S.E.P. S.E. P.
S.E.S.T. S.E. S.T.
D.G.E.S. D.G. E.S.T. T.
INSTITUTO TECNOLÓGICO Del Istmo ESPECIALIDAD: ING. MECANICA MATERIA: VIBRACIONES MECANICAS UNIDAD: I,II,III, IV, V CATEDRÁTICO: DRA. NAHINA DEHESA DE GYVES ALUMNOS: OSE ANTONIO CRU! BELTRAN PEDRO ALI SIBAA TOLEDO EMMANUEL RASGADO ALONSO MARIO ALBERTO IMENE! LUIS SEMESTRE: "to GRUPO: #"M$
Juchitán de Zargoza Oax. Mayo de 2017 INDICE
UNIDAD I
.2 EJERCICIOS
.2 !NID"D II .11 #$E%"CIONE& CON&'I'!'I("& DE% E%EMEN'O $E&O$'E) INE$CI" "MO$'I*!"DO$...11 #ME'ODO DE %"& +!E$Z"& ,"$" ,"$" E% "N"%I&I& DE &I&'EM"&.1#ME'ODO DE %" ENE$*I" ,"$" ,"$" &I&'EM" &IN "MO$'I*!"MIEN'O..20 #M"&" E+EC'I(" .22 #"MO$'I*!"MIEN'O (I&CO&O ..2!NID"D III / #"N"%I&I& DE !N &I&'EM" &!JE'O " +!E$Z" "$MONIC" E'E$N"../ #DE&"%"NCEO $O'"'O$IO C"ECEO DE +%EC3"& $O'"'O$I"& E%EMEN'O& $O'"'I(O& .-0 #ECI'"CI4N "$MONIC" EN %" "&E.-5 #"I&%"MIEN'O DE %" (I$"CION ./0 #IN&'$!MEN'O DE MEDICION DE (I$"CION/-
UNIDAD I
.2 EJERCICIOS
.2 !NID"D II .11 #$E%"CIONE& CON&'I'!'I("& DE% E%EMEN'O $E&O$'E) INE$CI" "MO$'I*!"DO$...11 #ME'ODO DE %"& +!E$Z"& ,"$" ,"$" E% "N"%I&I& DE &I&'EM"&.1#ME'ODO DE %" ENE$*I" ,"$" ,"$" &I&'EM" &IN "MO$'I*!"MIEN'O..20 #M"&" E+EC'I(" .22 #"MO$'I*!"MIEN'O (I&CO&O ..2!NID"D III / #"N"%I&I& DE !N &I&'EM" &!JE'O " +!E$Z" "$MONIC" E'E$N"../ #DE&"%"NCEO $O'"'O$IO C"ECEO DE +%EC3"& $O'"'O$I"& E%EMEN'O& $O'"'I(O& .-0 #ECI'"CI4N "$MONIC" EN %" "&E.-5 #"I&%"MIEN'O DE %" (I$"CION ./0 #IN&'$!MEN'O DE MEDICION DE (I$"CION/-
!NID"D I( ../6 #CONCE,'O DE DE&"%"NCE) $O'O$ $I*IDO) +%EI%E &! 'O%E$"NCI" 'O%E$"NCI"../6 ../6 #"%"NCEO E&'"'ICO .5#"%"NCEO DIN"MICO EN !NO DO& ,%"NO& ,O$ E% ME'ODO DE COE+ICIEN'E& DE IN+%!ENCI" .55 #'O%E$"NCI" DE DE&"%"NCE DE&"%"NCE .71 !NID"D ( .7#(I$"CION DE MODO NO$M"% ,"$" &I&'EM"& DE DO& *$"DO& DE %IE$'"D.7#"CO,%"MIEN'O DE COO$DEN"D"& ..75 #,$O,IED"DE& O$'O*ON"%E& .75 #M"'$IZ MOD"% .75 #(I$"CION %I$E ..75 #(I$"CION +O$Z"D" "&O$CION DE (I$"CIONE&.77
UNIDAD I% CINEMATICA DE LA VIBRACION. ERCICIOS. EJEM,%O N!M. 1 ,$O'O'I,O &I&MO*$"+O.
O'ENE$ %" +$EC!ENCI" N"'!$"%) E% ,E$IODO E% ("%O$ DE% COE+ICIEN'E E%"&'ICO DE% $E&O$'E C!"NDO %" M"&" E& 100g. &! DE+%EION E& 1 CM
"DEM"& *$"+IC"$ %" EC!"CION DE MO(IMIEN'O. Caa/1*3/a * 1 1 1*0 1*0 1 1 (a/10).
Ma5'3 aa.
8.x
G
10
10
D 2R N
!mm 7mm "
G=MODULO DE CORTE (Pa) D=DIAMETRO DEL ALAMBRE (m) N=NUMERO DE ESPIRAS 2R=DIAMETRO DE LAS ESPIRAS (m)
K= (G D
4
¿
÷ (64N. R 10
10
= ((8x
&'=
√
¿
k m =
3
) 4
× (.!
¿¿
√
= "2.$# a%*
÷ ((64x") x (.4"
274.34 0.1
2 π
T= Wn = .!! *
GRA+ICA, - ()=.!/0*"2.$# ()
¿
3
=2#4.$4 N%m
x 0.06 0.05 0.00.02 0 #0.02 0 #0.0#0.05 #0.06
&'=
0.0/ 0.1 0.1/ 0.2 0.2/ 0. 0./ 0.- 0.-/
OBTENER LA +RECUENCIA NATURAL EL PERIODO CUANDO LA MASA ES 25. SU DE+LE-ION ES $/m.EL 9ALOR DE K=2#4.$4N%m
√
274.34 0.2
= $#.$ a%*
2 π
T=
37.03
= .!6 *
GRA+ICA, -()=.$/0*$#.$()
x 0.06 0.05 0.00.02 0 0 0.0/ 0.1 0.1/ 0.2 0.2/ 0. 0./ 0.- 0.-/ #0.02 #0.0#0.05 #0.06
OBTENER LA +RECUENCIA NATURAL EL PERIODO CUANDO LA MASA ES $5. SU DE+LE-ION ES 6/m. EL 9ALOR DE K=2#4.$4N%m.
a) GRA+ICAR LA ECUACION DE MO9IMIENTO.
&'= T=
√
274.34
2 π 30.24
0.3
=$.24 a%*
=.2 *
GRA+ICA, - ()=.6/0*$.24 ().
x 0.06 0.05 0.00.02 0 0 #0.02 #0.0#0.05 #0.06
0.1
0.2
0.
0.-
0./
O'ENE$ E% COE+ICIEN'E DE $I*IDEZ 8 DE% $E&O$'E 9!E &O&'IENE !N" M"&" CON %O& &I*!IEN'E& D"'O& COM,%E'"$ E% C!"D$O %" +$EC!ENCI" E& DE 20 $"D:&E*. ,E&O EN *$"MO& 200 -00 500 600 1000
W n=
√
COE+ICIEN'E DE $I*IDEZ 8 ;N:<= 60 150 2-0 20 -00
k m
2
k =W n ∗m 2
K =20 rad / seg ∗0.2 kg =¿ 60 N:< 2
K =20 rad / seg ∗0.4 kg =¿ 150 N:< 2
K =20 ra d / seg ∗0.6 kg =¿ 2-0 N:< 2
K =20 rad / seg ∗0.8 kg =¿ 20 N:< 2
K =20 rad / seg ∗1 kg=¿ -00N:<
EN CONC%!&ION DECIMO& 9!E %" CON&'"N'E DE $I*IDEZ 8 &IEM,$E &E$" ,$O,O$CION"% " %" M"&".
EJEM,%O N!M. 2 ,$O'O'I,O MEC"NI&MO DE E&C",E DE $E%OJ MO(IMIEN'O O&CI%"'O$IO DE E% E&C",E DE $E%OJ 4:=.67 a 2:=.$4 a
+0ma* a 33;a Wn =
√
k J
+RECUEN
CIA MATURLA T =2 π
Fn=
√
J K
PERIODO
√
+RECUE
k 2 π J 1
NCIA NATURAL fn=
wm FRECUENCIA NATURAL 2 π
T =
2 π
PERIODO
wm
Wn =
2 π
MO9IMIENTO OSCILATORIO
T
OPERACIONES REALI
8> j =
m Gj = Ɵ l
*>6
10
πD 4
x 10 pa
32
%> 2 c< −10 4
j =
π 8 10 32
Ecuaci@n deA
E/a/3>' m0?3m31'0 1x13m1'a
60 sg 92 repl!"as
T =
fn =
1
fn
T =
= 0.65 seg =T ( per!#d# )
1
fn
1.53 rad
seg
=
1 0.65
( 2 π )=9.61
&' = 7.6! /3/0* 1'
2 π
DATOS A GRA+ICAR,
1 @0ma
0.0. 0.2 0.1 0 #0.1 #0.2 #0. #0.-
0
1
2
-
/
5
7
UNIDAD II.% VIBRACION LIBRE DE SISTEMAS DE UN GRADO DE LIBERTAD. Una descripción técnica útil de la respuesta en el tiempo de los sistemas vibratorios, se consigue resolviendo un modelo matemático de un sistema equivalente que pueda analizarse con facilidad. Por ejemplo, las vibraciones torsionales de la hélice de un buque pueden describirse con gran aproimación despreciando la masa del eje ! sustitu!endo la hélice ! turbina por dos discos concentrados, uno a cada etremo del eje.
Uno de los principales objetivos en el análisis de los sistemas vibratorios es el de conocer su frecuencia natural, para lo cual eisten varios criterios que dependen del sistema en particular.
"ntre los principales métodos tenemos#
$.% &étodo de las fuerzas.
$.$.%'raslación. $.(.% )otación.
(.% &étodos de energ*a. (.$.% Principio de la conservación de la energ*a. (.(.% &étodo de Rayleigh.
+on ecepción del método de Rayleigh, en todos los casos se determina la ecuación diferencial del movimiento. (.$.% Relaciones constitutivas del elemento resorte, inercia y amortiguador . as relaciones o ecuaciones constitutivas son aquellas que representan las propiedades caracter*sticas de los materiales, ! que los distinguen de otros.
Un resorte es un elemento elástico que obedece la le! de Hooke, ! se representa de acuerdo con la siguiente figura# a ecuación constitutiva que relaciona la fuerza F , la defleión x ! la constante elástica k se representa por
F R = kx %%%%%%%%%%%%%%%%%%%% -(.$
en donde F R / fuerza elástica en el resorte k / constante elástica del resorte en 01m, lb1pul, etc.
