…. Para la va X, f(x) satisface las propiedades siguientes 1) f(x)=P(X=x) 2) f(x) para toda x 3)
∑
Ejercicio 2.25.Un empaque de 8 microcomputadoras similares que se envían a un
distribuidor contiene 3 aparatos defectuosos. Si una escuela realiza una compra aleatoria de 2 de estas computadoras, encuentre la distribución de probabilidad para el número de computadoras defectuosas. Ejercicio 2.26. Supongamos que en una librería de la universidad, durante la primera
semana de clases, la siguiente persona que compra una computadora la elige portátil o de escritorio. Sea X= 1 si el cliente compra una computadora laptop 0 si el cliente compra una computadora de escritorio Si el 20% de todos los compradores durante esa semana seleccionan una laptop, calcule la pmf Hay muchos problemas en los cuales se desea calcular la probabilidad de que el valor observado de una va X sea menor o igual a algún número real. Ejemplo 2.27. Supóngase que en el ejemplo de la molécula el interés recae en la
probabilidad de encontrar una molécula rara en tres muestras o menos. Esta pregunta puede expresarse como P(X≤3). 2 P(X≤3)=P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)=0.01+0.99x0.01+0.99 x0.01=0.0297 Para este ejemplo una formula general es x P(X≤x)=1-0.99 . Esta expresión también puede utilizarse para determinar 14 13 13 P(X=14)=P(X≤14)-P(X≤13)=(1-0.99 )-(1-0.99 )=0.99 (0.01) Ejercicio 2.28.El espacio muestral de un experimento aleatorio es {a, b, c, d, e, f} y cada
resultado es igualmente probable. Se define una va de la siguiente manera:
Resultado a b c d e f X 0 0 1.5 1.5 2 3 Determine la función de probabilidad de X. Ejercicio 2.29. Del ejercicio anterior determine las siguientes probabilidades
a) P(X=1.5)= b) P(0.53)= d) P(0≤X<2)= Ejercicio 2.30. Un operador registra el tiempo (redondeado al segundo más cercano) requerido para terminar un ensamble mecánico. Los resultados que obtiene son los siguientes: Segundos 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 Número de ensambles 3 5 6 9 12 25 32 15 9 6 Sea X= el tiempo necesario para terminar un ensamble a) Determine la función de probabilidad de X b) Determine P(33≤X<38)= c) ¿Qué proporción de los ensambles se terminan de armar en 35 segundos ó menos? Verifique que las funciones siguientes son funciones de probabilidad y calcule las probabilidades pedidas. x f(x)
Ejercicio 2.31.
a) b) c) d)
P(X≤2)= P(X>-2)= P(-1≤X≤1)= P(X≤-1 ó X=2)=
,
x=1,2,3
,
x=0,1,2,….
Ejercicio 2.32. f(x)=
a) P(X≤1)= b) P(X>1)=
Ejercicio 2.33. f(x)=
a) b) c) d)
-2 -1 0 1 2 1/8 2/8 2/8 2/8 1/8
P(X=2)= P(X≤2)= P(X>2)= P(X≥1)=
Ejercicio 2.34. Una persona pide prestado un llavero con cinco llaves, y no sabe cuál es
la que abre un candado. Por tanto intenta con cada llave hasta que consigue abrirlo. Sea la va X el número de intentos necesarios para abrir el candado. Determine la función de probabilidad de X. P(X=1)= P(X=2)= P(X=3)= P(X=4)= P(X=5)= a) ¿Cuál es el valor de P(X≤1)?= b) ¿Cuál es el valor de P(X=5)?= c) ¿Cuál es el valor de P(X≤3)?= Ejercicio 2.35. Un grupo de partes moldeadas se clasifican de acuerdo con su longitud
de la siguiente manera: Longitud redondeada A la décima de milímetro Más cercana
4.9 5.0 5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6
Número de partes 0 3 10 25 40 18 16 2 a) Si la va es la longitud (redondeada a la décima de milímetro más cercana) de una parte moldeada seleccionada al azar, determine la función de probabilidad de x b) ¿Cuál es el valor de P(X≤5.1)?= c) ¿Cuál es el valor de P(4.95
análisis de muestras de suelo tendrá mucho, poco o ningún éxito con probabilidades 0.3, 0.6 y 0.1 respectivamente. Las ganancias anuales asociadas con un producto muy exitoso, poco exitoso o no exitoso son 10 millones, 5 millones y 1 millón de dólares respectivamente. Defínase la va como la ganancia anual del producto. Determine la función de probabilidad de X. Ejercicio 2.37. Del ejercicio anterior. Suponga que el interés se centra en las ganancias
de tres años. Determine el rango de cada una de las siguientes variables aleatorias. a) Total de tres años de ganancias en millones de dólares. b) Promedio de 3 años de ganancias en millones de dólares c) Máximo de tres años de ganancias d) Diferencia entre las ganancias anuales más grandes y la más pequeña. Ejercicio 2.38. En el ejemplo de la muestra de aire de la molécula rara, suponga que la
probabilidad de que una muestra de aire contenga una molécula rara es 0.001. Calcule la probabilidad de que X=3 Ejercicio 2.39. Un sistema de inspección óptima es capaz de distinguir cuatro partes
distintas. La probabilidad de clasificar de manera correcta cualquier parte es 0.98. Suponga que se inspeccionan tres partes y que la clasificación de éstas es
independiente. Sea la va X el número de partes clasificadas correctamente. Determine la función de probabilidad de X. X f(x)
0 .000008
1 .001176
2 .057624
3 .941192
Definición 2.40. La función de distribución acumulada (cdf) F(X) de una va discreta con
pmf f(x) está definida para todo número x mediante F(x)=P(X≤x)= Para cualquier número x, F(x) es la probabilidad de que el valor observado de X sea a lo sumo x.
