MÉTODO DE SEPARACIÓN DE VARIABLES Es un método muy eficiente para resolver problemas de ecuaciones diferenciales parciales
u ( x, t ) Sea
una solución de una ecuación diferencial parcial que es igual a la
n = 1,2,3,4,5....
u ( x, t ) n combinación lineal de
, siendo
Entonces la solución componente se escribirá con sus variables separables separables
u ( x, t ) n
= X n ( x)Tn (t )
Con esto se puede ilustrar la ecuación del calor y de la onda. Sea:
= cuxx do donde x ∈ [ 0, l ] u (0, t) = u (0, l) = 0 , t〉0 u (0, t ) = f ( x) , x ∈ [ 0, l ] utt
, t〉 0
Solución: Aplicamos el método de separación de variables.
u ( x, t ) = X ( x) T (t )
(1)
u ( x, t ) uego derivamos
X y T para obtener
u xx ( x, t ) = X " ( x)T ( t )
ut ( x, t ) = X ( x) T ' ( t) !
1 uego al sustituir en se obtiene:
X ( x )T ` (t ) = cX " ( x )T (t ) Al separar variables variables tenemos: tenemos:
T ' (t )
β T (t )
=
X " ( x) X ( x)
Estos deben ser constantes:
T ' (t )
β T (t )
=k
X " ( x) X ( x)
= k
(2)
A"ora se "a reducido el problema a dos ecuaciones diferenciales ordinarias
T ' (t ) − β kT (t ) = 0
X " ( x ) − kX ( x ) = 0
u (0, t)
= u (0, l) = 0
A"ora nos fi#amos en las condiciones de frontera
X (0)T (t ) = 0
X (l )T ( t ) = 0
T (t ) = 0 $or lo tanto
:
t 〉0
t〉0 para toda
u ( x, t ) = 0 lo que implica que
X(0)=X(l )=0
u ( x, t ) = 0 Si ignoramos la solución trivial
, combinamos las condiciones de frontera en
x %&' y con la ecuación diferencial para
T ' (t) − β kT (t ) = 0
en
%('
, X(0)=X(L)=0
)onde * puede ser cualquier constante.
X(0)=0 +bservar que la función es una solución de %' para cada * esta puede ser a -nica solución del problema con valores de frontera %' si buscamos una solución no
u ( x, t ) = X ( x)T (t ) trivial de %' y %/' primero debemos determinar los valores de * para los cuales el problema con valores en la frontera %' tiene soluciones no triviales. Estos valores particulares de * son llamados valores propios y las soluciones no triviales correspondientes de %' son las funciones propias. $ara resolver la ecuación %' utili0amos la ecuación au1iliar.
r 2 − k = 0 y consideramos tres casos:
k 〉 0 Caso :
r = ± k las ra2ces de la ecuación son
X
= c1e −
kx
+ c2e
entonces la solución es:
kx
c1 y c2 $ara "allar
apelamos a las condiciones de frontera.
X (0) = c1 + c2
=0
X (l ) = c1e −
kl
+ c 2e
=0
kl
c1
= −c2
c1 (e
Entonces se nota que
− e−
)=0
kl
y
k 〉 0
c1 (e 2kl − 1) = 0 uego
kl
como
(e 2l − 1)〉 0 entonces
c1 y c2 entonces
son cero por
k 〉 0 lo tanto para
no "ay soluciones no triviales.
r 12
k B 0 Caso / para
=
0
se tiene que
entonces la solución será.
X ( x ) = c1 + c2 x
c1
=0
y
c1 + c2l
=0 →
c1 = c 2
=0
as condiciones de frontera implican que
k B 0 As2 para
no "ay soluciones no triviales.
k 〈 0
r12
=±
ki
Caso 3 para para este caso las ra2ces de la ecuación son solución de la ecuación es:
as2 la
X ( x ) = c1 cos k x + c2 sen k x X (0) = X (l ) = 0 Esta ve0 las condiciones de frontera
c1
c1
=
Como
=0
dan.
y c1 cos kl + c2sen kl = 0
c2 sen kl = 0
0 se reduce la otra ecuación a
sen kl = 0
kl
=
para el primer caso
c2
=0
por lo tanto
o
nπ k = ÷ l
nπ por lo tanto la solución no trivial
Entonces sustituyendo en la solución.
