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Descripción: EXPLICACION DE LA TEORIA DE COLAS
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Antonio Hoyos Chaverra. Chaverra. Teoría Teoría de Colas
MODELOS BASADOS EN EL PROCESO DE NACIMIENTO Y MUERTE Antonio Hoyos Chaverra Chaverra Departamento de Ingeniería Industrial Facultad de Ingeniería – Universidad de Antioquia
Antonio Hoyos Chaverra. Chaverra. Teoría Teoría de Colas
Agenda 1. Objetivo
2. Modelo de M/M/1 3. Modelo de M/M/S 4. Bibliografía
Antonio Hoyos Chaverra. Teoría de Colas
Objetivo •
Conocer y entender los modelos de colas basados en el proceso de nacimiento y muerte.
Antonio Hoyos Chaverra. Teoría de Colas
Modelo de colas •
•
•
La mayoría de modelos de colas se basan en los resultados del proceso de nacimiento y muerte. En estos modelos las llegadas se dan como un proceso Poisson y el tiempo de servicio se distribuye de manera exponencial. Los modelos que se analizan difieren en la suposiciones acerca de las tasas de llegada y de salida en cada estado.
Antonio Hoyos Chaverra. Teoría de Colas
Modelos M/M/s •
•
•
•
Todos los tiempos de llegada son independientes e idénticamente distribuidos según una distribución exponencial Todos los tiempos de servicio son independientes e idénticamente distribuidos según una distribución exponencial El número de servidores es un entero positivo s. Este es un caso especial del proceso de nacimiento y muerte, en el cual la tasa de llegada y de servicio de un servidor es una constante independiente del estado del sistema.
Antonio Hoyos Chaverra. Teoría de Colas
Caso con un servidor (s=1) Cuando se tiene un único servidor (M/M/1) las tasas del sistema pueden caracterizarse de la siguiente manera:
n Los parámetros del modelo son:
0
n
2
para n 1
1
para n 0
….
n-2
n-1
n
n+1
Antonio Hoyos Chaverra. Teoría de Colas
Caso con un servidor (s=1) Cuando la tasa media de servicio menor que la tasa media de llegadas. Se forma una cola infinita.
1 Cuando la tasa media de servicio mayor que la tasa media de llegadas el sistema de colas alcanzará la condición de estado estable y se pueden aplicar los resultados de estado estable hallados anteriormente.
1
Antonio Hoyos Chaverra. Teoría de Colas
Caso con un servidor (s=1) Los resultados de estado estable indicaban que:
C n
n 1 n 2 ... 0 n n 1... 1
C n 1
Para
Para
n0
n 1
P 0 C n n 0
1
Para el caso de un único servidor estos resultados se convierten en: n
n C n Para
n 1
P n P 0 n
Para
n0
Antonio Hoyos Chaverra. Teoría de Colas
Caso con un servidor (s=1) 1
1 n P 0 n 0 1
1
x n0
n
1 1 x
si x 1
Serie geométrica
P 0 1
P n (1 ) n
para n 0
Antonio Hoyos Chaverra. Teoría de Colas
Caso con un servidor (s=1) L
n P
Lq
n
(n s) P n
n s
n 0
1 L n (1 ) (1 ) 1 n 0
n
1
L
Antonio Hoyos Chaverra. Teoría de Colas
Caso con un servidor (s=1)
Lq
(n 1) P L 1(1 P ) L 0
n
n 1
Lq
Lq
2
( )
Antonio Hoyos Chaverra. Teoría de Colas
Caso con un servidor (s=1) L W W
L
W
( ) 1
( )
Lq W q W q
Lq
W q
2
( ) ( )
(Hillier & Lieberman, 2010)
Antonio Hoyos Chaverra. Teoría de Colas
Caso con múltiples servidores (s>1) Cuando el sistema tiene múltiples servidores se debe tener cuidado al expresar la tasa global de servicio del sistema. Según el número de personas en el sistema esta tasa sería:
n
n
para n 1,2,..., S
s
para n s, s 1, ...
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Caso con múltiples servidores (s>1) Cuando se tiene más de un servidor el modelo incluye la siguiente información:
n Los parámetros del modelo son:
0
n
2
s
para n s, s 1, ...
( s 1)
2 1
n
para n 0 para n 1,2,..., S
….
s-2
s-1
s
s s
S+1
Antonio Hoyos Chaverra. Teoría de Colas
Caso con un servidor (s=1) Cuando la tasa media de servicio menor que la tasa media de llegadas. Se forma una cola infinita.
1 s Cuando la tasa media de servicio mayor que la tasa media de llegadas el sistema de colas alcanzará la condición de estado estable y se pueden aplicar los resultados de estado estable hallados anteriormente.
1 s
Antonio Hoyos Chaverra. Teoría de Colas
Caso con múltiples servidores (s>1) Los resultados de estado estable indicaban que:
C n
n1 n2 ... 0 n n1... 1
C n 1
Para
P 0 C n n 0
n 1
Para
n0
1
(Hillier & Lieberman, 2010)
Antonio Hoyos Chaverra. Teoría de Colas
Caso con múltiples servidores (s>1) En el caso de varios servidores los Cn del proceso de nacimiento y muerte se definen de la siguiente manera.
n
n!
C n
para
s
0 n s
n s para n s s! s
1 para n 0
Se requiere que:
1 s
Antonio Hoyos Chaverra. Teoría de Colas
Caso con múltiples servidores (s>1) En el caso de varios servidores Po puede estimarse de la siguiente manera:
P 0 C n n 0
P 0
1
1
s 1
n 1
P 0
1
n
n!
s
s!
* s
n
s
n s
1
1
s 1 n 1
n!
n
s
s!
1 * 1 s
Antonio Hoyos Chaverra. Teoría de Colas
Caso con múltiples servidores (s>1) En el caso de varios servidores las Pn del proceso de nacimiento y muerte se definen de la siguiente manera:
n
P para 0
P n
n!
n
0 n s
P para n s 0 ns
s! s
Antonio Hoyos Chaverra. Teoría de Colas
Caso con múltiples servidores (s>1) El resto de indicadores del sistema se reducen a:
W q
Lq
W W q
1 L W W q
L Lq s
1
P 0 Lq (n s) P n Lq 2 ! ( 1 ) s n s
Antonio Hoyos Chaverra. Teoría de Colas
Bibliografía •
•
Hillier , Frederick S., and Gerald J. Lieberman. Introducción a la investigación de operaciones. Novena edición. McGraw-Hill, 2010. Modelos basados en el proceso de nacimiento y muerte. Universidad Nacional de Colombia Sede Medellín. (s. f)
