ESCUELA ACADÉMICO PROFESIONAL DE “ADMINISTRACIÓN”
TEMA
:
Modelos de probabilidades
CURSO
:
Estadística Aplicada
DOCENTE
:
Luis
ALUMNA
:
Benavides Cieza, Vilma Nelly
CICLO
: VI
Cajamarca, Setiembre del 2017
EJERCICIOS DISTRIBUCIONES DISCRETAS
I.Distribución Binomial Ejemplo N°1: Como se sabe, la respuesta a una pregunta de verdadero/ falso es correcta e incorrecta. Considere que: (1) un examen consiste en cuatro preguntas de verdadero/falso, y (2) un estudiante no sabe nada acerca de una materia. La posibilidad (probabilidad) de que el alumno adivine la respuesta correcta a la primera pregunta, es 0.50. Asimismo, la probabilidad de acertar en cada una de las preguntas restantes vale 0.50. ¿Cuál es la probabilidad? 1. No obtener exactamente ninguna de las cuatro en forma correcta? 2. Obtener exactamente una de las cuatro? S olución:
1. P (0) =
4! 0!(4 0)!
(0.50) 0 (1 0.50) 4
0
0.0625
2. P (1) =
4! 1!(4 1)!
(0.50)1 (1 0.50) 4
1
0.2500
Ejemplo N°2.-¿cuál es la probabilidad de obtener exactamente 2 caras al lanzar una misma moneda 6 veces? n!
X
P(X=x) =
n - X
p q
x!(n – x)!
Dónde: P(X) es la probabilidad de ocurrencia del evento p es la probabilidad de éxito del evento (en un intento) (0.5) q es la probabilidad de fracaso del evento (en un intento) (se define como q = 1 – p) (0.5) X = ocurrencia del evento o éxitos deseados = 2 n = número de intentos = 6 Al sustituir los valores en la fórmula obtenemos: 6! P (2 Caras) =
2! (6 – 2)!
2
6–2
(0.5 ) (0.5
)
720 P (2 caras) =
(.25) (0.0625)
2(24)
Resolviendo: P (2 caras) = 0.234375
II. Distribución Hipergeometrica
Ejemplo N°1.- Un grupo de amigos del secundario se reúnen en la casa de Laura para comer un asado. En este grupo hay 8 mujeres y 6 varones. De las mujeres 5 estudian letras y el resto exactas, mientras que de los varones sólo uno estudia letras y el resto exactas. a) Si las primeras en llegar a la casa son tres chicas, ¿cuál es la probabilidad de que estudien lo mismo? b) Si tres cualesquiera de ellos hacen el asado, ¿cuál es la probabilidad de que estudien lo mismo? c) Si se seleccionan dos al azar de este conjunto de amigos y se define la variable aleatoria X: cantidad de amigos que estudian letras entre los dos elegidos, hallar el valor esperado y la varianza de X. S olución:
A) Hagamos un esquema de la composición del grupo respecto a sexo y a estudios:
Si las primeras que llegan son tres chicas (Laura ya está en su casa…) entonces hay cuatro chicas (tres + Laura). La única forma de que estudien lo mismo es que estudien letras (no existen 4 chicas que estudien exactas en el grupo). Entonces Laura estudia Letras. Son siete chicas las que pueden llegar a la casa de Laura (4 estudian letras y 3 exactas). Podemos considerar a esas siete chicas cómo la población, de la que se extraen aleatoriamente tres individuos:
Definamos entonces la variable con distribución hipergeométrica: X: X: cantidad de chicas que estudian letras entre las tres primeras en llegar a la casa de Laura (elegidas entre siete chicas en total) X∼Hipergeométrica(N=7,M=4,n=3)X∼Hipergeométrica(N=7,M=4,n=3) Para responder a la pregunta calculamos la probabilidad de que x=3x=3: P(x=3)= (43)(30)(73)≅0,11429P(x=3)=(43)(30)(73)≅0,11429
B) En esta pregunta ya no interesa el sexo de cada uno sino lo que estudian. Tenemos la siguiente composición:
Podemos definir la variable YY: cantidad de chicos que estudian letras de un total de 3 amigos elegidos aleatoriamente entre 14 amigos. Esa variable tiene distribución hipergeométrica con N=14N=14, M=6M=6, n=3n=3. Notemos que si Y=3Y=3 entonces los tres amigos estudian letras, pero si Y=0Y=0 entonces los tres amigos estudian exactas. Luego la probabilidad que nos piden es: P(estudienlomismo)P(estudienlomismo) =P(Y=0)+P(Y=3)=P (Y=0)+P(Y=3) ≅0,05495+0,15385≅0,05495+0,15385 ≅0,2088≅0,2088