"l amortiguador es un elemento disipador de energ*a, ! tiene como función principal la de limitar la amplitud de una vibración. 2u representación es como sigue#
a ecuación constitutiva para un amortiguador establece la relación entre la fuerza F , la constante de amortiguamiento c ! la velocidad de deformación x , de acuerdo con
F A = cx %%%%%%%%%%%%%% -(.(
en donde F A / fuerza en el amortiguador c / factor de amortiguamiento en 0.s1m, lb.s1pul, etc.
a ecuación constitutiva que establece la relación entre la fuerza F , la masa m ! la aceleración x se escribe por
%%%%% %%%%% F I = mx %%%% -(.3
en donde F I / fuerza debida a la inercia m / masa en 4g o slugs x / aceleración
"l caso general del sistema libre resorte, inercia ! amortiguador se representa como sigue#
as relaciones constitutivas del sistema anterior están dadas por la ecuación diferencial
mx + cx + kx = 0 %%%%%%%%%%%%% -(.5
(.(.% Combinación de resortes. os resortes pueden combinarse en serie, paralelo o ambos, debiendo obtener la constante elástica equivalente para cada arreglo en particular.
a.% 6rreglo en serie.
a constante equivalente para un arreglo en serie se determina por
n 1 k
1
=
k
1
1
+k +k +
1
+k =∑
e 123
n
i=1
1 k
%%%%%%%%%%%%%%%%%%% -(.7
i
b.% 6rreglo en paralelo. a constante equivalente para un arreglo en paralelo se determina por
n
k e = k 1 + k 2 + k 3 +
+ k n = ∑k i %%%%%%%%%%%%%%%%%%%% -(.8 i=1
9os formas equivalentes en arreglos en paralelo son#
(.3.% Método de las fuerzas para el anlisis de sistemas vibratorios.
(.3.$.% !istemas no amortiguados en traslación. Para éste tipo de sistemas se utiliza la segunda le! de 0e:ton para sistemas en traslación#
∑ F = mx
%%%%%%%%%%%%%% -(.;
+onsideremos el siguiente sistema resorte%masa#
6plicando la ecuación -(.; tenemos#
mx = −k ( ∆ + x) + w ∴ mx = − k ∆ − kx + w ∴ mx = −kx , !a que del equilibrio estático w = k ∆ .
k
x + m x = 0 %%%%%%% -a
2
k
2i ω n = m , entonces la ecuación -a se transforma en
2
x + ω n x = 0 %%%%%%%%% -(.= "cuación diferencial del movimiento
)esolviendo la ecuación diferencial -(.= ! aplicando las condiciones iniciales x(0) ! x(0) encontramos la respuesta del sistema vibratorio> esto es
x(0)
x = x (0) cosω t + n
ω n
senω t %%%%%%%%% -(.? n
"n algunas ocasiones es conveniente usar un diagrama vectorial para representar visualmente el movimiento armónico, lo cual se indica a continuación#
2
2
A
B
2i hacemos X = A + B , senθ = X , cosθ = X , la ecuación -(.? se transforma en x = X ( senθ cosω nt + senω nt cosθ ) ∴ x = Xsen(ω n t +θ ) %%%%%%%%%%%% -(.$@
siendo θ / ángulo de fase B = x(0)
ω n
A = x(0)
(.3.(.% Clculo de la frecuencia natural a partir de la deformación inicial ∆ . "sto se puede realizar fácilmente, sabiendo que w = k ∆ ! w = mg , por lo que
m
k
=
f n
g
2
g
= ∆ = ω n ∴ ω n = ∆ ∴
1
g
%%%%%%%%%%%%%%% -(.$$ 2π
∆
"jemplo (.$.% Un bloque de (7 4g está sostenido por el arreglo de resortes que se muestra en la figura. 2i el bloque se mueve verticalmente hacia abajo desde su posición de equilibrio ! se suelta, determinar la velocidad máima ! la aceleración máima del bloque si la amplitud del movimiento es de (7 mm. 2uponer k 1 = 5 kN/m , k 2 = 20 kN/m , k 3 = 2 kN/m .
2olución# Primero se determina la constante equivalente del arreglo de resortes#
os dos resortes en serie k 1 ! k 2 tienen una constante equivalente k =
1
1
=
=
e
1 1
1
1
k + k
5 + 20
1
1
=
20
= 4 kN/m
5 20
5
1 2
os resortes con k e1 ! k 3 quedan en paralelo, por lo que la constante equivalente del sistema es k e = 6 kN/m .
a ecuación diferencial del movimiento es mx + k e x = 0 ∴ x +
k e m x
= 0 ∴ x + 600025 x = 0∴
x + 240 x = 0
ω n = 240 =15.492 rad/s
x(0)
a solución general de la ecuación diferencial es # x = x (0) cosω t + n
6plicando condiciones iniciales a la solución general se obtiene# x = −0.025cos15.492t
9erivando de manera sucesiva se obtiene# x = 0.3873 sen15.492t x = 6 cos15.492t
9e las relaciones anteriores se tiene que
vmáx = 0.3873 m/s
a máx
2
= 6 m/s
ω n
senω t n
(.3.3.% !istemas no amortiguados en rotación. Para este tipo de sistemas se utiliza la segunda le! de 0e:ton para sistemas en rotación
J oθ =
∑ Pares %%%%%%%%% -(.$(
en donde
2
J o = J cg + md -momento de inercia con respecto al punto < J cg / momento de inercia con respecto al centro de gravedad del sistema
o anterior se representa en la siguiente figura#
6plicando la ecuación -(.$( se obtiene J oθ = − mgx ∴ J oθ = mgdsenθ %%%%%%% - i
Para pequeAas oscilaciones senθ ≈θ por lo que la ecuación - i se transforma en
J oθ = −( mgd )θ ∴ J oθ + ( mgd )θ = 0 %%%%%%%%%%%% - ii
9ividiendo - ii por J o llegamos a la ecuación
θ + mgd θ = 0 %%%%%%%%%%%% -(.$3 J
o
2
en donde ω
= mgd
n J o
a ecuación diferencial obtenida es análoga a la que se obtuvo para los sistemas en traslación, por lo que el criterio para determinar la frecuencia natural ! resolver la ecuación diferencial es eactamente el mismo
"jemplo (.(.% Para la barra ! el disco que se indica, determinar la constante del resorte para la cual el per*odo de vibración de la barra es $.7 seg. os datos son# r = 0.12 m , L = 0.5 m , mvar illa = 5 kg , mdisco = 8 kg .
0ormal
9eformado
2olución# 1
2
&omento de inercia del disco respecto a 6# J = mr 2
=
1
2
(8)(0.12)
= 0.0576 kg.m
2
2
&omento de inercia de la varilla respecto a 6# 1
2
J = 12 mL
+ m
( L2 )2 = 121 (5)(0.5)2 + 5(0.52 )2 = 0.41667 kg.m2 2
&omento de inercia total respecto a 6# J A = J disco + J var illa = 0.47427 kg.m Buerza en el resorte en el estado deformado# F = kr θ = 0.12k θ J oθ =
∑ Pares ∴ J Aθ = −0.12k (0.12)θ ∴θ + (0.12)0.47427 k θ = 0∴θ + 0.03036k θ = 0 %%%%%% -a 2
2
9e -a se tiene que# ω = 0.03036k %%%%%%%%%% -b n
ω= n
2π
=
τ 1.5
2π
2
= 4.188787∴ω =17.5459
%%%%%%%% -c
n
Cgualando -b ! -c se obtiene lo siguiente# 0.03036k = 17.54593374 ∴
k = 578 N/m
(.5.% Método de la energ"a para sistemas no amortiguados. "l método de la energ*a es un método simple ! directo para resolver problemas vibratorios. 2e lleva a cabo mediante un balance de energ*a, aplicando el principio de la conservación de la energ*a.
2abiendo que la energ*a mecánica permanece constante en cualquier punto se tiene que
E M = E + EP = constante %%%%%%%%% -(.$5
en donde
E M / energ*a mecánica E / energ*a cinética EP / energ*a potencial
2i la energ*a total permanece constante entonces
d dt ( E + EP ) = 0 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% -(.$7
+on ésta ecuación encontramos rápidamente la ecuación diferencial del movimiento ! la frecuencia natural correspondiente.
(.5.$.% #rincipio de Rayleigh. "ste principio es una forma alterna del método de la energ*a con el cual se obtiene una buena aproimación de las frecuencias naturales sin necesidad de generar la ecuación diferencial del movimiento. "ste método considera los pasos siguientes#
a.% 2e supone un movimiento armónico.
'raslación#
x = Xsenω nt
)otación#
θ =θ o senω nt
b.% 2e determina EP máx ! E máx . c.% 2e sustitu!en los movimientos armónicos en las epresiones anteriores. d.% Cgualando EP máx ! E máx , ! reduciendo se encuentra el valor de ω n .
Problema (.3.% Una placa delgada rectangular es fleionada hasta darle la forma cil*ndrica semicircular que se muestra en la figura. Dallar el per*odo de oscilación si se deja balancear en una superficie horizontal.
2olución# 9e la figura se tiene#
2 R
+entro de masa# a = π 2
2
&omento de inercia# J cg = m( R − a )
9esplazamiento del centro de masa# x = Rθ − aθ = ( R − a)θ x = ( R − a)θ
Eelocidad del centro de masa# sen
2 θ 2
( )= 12 − 12
2 sen
( )≈ θ 2
θ= θ
senω t → θ = θ ω cosω t → θ
2 θ 2
2
2
o
n
1
2
o o
E = mx + máx
( )
2 θ 2
cosθ ∴ cosθ = 1 − 2 sen
2
1
2
J θ 2
cg
=θ 2
n
=
máx
1 m ( R − a )
2
2
2
ω ,
θ o =θ máx
máx n 2
+ ( R − a
2
2
)ω θ 2
2 θ máx
= mga (1 − cos
E P
= mga − mga cos θ máx θ
≅ mga
máx )
máx
2 2 θ máx
2 2 = EP
E
máx
máx
máx
→ mR ( R − a )ωθ
máx
n
= mga
2
∴
2 2
= mR ( R − a)ω θ
máx
π − 2 2 1 2 ) ( = g ω ) ( ∴ R n 2 π )ω n = 2 R 2 R
(
R R − π
π
g ∴
π
g
ω n =
=
f n
R(π −2)
1
g
2 π
R(π −2)
R(π −2)
τ = 2π
g
(.7.% Masa efectiva. "s una masa equivalente de un sistema concentrada en un punto.