∑
Ejemplo 2.41. Supóngase que la función de distribución acumulada de la va X es
0 x<-2 F(x)= 0.2 -2≤x<0 .7 0≤x<2 1 2≤x Determine la función de probabilidad de X Observemos que los únicos puntos que tienen una probabilidad distinta de cero son -2, 0 y 2. Ya que P( X≤x)=0 para cualquier valor de x menor que -2, f(-2)=0.2. De manera similar f(0)=0.7-0.2=0.5 y f(2)=1.0-0.7=0.3 Ejercicio 2.42. La producción diaria de 850 partes contiene 50 que no satisfacen los
requerimientos del cliente. Del lote se eligen al azar dos partes, sin reemplazo. Sea la va X el número de partes de la muestra que no cumplen con los requerimientos. ¿Cuál es la función de distribución acumulada de X? Ejemplo 2.43. Podemos obtener la pmf a partir de la cdf. Supongamos que X
representa el número de componentes defectuosos en un embarque formado de seis componentes, de modo que los valores posibles de x son 0, 1, …,6. Entonces f(3)=P(X=3)=(f(0)+f(1)+f(2)+f(3))-(f(0)+f(1)+f(2))=P(X≤3)-P(X≤2)=F(3)-F(2) Proposición 2.44. Para cualesquiera dos números a y b con a≤b P(a≤X≤b)=F(b)-F(a-)
Donde a- representa el valor máximo posible de X que sea estrictamente menor que a. En particular si a=b entonces (P(a≤X≤b)=F(b) -F(a-1) Ejercicio 2.45. Sea X=número de días de ausencia por enfermedad requeridos por un
empleado seleccionado al azar en una gran empresa durante un año en particular. Si el número máximo de ausencias permisibles por enfermedad es 14, los valores posibles
de X son 0, 1, …,14. Con F(0)=.58, F(1)=.72, F(2)= -76, F(3)=.81, F(4)=.88 y F(5)=.94. Obtenga a) P(2≤X≤5)= b) P(X=3)= Ejercicio 2.46. Determine la función de distribución acumulada para la va del ejercicio
2.28. Ejercicio 2.47. Determine la función de distribución acumulada para la va del ejercicio 2.30. También calcule las siguientes probabilidades a) P(X<32.5)= b) P(X≤32)= c) P(X>32)= d) P(33
2.31 Ejercicio 2.49. Determine la función de distribución acumulada para la va del ejercicio
2.32 Ejercicio 2.50. Determine la función de distribución acumulada para la va del ejercicio 2.35. Así mismo calcule las probabilidades siguientes a) P(X≤5.25)= b) P(X≤5.2)= c) P(5.14.9)= Ejercicio 2.51. Calcule la función de probabilidad y las probabilidades pedidas.
0 si x<1 F(x)= 0.5 si 1≤x<3 1 si 3≤x a) P(X≤3)= b) P(X≤2)= c) P(1≤X≤2)= d) P(X>2)= Ejercicio 2.52
0 0.25 0.75
F(X)= 1 a) b) c) d)
P(X≤0.5)= P(X≤0.4)= P(0.4≤X≤0.6)= P(X<0)=
x<-0.1 -0.1 ≤ X<0.3 0.3 ≤ X <0.5 0.5≤X
e) P(0≤X<0.1)= f) P(-0.1
ordena, es una va que tiene la siguiente función de distribución acumulada. 0 x<1/8 F(X)= 0.2 1/8≤x<1/4 0.9 1/4≤x<3/8 1 3/8≤x Determine las siguientes probabilidades a) P(X≤1/8)= b) P(X≤1/4)= c) P(X≤5/16)= d) P(X>1/4)= e) P(X≤1/2)= Valor esperado y varianza de una variable aleatoria
Si X es una va y el experimento aleatorio que determina el valor de X se repite muchas veces, entonces se obtiene una secuencia de valores para X. Puede emplearse un resumen de estos valores, tal como el promedio (media) para identificar el valor central de la va. La función de probabilidad de X puede interpretarse como la proporción de ensayos en los que X=x. En consecuencia no es necesario realizar el experimento muchas veces con la finalidad de determinar el valor medio de X. La media de X puede calcularse como el promedio ponderado de los valores posibles de X, asignando al resultado x un factor de ponderación f(x)=P(X=x) Definición 2.54 La media o valor esperado de una va discreta X, denotada por x o
E(X), es x=E(X)=
∑
donde la va X tiene un conjunto de posibles valores D.
Ejemplo 2.55.Considerese la siguiente distribución de una va X
X
10
11
f(x)
0.3 0.05
12
13
14 15 16
17 18
0.05 0.15 0.1 0.1 0 0.05 0.2
E(X)=13.45 Ejercicio 2.56 Poco después de nacer un niño es clasificado de acuerdo con la escala
apgar. Las posibles clasificaciones son 0, 1, …,10 de acuerdo con el color, tono
muscular, esfuerzo respiratorio, ritmo cardiaco e irritabilidad de reflejos (la mejor
clasificación posible es 10). Sea X la calificación apgar de un recién nacido escogido al azar, en cierto hospital durante el año siguiente, y supongamos que pmf de X es X
0
f(x)
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10
.002 .001 .002 .005 .02 .04 .18 .37 .25 .12 .01
Calcule su media. Ejemplo
2.57. Se supone que la cobertura de una prueba en un proceso de
verificación de un semiconductor tiene una eficacia del 80%. Esto es, la probabilidad de que un chip defectuoso no pase la prueba es 0.8. Se someten a prueba tres chips. Supóngase que la falla de cada chip defectuoso es independiente de las que aparezcan en otras pruebas. Sea la va X el número de chipas defectuosos que no pasan la prueba. ¿Cuál es el valor esperado de X? Para hallar E(X) primero es necesario encontrar la función de probabilidad de X. Ejemplo, P(pff)=0.2x0.8x0.8=0.12 Resultados fff ffp fpf fpp pff pfp ppf ppp
X
probabilidad 3 2 2 1 2 1 1 0
.512 . 0.128 0.128 0.032 0.128 0.032 0.032 0.008
la función de probabilidad de X se encuentra a partir de estos resultados X 0 1 2 3 f(x) 0.008 0.096 0.384 0.512 por tanto E(X)=0x0.008+1x0.096+2x0.384+3x0.512=2.4
Se compara el diseño de dos nuevos productos sobre la base de las ganancias esperadas para cada uno de ellos. El departamento de mercadotecnia considera que las ganancias del diseño A puede estimarse con bastante exactitud, en tres millones de dólares. Las ganancias del diseño B sea de siete millones de dólares, pero existe una probabilidad 0.7 de que ésta sea sólo de dos millones. ¿Qué diseño es el que debe preferirse? X la ganancia del diseño A. Ya que no hay ninguna incertidumbre sobre ésta entonces puede modelarse la distribución la distribución de la va X como tres millones con probabilidad 1. Por consiguiente E(X)=3 millones. Y la ganancia del diseño B. El valor esperado de Y en millones de dólares es E(Y)=7x0.3+2x0.7=3.5 Ejemplo 2.58.