C) Cómo conocemos la variable y sus parámetros, simplemente reemplazamos en las fórmulas de esperanza y varianza de una variable hipergeométrica. XX: cantidad de amigos que estudian letras entre los dos elegidos X∼Hipergeométrica(N=14,M=6,n=2)X∼Hipergeométrica(N=14,M=6,n=2) E(X)=nMNE(X)=nMN E(X)=2.614=67≅0,8571E(X)=2.614=67≅0,8571 V(X)=(N–nN–1)n.MN.(1–MN)V(X)=(N–nN–1)n.MN.(1–MN) V(X)=(14–214–1)2.614.(1–614)V(X)=(14–214–1)2.614.(1–614) V(X)=288637=0,452V(X)=288637=0,452
Ejemplo N°2.-En una partida de truco, asumiendo que el mazo se encuentra bien mezclado, se reparte una mano de cartas. a) Hallar la probabilidad de que el jugador que recibe las primeras tres cartas tenga envido (dos cartas del mismo palo y una diferente) b) Hallar la probabilidad de que el primer jugador tenga flor (tres cartas del mismo palo)
A) Queremos calcular la probabilidad de tener dos cartas del mismo palo. Por ejemplo podríamos recibir: {espada, espada, basto}, pero también {oro, espada, oro}. ¿Cómo calcular esa probabilidad? La variable hipergeometrétrica puede ser útil para resolverlo. Podríamos definir una variable que cuente la cantidad de cartas de cierto palo (tomemos espada, por ejemplo) que recibimos entre las primeras tres.
El siguiente diagrama puede ayudar a interpretar la situación: XX: cantidad de cartas que son de espadas de las tres recibidas (tomadas de un total de 40) X∼Hipergeométrica(N=40, M=10,n=3)X∼Hipergeométrica(N=40,M=10,n=3) Cómo queremos la probabilidad de obtener exactamente dos cartas de espadas, entonces calculamos P(X=2)P(X=2): P(X=2)= (102) (301)(403)≅0,13664P(X=2)=(102)(301)(403)≅0,13664 ¿Y cómo será la probabilidad de obtener exactamente dos cartas de oro, o de copa o de basto? Debe ser la misma probabilidad, porque hay igual cantidad de cartas de cada palo. Luego: P (envido)≅0,54656P(envido)≅0,54656
B)
Este ítem es muy similar al anterior. Sólo que no queremos que tenga dos cartas del mismo palo, sino tres cartas del mismo palo. Podemos usar la variable: XX: cantidad de cartas que son de espadas de las tres recibidas (tomadas de un total de 40) X∼Hipergeométrica(N=40,M=10,n=3)X∼Hipergeométrica(N=40,M=10,n=3) Cómo queremos la probabilidad de obtener exactamente tres cartas de espadas, entonces calculamos P(X=3)P(X=3): P(X=3)≅0,01215P(X=3)≅0,01215 Cómo la probabilidad es la misma para todos los palos, entonces: P(flor)=4P(X=3)≅0,0486P(flor)=4P(X=3)≅0,0486
III.
Distribución de poisson Ejemplo N°1.-.Si un banco recibe en promedio 6 cheques sin fondo por día,
¿cuáles son las probabilidades de que reciba, a) cuatro cheques sin fondo en un día dado, b) 10 cheques sin fondos en cualquiera de dos días consecutivos?
Solución: a) x = variable que nos define el número de cheques sin fondo que llegan al banco en un día cualquiera = 0, 1, 2, 3, ....., etc, etc. = 6 cheques sin fondo por día = 2.718
b) x= variable que nos define el número de cheques sin fondo que llegan al banco en dos días consecutivos = 0, 1, 2, 3, ......, etc., etc. = 6 x 2 = 12 cheques sin fondo en promedio que llegan al banco en dos días consecutivos Nota: siempre debe de estar en función de x siempre o dicho de otra forma, debe “hablar” de lo mismo que x.
Ejemplo N°1.-.En la inspección de hojalata producida por un proceso
electrolítico continuo, se identifican 0.2 imperfecciones en promedio por minuto. Determine las probabilidades de identificar a) una imperfección en
3 minutos, b) al menos dos imperfecciones en 5 minutos, c) cuando más una imperfección en 15 minutos.