"l procedimiento para determinar la masa efectiva es mediante el cálculo de la energ*a cinética adicional de la masa distribuida -suponiendo el movimiento de ésta masa distribuida. "sta energ*a se determina mediante la epresión
1
E adic = ∫ Fdx =
2
2
mef x %%%%%%%%%%%%%%% -(.$8
"jemplo (.5.% 9etermine la masa efectiva en el punto n del sistema mostrado en la figura, ! determine su frecuencia natural.
Bigura -a
Bigura -b
2olución# x
xn
9e la figura -b se tiene que ! = a
∴ x =
(!a ) xn
"nerg*a cinética del sistema# 1
" = 2 mx
2
+
x
senθ =
1
2 J θ
2
x
x
∴θ ≈ ! → θ ≈ ! = !
1
" = m 2
a
2
(! ) xn + J ( 2
a
mef = m
1
1
2 a
(!a )2 + a J
J x2 ∴ a2
2
n
1
x
n
2
2
2 1 ) xn = m (! ) + 2
a
(.8.% $nlisis de sistemas con amortiguamiento. +onsideremos el sistema amortiguado que se muestra en la figura siguiente#
mx + cx + kx = 0 %%%%%%%%%%% -a
a ecuación diferencial del sistema es# c
9ividiendo -a por m de obtiene x +
m x
k
+ x = 0 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%% -b m
)esolviendo la ecuación diferencial -b se obtienen las ra*ces
c
c
4k
)
− m± (m − m
r=
=−
2
±
c
(
c
)2
−
2m
2m
k ∴ m
%%%%%%%%% -c c
c
r = − 2m±
(
2m
)2 −ω n2 c
2i hacemos ζω =
2m !
resolviendo la ecuación -b obtenemos la epresión
n
( −ζ +
x (t ) = Ae
)ω t n
2
ω t −ζ − ) ( + Be −
ζ 1
n
2
ζ −1
%%%%%%%%%%%%%%% -(.$;
en donde
ζ=
c
%%%%% -(.$=
factor de amortiguamiento cr*tico
c
cr
ccr = 2mω n %%%%%% -(.$?
ccr / amortiguamiento cr*tico
Para el sistema anterior podemos considerar tres casos#
a.% 2istema cr*ticamente amortiguado -ra*ces repetidas# - ζ =1 b.% 2istema subamortiguado -ra*ces complejas# - ζ <1 c.% 2istema sobreamortiguado -ra*ces reales - ζ >1 a.% !istema cr"ticamente amortiguado. Para éste caso la ecuación -(.$; se reduce a x (t ) = e condiciones iniciales x(0) ! x(0) se reduce a
x (t ) = e
−ω nt
−ω nt
{ x (0) + [ x (0) +ω n x (0)]t } %%%%%%%%% -(.(@
a gráfica de ésta ecuación se representa como sigue#
( A + Bt ) , en la cual al aplicar las
&ovimiento cr*ticamente amortiguado ζ =1.0 .
b.% Movimiento subamortiguado . "ste caso nos representa un sistema oscilatorio, !a que ζ <1.0 , por lo que la solución es
x (t ) = e
−ζω t n
2
# 1−ζ ω t
Ae
n
+ Be
− #
2
1−ζ
ω t
%%%%%%%%%%%%%%% -(.($
n
2i hacemos
2
ω = 1−ζ d
ω %%%%%%%%%%%% -(.(( Brecuencia natural amortiguada n
entonces la ecuación -(.($ puede ser representada como
x (t ) = e
−ζω nt
( Ae ω #
d t
+ Be
− #ω d t
)= e −ζω ( cosω t + senω t ) %%%%%%%%%%%%% -(.(3 nt
1
d
2
a ecuación -(.(3 se puede escribir como
x (t ) = Xe
−ζω nt
sen(ω d t +φ ) %%%%%%%%%%%% -(.(5
Cntroduciendo las condiciones iniciales x(0) ! x(0) la solución es x (t ) = e
{
−ζω nt x (0) + ζω n x(0) ω
d
} %%%%%%%%%% -(.(5
senω d t + x (0) cosω d t
d
a ecuación anterior se representa gráficamente como sigue#
&ovimiento subamortiguado ζ <1.0 .
c.% !istema sobreamortiguado. "n este caso se tiene un movimiento no oscilatorio !a que ζ >1.0 , por lo que la solución general es
( −ζ +
x (t ) = Ae
ζ
2
ω t −ζ − ) ( + Be − n
1
en donde
x (0) + ζ + ζ
A =
2
−1 ω x(0) n
)
( 2
2ω ζ −1 n
(
2
)
− x (0) − ζ − ζ −1 ω n x(0)
B = 2ω ζ n
2
−1
2
ζ −1
)ω t %%%%%%%%%%%%%%%%% -(.(7 n
"l movimiento sobreamortiguado es una función eponencialmente decreciente con respecto al tiempo ! se le califica como aperiódica. "ste tipo de movimiento se representa como sigue##
&ovimiento aperiódico ζ >1.0 . (.8.$.% %ecremento logar"tmico. 2e utiliza en los sistemas subamortiguados para medir que tan rápido se reduce la vibración, ! se define por el logaritmo natural de la razón de dos amplitudes sucesivas cualesquiera> esto es
x
x ( t )
1
δ = ln
= ln
x
x ( t +τ
d )
%%%%%%%%%%%% -(.(8
2
"l decremento logar*tmico también se puede representar por %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% -(.(; 1
δ = n ln
(
xo
xn
)
en donde xn representa la amplitud después de n ciclos +onsiderando la ecuación -(.(( ! sustitu!éndola en la ecuación -(.(8 se obtiene Xe
−ζω nt sen (ω d t +φ ) 2
1−ζ ω ( t +τ
δ = ln Xe
− ζω ( t +τ ) n d sen
−ζω t
e )+φ d
n
δ = ζω nτ d %%%%%%%%%%%%%%%%% -(.(=
= ln
e − ζω ( t +τ n
ζω nτ d
n
)
d
= ln e
∴
τ d es el per*odo de amortiguamiento el cual se determina por
%%%%%%%%%%%% -(.(?
2π
τ d = ω
2
1−ζ
n
2ustitu!endo τ d de -(.(= en -(.(? ! reduciendo, llegamos a la siguiente epresión#
δ=
2πζ
%%%%%%%%%%%%%%%%%% -(.3@ 2
1−ζ
+uando ζ es mu! pequeAo - ζ <<1 , puede suponerse que ecuación -(.3@ se transforma en
δ = 2πζ %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% -(.3$
2
1 − ζ ≈1, por lo que la
Problema (.7.% "l sistema que se indica en la figura está compuesto por el cuerpo 6 de ( 4g ! un resorte de constante k = 50 N/m . "l amortiguamiento del sistema es cr*tico. "l equilibrio del sistema se perturba desplazando el cuerpo 6 7 cm hacia la derecha ! a continuación se libera imprimiéndole una velocidad inicial de 7@ cm1s dirigida hacia la izquierda. 9eterminar# a el valor de ccr ! b la posición de 6 cuando t = 0.2 s .
2olución# Para un sistema cr*ticamente amortiguado - ζ =1 la solución es x (t ) = e
−ω nt
{ x (0) + [ x (0) +ω n x
]}
(0) t %%%%%%%%% -$
ω n =
k m =
50
2
= 5 rad/s
a.% ccr = 2mω n = 2(2)(5) = 20 N.s/m∴ ccr = 20 N.s/m
b.% 2ustitu!endo las condiciones iniciales en la ecuación -$ se obtiene
{ x (0.2) = e
−5×0.2
[
5 + −50 + 5(5)
]
} × 0.2 = 0∴ x(0.2) = 0
9erivando -$ se obtiene# x (t ) = e
−ω nt −1
x (0.2) = e
[ x (0) + ω n x (0)]− { x (0) + [ x (0) + ω n x (0)]t }ω ne−ω nt ∴
{[−50 + 5(5)]− [ 5 + ( −50 + 5 × 5) × 0.2]× 5}= 9.196986 cm/s∴
x(0.2) ≈ 92 mm/s
Problema (.8.% "l sistema mostrado en la figura está compuesto por el cuerpo de masa m de 5.7 4g, una barra de masa despreciable, un resorte ! un amortiguador viscoso. a amplitud del movimiento de 9 disminu!e desde ;7 mm hasta (7 mm durante (@ ciclos de vibración libre del sistema, con un tiempo requerido de $@ seg. +alcular# a el decremento logar*tmico, b la constante del resorte, c el coeficiente de amortiguamiento ! d el coeficiente de amortiguamiento cr*tico
-a
-b
2olución# a ecuación diferencial del movimiento se obtiene a partir de la epresión
J Bθ =
∑ Pares ∴ J Bθ = −(0.125) F R − (0.250) F A %%%%%%% -$
F R = kx1 = k (0.125) senθ ≈ 0.125k θ F A = cx2 = 0.250cθ 2
J B = mL f = 20 d
10
τ =
1
d
2
= 4.5(0.5) =1.125 kg.m
2
= 2 cps =
1
= 0.5 s
f
d 2
ω d = 2π f d = 2π (2) =12.56636 rad/s 2ustitu!endo en -$ se tiene#
1.125θ = −0.015625k θ − 0.0625cθ ∴ θ + 0.055555cθ + 0.0138889k θ = 0 %%%%%%%% -(
a.% 9ecremento logar*tmico. 1
δ = ln
xo
n
1
= ln
75
20
xn
= 0.05493∴ δ = 0.05493
25
b.% +onstante elástica del resorte#
2πζ
2
= 2πζ ∴1 − ζ =
∴
δ=
( π )2 ζ 2 ∴1 − ζ 2 = 13083.978ζ 2 ∴ 2 δ
δ
1− ζ
1−ζ 2
2
1
2
∴ ζ = 0.008742
ζ = 13084.978 δ
δ = ζω τ d ∴ω = n
ζτ d
0.05493
= 0.008742(0.5) =12.5669 rad/s
n
9e la ecuación -( se tiene que# 2
ω n = 0.0138889k ∴ k =
(12.5669) 2 0.0138889
= 11370 N/m∴ k =11.37 kN/m
c.% +oeficiente de amortiguamiento#
9e la ecuación diferencial -( tenemos que
2ζω n
= 0.05555c ∴ c =
2(0.008742)(12.5669)
= 3.955 N.s/m∴ c = 3.955
N.s/m 0.05555
d.% 6mortiguamiento cr*tico#
c cr
=
c ζ
=
3.955 0.008742
= 452.4 N.s/m ∴ c = 452.4 N.s/m cr
Problema (.;.% "l cuerpo de $( 4g que se representa en la figura, está sustentado por tres resortes ! tres amortiguadores viscosos en la forma indicada. as constantes de los resortes son k 1 = k 2 =150 N/m ! k 3 =120 N/m . os coeficientes de amortiguamiento viscoso son c1 = c2 = 0.8 N.s/m ! c3 =1.4 N.s/m . Para iniciar el movimiento se desplaza al cuerpo @.$@
m hacia abajo ! a continuación se deja libre a partir del reposo. 9eterminar el número de oscilaciones que ocurren hasta que la amplitud de las vibraciones se reduce al (@F de su valor inicial.