Dado que E(Y) es mayor que E(X) debe preferirse el diseño B. Sin embargo la variabilidad del resultado del diseño B es mucho mayor y la probabilidad de que A genera más ganancias es 0.7. Con este argumento, quizá otras personas prefieran el diseño A. Valor esperado de una función
Con frecuencia nos interesa el valor esperado de una función h(X) y no la X misma. Suponga que una librería compra diez ejemplares de un libro a $6.00 cada uno, para venderlos a $12.00, entendiendo que al terminar un periodo de 3 meses, cualquier ejemplar no vendido se venderá en $2.00. Si X= número de ejemplares vendidos, entonces la utilidad neta es h(X)=12X+2(10-X)-60=10X-40. Sea X=número de cilindros del siguiente automóvil que va a ser afinado en cierto taller. El costo de una afinación está relacionado con X por h(X)=20+3X+.5X 2. Como X es una va, h(X) también lo es; simbolizamos esta última va por Y. Las pmf de X y Y son las siguientes: X 4 6 8 f(X) .5 .3 .2
Y f(y)
40 56 76 .5 .3 .2
Con D señalando posibles valores de Y,
∑
E(Y)=E(h(X))=
Según la ecuación anterior no es necesario determinar la pmf de Y para obtener E(Y).
Proposición 2.59. Si la va tiene un conjunto de posibles valores D y pmf f(x), entonces
el valor esperado de cualquier función h(X), simbolizado por E(h(X))=
∑ .
Ejemplo 2.60. Una tienda de computadoras ha comprado (en dólares) tres
computadoras de cierto tipo a $500.00 cada una y las venderá a $1000.00. El fabricante ha aceptado volver a comprar en $200.00 cualquier computadora que no se haya vendido en el tiempo especificado. Sea X el número de computadoras vendidas y supongamos que f(0)=.1 f(1)=.2 f(2)=.3 f(3)=.4 Si señalamos con h(X) la unidad asociada con la venta de X unidades, la información dada implica que h(X)=ingreso-costo=1000X+200(3-X)-1500=800X-900. La utilidad esperada es entonces E(h(X))=h(0)f(0)+ h(1)f(1)+ h(2)f(2)= -900x.1+-100x.2+ 700x.3+ 1500x.4= $700.00 Proposición 2.61. E(aX+b)=aE(X)+b
Además de la media de X, a menudo el interés también recae en considerar la variabilidad en el proceso de decisión. Considérese la va X con la siguiente distribución X f(x)
18 20 22 0.2 0.6 0.2
E(X)=18x.2+20x.6+22x.2=20 Ahora considérese la distribución de la va Y Y 0 15 25 40 f(x) 0.2 0.3 0.3 0.2 E(Y)=0x0.2+15x0.3+25x0.3+40x0.2=20 Aunque X y Y tienen los mismos valores esperados, la distribución de Y es más variable. Las diferencias en las distribuciones en las dos variables aleatorias pueden resumirse al considerar una medida de variabilidad. Para X, el cuadrado de la diferencia de cada valor posible con respecto a E(X) es (x-20)2 Probabilidad
4 0 4 0.2 0.6 0.2
Para Y el cuadrado de la diferencia de cada valor posible con respecto a E(Y) es (y-20)2 Probabilidad
400 25 25 400 0.2 0.3 0.3 0.2
Calculemos el promedio ponderado de ambos E(X-20)2=4x0.2+0x0.6+4x0.2=1.6 E(Y-20)2=400x0.2+25x0.3x25x0.3+400x0.2=175 El promedio de los cuadrados de las diferencias con respecto a la media es mucho mayor para Y que para X. Este resultado concuerda con el hecho de que la distribución de Y está más dispersa que la distribución de X. Definición 2.62. Supóngase que la media de X es x y que la función de probabilidad de X es f(x). La varianza de una va X , denotada por o V(X) es 2 x) =
∑
La desviación estándar (DE) de X es
x= Definición 2.63. La desviación estándar de una va X, denotado por cuadrada positiva de .
x es la raíz
2
2
Proposición 2.64. V(X)=E(X )-(E(X)) . Proposición 2.65. V(aX+b)=/a/ x
por tanto
Ejercicio 2.66. Se evalúa el acabado superficial de 40 muestras de cinta magnética y se
obtienen los siguientes resultados. Número de defectos 0 Número de muestras 18
1 12
2 7
3 2
4 1
5 0
Determine la media y la varianza del número de defectos por muestra de cinta. Ejercicio 2.67. Se mide la longitud de las terminales de varios componentes
electrónicos (a la décima de milímetro más cercana) y se obtienen los siguientes resultados. Longitud Número de terminales
2.0 5
2.1 8
2.2 10
2.3 22
2.4 28
2.5 16
2.6 9
Determine la media y la varianza de la longitud de las terminales Ejercicio 2.68. Determine la media y la varianza del ejercicio 2.28. Ejercicio 2.69. Determine la media y la varianza del ejercicio 2.30. Ejercicio 2.70. Determine la media y la varianza del ejercicio 2.31. Ejercicio 2.71. Las muestras de cierta materia prima se clasifican de acuerdo a su
contenido de humedad e impurezas, redondeado éste al porcentaje más cercano. A continuación se presentan los resultados obtenidos con 80 muestras. Contenido de humedad 3% 4% Impurezas 1% 5 14 2% 57 4 a) Determine la media y la varianza del contenido de humedad de estas muestras. b) Calcule la media y la varianza del contenido de impurezas de estas muestras. .Ejercicio 2.72. En un proceso de manufactura, mide en milímetros el diámetro interno de 100 anillos para pistón. Los resultados son los siguientes. Diámetro interno Número de anillos
68.85 69.90 69.95 70.00 70.05 70.10 70.15 4 13 19 30 24 5 5
Sea X el diámetro interno de los anillos para pistón de este proceso. Determine la media y la varianza de X.
Ejercicio 2.73. Si el rango de X es el conjunto {0, 1, 2, 3, 4} y P(X=x)=0.2, determine la
media y la varianza de la va. Ejercicio 2.74. Determine la media y la varianza de ejercicio 2.35. Ejercicio 2.75. Determine la media y la varianza del ejercicio 2.36. Ejercicio 2.76. Determine la media y la varianza del ejercicio 2.32. Ejercicio 2.77. El rango de la va es {0, 1, 2, 3,x} donde x es una incógnita. Si cada valor
es igualmente probable y la media de X es 6, calcule x.
Distribución de probabilidad binomial.
Hay muchos experimentos que cumplen la siguiente lista de requisitos. 1. El experimento consiste en una secuencia de n ensayos, donde n se fija antes del experimento 2. Los ensayos son idénticos y cada uno puede resultar en uno de los posibles resultados que señalamos como éxito (E) o fracaso (F). 3. Los ensayos son independientes por lo que el resultado de cualquier intento particular no influye sobre el resultado de cualquier otro ensayo 4. La probabilidad de éxito es constante de un ensayo a otro, denotamos esta probabilidad por p. Un experimento que satisface las condiciones 1 a 4 se llama experimento binomial. Definición 2.78.
