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PROBLEMAS DE VIBRACIONES LIBRES NO AMORTIGUADAS
1.1.
Vibraciones libres no amortiguadas.
1. Un bloque de 35 kg se sostiene mediante el arreglo de resortes que se muestra en la figura P-1. El bloque se desplaza verticalmente hacia abajo a partir de la posición de equilibrio y se suelta. Si la amplitud del movimiento resultante es igual a 45 mm, determine el periodo y la frecuencia del movimiento y la velocidad y la aceleración máximas del bloque. (Beer&J0hnston, 1998)
Figura P-1 Solución: Para determinar la posición de equilibrio:
∑ F
y
= 0... → ...16000δ est − 35(9.81) + 2(8000 )δ est = 0... → ...δ est =10.73mm
A partir de la posición de equilibrio le damos al bloque de 35 kg un desplazamiento vertical y hacia abajo, luego:
∑ F
= ma y ... → 16000 y + 2(8000 ) y = −35 y ∴ ...35 y + 32000 y = 0... → ... y + 914.29 y = 0 y
⇒ ...ω n = 914.29....ω n = 914.29 = 30.24.rad / s 2
... → ... f n =
ω n
=
30.24
= 4.81. Hz
2π 2π 2π 2π ∴ ...τ = = = 0.2078.s ω n 30.24
x = Asen(30.24t ) + B cos(30.24t ) = Csen(30.24t + φ ) = v = 30.24 A cos(30.24t ) − 30.24 Bsen(30.24t ) a = −(30.24) Asen(30.24t ) − (30.24) B cos(30.24t ) 2
2
x = 0.045 = B t = 0... → ... x = 0 = A
v max = −30.24(0.045)sen(30.24t ) = −1,3608.m / s a max = −(30.24) (0.045) cos(30.24t ) = −41,1506.m / s 2 2
2. ¿Cuál es la frecuencia de vibración torsional del cilindro escalonado? De la figura P-2. La masa del cilindro es de 45 kg y su radio de giro es de 0.46 m. Utilizar los siguientes datos: D 1 = 0.3 m, D 2 = 0.6 m, K 1 = 0.875 N/mm, K 2 = 1.8 N/mm, W A = 178 N.(Shames, 1999)
Figura P-2
Solución: Al bloque A le damos un desplazamiento s a partir de la posición de equilibrio, el disco rota un ángulo θ y luego soltamos: En el bloque A:
m A g.sen(30) − T = m A s
(1)
) T = m A g.sen(30) − m A .(r 2 .θ En el cilindro:
2 2 2 T .r 2 − K 1 .r 1 (θ 0 + θ ) − K 2 r 1 (θ 0 + θ ) = mC .k 0 θ (2)
Reemplazando T en (2)
(
)
(
)
2 2 − (K 1 + K 2 )r 12θ 0 − (K 1 + K 2 )r 12θ = 0 m A g .sen(30 ).r 2 − m A r 2 + mC .k 0 θ
Por equilibrio estático: 2 m A g .sen(30)r 2 = ( K 1 + K 2 )r 1 θ 0
Luego:
+ ∴ ... → ...θ
(K 1 + K 2 )r 12
(m
r + mC k
2 A 2
2 0
)
θ = 0
2 ( 875 + 1800 )(0.15 ) ∴ ... → ...θ + θ = 0 2 2 [(110 / 9.81)(0.3) + 45(0.46) ]
⇒ ....θ + 4.022θ = 0... → ...ω n = 4.022 = 2.32.rad / s 3. ¿Cuál es la frecuencia natural del movimiento del bloque A para pequeñas oscilaciones? De la figura P-3. Considerar que BC tiene una masa despreciable y que el cuerpo A es una partícula. Cuando el cuerpo A está fijado a la barra, el desplazamiento estático es de 25 mm. La constante del muelle K 1 es de 1.75 N/mm. El cuerpo A pesa 110 N. ¿Cuánto vale K 2 ?. (Shames, 1999)
Figura P-3 Solución: Primero determinamos el
θ 0 = δ est 1
25
=
δ est de
δ est 1
=
cada resorte y luego la constante K 2 .