2olución#
c
k
x + m x +
m
e
"cuación del movimiento#
e
x = 0
+onstante
elástica
equivalente# k e = k 1 + k 2 + k 3 = 150 + 150 + 120 = 420 N/m +onstante
visc viscos osaa equi equival valen ente te## ce = c1 + c2 + c3 = 0.8 1.4 = 3.0 N.s/m
9e la ecuación del movimiento se tiene que
k e
ω= n
=
m
420 12
c
n
δ=
=
= 0.021129
3
e
2ζω
= 5.916 rad/s
∴ ζ = =
2×12×5.916
m 2πζ
2
1−ζ
=
2π ×0.021129 1−0.00044648
= 0.132787
+ 0.8 +
UNIDAD III% VIBRACIONES DE SISTEMAS DE UN GRADO DE LIBERTAD CON E&CITACIÓN ARMÓNICA. U' *3*1ma @0;a0 1* a1 1 *1 1'/1'a *10 a @1;a* 0 1x/3a/30'1* 1x1'a*. E*a* 1x/3a/30'1* 11' *1,
!. Am>'3/a* 2. P13>3/a* $. C0'*a'1* 4. A1a03a* ". C01*
La* @1;a* am>'3/a* *0' 1 a* mF* m F* /0m'1* H *1 11*1'a' 0
F ;t = t .
F o sen
La @1'1 mF* /0m' 1 1x/3a/3>' am>'3/a 1* 1 1*Jaa'/1 1' a* mF3'a* 0a03a*. La 1x/3a/3>' am>'3/a 11 0/3 1' a @0ma 1 'a @1;a 0 1*a;am31'0 1 a5' '0 1 *3*1ma.
'.( A)*l+s+s e -) s+stem s-/eto 0-e12 1m3)+4 e5te1). S1 3/1 1 ' *3*1ma m1/F'3/0 0 1*/a 1x13m1'a ?3Ja/3>' @0;aa *31m1 1 *1 *m3'3*a 1'15a 1x1'a a *3*1ma a'1 a ?3Ja/3>'. La 1'15a 1x1'a *1 11 *m3'3*a Ha *1a m13a'1 'a @1;a a3/aa 0 0 'a 1x/3a/3>' 1x/3a/3>' 1 1*a;am 1*a;am31'0 31'0 3m1*a. 3m1*a. La @1;a @1;a a3/aa a3/aa 0 a 1x/3a/3>' 1x/3a/3>' 1 1*a;am3 1*a;am31'0 1'0 11' *1 am>'3/a '0 am>'3/a am>'3/a 10 13>3/a '0 13>3/a 0 a1a03a. La 1*1*a 1 ' *3*1ma a 'a 1x/3a/3>' am>'3/a *1 ama 1*1*a am>'3/a. La 1x/3a/3>' '0 13>3/a 11 *1 1 a5a 0 1 /0a a/3>'.
La 1*1*a 1 ' *3*1ma 3'Fm3/0 a 1x/3a/30'1* '0 13>3/a* 11'3'am1'1 a3/aa* *1 ama 1*1*a a'*303a.
E/a/3>' 1 m0?3m31'0.
S3 'a 'a @1; @1;a a +() +() a/ a/a a 1' ' *3* *3*1m 1ma a 1 1*0 1*0 1m 1ma* a*a a ?3*/ ?3*/0* 0*am am1' 1'1 1 am035a0 a 1/a/3>' 1 m0?3m31'0 *1 11 0J1'1 a3/a'0 a *15'a 1H 1 N10',
C0m0 1*a 1/a/3>' '0 1* 0m05'1a a *ma 1 a *0/3>' 0m05'1a x() H a *0/3>' a3/a x() 00/30'a a *0/3>' 51'1a. La *0/3>' 0m05'1a a /F 1* a *0/3>' 1 a 1/a/3>' 0m05'1a.
R11*1'a a ?3Ja/3>' 3J1 1 *3*1ma. E*a ?3Ja/3>' 3J1 * 1 1/1 /0' 1 31m0 1' /aa 'a 1 a* 1* 0*3J1* /0'3/30'1* /0'3/30'1* 1 am035am31' am035am31'0 0 (*Jam035am31'0 am035am31'0 /3/0 H *0J1am035am31'0) H 1' 0a* a* 0*3J1* /0'3/30'1* 3'/3a1*. P0 a'0 a *0/3>' 51'1a *1 1/1 1' 3m0 m3'0 a a *0/3>' a/a x() a /a 11*1'a a ?3Ja/3>' 1 1*a0 1*aJ1. E m0?3m31'0 1 1*a0 1*aJ1 1*F 1*1'1 m31'a* a @'/3>' @0;aa 1*F 1*1'1. La a1 1 m0?3m31'0 1 *1 1/1 a /a*a 1 am035am31'0 (a a1 1 ?3Ja/3>' 3J1) *1 ama a'*303a. E 3m0 a /a 1 m0?3m31'0 a'*3030 *1 1/1 11'1 1 0* ?a01* 1 0* aFm10* 1 *3*1ma / H m.
E' 51'1a ' *3*1ma 1' ?3Ja/3>' @0;aa *1 11*1'a /0m0 *351,
R1/0a'0 1 1' 1 m0?3m31'0 am>'3/0 a ?10/3a H a a/11a/3>' *1 1'/1'a' 1'/1'a' a1a'aa* a1a'aa* /0' 1*1/0 1*1/0 a 1*a;am3 1*a;am31'0 1'0 1' 7:
H !8:
1*1/3?am1'1 0* m3'0* 1 a 1/a/3>' 3@11'/3a *1 11' 11*1'a 5F@3/am1'1 0,
D1 3a5ama a'130 1'/0'am0* 1,
La* 1x1*30'1* a'1301* *1 11' 11*1'a 1' @0ma a3m1'*30'a /0'*31a'0 1,
S*3H1'0 a* 1/a/30'1* a'1301* *1 0J31'1 0 *3531'1,
R11*1'a'0 5F@3/am1'1 /0m0 *1 3'3/a a /0'3'a/3>',
La* /?a* a'1301* '0* m1*a' 1 1 @a/0 1 am035am31'0
31'1
5a' 3'@1'/3a *0J1 a am3 H 1 F'50 1 @a*1 1' a 153>' 1 a @1/1'/3a >x3ma a a 1*0'a'/3a ; : n 1=.
D1 a/10 /0' 0 a'130 *1 31'1' 1* /a*0* m31, a).D
:n
1
G (
0o
)
E' 1*1 /a*0 a* @1;a* 1 3'1/3a H am035am31'0 *0' 11a* 0 0 1 *1 a/1 1' ' 110 F'50 1 @a*1 *31'0 a ma5'3 1 a @1;a 50Ja /a*3 35a a a @1;a 1 1*01 0 0 1 F k .
J). D
:n
1
o
G ( ?0 )
E' 1*1 /a*0 a @1;a 1 3'1/3a 1 a0a 1* maH0 1* 133Jaa 0 a
@1;a 1 1*01 m31'a* 1 a @1;a a3/aa *1a a @1;a 1 am035a/3>'. La am3 1 1*0'a'/3a *1 11m3'a 0 a 1/a/3>' 1a'0,
o
/).D % n !G (
!8 )
E' 1*1 /a*0 a 3'1/3a *1 1'/a5a 1 133Ja a @1;a 0 0 1 F X m”. E' 1*m1' a *0/3>' 51'1a 1 a 1/a/3>' 3@11'/3a 1*,
'.6 Des7l)4eo 1otto1+o 8 47e4eo e 0e49s 1otto1+s 8 eleme)tos 1ott+os. Des7l)4e 1otto1+o.
E 1*Jaa'/1 0a030 1* 'a 1 a* /a*a* mF* /0m'1* 1 ?3Ja/3>' 1' a* mF3'a* H *1 1J1 a 1 1 /1'0 1 5a?1a '0 /03'/31 /0' 1 11 1 0a/3>'. E*0 *1 11 0J*1?a 1' a *3531'1 @35a,
C0'*311m0* 1 *3531'1 *3*1ma 1*01ma*a 1*3'530 a m0?1*1 1' a 31//3>' ?13/a H 1x/3a0 0 'a ma*a 0a03a '0 Jaa'/1aa a H /0m0 *1 m1*a 1' a *3531'1 @35a,
D1 a @35a 1'1m0* 1 m = ma*a B61 53 a M0?3m31'0 1 m , x e sent M m = ma*a B61 '0 53 a M0?3m31'0 1 M m , x
--
-
C7e4eo e 0le49s 1otto1+s. E /aJ1/10 (whirling ) 1* a 0a/3>' 1 a'0 1a3;a0 0 1 11 @1x30'a0 /0' 1*1/0 a a '1a 1 /1'0* 1 0* /03'11*.
E*0 11 11*1'a*1 /0m0 *351,
A'a3;a'0 1 3*/0 1 ma*a m 1 a @35a a'130 1'1m0*,
P0*3/3>' 1 s , ( x s ) y s )
--
P0*3/3>' 1 G , ( x s
e
co t ) y s e sent )
E' 1 /aJ1/10 *3'/0'3;a0 O G s H G *1 ma'31'1' @30* 1'1 * aa /0'*a'1.
-/
'.' E54+t4+3) 1m3)+4 e) l 7se. +1/1'1m1'1 *1 31'1' 130* 0 a1* 1 130* 1 *0' 1x/3a0* am>'3/am1'1 a a?* 1 'a Ja*1 1F*3/a a 1 11 *1 m01aa 0 1*01* H am035a01*. P0 11m0 a **1'*3>' 1 ' a0m>?3 1 1* 1x/3aa am>'3/am1'1 0 a *1/31 1 /am3'0 a 1 *1 11 m01a 0 ' 1*01 3'1a 1' aa10 a ' am035a0 ?3*/0*0. O0* 11m0* *0' a 50ma* 1 m0'a1 1 m001* 1 *1aa' 1 m00 1 a0m>?3 1 * ma/0 0 1 m00 1 ' a?3>' 1 ** aa*. Ta1* *3*1ma* *1 11' m01a /0'*31a'0 1 1 *3*1ma 1* 1x/3a0 0 1 m0?3m31'0 1 a Ja*1. E*1 0J1ma 1 1x/3a/3>' 0 a Ja*1 1* 3*a0 1' a +35a $.!.