Ejemplo 2.79. La misma moneda se lanza n veces en forma sucesiva e independiente,
utilizaremos E para señalar que la moneda cae cara y F para cruz. Ejemplo 2.80. Se arroja una chincheta. Aquí E puede ser cuando cae con la punta
arriba y F con la punta abajo En la mayoría de los experimentos binomiales lo que nos interesa es el número total de E más que saber exactamente cuántos intentos produjeron las E. mnbn Definición 2.81. Dado un experimento binomial formado por n ensayos, la va binomial
X asociada con este experimento está definido como: X=número de E entre los n ensayos. Suponga por ejemplo que n=3. Entonces hay ocho posibles resultados para el experimento son EEE, EEF, EFE, EFF, FEE, FEF, FFE, FFF
De la definición de X, X(EEF)=2, X(EFF)=1, etc. Con frecuencia escribiremos X Bin(n,p) para indicar que X es una va binomial basada en n ensayos con probabilidad p de éxitos. Notación. Debido a que la pmf de un va binomial X depende de los parámetros n y p, denotamos la pmf por b(x;n,p) Observemos que como los ensayos son independientes entonces P(EEFE)=P(E)P(E)P(F)P(E)=p.p.(1-p)p =p 3(1-p) Así, Teorema 2.82 b(x;n,p)=
p (1-p) x
0
n-x
x=0,1,2,…,n
en otro caso
Ejemplo 2.83 A cada una de las seis personas que toman refresco de cola,
seleccionadas al azar, se les da un vaso que contiene refresco de cola E y otro que contiene refresco de cola F. Los vasos son idénticos en apariencia excepto por un código que se encuentra en el fondo para identificar la marca. Suponga que, en realidad no hay tendencia entre las personas que beben refresco de cola a preferir entre una marca y otra. Entonces p=P(un individuo seleccionado prefiere E)=.5, así que X=número entre los seis que prefieren E, X Bin(6, .5) Entonces,
P(X=3)=b(3; 6, .5)=.313
La probabilidad de que al menos tres prefieran E es P(3X)= =.656
∑
La probabilidad de que a lo más uno prefiera E es P(X1)= =.109
∑
donde
Proposicion 2.84 Si XBin(n,p), entonces E(X)=np, V(X)=np(1-p)=npq y x=
q=1-p
Ejemplo 2.85 Si 75% de todas las compras en cierta tienda se hacen con tarjetas de
crédito y X es el número de entre 10 compras hechas con tarjeta de crédito, seleccionadas al azar, entonces X Bin(10, .75). Así E(X)=np=10(.75)=7.5, V(X)=npq=10(.75)(.25)=1.875 y =
√
Para n=1 la distribución binomial se convierte en la distribución de Bernoulli. Distribución de probabilidad de Bernoulli.
Si es una variable aleatoria que mide "número de éxitos", y se realiza un único experimento con dos posibles resultados (éxito o fracaso), se dice que la variable aleatoria se distribuye como una Bernoulli de parámetro p XBe(p)
Su función de distribución viene definida por: p f(x; p)= q 0
si x=1 si x=0 en cualquier otro caso
Proposición 2.86: E(X)=p
V(X)=p(1-p)=pq
Ejercicio 2.87. Obtenga las siguientes probabilidades
a) B(4;10, .3) b) b(4;10, .3) c) b(6;10, .7) d) P(2 X 4) cuando X Bin(10, .3) e) P(2 X) cuando X Bin(10, .3) Ejercicio 2.88. Una compañía que produce cristal fino sabe por experiencia que 10% de sus copas tienen imperfecciones y deben clasificarse como “de segunda”. a) Entre seis copas seleccionadas al azar ¿Qué tan probable es que sólo una sea “de segunda”? b) Entre seis copas seleccionadas al azar ¿Cuál es la probabilidad de que por lo menos dos sean “de segunda”? c) Si las copas se examinan una por una ¿Cuál es la probabilidad de que por lo menos sean seleccionadas cinco para encontrar cuatro que no sean “de segunda”? Ejercicio 2.89. Veinte por ciento de todos los teléfonos de cierto tipo se remiten para
repararse cuando todavía está vigente su garantía. De éstos 60% pueden ser reparados y el otro 40% deben sustituirse por aparatos nuevos. Si una compañía compra 10 de estos teléfonos ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente se cambien 2 dentro del periodo de garantía? Ejercicio 2.90. Un reglamento que requiere la instalación de un detector de humo en
todas las casas prefabricadas, ha estado en vigor en una ciudad durante un año. El departamento de bomberos ésta preocupado porque muchas casas siguen sin detectores. Sea p=la verdadera proporción de casas que tienen detectores y supongamos que se inspeccione al azar una muestra de 25 casas. Si la muestra indica que menos del 80% tiene detector, el departamento de bomberos hará una campaña para el que programa de instalación sea obligatorio. Pero debido a lo costoso del programa, el departamento no pedirá tales inspecciones a menos que la evidencia muestral apoye con argumentos válidos esta necesidad. Sea X el número de casas con detectores entre las 25 de la muestra. Considere rechazar la afirmación de que p .8 si x15, donde x es el valor observado de X. a) ¿Cuál es la probabilidad de que la petición sea rechazada cuando el valor real de p es .8? b) ¿Cuál es la probabilidad de no rechazar la petición cuando p=.7? ¿Cuándo p=.6?
Ejercicio 2.91 Un estudiante que está tratando de escribir un trabajo para un curso
tiene la opción de seleccionar dos temas A y B. Si elige el tema A pedirá dos libros por medio de préstamo entre bibliotecas, pero si selecciona B pedirá cuatro libros. El estudiante cree que para un buen trabajo necesita por lo menos la mitad de los libros solicitados para cualquiera de los temas seleccionados. Si la probabilidad de que un libro solicitado por medio de préstamo entre bibliotecas en realidad llegue a tiempo es .9 y los libros llegan independientemente unos de otros, ¿Cuál tema debe seleccionar el estudiante para llevar al máximo la probabilidad de hacer un buen trabajo? ¿Cuál si la probabilidad de llegada es sólo .5 en lugar de .9? Ejercicio 2.92 Los clientes de una gasolinera pagan con tarjeta de crédito (A), tarjeta de
debito (B) o en efectivo (C). Suponga que los clientes sucesivos eligen su forma de pago de manera independiente con P(A)=.5, P(B)=.2, P(C)=.3 a) Entre los siguientes 100 clientes. ¿Cuáles son la media y la varianza del número de quienes pagan con tarjeta de crédito?, explique su razonamiento b) Conteste el inciso a) para el número entre los 100 que no pagan en efectivo. Distribución hipergeométrica.
