MTE3110 LINEAR ALGEBRA
TOPIK 2
2.1
Algebra Matriks
Sinopsis
Topik ini membekalkan pelajar dengan pengetahuan yang berkaitan dengan operasi keatas matriks, juga melihat bagaimana kaedah mencari songsangan matriks dan beberapa kaedah mencari penentu matriks.
2.2
Hasil Pembelajaran Pada akhir topik ini, pelajar dijangka akan dapat:
2.3
Menggunakan algebra matriks untuk menyelesaikan persamaan linear
Kerangka Tajuk
Matriks Algebra
Operasi Matriks
2.4
Songsangan
Penentu
Penambahan Matriks
Matriks adalah suatu tatasusun t atasusun segiempat nombor nyata yang dinamai unsur disusun dalam m baris dan n lajur seperti berikut.
⋮
11
=
21 1
…… ⋮ ⋱… ⋮ 12
1
22
2
=
×
2
disebut matriks mxn atau matriks berperingkat mxn. Bagi aij, i mewakili persilangan pada baris ke-i ke-i dan dan lajur ke- j dipanggil ( i , j ). ). j dipanggil pemasukan atau unsur (i Contoh matriks 2 x 3 ia itu dengan 2 baris dan 3 lajur ialah yang berikut.
− − 3 5
2 6
0 8
Jika dua matriks A matriks A dan B dengan peringkat yang sama ditambah atau ditolak, setiap unsur A unsur A ditambah kepada setiap unsur B unsur B yang sepadan. (Nota: peringkat matriks-matriks yang ditambah mesti sama)
37
MTE3110 LINEAR ALGEBRA
− − − − − − − − − − − − − −−
Contoh 2.1
=
0 1 2
1 = 2 3
5 0 , 3
0 0 . Cari (a) A+ B(b) A-B. 2
Penyelesaian (a)
(b)
2.4.1
A+ B =
A- B =
0 1 2
0 1 2
1 5 0 + 2 3 3
5 0 3
0 0+1 0 = 1+2 2 2+3
1 2 3
0 0 1 0 = 1 2 2 2 3
− − −− −− − −
5+0 1 0+0 = 1 3+2 5
5 0 0 0 = 3 2
1 3 1
− 5 0 5
− 5 0 1
Ciri-ciri penambahan matriks
Jika A, B, C dan O adalah matriks berperingkat sama maka, (i) A + B = B + A (komutatif/ kalis tukar tertib) (ii) A + (B + C )= ( A + B) + C (Asosiatif/ kalis sekutuan) (iii) A + O = A (O ialah matriks sifar (semua unsur ialah sifar) (iv) A +(- A) = O
2.5
Pendaraban matriks dengan kuantiti skalar
Jika P matriks mxn dan k ialah satu kuantiti skalar, maka hasil darab k dengan P ialah k P . Contoh 2.2 P =
− 4
1 . Cari kP , di beri (a) k = 2 0
(b) k = -1
Penyelesaian:
− − − − −− −− − −−
(a) kP = 2
(b) kP = -1 2.5.1
4
4
1 2×4 = 0 2× 1 = 0
2× 1 8 = 2×0 2
1×4 1×
1× 1 = 1×0
2 0 4
Ciri-ciri pendaraban matriks dengan skalar (i) + = + (ii) 1 + 2 = 1 + (iii) 1 2 = 1 2 (iv) 0 = 0 (v) 0 = 0
2
38
1 0
MTE3110 LINEAR ALGEBRA
2.6
Pendaraban matriks dengan matriks
Jika dua matriks boleh didarab maka bilangan lajur matriks pertama adalah sama dengan bilangan baris matriks kedua. Jika peringkat matriks A ialah m x n dan matriks B ialah n x q, maka pendaraban AB = C dan peringkat matriks C ialah mxq. Contoh 2.3 A =
− − − − −− − − 2 1
0 0
1 dan B = 0
0 3 . Cari AB. 1
Penyelesaian: 2 AB = 1
2.6.1
1 0
0 3 1
=
2×0+0× 3+ 1×1 1 = 1×0+0× 3+0×1 0
Ciri-ciri pendaraban matriks dengan matriks
(i) (ii) (iii) (iv)
2.7
0 0
=
+ +
= =
=
+ + ,k ialah pemalar.
Matriks transposisi
Matriks transposisi ia itu AT ,sesuatu matrik A, diperolehi dengan menukarganti baris dengan lajaur yang sepadan pada matriks. Jika peringkat matriks ialah m x n maka peringkat transposisinya ialah n x m. Contoh 2.4 Cari matriks transposisi bagi matriks berikut. (a) P =
− − −
1 3
berperingkat 2 x 3.
=
Penyelesaian:
(a) P =
(b) Z =
1 3
2 0
− − −
(b) Z =
=
1 2
3 0
39
2 0
berperingkat 3 x 2
MTE3110 LINEAR ALGEBRA
2.7.1
Ciri-ciri matriks transposisi
(i) ( + ) = (ii) ( ) =
2.8
+
Penentu Matriks
Penentu matriks A ditandakan . Penentu matriks akan digunakan untuk mencari matriks songsang dan seterusnya matriks songsang akan digunakan untuk menyelesaikan sistem penyelesaian linear.