La 1/a/3>' 1 m0?3m31'0
aa
1*1 *3*1ma
?31'1 aa
A0(,
c ;x I J y= > 0.
K;x
J
yI = H
-5
-7
-6
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'.; A+slm+e)to e l +714+3) E a3*am31'0 1 a ?3Ja/3>' 1* ' 0/13m31'0 m13a'1 1 /a *1 1/1' 0* 1@1/0* 3'1*1aJ1* 1 ?3Ja/3>'. BF*3/am1' 1 3m3/a a 3'*1/3>' 1 ' m31mJ0 1F*3/0 (0 a3*a0) 1'1 a ma*a ?3Ja03a (130 0 /a5a 3) H a @1'1 1 ?3Ja/3>' 1 m00 1 *1 051 'a 1//3>' 1 a 1*1*a 3'Fm3/a 1 *3*1ma *0m130 a /0'3/30'1* 1*1//a* 1 1x/3a/3>' 0 ?3Ja/3>'. S1 3/1 1 ' *3*1ma 1 a3*am31'0 1* a/3?0 0 a*3?0 *15' *3 *1 1311 0 '0 01'/3a 1x1'a aa 1 1 a3*a0 1a3/1 * @'/3>'.
U' a3*a0 a*3?0 *1 /0m0'1 1 ' m31mJ0 1F*3/0 (3531;) H ' 3*3a0 1 1'15a (am035am31'0). A5'0* 11m0* 1 a3*a01* a*3?0* /0m1'1' 1*01* m1F3/0* /0/0* 10 1*01* '1mF3/0* H 1*01* 1a*0m3/0* (/a/0). U' a3*a0 a/3?0 *1 /0m0'1 1 ' *1?0m1/a'3*m0 /0' ' *1'*0 ' 0/1*a0 1 *1a1* H ' a/a0. E a3*am31'0 1 ?3Ja/3>' *1 11 33;a 1' 0* 30* 1 *3a/30'1*.
E' 1 3m1 30 1 /3m31'0 0 Ja*1 1 'a mF3'a ?3Ja03a *1 0151 /0'a 5a'1* @1;a* 1*Jaa'/1aa*. E' 1 *15'0 30 1 *3*1ma *1 0151 /0'a 1 m0?3m31'0 1 * /3m31'0 0 Ja*1. E 3m1 30 1 a3*am31'0 *1 33;a /a'0 'a ma*a (0 mF3'a) *1 *0m11 a 'a @1;a 0 1x/3a/3>'. P0 11m0 1' 1'*a* 1 @0a H 1*ama0 5a'1* @1;a* 3m*0a* a/a' 1' 1 0J10 1 *1 1*F @0ma'0 0 1*ama'0.
E*0* 3ma/0* *1 a'*m31' a a Ja*1 0 /3m31'0 10 amJ3' a a* 1*/a* 0 mF3'a* /3/'a'1* 0 /1/a'a*. TamJ3' 11' 0?0/a 3'/0m03a a 0* 01a30* 1 mF3'a*. A*3m3*m0 1' 1 /a*0 1 mF3'a* 1/30/a'1* H 0a03a* a* @1;a* 1*Jaa'/1aa* 3'11'1* *1 a'*m31' a a Ja*1 0 /3m31'0 1 a mF3'a. E' a1* /a*0* a @1;a a'*m33a a a Ja*1 +() ?aa am>'3/am1'1 H 0* 1*@1;0* 1*a'1* 1' 0* 1'0* amJ3' ?aa' am>'3/am1'1 0 1 0a 0?0/a @aa* 0 @F35a.
/1
E a3*am31'0 1 ?3Ja/30'1* 11 1'1 2 0J13?0* a1'a3?0*,Q A3*a a a mF3'a 1 a* ?3Ja/30'1* amJ31'a1*Q R1/3 a* ?3Ja/30'1* 1 a m3*ma mF3'a 51'1a 1' * 1'0'0. La ?3Ja/3>' 1x/1*3?a 11 0?0/a ' @a0 1ma0 1 a ma3'a3a @a35a 1*/a 1 0* *001* H 1 am1'0 1 30 La 3'10*3/3>' 1 a3*a01* a03a0* 1'1 a 1*/a *001 H 1 ma13a 5aa'3;a 1' 51'1a 0* @'/30'1*, U'a @'/3>' 1*F3/a *35'3@3/a3?a 1 1m31 'a m10 3*3J/3>' 1 a* /a5a* aJ* 0J31'0 /31a* 01a'/3a* 1 @aJ3/a/3>' 1m331'0 a* 1a3;a/30'1* mF* *15a* H mF* 1/0'>m3/a*. U'a @'/3>' 3'Fm3/a 1a3;a'0 ' a3*am31'0 1 ?3Ja/30'1* H /01* 1 m10a *0*1'3J1m1'1 1 /0'@0 ?3Ja030 /3/'a'1 H 1 31m0 1 ?3a 1 0* 130*.
A+slm+e)to 4t+o Paa /0'/1a 1 a3*am31'0 a/3?0 *1 1J1 3*1a ' /0'0a0 1 51'11 'a *1a 1 1m3a a a/a0 13m3'a 0 1/3 a mFx3m0 a* ?3Ja/30'1* 1 1*a ma'1a 1 *3*1ma a/3?0 11 *1 ?3*0 /0m0 ' *3*1ma 1 /0'3'am1'1
1*F
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*15'
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A+slo1es
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/5
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/7
L0* *0'>m10* H 0* /a3Ja01* 31'1' 1 1'1 ' /13@3/a0 1 ?13@3/a/3>' 3m33?a (@a/33a0 0 1 @aJ3/a'1 1' 1 m0m1'0 1 *1 a311 1 130). A1mF* 1 @0ma a'a 1J1' a*a 'a ?13@3/a/3>' 13>3/a aa /0m0Ja 1 0* 130* *351' 1' 1@1/0 1*a0 1 @'/30'am31'0.
E 130 31'1 1 1'1 'a 15a3'a 0'1 *1 1@11 0a* a* ?13@3/a/30'1* 1 3'*m1'0.
UNIDAD IV%BALANCE DE ROTORE Y ELEMENTOS ROTATIVOS. ;.( CONCEPTOS DE DESBALANCE, ROTOR R>GIDO, ?LE&IBLE Y SU TOLERANCIA.
E 1*Jaa'/1 1* a 3*3J/3>' 315a 1 a* ma*a* 1 ' /10 1*1/0 a /1'0 510m3/0 0 1 0a/3>'. S1 1@3'1 1 1*Jaa'/1 /0m0 a /0'3/3>' 0'1 1 11 1 3'1/3a 1 00 '0 /03'/31 /0' * 11 1 0a/3>' 0?0/a'0 1 1 530 '0 *1a /0'/'3/0 H 0/3'0*1 a 1*/0m1'*a/3>' 1 ma*a* 1 a 53a /0' /31a a/11a/3>' 0353'a' @1;a* 1x/3a0a* a3a1* H%0 m0m1'0* 3'Fm3/0* 1 0 0 a'0 0/1' ?3Ja/30'1* La @a*1 /a?1 1* '1a 0 11 1 0a/3>' /0m0 01*a a a '1a 1 /1'0 510m3/0. La '1a 1 0a/3>' a *30 1@3'3a /0m0 1 11 a110 1 /a 1 00 11 53a *3 '0 1*F 1*3'530 0 a* /ma/1a* 0 Ja10*. (TamJ3' *1 1 a a0 1 '0mJ1 1 11 3'/3a 1 3'1/3a). La '1a 1 /1'0 510m3/0 *1F a '1a 1 /1'0 @*3/0 1 00. Ca'0 a* 0* '1a* 1 /1'0 *0' /03'/31'1* 1'0'/1* 1 00 *1 1'/0'aF 1' 1 1*a0 1 Jaa'/1 0 Jaa'/1a0. Ca'0 a* '1a* *1 1'/1'a' *1aaa* 1 00 *1 1'/0'aF 1*Jaa'/1a0.
/6
E 1*Jaa'/1 11 *1 3'11'1 0 0/30 0 3?1*a* /a*a* 1'1 a* /a1* *1 1'/1'a',
D1*5a*1 1 a1* 0a3?a* 1 a* mF3'a*. E0*3>' /a*aa 0 1 @30 1 aJa0. C00*3>'. D3*0*3>' 0 1*3>' 0 1m1aa 1 aJa0. D1>*30 1 ma13a1*. M0'a1 1@1/0*0 1 /0m0'1'1*. +aa 1 *3m1a 1' a* a1* 0a3?a* 1 a* mF3'a* 1J3a* a a @'3/3>' @0a0 ma3'a0 a /a5a 0 a 3aa/30'1* '0 0m05'1a*. +aa 1 0m051'13a /a*aa 0 *0aa*. 9a3a/30'1* 1' a 1*/a m3/a H /3*a3'a 1 ma13a /a*aa* 0 1 ?a/3a0 0 aam31'0 m3/0. 9a3a/30'1* 1' 1 ama0 1 0'30* 1/a* H 00* *1a01*. C0m0'1'1* 0Ja0* 0 00*. C0m0'1'1* 1x/'3/0*.
M/a* /a*a* a' *30 1'3*aa* /0m0 /0'3JH1'1* a 'a /0'3/3>' 1 1*Jaa'/1 3'/H1'0 0J1ma* 1 ma13a /0m0 *0' 1'*3a 00*3a 1/0* H *0aa*. E' 0* 0/1*0* 1 ma'@a/a *3 *1 0ma 1 1J30 /3a0 aa a*15a 1 0* ma3'a0* 1 0* ?a/3a0* a' *30 /0'/'3/0* 1'0'/1* 1*0* a*15aF' 1 0* 0* 11* /03'/3a' H 1 00 'a ?1; 1'*amJa0 *1 1'/0'aF Jaa'/1a0 P3'/3am1'1 0* 0J1ma* 1 1*Jaa'/1 1J30* a a @aJ3/a/3>' *0' a /a*a 1 a* 01a'/3a* /a'0 ' 11 J31' Jaa'/1a0 H ' 00 J31' Jaa'/1a0 *1 '1' a* 01a'/3a* 11' 1m33 1*a;am31'0* a3a1* 0* /a1* 0/3F' 'a /0'3/3>' 1 1*Jaa'/1. La a3/3>' 1 /a* H /10* am1'a' 0* 0J1ma*. A' 1x3*31'0 1*F'a1* aa 11* H /a* 1' a F/3/a 0* 3@11'1* @aJ3/a'1* *351' ** 030* m00*. A5'0* *a' /a* /0m1a* 00* 33;a' m13a* /a* H 00* '0 a* 33;a' 1' aJ*00. E* 0 1*0 1 /a'0 *1 1'*amJa' a* '3a1* H a* /a* *0' a515aa* 1 1*Jaa'/1 *1F *31m1 1 1*a0.