X ( x) n
nπ x = an sen ÷ l
nπ T (t ) − β ÷ l '
Luego se tiene la siguiente ecuación. n = 1,2,3,4,5....
2
T (t ) = 0
Para cada
2
Entonces la solución general de la ecuación linéela de primer orden es: Tn (t ) = bn
− β nπ ÷ e l
2
t
Al combinar esta ecuación con una anterior se tiene:
nπ x b u ( x, t ) n = X n ( x )Tn (t ) = an sen ÷ n l nπ x u ( x, t ) n = cn sen ÷ l
nπ − β ÷ e l
nπ − β ÷ e l
2
t
2
t
A"ora consideramos una suma infinita de funciones es decir. ∞
∞
∑ u ( x, t ) = ∑ c
u ( x, t ) =
n
n =1
n =1
n
2 − β nπ t ÷ e l sen
nπ x l ÷
A"ora trataremos de satisfacer la otra condición inicial.
u ( x,0) =
∞
∑ c sen nπ l x ÷ = f ( x) n
y 0〈 x〈 l
n =1
As2 se "a reducido el problema de %' y %/' de flu#o de calor a determinar el desarrollo
f ( x ) de
f ( x) =
, a forma. ∞
∑ c sen nπ l x÷ n
n =1
4al desarrollo es una serie de senos de 5ourier que se anali0ara en las dos siguientes secciones.
SERIES DE FURIER
[ a, b ] )efinición: una función continua por partes en
f como una función
que es
[ a, b ] continua en cada punto en
e1cepto posiblemente para un n-mero infinito de
f puntos donde tiene una discontinuidad de salto. 4ales funciones son integrables en cualquier intervalo finito donde sean continuas por partes. 6ay dos propiedades de simetr2a de funciones que serán -tiles en el estudio de f ( − x ) = f ( x) las series de 5ourier. 7na función f que satisface para toda x en el dominio de f tiene una gráfica que es simétrica con respecto del e#e y %véase la figura 8.3%a''. )ecimos que tal función es par. 7na función f que satisface f (− x) = − f ( x) para toda x en el dominio de f tiene una gráfica que es simétrica con respecto del origen. Se dice que es una función impar.
∫
a
a
−a
f
= A + A = 2∫ f
a
∫ f = A − A = 0 −a
0
a' 5unción par:
b' función impar
$ropiedades de funciones simétricas: 4eorema :
[ a, b ]
f Si
es una función par continua por partes en
1)
a
a
−a
0
∫ f ( x)dx = 2∫ f (x)dx [ a, b ]
f Si
, entonces.
es una función impar continua por partes en
, entonces.
a
2)
∫ f ( x) dx = 0
−a
f ( − x) = f ( x)
f )emostración: si
es una función par entonces
. $or lo tanto,
a
0
a
−a
−a
0
∫ f (x)dx = ∫ f (x )dx + ∫ f (x )dx a
0
a
a
−a
a
0
0
∫ f (x)dx = −∫ f (x )dx + ∫ f (x )dx = 2 ∫ f (x )dx
Serie de 5ourier
[ −T , T ]
f )efinición : sea
una continua por partes en el intervalo
. a serie de
f 5ourier
es la serie trigonométrica.
f ( x ) :
a0 2
nπ x nπ x + ∑ an cos ÷ + bn sen ÷ T T n =1 ∞
an y bn )onde
están dadas por las formulas:
an
=
nπ x dx, f ( x) cos ∑ ÷ T T
n = 1, 2,3, 4,...
nπ x dx, f ( x)sen ∑ ÷ T T
n = 1, 2, 3, 4,...
1
T
−T
bn
=
1
T
−T
as fórmulas se llaman fórmulas de Euler. 7samos el s2mbolo 9 en para
f
f
ecordar que esta serie está asociada con pero podr2a no converger a tal egresaremos a la cuestión de convergencia posteriormente en esta sección.
