MTE3103 Geometri
Topik 2
Satah Simetri dan Tranformasi
2.1 Sinopsis
Topik ini merupakan lanjutan daripada topik teselasi pada satah. Dalam penghasilan teselasi, kita juga harus mengetahui cara pembentukan teselasi tersebut.
Dengan
menggunakan motif yang tertentu, kita boleh memenuhi seluruh satah dengan menggunakan transformasi yang mengekalkan bentuk dan saiz asal motif tersebut. Dalam topik 2 ini, hanya dua sub-topik yang akan dibincangkan iaitu isometri pada satah (putaran, pantulan, translasi dan pantulan gelangsar) dan kumpulan simetri terhingga serta Tujuh-Pola ‘Frieze’ (Seven Frieze Patterns). Simetri pada satah akan dibincangkan dalam sesi kuliah.
2.2 Hasil Pembelajaran
1.
Menambahkan pengetahuan dalam simetri dan tranformasi pada satah.
2.
Memahami pola dan rekaan Tujuh-Pola Jalur.
2.3
Kerangka Konseptual
Satah Simetri dan Tranformasi
Satah Isometri
Satah Simetri
23
Tujuh-Pola ‘Frieze’
MTE3103 Geometri
2.4
Satah Isometri
Isometri ialah satu tranformasi yang mengekalkan bentuk dan saiz motif asal. Hanya terdapat empat isometri yang telah dikenal pasti iaitu translasi, pantulan, putaran dan putaran gelangsar.
2.4.1
Translasi
Translasi adalah satu transformasi yang mengelonsorkan keseluruhan objek dalam satu jarak yang tetap dengan arah yang tetap. Oleh kerana itu, kita perlu untuk menyatakan arah dan jarak objek tersebut bergerak. Contoh translasi adalah seperti berikut:
(i)
imej Objek
(ii)
Satu translasi yang boleh ditemui pada alam semula jadi: gambar sayap kupu-kupu yang dibesarkan skala.
24
MTE3103 Geometri
(iii)
Apabila anda mengelonsor dari papan gelonsor seperti gambar di sebelah, anda sebenarnya mengalami translasi. Badan anda bergerak pada satu jarak (panjang papan gelonsor) dan arah yang tertentu. Saiz dan bentuk badan anda tidak berubah.
2.4.2
Pantulan
Pantulan adalah sejenis tranformasi yang secara asasnya membalikkan semua titik dalam suatu satah pada satu garis yang dinamakan sebagai paksi pantulan. Objek dari imej mempunyai bentuk dan saiz yang sama, yang berbeza tetapi dengan orientasi imej yang terbalik. Titik-titik pada paksi pantulan adalah tidak berubah. Oleh itu, invariant point (Titik tidak berubah) bagi transformasi jenis ini adalah tidak terhingga. Setiap titik pada objek dan jarak imej yang telah dipantulkan mempunyai jarak yang sama dari paksi pantulan. Dalam perkataan lain, paksi pantulan terletak di tengah-tengah antara objek dan imej.
(i)
25
MTE3103 Geometri
(ii)
Cuba anda fikirkan, mengapa perkataan AMBULANCE dalam kedudukan terbalik seperti yang ditunjukkan pada (ii).
2.4.3
Putaran
Putaran memutarkan semua titik bagi suatu objek pada satu titik tetap yang dikenali sebagai sebagai pusat , melalui sudut putaran dan arah tertentu. Objek asal dengan imej mempunyai bentuk dan saiz yang sama, tetapi imej yang terbentuk mungkin menunjukkan arah yang berlainan.
Apabila anda menaiki roda Ferris, anda sebenarnya mengalami satu putaran.
26
MTE3103 Geometri
2.4.4
Pantulan Geluncuran
Pantulan geluncuran sebenarnya adalah kombinasi bagi translasi dan pantulan pada garis selari mengikut arah tersebut. Transformasi ini memberikan imej yang sama, tidak kira pantulan atau translasi berlaku terlebih dahulu.
Oleh yang demikian, untuk
menyatakan pantulan geluncuran secara spesifik, haruslah dinyatakan translasi yang berlaku dan paksi pantulan yang tertentu (selari dengan arah translasi tersebut). Satu contoh yang ketara tentang pantulan geluncuran ialah tapak kaki yang tertera semasa kita berjalan di tepi pantai.
(i)
(ii)
27
MTE3103 Geometri
Nyatakan apakah transformasi yang dilakukan untuk membentuk teselasi di bawah:
a.
2.5
b.
Satah Simetri
Sesuatu bentuk itu adalah simetri jika bentuknya kekal tidak berubah setelah menjalani transformasi seperti translasi, putaran, pantulan atau pantulan geluncuran. Sebagai contoh :i) huruf-huruf E dan A mempunyai bilateral line symmetry kerana kedua-duanya terbentuk apabila diletakkan cermin pada kedudukan seperti rajah di bawah . (pantulan antara satu sama lain pada paksi pantulan)
E
A
ii) huruf N tidak berubah bila diputarkan pada sudut 180 o samada mengikut arah jam atau lawan jam pada pusat putaran.