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La* m01'a* 1*1/3@3/a/30'1* aa a* 01a'/3a* 1 Jaa'/10 /1aa* 0 ISO API ANSI H 00* a/1' 3m1a3?0 1 a* /0'?1'/30'1* 1'3*aa* 0 10* *1a' *153a*. E 1*1'1'3m31'0 0 a '15a3?a a *153a* 1*1mJ0/aF' 1' ' Ja0 '3?1 1 Jaa'/10 0 3'/*0 a 3m0*3J33a 1 a/a';a0.
ROTORES R>GIDOS Y ROTORES ?LE&IBLES.
S3 ' 00 1* 01a0 1'0 1 # a #" 1 * ?10/3a /3/a (a ?10/3a a a /a 0/1 a 1*0'a'/3a 1* 1/3 * @1/1'/3a 'aa) 1*1 11 *1 /0'*31a0 /0m0 ' 00 @1x3J1. S3 *1 1* 01a0 0 1Ja0 1 1*a ?10/3a 1 /0'*31a 530. U' 00 530 11 *1 Jaa'/1a0 1' ** 0* a'0* 1x1m0* H 1ma'1/1 1' 1*a0 1 Jaa'/1 /a'0 1*F 1' *1?3/30. U' 00 @1x3J1 113F Jaa'/10 1' m31* a'0*. S3 ' 00 1* Jaa'/1a0 1' 'a mF3'a 1 Jaa'/10 1 Jaa ?10/3a a*m31'0 1 1* 530 H 150 1' 01a/3>' *1 /0m0a /0m0 @1x3J1 1'0'/1* 1 1*a0 *1F 1*Jaa'/1 H 0 a'0 5a' ?3Ja/3>'. Ca'0 1 1*Jaa'/1 a *30 31'3@3/a0 H /a'3@3/a0 a /01//3>' 1* 3'm3'1'1. L0* 1*0* 31'1' 1 *1 Ha *1a a515a0* 0 **a0* 1 11m1'0 53a030. E*0 1' m3a* a 1/3 a 3*3J/3>' 315a 1 a ma*a a 1 a* @1;a* /1'3@5a* H a* ?3Ja/30'1* 3'/3a* 1' a* 1*/a* 1 *001 *1 1'/1'1' 1' ' '3?1 a/1aJ1.
VIBRACIONES DE UN ROTOR R>GIDO. E/a/3>' 1 m0?3m31'0. U' 00 1J1 *1 /0'*31a0 /0m0 530 /a'0 * 1@0ma/3>' 1F*3/a 1* 1*1/3aJ1 1' 1 a'50 1 01a/3>' H a 3531; 1 *001 1* /0maaJ1m1'1 11a. E *3*1ma 1* 1x1*a0 0 1 m010 m0*a0 1' a *3531'1 @35a,
50
M/a* 1a1* 11' /0m0 ' m010 1 00 530.
mF3'a* *1 m01aa*
Paa 10 *1 *0'1 1 ' 00 530 1*F *00a0 0 1*01* /0' /0'*a'1* 1 3531; k1 y k2, H 1 am035am31'0 1' 0* *001* 1*F 11*1'a0 0 /01@3/31'1* 1 am035am31'0 c1 y c2 . E *3*1ma 1 /001'aa* 1/a'5a O-xyz 31'1 * 11 1' a '1a 1 /1'0* 1 00 1' 10*0 H 31'1 * 0351' 1' a 0*3/3>' 1 /1'0 510m3/0 M 1 a *1//3>' a'*?1*a /0' 1 /1'0 1 5a?1a G. E' 51'1a 1 00 31'1 a 1x/1'3/3a 1 1 /1'0 1 5a?1a H a 3'/3'a/3>' 1 11 3'/3a 1 m0m1'0 1 3'1/3a 1 00. A*m31'0 1 1 /1'0 1 5a?1a G 1*F 0/a3;a0 a a* 3*a'/3a* ! H 2 a a3 1 0* *001* *130 1 3'@130 1*1/3?am1'1. SaJ31'0 1 a 1@1x3>' 1 00 a'1 ' m0?3m31'0 53a030 1* ( ) H a 3'/3'a/3>' 1 11 3'/3a 1 00 1* . L0* /amJ30* 1 m0m1'm H 1 m0m1'm a'5a 1 00 0 '3a 1 31m0 *0' 11*1'a0* 0 a a1 3;31a 1 a* 1/a/30'1*
51
VIBRACIONES DE UN EE ?LE&IBLE. ECUACIONES DE MOVIMIENTO. E' a *3531'1 @35a *1 m1*a 1 m010 1>3/0 1 ' 00 1F*3/0 /0'3'0 /0' *1//3>' a'*?1*a /3/a. La 0'53 1 1*1 00 '3@0m1 1* l . C0m0 1 00 1*a *00a0 ?13/am1'1 a @1;a 1 5a?1a '0 a/a. P0 *3m3/3a a 1@0ma/3>' /0a'1 '0 *1 /0'*31a. E 11 a 0 a50 1 a '1a 1 /1'0* 1 0* *001* 1*F 11*1'a0 0 * 1' 5a 1 ; 1J30 a 1 ; *1 33;aF /0m0 'a ?a3aJ1 /0m1a 1 11*1'a a 1@1x3>' 1 00. La* 1@1x30'1* 1' a* 31//30'1* x 1 H *1 1'0a' /0m0 (*) H ?(*) 1*1/3?am1'1.
52
E 1
F'50
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E
1
3'1/3a
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m0m1'0 0a H 1 m0m1'0
3am1a 1 3'1/3a dId 1 1*1 11m1'0 1*F' a0* 0, La
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5
1*F' m0*a0* 1' a @35a. La* 1/a/30'1* 1 m0?3m31'0 1*F' 0J1'3a* 1 a* 1a/30'1* 1'1 0* /amJ30* 1 m0m1'm H m0m1'm a'5a H @1;a* 1 /01 H m0m1'0*.
E' 3m1 5a /0'*31am0* 1 m0?3m31'0 a1a 1 ' 11m1'0 3@11'/3a. SaJ31'0 1 1 /01@3/31'1 1 am035am31'0 ?3*/0*0 0 '3a 1 0'53 1* / a 1@1x3>' 1 /1'0 1 5a?1a 1' a 0*3/3>' s 1* (u!) H a* /0m0'1'1* 1 'a @1;a 1' a* 31//30'1* x H y *0' Fx H Fy 1*1/3?am1'1.
;.6
BALANCEO ESTÁTICO. Baa'/10 1*F3/0 La M1/a'3/a P01 Ta'*m3**30' A**0/3a30' (A*0/3a/3>' 1 Ta'*m3*3>' 1 P01'/3a M1/F'3/a MPTA) 1* ' 05a'3*m0 1 @aJ3/a'1* 1'1 10* B0'3'5 1 1@3'1 /3130* aa a @aJ3/a/3>' 1 0/0* 1 a'*m3*3>' 1 01'/3a 3'/H1'0 01a* a/a'aaa*. La MPTA 1@3'1 1 Jaa'/10 1 01a a/a'aaa 1*F3/0 /0m0 ' Jaa'/10 a'0 0 1*F3/0. La MPTA 1/aa 1 S1 3/1 1 ' /10 53a030 1*F 1' Jaa'/1 1*F3/0 (a ?1/1* ama0 Jaa'/1 1' 10*0) /a'0 * /1'0 1 5a?1a /03'/31 /0' 1 11 *0J1 1 1 53a. U' Jaa'/10 1' ' a'0 1* a '0ma 1/0m1'aa aa /a*3 00* 0* 0/0* 1 01a a/a'aaa. A /0'*1/1'/3a 1 1*0 /a*3 0a* a* 01a* a/a'aaa* B0'3'5 *1 Jaa'/1a' 1*F3/am1'1. E 05a'3*m0 MPTA /0351 1 1*Jaa'/10 1*F3/0 a 3a 1*0 (3/am1'1 ' 03@3/30 1@0a0) 1 '0 1*a0.
NOTA: a* aa* 1 Jaa'/10 1 ' a'0 1 a MPTA *1 Ja*a' 1' a ?10/3a 13@3/a 1m3*3J1 1 310 @'30 (6" 31*%m3' 0 $$ m%*).
MF* 1 " 1 0* 0J1ma* 1 ?3Ja/3>' 1' 130* 0a3?0* *1 1*1'a' 0 3a 1 133J30 1J30 a 1*5a*1* 0 ?a3a/3>' 1 1*0 0 a/ma/3>' 1 ma13a 1' 0* 3m*01* 001* ?1'3a01* 01a* 1/. 0 /a 1/1 a ?3a 3 1 0* /0m0'1'1* 1 mF3'a. E 1*Jaa'/10 1@3'30 /'3/am1'1 1* a '0 /03'/31'/3a 1 /1'0 1 5a?1a /0' 1 /1'0 1 530 0 /a 51'1a 'a @1;a /1'@5a '0 /0m1'*aa a/3a 1' ?3Ja/30'1*. E' 1 0/1*0 1 Jaa'/10 a a*3m1a 1 a 3*3J/3>' 1 a ma*a *1 /0m1'*a
5-
/0' a a3/3>' 0 1m0/3>' 1 ma13a 1m331'0 m3'3m3;a a ?3Ja/3>' 1 30 H 1 1*5a*1 1 0* 11m1'0* 1 mF3'a. E*1 *1?3/30 *1 a/1 /0' Ja*1 1' a '0ma ISO!74. L0* 130* 33;a0* aa a 1*a/3>' 1 1*1 *1?3/30 *0' 1 3ma 51'1a/3>' H 1 ma/a* 1/0'0/3a* m'3am1'1.
ECUACIONES PARA EL BALANCEO. S3 1 00 53a a110 1 11 5 /0' 'a ?10/3a a'5a /0'*a'1 *0J1 /aa ma*a 11m1'a 1*aF a3/aa 'a @1;a 1 3'1/3a < H 1*a @1;a 0/3F ' m0m1'0 m 1' 1 /1'0 1 ma*a. E*a* @1;a* *1 1'0m3'a' @1;a* 1 3'1/3a /1'@5a*. La ma5'3 aa 'a ma*a m a1aa 1 11 1 530 'a 3*a'/3a *1 /a/a m13a'1 a @>ma,
p=mr w
2
=mr (
nπ 30
)
6
D0'1, P: 1* a @1;a 1 3'1/3a /1'@5a 1' VNW m: a ma*a 1' V5W 1: 1 a30 1 530 1'VmW @: a ?10/3a a'5a 1' V*!W ): 1 'm10 1 1?0/30'1* 0 m3'0.
