1.-Determine el periodo y la frecuencia del movimiento armónico simple de una masa de 4 kg en el extremo de un resorte con constante k = 16N/m. Determine también la función que describe la posición de la masa si el resorte se aplasta 20 cm por encima de la posición de equilibrio y parte del reposo.
2.-Un cuerpo con masa m = 1/2 kg se sujeta al extremo de un resorte que está estirado 2 m por debajo de su línea de estabilidad mediante una fuerza de 100 Newtons. Se pone en movimiento con una posición inicial y (0) = 0.5m y y´(0) =
10m/s. Encuentre la función de posición (y (t)), su amplitud (C), frecuencia (f ), periodo de oscilación (T) y ángulo de fase (α).
3.-En los siguientes ejemplos de sistemas libres amortiguados
Encuentre: Función de posición. Frecuencia circular ω 1.
Pseudoperiodo El tiempo que tarda en alcanzar su primer máximo. con los valores para m, c, k, y(0) ,y´(0) dados a continuación m = 3, c = 30, k = 63, y (0) = 2, y´(0) = 2
m = 1, c = 10, k = 125, y (0) = 6, y´(0) = 50
4.-Un objeto de 10 kg está suspendido por dos muelles idénticos de constante elástica K=500 N/m asociados en serie, y un amortiguador de tipo viscoso de constante c=90 N·s/m.
Calcular: Coeficiente de amortiguamiento crítico. Factor de frecuencias (ω/ω n). Valor del pseudoperiodo justificando su existencia. Si, inicialmente, se separa de su posición de equilibrio estable 5cm, calcular la energía total en ese instante. e) Indicar el principio de conservación de la energía que cumple.
5.-a) Escribir la ecuación diferencial general de las vibraciones indicando qué tipo de fuerza representa cada término. b) Clasificación de la vibraciones estableciendo, para cada caso, su ecuación diferencial
c) Indicar cuándo se producen los denominados efectos resonantes y citar un ejemplo d) Un sistema está formado por una masa m suspendida de dos muelles cuyas constantes elásticas son K1=1 kN/m y K2=0,5 kN/m y vibra libremente con amplitud A. Indicar en cuál de los casos (asociación en serie o en paralelo) el sistema vibra con mayor frecuencia y posee mayor energía total, justificando su respuesta.
6.-Un bloque de 4 kg. de masa se mueve entre guías verticales suspendido por dos muelles iguales de constante recuperadora elástica K1 = K2 = 50 N/m, como se indica en la figura. Calcular:
a) Ecuación de las pequeñas oscilaciones del sistema. b) Periodo y frecuencia del movimiento resultante. c) Velocidad y aceleración máxima del bloque si la amplitud del movimiento es a=60 mm. d) Determinar la masa que debería tener el bloque para que su periodo de oscilación sea 1 s.
7.-Una unidad de refrigerador que pesa 65 lb , será soportada por tres resortes de rigidez k lb/pulg cada una. Si la unidad opera a 580 rpm, cual debe de ser el valor de la constante k si sólo el 10% de la fuerza excitatriz de la unidad debe de ser transmitida a la estructura soportada.
TR=1/[(w/wn)^2-1] = 0.10
Wn^2 = K/m = w^2/11.0 56.5 lb/in.
;
(w/wn)^2= 11.0
; K=(m*w^2)/11 = (65/386)(580*2 π/60)*1/11 =
K 10% =1/3 * 56.5 = 18.8 lb/in.
8.-Un peso unido a un resorte de 525 N/m tiene un amortiguador viscoso. Cuando el peso es desplazado y dejado libre, el periodo de vibración resultante es 1.80 seg y la razón de dos amplitudes consecutivas es 4.2 a 1.0. Halle la amplitud y fase cuando una fuerza F = 2 Cos 3t actúa en el sistema. δ=ln(4.2)=1.435= 2 πϑ/sqrt(1-ϑ^2)
2.0595(1-ϑ 2)=39.478ϑ 2 ^
^
δ= 2.0595/41.538=0.0496 δ=0.223
ωα =2π/Τα =2π/1.8=ωasqrt(1-ϑ^2) ωα=3.5806 ω=3
ω/ωα =0.8378
X=(Fo/K)/sqrt([1-(ω/ωα)]^2+[2ϑ*(ω/ωα)]^2) X=(2/525)/[1-0.702]^2 + 0.1396
X=0.797
θ=Tg-1 [2ϑ*(ω/ωα )]/1-(ω/ωα)=Tg-1([0.996*0.8378]/0.29801) =51.43°
9.-Un sistema resorte-masa es excitado por una fuerza F o Sen ωt. A resonancia, la amplitud medida es 0.58 cm. A 0.8 de la frecuencia de resonancia, la amplitud es 0.46 cm. Halle el factor de amortiguamiento del sistema. w/wa=1.0 ; X/Xo=1/2 =0.58/Xo
w/wa≠1.0 ; Xo=1.16
X/Xo=1/[(1-ϑπ^2)+(2ϑp)^2]=0.46/Xo
ϑ^2=1/[1-0.64]^2 + [2 ϑ]^2*0.64 = 0.2116/(1.16 ϑ)^2
6.359ϑ^2 = 0.1296 + 2.560 ϑ^2 ^2=0.341 =0.1847
10.-Un motor eléctrico de 68 kg de masa está montado en un bloque aislante de 1,200 kg y, la frecuencia natural de todo el sist ma es de 160 cpm con un factor de amortiguamiento de 0.10. Si hay un desbalance en el motor que origina una fuerza F = 100 Sen 31.4t, determine la amplitud de vibración del bloque y la fuerza transmitida al piso. M=68 + 1200 = 1268 Kg. f n=160 rpm
ωn=(160/60)*2π = 16.75 m/s.
w/wn = 3.14/16.75=1.8746
K = (wn^2)*M = 35595 N/m.
X=(100/0.3559x10-6)/sqrt[(1-1.875^2)) + (0.2*1.875)^2]=110.5x10 -6 = 0.01105 cm.
F TR=K*sqrt(1 + 2ϑ(w/wn)) = 0.3559x10 -6 x 110.5x10-6* sqrt(1+0.406) FTR =42.0 N