δ est 2
1050 300 750 50 125 = .mm... y...δ est 2 = .mm 7 7
Aplicando la ecuación de equilibrio de momentos respecto al punto B se tiene:
∑ M
= 0... → ...K 1δ est 1 .(0.3) + K 2δ est 2 (0.75 ) − W A (1.05) = 0
B
50 125 ∴ ... → ...1.75 (0.3) + K 2 (0.75) − 110 (1.05) = 0... → ...K 2 = 8.344 7 7 Determinación de la frecuencia natural del bloque A. A partir de la posición de equilibrio al bloque A le damos un desplazamiento vertical y = Lθ hacia abajo, luego soltamos: La ecuación diferencial debe ser de la forma:
∑ M
B
= ∑ M BK
2 + x p x=0
)(1.05) K 1 (0.3) θ + K 2 (0.75) θ = − m A (1.05θ 2
2
1750(0.3) + 8344(0.75) θ + 2
2
110
(1.05)2 θ = 0
9.81 + 4851θ = 0... → ...θ + 392.4θ = 0 ... → ...12.3624θ
∴ ... p 2 = 392.4... ⇒ ... p = 392.4 = 19.81.rad / s La frecuencia natural es de 19 81 rad/s 4. La barra uniforme AC de 5 kg indicada en la figura P-4, está conectado a resortes de constante k = 500 N/m en B y k = 620 N/m en C, los cuales pueden actuar en tensión o en compresión. Si el extremo C se deforma ligeramente y se
suelta, determine: a) la frecuencia de la vibración, b) la amplitud del movimiento del punto C, si la velocidad máxima en ese punto es de 0.9 m/s. (Beer, 1998)
Figura P-4
Solución: Primero determinamos el
θ 0 = δ estB
δ estB
=
δ est de
cada resorte.
δ estC
0. 7 1. 5 = 0.7θ 0 ... y...δ estC = 1.4θ 0
Aplicando la ecuación de equilibrio de momentos respecto al punto A se tiene:
∑ M
A
= 0... → ...K Bδ esB1 .(0.7 ) + K C δ estC (1.4 ) − W AC (0.7 ) = 0
∴ ... → ...500(0.7 ) θ 0 + 620(1.4 ) θ 0 − 5(9.81)(0.7 ) = 0... → ...θ 0 = 0.0235 2
2
a) Determinación de la frecuencia natural de la barra AC. A partir de la posición de equilibrio al punto C de la barra AC le damos un desplazamiento vertical y = Lθ hacia abajo, luego soltamos: La ecuación de movimiento de la barra AC expresado mediante la ecuación diferencial debe ser de la forma:
∑ M
A
2 y p y=0 +
= ∑ M AK
K B (0.7 ) θ + K C (1.4 ) θ = − I Aθ 2
2
5(1.4 )2 500(0.7 ) θ + 620(1.4 ) θ = − 3 θ + 1460.2θ = 0... → ...θ + 447θ = 0 ... → ...3.267θ 2
2
∴ ... p 2 = 447... ⇒ ... p = 447 = 21.14.rad / s ... → ... f =
p
=
21.14
= 3.36. Hz
2π 2π La frecuencia natural es de 3.36 Hz b) La amplitud de C será:
v = Y C . p... → ...Y C =
0.9 21.14
= 0.0426.m
5. Las dos masas de la figura P-5, se deslizan por sendas superficies horizontales exentas de rozamiento. La barra ABC está vertical en la posición de equilibrio y su masa es despreciable. Si los resortes están sometidos a tracción en todo momento, escribir la ecuación diferencial del movimiento para la posición x(t) de la masa de 10 kg y determinar la frecuencia y el periodo de la vibración resultante (supóngase oscilaciones de pequeña amplitud.(Riley , 1996)
Figura P-5
Solución: Haciendo cortes imaginarios de los cables que unen a las masas con la barra ABC y planteando las ecuaciones de movimiento para cada masa y girando un ángulo θ
alrededor de B a la barra ABC y planteando la ecuación de equilibrio de la barra, obtenemos:
T 1 − K A x A = m A x A ......(1) T 2 − K C xC = mC x C .......(2) T 1 (0.1) + T 2 (0.2 ) + K C L xC (0.2 ) = 0......(3) Despejando de (1) y (2) los T e introduciendo en la (3):
+ 2000 (0.1) + 2000 (0.2 ) + 3500 (0.2 ) θ = 0 10(0.1) + 15(0.2 ) θ 2
2
2
2
2
∴ ... → ...0.7θ + 240θ = 0 La ecuación es de la forma:
⇒ ...ω n =
k
2
=
240
m x + kx = 0 = 342.857.. → ....ω n = 18.52.rad / s
0 .7 m ω n 18.52
... → ... f n =
=
= 2.9475. Hz
2π 2π 2π 2π ∴ ...τ = = = 0.3393.s ω n 18.52