E *35'0 1 ?1/0 3'3/a 1 a @1;a 1 3'1/3a 1*F 3353a 1' a m3*ma 31//3>' 1 a30 a a3 1 11 1 0a/3>' x.
5/
;.' BALANCEO DINÁMICO EN UNO Y DOS PLANOS POR EL MTODO DE COE?ICIENTES DE IN?LUENCIA. M00 1 C01@3/31'1* 1 I'@1'/3a aa Baa'/10 1' ' Pa'0 E m00 a3/30'a 1 Jaa'/10 1' ' a'0 0 /01@3/31'1* 1 3'@1'/3a 33;a 0* a0* 1 1/a 1 ?3Ja/3>' 1 00 1' * /0'3/3>' 1 1*Jaa'/1 0353'a (a /a) H a 1/a /01*0'31'1 a 'a /03a /0' 1*0 1 1Ja. E' 1*1 /a*0 0* a0* *0' 0* 1 *1 m1*a' 1' a TaJa N0.!.
D0'1 a* 1/a* 1 /0' ma5'3 H F'50 1 @a*1.
?3Ja/3>' *0' @a*01*
E*1 /01@3/31'1 11*1'a 1 1@1/0 1 0/1 1' a ?3Ja/3>' 1 ' 00 3'3/3am1'1 Jaa'/1a0 ' 1*0 '3a30 1' a 0*3/3>' 1 /10 5a0*.
93Ja/30'1* /0' P*a/30'1* La* ?3Ja/30'1* /0' *a/30'1* *1 1*1'a' /a'0 1x3*1' 0* 0 mF* am>'3/a* /0' @1/1'/3a* mH *3m3a1* a* /a1* *1 *ma' H 0/1' 'a 1*a'1 /Ha ma5'3 ?aa 1'1 ' mFx3m0 H ' m'3m0 /0' 'a 1303/3a 1 11'1 1 a 3@11'/3a 1'1 a* @1/1'/3a* 1 a* am>'3/a*
Paa 3*a0 *0'5a 1 *1 31'1' 0* am>'3/a*,
La 1*a'1 1* a *ma 1 1a* a /a m13a'1 31'3a1* 350'0m3/a* *1 11 1x1*a /0m0,
55
S1 0J*1?a 1 a am3 1 a ?3Ja/3>' 1*a'1 ?aa 1'1 0* ?a01*,
M1*a a *ma ?1/03a 1 1*a* am>'3/a* 1' 1 /a*0 51'1a H 1' 0* /a*0* /a'0 0/1 1 mFx3m0 H 1 m'3m0.
A 31m0 1'1 0* 3/0* 1 am3 0*33?a m'3ma 0 0* 3/0* 1 am3 0*33?a mFx3ma *1 1 ama 100 1 *a/3>'. E 100 1 'a *a/3>' 1* 1 31m0 1130 0 '0 1 0* ?1/01* aa a 'a 1?0/3>' /0m1a /0' 1*1/0 a 00. A* a @1/1'/3a 1 *a/3>' *1 11 1/3 1 1* X2 Y X! 1 a/10 /0' a 1/a/3>' E 100 1 a *a/3>' 1*F a0 0,
Ca'0 1 00 1 *1 Jaa'/1a 1*F m0'a0 1' 'a 1*/a 1' a /a *1 1'/1'a' 0a* mF3'a* 1 aJaa' a 'a ?10/3a 35a 0 a0x3maam1'1 35a a a 1 00 a Jaa'/1a H *a* '0 *1 11' 11'1 0 a;0'1* 1 0/1*0 a *1a 0J1'3a a' /a'0 1* @3aa /0'31'1 0* 1@1/0* /0mJ3'a0* 1 0a* a* mF3'a* H *1 1*1'a /0m0 *a/30'1*.
57
P1o4e+m+e)to e C*l4-lo E 0/13m31'0 1 /F/0 m13a'1 /01@3/31'1* 1 3'@1'/3a 1*/30 1' a* *1//30'1* a'1301* *0'1 1 a* 1/a* *0' 1*aJ1* H 1 a @a*1 1'1 a @1;a 1 3'1/3a 1*Jaa'/1aa H a ?3Ja/3>' m13a *1 ma'31'1 /0'*a'1 aa 'a 1a/3>' /0'*a'1 1'1 a @1/1'/3a 1 1x/3a/3>' H a @1/1'/3a 'aa 1 *3*1ma.
La @a*1 *0' /amJ3a'1* 1J30 a 1 a 1*a'1 1 a ?3Ja/3>' 53a /0' 'a ?10/3a 351am1'1 3@11'1 a a @1;a 1*Jaa'/1aa. E 0/13m31'0 a *153 aa 1 /F/0 1 0* 1*0* 1 Jaa'/10 1311 1 a /aa 1 a0* 1' 31m0 1a m13a'1 ' a'a3;a0 1 ?3Ja/30'1* ?3a 0'1 a* *1a1* 1 ?3Ja/3>' H 1 a 1@11'/3a 1m0a *0' 1'?3aa* a 'a a1a 1 a3*3/3>' 1 a0* 1 a* /0'?311 a @0ma 353a H /a/a a am3 H a @a*1 aa ama/1'a*1 1' 'a /0ma0a. E 0/13m31'0 /0'*3*1 1' 0 *3531'1, !. T0ma a* 1/a* aa a /0'3/3>' a /a H /0' 1*0 1 1Ja 153*a'0 a am3 H a @a*1 1 a* ?3Ja/30'1* 1' ' /3/0 /0m10 1 a *a/3>'. S1 @0ma ' a/3?0 1 ! a 2 153*0*. 2. Ca/a 0* ?a01* 0m130 1 a* a1* 1a 1 3ma53'a3a 1 1*0* @a*01* 1' ' 31m0 1 m1*a 35a a 100 1 a *a/3>'. $. Ca/a 0* /01@3/31'1* 1 3'@1'/3a /0' 0* ?a01* 0m130 33;a'0 a 1/a/3>' (!). 4. Ca/a 1 1*0 1 Jaa'/10 /0' 0* ?a01* 0m130 1 a ?3Ja/3>' 0353'a 33;a'0 0* /01@3/31'1* 1 3' @1'/3a m13a'1 a 1/a/3>' (2).
56
Bl)4eo '. A'1 a /00/a/3>' 1 a 1Ja 0 1 1*0 1 /a3Ja/3>' 1* aJ3a30 1* 1@13J1 *3a0 1 a m10 ma'1a aa 1/3 a 1*1*a. La 03a *3a/3>' 1 1*0 1 /a3Ja/3>' a m1'0 11 11m3'a F3am1'1 0 *3m1 ?3*a 1 a 1*1*a 1 3a5ama 0a *3 1*F 3*0'3J1.
La ma5'3 1
1 1*0
/a3Ja/3>' 1J1F *1 13/0 0 /0ma0 1 3a5ama 0a 0 /0ma0 0 1 *0 1 aa* JF*3/a* 1 1 1*0 1 /a3Ja/3>' 1J1a /1a 'a /a5a 1 1*Jaa'/1 0a030 a0x3maam1'1 ! 0 /31'0 1 1*0 1*F3/0 1 00. La 1/a/3>' 2.! 11*1'a a 1*1*a 1 ?1/0 /0m10 1 *3*1ma /0' ' 1*Jaa'/1. La 1*1*a 1 00 ! 1J1a *1 11*1'aa 0 ' /01@3/31'1 1 3'@1'/3a /0m10 m33/a0 0 ' *3*1ma 1 1*Jaa'/1 U-.
5?
P0 0 a'0 *3 ' 00 @1x3J1 1*F 5a?1m1'1 @1a 1 Jaa'/1 *1 ?a' a 113 m/a* /03a* aa 0J1'1 ' Ja0 '3?1 1 ?3Ja/3>' 1J30 a /amJ30 1 /01@3/31'1 1 3'@1'/3a /0' /a5a 1*Jaa'/1aa.
S1 a*m1 1 1 /01@3/31'1 1 3'@1'/3a *1 11 113 a /a31 ?10/3a H 1 a @1/a 1* 1/a *3' '3'5'a /a'3a a1/3aJ1 1 /03a*. Paa 1m1a 1 m00 1 /01@3/31'1 1 3'@1'/3a 1 Jaa'/10 'a 1Ja 0 1*0 1 /a3Ja/3>' 1* *3a0 1' a @1/a a ' a30 a0 R H ' F'50 /0'0/30 m130* a a m3*ma ?10/3a.
DESBALANCE EN DOS PLANOS O BALANCEO DINÁMICO E* amJ3' 1@3'30 /0m0 1 1*Jaa'/1 3'Fm3/0. E* 'a *ma ?1/03a 1 1*Jaa'/1 1*F3/0 H 1*Jaa'/1 1 a/0am31'0. Paa /0153 1* '1/1*a30 1'1 0* a'0* 1 Jaa'/10 H *1 1311 0* 1*0* 1 /01//3>' '0 1' /aa a'0 1' 0* F'50* '0 1a/30'a0*. La 1*1/3@3/a/3>' 1 1*Jaa'/1 *0am1'1 1* /0m1a *3 *1 /0'0/1 1 5a 1 11 ax3a 1 a'0 1 /01//3>'. E 1*Jaa'/1 3'Fm3/0 0 1*Jaa'/1 1' 0* a'0* 1*1/3@3/a 00 1 1*Jaa'/1 1 1*1'a 'a 31;a 1 aJa0. E*1 30 1 1*Jaa'/1 11 *00 *1 m130 1' ' Jaa'/1a0 53a030 1 /a 11/a a @1;a /1'@5a 1J3a a /0m0'1'1 1 a/00 1 1*Jaa'/1.
E *3531'1 3J0 11*1'a ' 11m0 1 1*Jaa'/1 3'Fm3/0.
70
;.; TOLERANCIA DE DESBALANCE.
E' a* mF3'a* /0' 11m1'0* 0a3?0* '0 133Ja0* *1 0/1' @1;a* 1 1x/3a/3>' am>'3/a* *0J1 0* a0H0* 1 *0' 00/30'a1* a a* @1;a* 1 3'1/3a H /1/1' /0' 1 /aa0 1 a ?10/3a a'5a. ZaJ3am1'1 ' *3*1ma 1*133Ja0 *1 /aa/13;a 0 a 1x3*1'/3a 1 ?3Ja/30'1* 30* 1*5a*1* H 1' 51'1a 0 ' ma @'/30'am31'0.