Las suposiciones que llevan a la distribución hipergeométrica son: 1. La población o conjunto donde deba hacerse el muestreo consta de N individuos, objetos o elementos (una población finita) 2. Cada individuo puede ser caracterizado como un éxito (E) o fracaso (F), y hay M éxitos en la población 3. Se elige una muestra sin reemplazo de n individuos, de tal forma que sea igual de probable seleccionar cada subconjunto de tamaño n. La va de interés es X=número de E en la muestra. La distribución de probabilidad de X depende de los parámetros n, M y N, así que deseamos obtener P(X=x)=h(x;n,M,N) Proposición 2.93. Si X es el número de las E de una muestra completamente aleatoria
de tamaño n de una población formada por M éxitos E y (N-M) fracasos F, entonces la distribución de probabilidad de X, llamada distribución hipergeométrica está dada por P(X=x)=h(x;n,M,N)=
()( ) ( )
Para un entero x que satisfaga máx(0,n-N+M) x mín(n,M) Ejemplo 2.94. Cinco ejemplares de una población animal considerados en vía de
extinción en cierta región, han sido atrapados, marcados y puestos en libertad para que se mezclen con la población. Después de mezclarse, se eligió una muestra aleatoria de 10. Sea X=número de animales marcados de la segunda muestra. Si hay en realidad 25 animales de este tipo en la región. ¿Cuál es la probabilidad de que a) X=2? b) X 2?
Los valores de los parámetros son n=10, M=5 y N=25, así que,
h(x;10,5,25)= x=0, 1, 2, 3, 4, 5 para a) P(X=2)=h(2;10,5,25)= =.385 para b) P(X 2)=P(X=0, 1, o 2)=∑ )=.057+.257+.385=.699 Media y varianza de X Proposición 2.95. La media y la varianza de la va hipergeométrica que tiene pmf
h(x;n,M,N) son E(X)=n
V(X)=
Distribución binomial negativa.
La va binomial negativa y su distribución está basada en un experimento que satisface las siguientes condiciones: 1) Un experimento consta de una secuencia de ensayos independientes 2) Cada ensayo puede resultar en un éxito (E) o fracaso (F) 3) La probabilidad de éxito es constante de un ensayo a otro, así P(E en el ensayo i)=p para i=1,2,3,… 4) Un experimento continúa (los ensayos se ejecutan) hasta que un total de r éxitos se haya observado, donde r es un entero positivo específico. La va de interés es X=número de fracasos que preceden al r-esímo éxito; X se llama va binomial negativa porque a diferencia de la va binomial, el número de éxitos es fijo y el número de ensayos es aleatorio. Los posibles valores de X son 0, 1, 2, … Denotemos por nb(x; r, p) la pmf de X, el evento (X=x) es equivalente a (r-1 E en los primeros (x+r-1) ensayos y un E en el (x+r)-çesimo ensayo) como los intentos son independientes Nb(x; r, p)=P(X=x)=P(r-1 E en los primeros x+r-1 intentos)P(E) Proposición 2.96. La pmf de la va binomial negativa X con parámetros r=números
de las E y p=P(E) es
nb(x; r, p) =
pr (1-p)x
x=0, 1, 2…
Ejemplo 2.97. Un pediatra desea reclutar 5 parejas, cada una en espera de su
primer hijo, para que participen en un nuevo régimen de nacimiento natural. Sea p= P(una pareja seleccionada al azar accede a participar). Si p= .2 ¿Cuál es la probabilidad de que se le pida a 15 parejas que participen antes de encontrar 5 parejas que accedan?. Esto es, con E={accede a participar}. ¿Cuál es la probabilidad de que ocurran 10 F antes de la quinta E?. Al sustituir r=5, p=.2 y x=10 en nb(x; r,p) se obtiene
nb(10; 5, .2=
(.2) (.8) 5
10
=.034
La probabilidad de que a lo más 10 F se observen (a lo sumo se pida a 15 parejas)
∑ )=(.2) ∑ (.8) =.164
es
5
P(X 10)=
x
Proposición 2.98. Si X es una va binomial negativa como pmf nb(x; r,p) entonces
E(X)=
V(X)=
Ejercicio 2.99. Cada uno de los 12 refrigeradores de cierto tipo ha sido devuelto a
un distribuidor debido a la presencia de un ruido agudo oscilante cuando el refrigerador está funcionando. Supongamos que cuatro de estos 12 tienen compresores defectuosos y los otros 8 tienen problemas menos serios. Si se examinan al azar, sea X=número entre los primeros 6 examinados que tienen un compresor defectuoso. Calcule lo siguiente a) P(X=1) b) P(X4) c) P(1X3) Ejercicio 2.100. Un geólogo ha recolectado 10 especímenes de roca basáltica y 10 de granito. Se instruye a un asistente de laboratorio para que seleccione al azar 15 de los especímenes para analizarlos. a) ¿Cuál es la pmf de números de especímenes de basalto seleccionados para analizarlos? b) ¿Cuál es la probabilidad de que todos los especímenes de uno de los dos tipos de roca sean seleccionados para el análisis? c) ¿Cuál es la probabilidad de que la cantidad de especímenes de granito seleccionados para su análisis esté a menos de 1 desviación estándar de su valor promedio? Ejercicio 2.101. Suponga que p=P(nazca varón)=.5 Una pareja desea tener
exactamente dos niñas en su familia. Tendrán hijos hasta que se satisfaga esta condición a) ¿Cuál es la probabilidad de que la familia tenga x hijos varones? b) ¿Cuál es la probabilidad de que la familia tenga cuatro hijos? c) ¿Cuál es la probabilidad de que la familia tenga a lo sumo cuatro hijos? d) ¿Cuántos varones se esperaría que tenga esta familia? Ejercicio 2.102. Tres hermanos y sus esposas deciden tener hijos hasta que cada
familia tenga dos niñas. ¿Cuál es la mpf de X=número total de varones nacidos de los hermanos? ¿Cuál es E(X) y cómo se compara con el número esperado de varones nacidos de cada hermano? Distribución de Probabilidad de Poisson Definición 2.103. Se dice que una va X tiene una distribución de Poisson si la pmf
de X es
P(x;)=
x=0,1,2… para alguna >0
El valor de con frecuencia es una tasa por unidad de tiempo o por unidad de área, e representa el valor aproximadamente 2.71828
+…=∑
Ejemplo 2.104. Sea X la cantidad de ostras de cierto tipo que caen en una trampa
durante determinado periodo. Supongamos que X tiene una distribución de Poisson con =4.5, por lo que en promedio las trampas tendrán 4.5 criaturas. La probabilidad de que una trampa contenga exactamente cinco criaturas es
P(X=5) = =.1708 La probabilidad de que la trampa contenga al menos cinco criaturas es = =.7029 P(X5)=∑
Distribución de Poisson como límite. Proposición 2.105. Supongamos que la pmf binomial b(x; n,p) hacemos n p0, en tal forma que np se acerca al valor Entonces b(x; n,p) p(x;
Según esta proposición, en cualquier experimento binomial donde n sea grande y p pequeña, b(x; n,p)= p(x; donde =np. Como regla práctica se puede confiar en esta aproximación si n 100, p.001 y np20.