N 28
MTE3103 Geometri
2.6
Kumpulan Simetri Finit dan Tujuh P ola ‘F r i e z e ’
Apakah yang dimaksudkan dengan pola- pola ‘Frieze’? Pola-pola ‘frieze’ dikelaskan sebagai kumpulan Simetri Diskrit Tidak Terhingga (infinite discrete symmetry groups ). Kumpulan simetri ini dikelaskan dalam kumpulan isometri satah jalur.
‘Frieze’ merupakan ukiran atau corak
hiasan dalam satu jalur mendatar ( horizontal band ). Ukiran atau corak yang berulang ini boleh didapati pada renda, hiasan dinding, hiasan siling, hiasan bangunan dan lain-lain.
2.6.1
Jenis-jenis transformasi yang terlibat
Corak ini hanya dalam satu jalur. Oleh itu transformasi yang terlibat adalah translasi sepanjang jalur sahaja. Putaran yang dibenarkan hanya 180 0 sahaja (‘half-turn’ ).
Corak dalam jalur ini hanya membenarkan 2 jenis pantulan iaitu: (i)
garis pantulan serenjang dengan jalur (iaitu garis pantulan mencancang jika jalur itu dianggap mendatar) Garis pantulan
(ii)
Garis pantulan mendatar sepanjang ‘garis tengah’ jalur. Garis pantulan
Translasi dan pantulan gelangsar boleh digunakan untuk membentuk corak tidak terhingga tanpa gabungan mana-mana transformasi. Menganda-dua putaran melalui 1800 dan pantulan akan menghasilkan identiti semula.
29
MTE3103 Geometri
Secara ringkasnya transformasi yang terlibat dalam satah jalur untuk membentuk corak tidak terhingga ialah: (i)
Translasi
(ii)
Pantulan gelangsar (Pantulan gelangsar adalah gabungan 2 jenis transformasi iaitu pantulan dan diikuti dengan translasi dalam arah yang sama)
(iii)
Putaran melalui 180 0 sahaja dan
(iv)
Pantulan (garis pantulan serenjang dengan jalur dan garis pantulan di garis tengah jalur)
Terdapat tujuh jenis pola ‘frieze’ . Pola-pola tersebut adalah seperti berikut: Corak
Jenis transformasi
1. C∞
Translasi sahaja
2. C∞
Pantulan gelangsar
Bentuk corak
sahaja
3. D∞
2 kali separuh putaran (1800)
4. D∞
2 kali pantulan (pantulan mencancang dan mendatar)
5. D∞
1 pantulan dan 1 separuh putaran (1800)
6. C∞ x D1
1 translasi dan 1 pantulan (garis pantulan sepanjang garis tengah jalur)
7. D∞ x D1
3 pantulan
Petunjuk: C = Cyclic (Kitaran)
D = Dihedral (Kombinasi putaran dan pantulan) 30
Contoh corak
MTE3103 Geometri
2.6.2
Carta aliran untuk mengecam pola- pola ‘frieze’
Adakah terdapat pantulan mencancang (vertical reflection)? ya
tidak
Adakah terdapat pantulan mendatar (horizontal)
ya
Adakah terdapat pantulan mencancang atau pantulan geluncuran?
tidak
7
ya
Adakah terdapat separuh pusingan (half turn)? ya
tidak
5
Adakah terdapat pantulan mendatar (horizontal ya
3
tidak
tidak
6
2
Adakah terdapat separuh pusingan(half turn)?
tidak
ya
4
Rajah di adaptasi dari Hayley Rintel, Melissa Shearer, and the 1999 Exploring Symmetry class
31
1
MTE3103 Geometri
Nota untuk pelajar: 1.
Semua pola-pola ‘frieze’ mempunyai simetri tranlasi.
2.
Apabila pola-pola ‘frieze’ mempunyai simetri pantulan mencancang, bermakna sekurang-kurangnya 1 garis mencancang boleh dilukis supaya imej pantulan adalah objek yang bersebelahan dengannya. Biasanya terdapat banyak garis pantulan mencancang.
3. Apabila pola-pola ‘frieze’ mempunyai simetri mendatar melalui garis tengah jalur, maka hanya terdapat satu garis pantulan sahaja. 4. Cara terbaik untuk mengecam simetri pantulan gelangsar ialah melihat kepada kesan tapak kaki di pasir.
2.7 Mengumpul Maklumat (Buku skrap) 1. Sila kumpulkan bahan-bahan yang berkaitan dengan pola- pola ‘frieze’ yang terdapat di sekeliling anda. Contoh bahan-bahan yang boleh anda kumpulkan ialah renda, sulaman pada baju, corak pada gelang tangan atau rantai, sejadah, gril pagar (ironworks), bingkai, dan lain-lain bahan yang mempunyai corak dalam satah jalur. 2. Perhatikan corak-corak tersebut dan camkan jenis-jenis transformasi yang tersebut. Catatkan dalam buku skrap anda.
32