Solución: a) x = variable que nos define el número de imperfecciones en la hojalata por cada 3 minutos = 0, 1, 2, 3, ...., etc., etc. = 0.2 x 3 =0.6 imperfecciones en promedio por cada 3 minutos en la hojalata
b) X = variable que nos define el número de imperfecciones en la hojalata por cada 5 minutos = 0, 1, 2, 3, ...., etc., etc. = 0.2 x 5 =1 imperfección en promedio por cada 5 minutos en la hojalata
=1-(0.367918+0.367918) = 0.26416 c) x = variable que nos define el número de imperfecciones en la hojalata por cada 15 minutos = 0, 1, 2, 3, ....., etc., etc. = 0.2 x 15 = 3 imperfecciones en promedio por cada 15 minutos en la hojalata
0.0498026 + 0.149408 = 0.1992106
IV.
DISTRIBUCIONES CONTINUAS Distribución Normal EJEMPLO 1: La media de un grupo de ingresos semanales con distribución normal para un gran conjunto de gerentes de nivel medio, es $10 000, y la desviación estándar es de $1 000. ¿Cuál es el valor Z para un ingreso X de $11 000? ¿Y para uno de $9 000?
Solución:
Para x = $11 000 Z=
x
Para x = $9 000
Z=
=
x
11000 10000
=
1000
Z = 1.00
9000 10000 1000
Z = -1.00
Ejemplo 2: Partiendo de la misma premisa, µ = 500 y σ = 100. ¿Cuál es la probabilidad de que un candidato elegido al azar se tome entre 500 y 650 horas en completar el programa de entrenamiento? x - µ Z=
650 - 500
Z=1.5 desviaciones estándar
Z= σ
100
Si buscamos Z=1.5, encontramos una probabilidad de 0.4332. Por lo tanto, la probabilidad de que un candidato escogido al azar requiera e ntre 500 y 650 horas para terminar el programa de entrenamiento es de 0.4332
V. Distribución Ji Cuadrada TABLAS DE DISTRIBUCIÓN JI CUADRADA
Tablas de distribución "Ji Cuadrada" o X2, los grados de libertad se encuentran en la primera fila.
NIVEL DE SIGNIFICANCIA
g.l.
VI.
1
0.1/0.90 2.7055
0.05/0.95 3.8415
0.025/0.975 0.01/0.99 5.0239 6.6349
0.005/0.99 5 7.8794
2
4.6052
5.9915
7.3778
9.2104
10.5965
3
6.2514
7.8147
9.3484
11.3449
12.8381
4
7.7794
9.4877
11.1433
13.2767
14.8602
5
9.2363
11.0705
12.8325
15.0863
16.7496
6
10.6446
12.5916
14.4494
16.8119
18.5475
7
12.017
14.0671
16.0128
18.4753
20.2777
8
13.3616
15.5073
17.5345
20.0902
21.9549
9
14.6837
16.919
19.0228
21.666
23.5893
10
15.9872
18.307
20.4832
23.2093
25.1881
11
17.275
19.6752
21.92
24.725
26.7569
12
18.5493
21.0261
23.3367
26.217
28.2997
13
19.8119
22.362
24.7356
27.6882
29.8193
14
21.0641
23.6848
26.1189
29.1412
31.3194
15
22.3071
24.9958
27.4884
30.578
32.8015
16
23.5418
26.2962
28.8453
31.9999
34.2671
17
24.769
27.5871
30.191
33.4087
35.7184
18
25.9894
28.8693
31.5264
34.8052
37.1564
19
27.2036
30.1435
32.8523
36.1908
38.5821
20
28.412
31.4104
34.1696
37.5663
39.9969
Distribución “T” De Student TABLAS DE DISTRIBUCIÓN “t” Tablas de distribución t de student, los grados de libertad se encuentran en la primera fila, los valores de alfa es para un tratamiento de dos colas.
gl --> 1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
10
0.1
6.3137
2.9200
2.3534
2.1318
2.0150
1.9432
1.8946
1.8595
1.8331
1.8125
20
0.05
12.7062
4.3027
3.1824
2.7765
2.5706
2.4469
2.3646
2.3060
2.2622
2.2281
40
0.025
25.4519
6.2054
4.1765
3.4954
3.1634
2.9687
2.8412
2.7515
2.6850
2.6338
50
0.02
31.8210
6.9645
4.5407
3.7469
3.3649
3.1427
2.9979
2.8965
2.8214
2.7638
100
0.01
63.6559
9.9250
5.8408
4.6041
4.0321
3.7074
3.4995
3.3554
3.2498
3.1693
VII.
Distribución F DE FISHER