Ejemplo 2.106. Si un editor de libros no técnicos se esmera en asegurar que sus
libros están libres de errores tipográficos y la probabilidad de que cualquier página dada contenga al menos uno de tales errores es .005 y los errores son independientes de página a página. ¿Cuál es la probabilidad de que una de sus novelas de 400 páginas contenga exactamente 1 página con errores? ¿A lo sumo tres páginas con errores? Con E señalando una página con error y F una página sin errores, el número X de páginas que contiene al menos un error es una va binomial con n=400 y p=.005, así que np=2. Queremos
=.271 De forma similar P(X3)=∑ ∑ =.135+.271+.180=.875 P(X=1)=b(1;400, .005)=p(1:2)=
Media y varianza de X Proposición 2.107. Si X tiene una distribución de Poisson con parámetro , entonces E(X)=V(X)= Ejercicio 2.108. Sea X la cantidad de grietas en la superficie de una caldera de cierto tipo, seleccionada al azar con una distribución de Poisson con parámetro =5
Calcule las siguientes probabilidades a) P(X8)
b) c) d) e)
P(X=8) P(9X) P(5X8) P(5
Ejercicio 2.109. Suponga que la cantidad de conductores que viajan entre cierto
origen y destino, durante determinado periodo, tiene una distribución de Poisson con parámetro =20. ¿Cuál es la probabilidad de que la cantidad de conductores a) Sea máximo 10? b) Sea mayor que 20? c) Esté entre 10 y 20 inclusive? ¿Esté estrictamente entre 10 y 20? d) Sea mayor que la cantidad media en más de dos desviaciones estándar.
Ejercicio 2.110. Suponga que aviones pequeños llegan a cierto aeropuerto según
un proceso de Poisson, con tasa a=8 aviones por hora, de modo que el número de llegadas por un periodo de t horas es una va de Poisson con parámetro =8t a) ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente 5 aviones pequeños lleguen durante un periodo de una hora? ¿Por lo menos 5? ¿Por lo menos 10? b) ¿Cuáles son el valor esperado y la desviación estándar del número de aviones pequeños que lleguen durante un periodo de 90 minutos? c) ¿Cuál es la probabilidad de que por lo menos 20 aviones pequeños lleguen durante un periodo de 2 ½ horas? ¿De que a lo sumo 10 lleguen durante este periodo? Ejercicio 2.111. El número de solicitudes de asistencia recibido por un servicio de remolque de vehículos con fallas es un proceso de Poisson con razón =4 por hora. a) Calcule la probabilidad de que exactamente 10 solicitudes se reciben
durante un periodo en particular de dos horas. b) Si los operadores de las grúas e remolque descansan durante 30 minutos para tomar alimentos. ¿Cuál es la probabilidad de que no se pierda ninguna llamada de asistencia? c) ¿Cuántas llamadas se esperan durante el descanso?
Ejercicio 2.112. Suponga que hay árboles distribuidos en un bosque según un proceso de Poisson de dos dimensiones, con parámetro y que el número esperado de árboles
por acre es igual a 80 a) ¿Cuál es la probabilidad de que cierto lote de un cuarto de un acre haya a lo sumo 16 árboles? b) Si el bosque cubre 85 000 acres ¿Cuál es el número esperado de árboles en el bosque? c) Suponga que se selecciona un punto del bosque y se construye un círculo de .1 milla de radio. Sea X=número e árboles dentro de esa región circular ¿Cuál es la pmf de X? (sugerencia 1 milla cuadrada = 640 acres). Distribución de probabilidad para va continuas
Definición 2.113. Se dice que un va X es continua si el conjunto de posibles valores es
todo el intervalo de números, esto es, si para algunos números A
profundidad en lugares seleccionados al azar, entonces X=profundidad en tal lugar, es un va continua. Aquí A es la profundidad mínima y B es la profundidad máxima. Ahora bien, supongamos que la va X es la del anterior ejemplo, y sea M=la profundidad máxima en metros, de modo que cualquier número del intervalo [0,M] es un valor posible de X. Si hacemos que X sea discreta, al medir la profundidad al metro más cercano, entonces los posibles valores son enteros positivos menores o iguales a M. La distribución discreta resultante de la profundidad se puede representar mediante un histograma de probabilidad,
0
M
Si dibujamos el histograma de modo que el área del rectángulo de arriba de cualquier posible entero k sea la proporción del lago, cuya profundidad es k (al metro más cercano, entonces el área total de todos los rectángulos es 1. Si se mide la profundidad al centímetro más cercano y se utiliza el mismo eje de medición, cada rectángulo del histograma de probabilidad resultante es mucho más angosto, donde el área total de todos los rectángulos todavía es 1, el histograma tiene una forma mucho más liso. Si continuamos en esta forma para medir la profundidad de una manera cada vez más precisa, el histograma resultante se aproxima a una curva continua. Debido a que para cada histograma el área total de todos los rectángulos es igual a 1, el área total bajo la curva suave también lo es. Definición 2.115. Sea X un va continua. Entonces una distribución de probabilidad o
función de densidad de probabilidad (pdf) de X es una función f(x) tal que para cualquiera dos números a y b, con a b
∫
P(aXb)= Esto es, la probabilidad de que X tome un valor en el intervalo [a,b] es el área bajo la curva de la función de densidad. Para que f(x) sea un pdf legitima, debe satisfacer las siguientes dos condiciones: a) f(x)0 b) =1 área bajo toda la gráfica de f(x)
∫
Ejemplo 2.116.Supónga que abordo un autobús para ir al trabajo y cada 5 minutos
llega un autobús a la parada de la esquina. Debido a variaciones en la hora en que salgo de mi casa no siempre llego al mismo tiempo a la parada de la esquina por lo que mi tiempo de espera X al siguiente autobús es una va continua. El conjunto de posibles valores de X es el intervalo [1,5]. Una posible pdf para X es f(x)= 1/5 0x5 0 de otra manera La probabilidad de que yo espere entre 1 y 3 minutos es
=2/5 ∫ =∫ =x/5
P(1X3)=
P(1X3)
1
3
Definición 2.117.Una va X continua tiene una distribución uniforme en el intervalo
[A,B] si la pdf de X es
f(x; A, B)=
AxB
0 de otro modo Proposición 2.118. Si X es una va continua, entonces para cualquier número c P(X=c)=0. Además para cualesquiera dos números a y b con a
disponible durante dos horas en la biblioteca de una universidad, solicitado por un estudiante seleccionado al azar, y suponga que X tiene una función de densidad f(x)= .5x 0 x 2 0 de otra manera Calcule las siguientes probabilidades a) P(X 1) b) P(.5X1.5) c) P(1.5