Paa m3'3m3;a 1 1@1/0 1 a* @1;a* 1 1x/3a/3>' 1* '1/1*a30 aa3 ma*a* 'a1* 1 133Ja0 1 /0m1'*1' 1 1@1/0 1 a* @1;a* 1 3'1/3a 1 1*133J30 1 ma'1a 1 0* 11* H a0H0* '0 1/3Ja' @1;a* 1 1x/3a/3>' 0 a m1'0* *a* *1a' m'3ma*.
C0'*311m0* 1 00 11*1'a0 1' a +35a 8.2 /0' 0* *3*1ma* 1 1@11'/3a '0 3'1/3a xH; H 00 53am1'1 '30 a 00 xH; 1 53a *03a3am1'1 '30 a /0' ?10/3a a'5a /0'*a'1 X.
71
Paa 133Ja
3'Fm3/am1'1 ' 00 *1 33;a' 0* ma*a* 'a1* *3aa* 1' a 13@13a 1 00 1 a30 /H0 /0m130 1* a'a a* 1a//30'1* 3'Fm3/a* 0/3a* 0 1 1*133J30. E' 1a /0'*31am0* ' 00 1*133Ja0 /0' ' *00 a0H0 *0J1 1 1 *1 a' 3Ja0 a @1;a R H 1 m0m1'0 N 1 1a//3>' 1 /0m0 Ha *1 a 3/0 *0' 00/30'a1* a /aa0 1 a ?10/3a a'5a H 1 53a' /0' a m3*ma ?10/3a 1 1 00. S1 /00/a 'a ma*a m! 1' a 13@13a 1 ma5'3 a 1 133J1 a 1*a'1 R 1 m00 1, D1 1*a @0ma 1 00 1a 1*F3/am1'1 133Ja0 1* a 1a//3>' R *1 /0m1'*a /0' 2 m !X. A0a J31' a1mF* 1 R aH 1 a'a N 0 1 '0 1* 0*3J1 /0' a m3*ma ma*a m! 1* R H N 1*F' 1' ' a'0 11'3/a a 11 10 1' 51'1a 1' 31//30'1* aJ3a3a*. Paa a'a amJa* *3mF'1am1'1 1* '1/1*a30 33;a 'a *15'a ma*a m2. Oa @0ma 1 1m0*a 1 *0' '1/1*a3a* 0* ma*a* aa 133Ja 3'Fm3/am1'1 ' 00 1* a *3531'1, aa a'a a 1a//3>' R aH 1 a/1 1 1 /1'0 1 5a?1a 1 00 *1 *31 *0J1 1 11 H aa a'a N aH 1 a/1 1 0* 0/0* 1 3'1/3a x; I 1 H; I *1a' '0*.
72
UNIDAD V%SISTEMA DE VARIOS GRADOS DE LIBERTAD. =.( VIBRACIÓN DE MODO NORMAL PARA SISTEMAS DE DOS GRADOS DE LIBERTAD. Mt1+4es e 1++e2, +)e14+ 8 mo1t+-m+e)to S1 11 1m0*a 1 a* 1/a/30'1* 3'1a1* 1 m0?3m31'0 1 ' *3*1ma 3*/10 1 " 5a0* 1 3J1a *0m130 a 110* 1*a;am31'0* /0' /001'aa* 51'1a3;aa* 11*1'aa* 0 1 ?1/0 1 3m1'*3>' " ×! *1 11' 1*/3J3 /0m0,
7
D0'1 M C H *0' ma3/1* 1 ama0 " × " H *1 1'0m3'a' ma3/1* 1 3'1/3a am035am31'0 H 3531; 1*1/3?am1'1. La* ma3; M 1* *3m3/a H 0*33?0 1@3'3a. La ma3; amJ3' 1* *3m3/a 10 11 *1 0*33?0 1@3'3a 0 0*33?0 *1m31@3'3a. La ma3; C '0 50;a 1' 51'1a 1 '3'5'a 1 a* 031a1* a'1301*.
E/em
Paa aa a* 1/a/30'1* 1 1*1 *3*1ma Ja*a /0' a3/a a* 1/a/30'1* 1 133J30 a /aa 'a 1 a* 0* ma*a*. La +35a !.2 m1*a 0* 3a5ama* 1 *>30 3J1 /0' 0a* a* @1;a* a/a'1*. Sma'0 a* @1;a* 1 35aa'0 a /10 *1 15a a,
R101'a'0 m3'0* 1*a* 0* 1/a/30'1* *1 11' 0'1 1 @0ma ma3/3a C0m0,
I1'3@3/a'0 /0' a 1/a/3>' (7.!24) a* ma3/1* M C H 1*a' *1,
7-
V+714+o)es l+71es e s+stems )o mo1t+-os Pa3/a3;a'0 a 1/a/3>' (7.!24) aa 1 /a*0 1 a* ?3Ja/30'1* 3J1* (0 = F) 1' *3*1ma* '0 am035a0* (CF) *1 31'1,
S10 a a* /0'3/30'1* 3'3/3a1* () = H [ () = [ .D1 @0ma a'F05a a 0 1 *1 3;0 1' 1 /a*0 1 a* ?3Ja/30'1* /0' ' 5a0 1 3J1a a*m3m0* 'a *0/3>' am>'3/a 1 a @0ma,
D0'1 A 1* ' ?1/0 1 am31*. S*3H1'0 a 1/a/3>' (7.!26) 1' a (7.!2") 1*a,
P1*0 1 '3 A '3 1*1 11' *1 '0* Ha 1 *3 '0 0J1'am0* a *0/3>' 3?3a 'a *1 1/1 1
?1e4-e)4+s )t-1les Paa /a/a 0* ?a01* 1 * H A 1J1m0* 1*0?1 a 1/a/3>' (7.!28) 1 11*1'a ' 0J1ma 1 ?a01* H ?1/01* 030* 51'1a3;a0. C0m0 1* *aJ30 1*a 1/a/3>' 31'1 *0/3>' 3*3'a 1 a 3?3a 'a *3 H *>0 *3 a ma3; 1 /01@3/31'1* 1* *3'5a 0 0 1 1* 0 m3*m0 *3 * 11m3'a'1 1* '0.
S1 11 1m0*a 1 *3 a ma3; M 1* 0*33?0 1@3'3a H 1* 0*33?0 1@3'3a 0 0*33?0 *1m31@3'3a 00* 0* ?a01* 030* *2 *0' 1a1* H '15a3?0* 0 '0*. P0 10 aa ma'1a /a'3a1* 0*33?a* 1* /0*mJ1 1a3;a 1 /amJ30 1 ?a3aJ1*
1 13?a1 a
7/
=.6 A4o
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75
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77
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76
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A7so17eo1 +)*m+4o e +714+o)es s+) mo1t+-m+e)to S1a ' *3*1ma (+35. $#) 1 ma*a m! *10 a a a//3>' 1 'a @1;a 1x/3a0a 1 /aF/1 F = F 0 e
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A* a am3 1 ?3Ja/3>' 1 a mF3'a 0 *3*1ma 0353'a 01a'0 1' * @1/1'/3a 1 1*0'a'/3a 0353'a *1F /10 (a'3 1*0'a'/3a). E* 1/3 '0 1* 1 *1 aHa 1/30 a am3 1 a ?3Ja/3>' 1*1 ' ?a0 3'@3'30 a ' ?a0 @3'30 /0m0 0/3a *3 0 1 3/3*1m0* @1a 3'0/3 am035am31'0 *3'0 1 a 1m0* 1/30 a /10 (+35. $8).
A7so17eo1 +)*m+4o e +714+o)es 4o) mo1t+-m+e)to E aJ*0J10 3'Fm3/0 1 ?3Ja/30'1* 1*/30 1' 1 aaa0 a'130 13m3'a 1 3/0 1 1*0'a'/3a 0353'a 1' a /?a 1 1*1*a 1 *3*1ma 10 3'0/1 0* '1?0* 3/0* 1 1*0'a'/3a (+35. $8) 0?0/a'0 am31* 1 ?3Ja/3>' 3m0a'1* a'1 0* 0/1*0* 1 aa'1 H aaa 1 *3*1ma.
60
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S3 1 am035am31'0 3'0/30 1* '0 (/2=_2=) 1*aam0* 1' a *3a/3>' a'130 /0' 0* @1/1'/3a* 1 1*0'a'/3a '0 am035aa* `! H `2. S3 1 am035am31'0 31'1 a 3'@3'30 (_2b) a* 0* ma*a* m! H m2 1*a' 53am1'1 '3a* H 1 *3*1ma *1 /0m0a /0m0 *3 *1 aaa 1 ' *3*1ma 1 ! 5a0 1 3J1a 1 ma*a (m!^m2) H 3531; ! 1 1*1'a 'a 1*0'a'/3a 1' a 1 -! b aa ' ?a0 1
P0 0 a'0 a am3 1 ?3Ja/3>' 1 *3*1ma -! *1 11 a/1 3'@3'3a (1*0'a'/3a) a'0 aa _2= /0m0 aa _2=b *3' 1mJa50 1'1 amJ0* m31* 1x3*1 ' '0 1' 1 1 -! *1 a/1 m'3m0 (+35. 4!). E' a /a*0 *1 3/1 1 1 aJ*0J10 1 ?3Ja/30'1* 1*F *3'0'3;a0 1 @0ma >3ma.
61
P11 /0m0Ja*1 1 ' aJ*0J10 1 ?3Ja/30'1* 1*F >3mam1'1 *3'0'3;a0 /a'0 1 3*10 1 * ma*a (m2) H 3531; (2) 1* a 1 /m1 a /0'3/3>',
A a ?1; 1 ' ?a0 >3m0 aa a 1a/3>' 1 am035am31'0 33;aa 1' 1 3*10 1 1*1 30 1 aJ*0J101* 1*,
E' 1*1 30 1 aJ*0J101* /aJ1 /0'*aa 0* a*1/0* a /0'*31a 1' * 3*10, La am3 1 m0?3m31'0 ?3Ja030 1 a ma*a 1 aJ*0J10 (-2) *31m1 *1F m/0 maH0 1 a 1 a ma*a 3'/3a 1 *3*1ma (-!). P0 0 a'0 1 3*10 1J1F 1 1'1 1*a /1*3>' 1' /1'a 1 /aa a 0*3J33a a am3 1 ?3Ja/3>' 1 aJ*0J10.
62