0 a) b) c) d)
trace la gráfica de f(x) Calcule P(X>0) Calcule P(-15)
en otro caso
Ejercicio 2.121. Un maestro universitario nunca termina su clase antes que suene la
campana y siempre termina su clase a menos de 2 minutos después de que suena la campana. Sea X= el tiempo que transcurre entre la campana y el término de la clase, y suponga que la pdf de X es f(x)= kx 2 0 X 2 0 de otra manera a) Encuentre el valor de k (sugerencia el área total bajo la gráfica de f(x)=1 b) ¿Cuál es la probabilidad de que la clase termine a menos de 1 minuto después de que suene la campana? c) ¿Cuál es la probabilidad de que la clase continúe entre 60 y 90 seg después de que suene la campana? d) ¿Cuál es la probabilidad de que la clase continúe por lo menos 90 segundos después de que suene la campana? Ejercicio 2.122. El tiempo X (minutos) para que un asistente de laboratorio prepare el equipo para un experimento tiene una distribución uniforme con A=25 y B=35 a) Escriba la pdf de X y trace su gráfica. b) ¿Cuál es la probabilidad de que el tiempo de preparación exceda en 33 minutos? c) ¿Cuál es la probabilidad de que el tiempo de preparación se encuentre a una distancia de 2 min del tiempo medio? (sugerencia identifique de la gráfica de f(x) Definición 2.123. La función de distribución acumulada F(x) para una va X continua
está definida para todo número x por F(x)=P(Xx)
∫
Proposición 2.124. Sea X una va continua con pdf f(x) y cdfn F(x). Entonces para
cualquier número a P(X>a)=1-F(a) Y para dos números a y b cualesquiera tales que a
donde exista la derivada F´(x), F´(x)=f(x). Definición 2.126. El valor esperado o valor medio de una va X continua con pdf f(x) es
x=E(X)=
∫
Proposición 2.127. Si X es una va continua con pdf f(x) y h(x) es cualquier función de X,
entonces
E(h(X))= h(X)=
∫
Definición 2.128. La varianza de una va X continua con pdf f(x) y valor medio es
∫ =E(X-) ) La desviación estándar(DE) de X es = =V(X)=
2
x
Proposición 2.129.
V(X)=E(X2)-(E(X))2
Ejercicio 2.130. La cdf de la duración X de tiempo de préstamo de un libro como se
describió en el ejercicio 2.119 es
F(x)=
0
x<0
0x <2
1
2x
Utilícela para calcular lo siguiente a) P(X1) b) P(.5X1) c) P(X>.5) d) F´(x) para obtener la función de densidad f(x)
Ejercicio 2.131. Simbolice con X el tiempo que dura un libro prestado con pdf dada en el ejercicio 2.119 a) Calcule E(X) b) Calcule V(X) y x. 2
c) Si la persona que solicita el libro se le cobra una cantidad h(X)=X cuando la duración del préstamo es X, calcule el cobro esperado E(h(X)) Ejercicio 2.132. Sea X la cantidad del espacio ocupado por un artículo colocado en una caja de
empaque de 1 pie3. La pdf de X es f(x)=
90x8(1-x) 0
en cualquier otro caso
a) Grafique la pdf. A continuación determine la cdf de X y grafíquela. b) ¿Cuánto es P(X.5)? c) De acuerdo con el inciso a) ¿Cuánto es P(.25
F(X)=
0
* + a) P(X1)? b) P(1X3)? c) La pdf de X?
x0 0
Ejercicio 2.134. Si la temperatura a que un cierto compuesto se funde es una va con valor
medio de 120oC, ¿Cuáles son la temperatura media y la desviación estándar media en F? (sugerencia oF=1.8oC+32) Distribución normal.
La distribución normal es la más importante en probabilidad y estadística. Muchas poblaciones numéricas tienen distribuciones que se pueden ajustar con mucha aproximación mediante una curva normal apropiada. Por ejemplo, la estatura, el peso y otras características físicas, errores de medición de experimentos científicos, tiempos de reacción de experimentos psicológicos, mediciones de inteligencia y aptitud, calificaciones de diversas pruebas entre otros. Definición 2.135. Se dice que una va X continua tiene una distribución normal con parámetros 2
y ó y donde - < < y 0<, si la pdf de X es
√
F(x; , )=
-
Esta distribución la abreviaremos como XN(,2) Distribución normal estándar. Definición 2.136. La distribución normal con valores de parámetros =0
y =1 recibe el
nombre de distribución normal estándar. Una variable aleatoria que tiene una distribución normal estándar se llama va normal estándar y se simboliza con Z. La pdf de Z es
-
Distribuciones normales no estándar .
Cuando XN(,2, las probabilidades donde aparezca X se calculan por “estandarización”. La variables estandarizada es (X-)/. Al restar se desplaza la media de a 0, y después al dividir entre se gradúa la variable para que la desviación estándar se 1 en lugar de . Proposición 2.137. Si X tiene una distribución normal con media y desviación estándar ,
entonces
Z=
Tiene una distribución normal estándar. Así
)=
P(aXb)=P(
P(Xa)=
P(Xb)=1-
La idea clave de la proposición es que al estandarizar, cualquier probabilidad donde aparezca X puede ser expresada como una probabilidad donde exista una va Z normal estándar para lo cual se puede utilizar alguna tabla
Ejemplo 2.138. El tiempo que tarda un automovilista en reaccionar a las luces de freno
traseras de otro vehículo al desacelerar, es crítico para ayudar a evitar una colisión un (artículo señalado en la pag 161 del libro de Jay L. Devore) sugiere que el tiempo de reacción para una respuesta en tránsito a una señal de frenado de luces de freno estándar, se puede modelar con una distribución normal que tenga un valor medio de 1.25 s y desviación estándar .46 s. ¿Cuál es la probabilidad de que el tiempo de reacción se encuentre entre 1.00 y 1.75 s? Si denotamos por X el tiempo de reacción, entonces la estandarización da
Z)=P(-.54 Z 1.09)=(1.09)-(-.54)=.8621P(1.00X1.75)=P(
1.00X 1.75 Así .2946=.5675
Si y sólo si
La estandarización no es más que calcular una distancia a partir del valor medio y expresar esta distancia como algún número de desviaciones estándar.
Por ejemplo si =100 y =15, entonces x=130, que corresponde a z=(130-100)/15=30/15=2.00. Así 130 está a 2 desviaciones estándar arriba (a la derecha) del valor medio. Ejemplo 2.139. Se sabe que el voltaje de ruptura de un diodo de un tipo particular, escogido al
azar, está normalmente distribuido ¿Cuál es la probabilidad de que el voltaje de ruptura del diodo se encuentre a menos de una desviación estándar de su valor medio? Esta pregunta se puede contestar sin conocer o , mientras se sepa que la distribución es normal
P(X esta dentro de 1 DE de su media)=P( - X +)=P(
Z
)=
=P(-1.00 Z 1.00)=(1.00=-(-1.00)=.6826 Distribución normal y poblaciones discretas.
La distribución normal se emplea muchas veces como una aproximación a la distribución de valores en una población discreta. Aproximación normal a la distribución binomial . Proposición 2.140. Sea X una va binomial basada en n ensayos con probabilidad de éxito p.
Entonces, si el histograma de probabilidad binomial no está demasiado sesgado, X tiene aproximadamente una distribución normal con =np y = posible de X. P(Xx)=B(x;n,p)=
. En particular para x=valor
=( √
En la práctica la aproximación es adecuada siempre que np 10 y nq10 Ejemplo 2.141. Suponga que el 25% de todos los conductores con licencia, en determinado
estado, no están asegurados. Sea X la cantidad de conductores no asegurados en una muestra aleatoria de tamaño 50 (identifiquemos que un éxito es un conductor no asegurado), de modo
que p=.25. Entonces =12.5 y =3.06. Como np=50(.25)=12.510 y nq=37.510, se puede aplicar con seguridad la aproximación;
=.2578
P(X10)=B(10;50,.25)=
De igual modo, la probabilidad de que entre 5 y 15 (inclusive) de los conductores seleccionados no estén asegurados es
- ==.8320
P(5X15)=B(15;50,.25)-B(4;50,.25)=
Las probabilidades exactas son .2622 y .8348 respectivamente por los que las aproximaciones son bastante buenas. Ejercicio 2.142 En cada caso determine el valor de la constante c que exprese correctamente el
enunciado de probabilidad a) (c)=.9838 b) P(0 Z c)=.291 c) P(c Z)=.121 d) P(-c Z c)=.668 e) P(c /Z/)=.016 Ejercicio 2.143. Determine Z para lo siguiente
a) = .0055 b) =.09 c) =.663
Ejercicio 2.144. Suponga que la fuerza que actúa sobre una columna, que ayuda a sostener un
edificio, está normalmente distribuida con media de 15.0 kips y desviación estándar de 1.25 kips. ¿Cuál es la probabilidad de que la fuerza: a) Sea a lo sumo 17 kips? b) Se encuentre entre 10 y 12 kips? c) Difiera de 15.0 kips en a lo sumo 2 DE? Ejercicio 2.145. Suponga que el diámetro de los árboles de determinado tipo , a la altura del
pecho, se distribuye normalmente con =8.8 y =2.8 a) ¿Cuál es la probabilidad de que el diámetro de un árbol, seleccionado al azar, sea a lo sumo 10 pulg? Y ¿Qué sea mayor de 10 pulg? b) ¿Cuál es la probabilidad de que el diámetro de un árbol seleccionado al azar sea mayor que 20 pulg? c) ¿Cuál es la probabilidad de que el diámetro de un árbol seleccionado al azar sea entre 5 y 10 pulg? d) ¿Qué valor de c es tal que el intervalo (8.8-c, 8.8+c) incluya 98% de todos los valores de diámetro?
Ejercicio 2.146. El dispositivo automático de apertura de un paracaídas militar de carga se ha
diseñado para abrirse cuando se encuentre a 200 m de altura. Suponga que la altitud de apertura en realidad tiene una distribución normal con valor medio de 200 m y desviación estándar de 30 m. Habrá año al equipo si el paracaídas se abre a una altitud de menos de 100 m. ¿Cuál es la probabilidad de que haya daño a la carga en al menos uno de cinco paracaídas lanzados independientemente? Ejercicio 2.147. La distribución del peso de paquetes enviados de cierto modo, es normal con
valor medio de 10 libras y desviación estándar de 2 libras. El servicio de paquetería desea establecer un valor de peso c más allá del cual habrá cargo extra ¿Cuál es el valor de c tal que 99% de todos los paquetes pesen por lo menos 1 libra abajo del peo con cargo extra? Distribución gamma Definición 2.148. Para >0 la función gamma () está definida como
∫ dx
()=
Las propiedades más importantes de la función gamma son las siguientes: 1. Para cualquier >1, ()=(-1)* (-1) (vía integración por partes) 2. Para cualquier entero positivo n, (n)=(n-1)!
√
3. (1/2)= Definición 2.149. Se dice que una va X continua tiene una distribución gamma si la pdf de X es
f(x; ,)= X -1e-x/
x≥0
0
de otra manera
donde los parámetros y satisfacen >0 y >0. La distribución gamma estándar tiene =1 así la pdf de una va gamma estándar está dada por
f(x; )=
0
x≥0
de otra manera
Proposición 2.150. La media y la varianza de una va X que tenga distribución gamma f(x; , )
son
V(X)=2
E(X)=
Distribución exponencial. Definición 2.151. Se dice que X tiene una distribución exponencial si la pdf de X es
f(x:)=
0
x≥0
donde >0
de otra manera
La media y la varianza de la distribución exponencial es:
==
2
2
= =
La cdf de X es
F(x, )=
0
x<0
1-
x≥0
Ejemplo 2.152. Suponga que el tiempo de respuesta X en cierta terminal de computadora en
línea (el tiempo transcurrido entre el fin de la consulta del usuario y el principio de la respuesta del sistema a esa consulta) tiene una distribución exponencial con tiempo esperado de respuesta igual a 5 s. Entonces la E(X)=1/ =5, por lo cual =.2. La probabilidad de que el tiempo de respuesta sea a lo sumo 10 s es P(X 10)=F(10, .2)=1-
La probabilidad de que el tiempo de respuesta esté entre 5 y 10 bs es
P(5 X 10)=F(10;.2) – F(5;
.2)= (1-
-(1- =.233
Distribución ji-cuadrada Definición 2.153. Sea v un entero positivo. Entonces, una va X se dice que tiene una distribución ji-cuadrada o también llamada chi cuadrada con parámetro v si la pdf de X es la
función de densidad gama con =v/2 y =2. La pdf de una va ji-cuadrada es entonces
f(x;v)= 0
x≥0 x<0
El parámetro v se llama número de grados de libertad ( df) de X. El símbolo X2 se usa a veces en lugar de ji- cuadrada. Ejercicio 2.154. Evalúe lo siguiente
a) (6) b) (5/2) c) (5; 4 d) F(0;4)) Ejercicio 2.155. Suponga que el tiempo (en horas) tomado por el propietario de una casa para
podar el césped de su jardín es una va X, que tiene una distribución gama con parámetros =2 y =1/2 ¿Cuál es la probabilidad de que tarde a) A lo sumo 1 hora para podar el césped? b) Por lo menos 2 horas para podar el césped? c) Entre .5 y 1.5 horas para podar el césped?