−
(a) Penentu matriks 1 x 1: Jika A = (b) Penentu matriks 2 x 2: Jika
=
(c) Penentu matriks 3 x 3 sahaja:
11
, maka
11
12
21
22
=
maka
11
=
11 22
21 12
Sarrus scheme
− − − Jika A =
=
=
11
12
13
21
22
23
31
32
33
maka
11
12
13
11
12
21
22
23
21
22
31
32
33
31
32
11 22 33
+
12 23 31
+
13 21 32
31 22 13
32 23 11
33 21 12
(Catatan: Sarrus scheme tidak boleh digunakan untuk mencari penentu matriks 4x4, 5x5....) (d) Penentu matriks n x n (hingga 4x4): Pengembangan kofaktor Untuk mencari penentu matriks n x n dengan kaedah kofaktor, takrif minor sesuatu matriks dan kofaktor sesuatu matriks perlu dijelaskan. Minor sesuatu matriks n x n ialah penentu matriks(n-1) x (n-1). Maka minor (i , j ), ia itu M ij diperoleh dengan mengeluarkan baris ke- i dan lajur ke- j . Kofaktor (i , j ), ia itu Aij ialah hasil darab (-1) i+j dengan M ij . Aij = (-1)i+jM ij
⋯ ⋯ − − − −
Penentu bagi matriks Q ia itu matriks berperingkat n x n ialah = 1 1+ 2 2+ dengan memilih baris ke-i , atau
=
1
1
+
2
2
+
, dengan memilih lajur ke- j .
Contoh 2.5 Diberi
=
1 2 1
2 7 8
4 9 , hitungkan penentu bagi B. 1
40
MTE3110 LINEAR ALGEBRA
Penyelesaian: Kaedah 1: Dengan mengembangkan melalui baris pertama
− − − − − − − − − − 7 9 2 9 2 + ( 2)( 1)1+2 + 4( 1)1+3 8 1 1 1 1 = (1)(1)(7-72) + (-2)(-1)(-2-(-9)) + (4) (1)(16-7) = -65 + 14 + 36 = -15
7 8
= 1( 1)1+1
Kaedah 2: Dengan mengembangkan melalui lajur pertama
− − − − − − − − −− 7 9 2 4 + 2( 1)2+1 + ( 1)( 1)3+1 8 1 8 1 = (1)(1)(7-72) + (2)(-1)(2-32) + (-1) (1)(-18-(-28)) = -65 + 60-10 = -15
= 1( 1)1+1
2.8.1
4 9
Ciri-ciri penentu (i) (ii)
= Jika matriks B diperoleh dengan mendarabkan setiap unsur dalam suatu baris atau lajur matriks A dengan nombor k , maka
(iii) (iv) (v) (vi)
−
dan
=
2.8.2
2 7
=
1
Jika matriks B diperoleh dengan saling pertukaran antara dua baris atau dua lajur matriks A, maka = Jika matriks B diperoleh dengan menambahkan gandaan k suatau baris atau lajur kepada suatu baris atau lajur bagi suatu matriks A, maka . = = 0. Jika dua baris atau lajur sama bagi matriks A adalah sama, maka Jika setiap unsur suatu baris atau lajur a bagi matriks A sifar, maka = 0.
Menggunakan ciri-ciri penentu untuk menghitungkan penentu dengan Pengembangan kofaktor
Contoh 2.6 Hitungkan penentu bagi matriks berikut.
(a)
− − − − − − −− =
2 0 4
3 5 6
Penyelesaian: (a)
(b)
− 1 3 2
(b)
− −
2 3 1 +2 = 0 5 3 3= 1 4 6 2 (Dengan menggunakan ciri
0 3 = 2 5
2 0 4 1
4 3
5 6 5 7 3 1
1 3
− − −− 0 3 = 2 5
2
=
2 0 0 (iv)
0 1 3 2 5
3 5 0 dan
2 0 4 1
41
2 0 4 1
4 3
5
3
5 6 7 1
− −− − −− − − − − 1 3 =0 0 (vi). 4 1
5
3
5 2 7 1
3 4
2 = 5
2 2
0 1 3 0 0
2 0 4 1
4 1
7 2
5 2 3 9
− − ↔ − − − − − − − − ↔ − −− − − −− − 0 1 3 0 0
3
+4 =
2.9
0 0 0 1+2 4 3 1 0 4 = 0 1 1 2 9 0 1 2 1 2 4 7 3 = 0 0 13
2
1 0 3 0 0
0 1 0 0
1
0
1 7 2 1 0 3 0 0
13 2 3 9 0 1 4 0
2 9 33 13
2 15 0
1
MTE3110 LINEAR ALGEBRA
4
=
1
2 7 0
2 9 3 13
= 3.1.(-1).15.(-13) = 585
Matriks Songsang
Jika A dan B ialah matriks n x n dan AB = BA =I , maka matriks A ialah songsang matriks B dan sebaliknya. I ialah matriks identiti untuk pendaraban matriks. Matriks identiti ialah matriks segiempat sama dengan semua unsur yang bukan dipepenjuru utama adalah sifar dan semua unsur dipepenjuru utama adalah 1 seperti berikut. Matriks identiti, I =
1 0
1 Matriks identiti, I = 0 0
0 untuk matriks 2 x 2. 1 0 1 0
0 0 untuk matriks 3 x 3. 1
Semua unsur aij = 1, jika i = j , dan aij = 0, jika i ≠ j . Songsang matriks A ialah A-1.
2.9.1
Ciri-ciri matriks songsang (i) (ii)
−−− − − − − − −
(iii) (iv)
2.9.2
1
1
1
= 1 =
1
1
= =
1
1
1
1
Matriks singulardan Matriks tak singular
Jika A-1 wujud, maka matriks A ialah matriks tak singular. Jika A-1 tidak wujud, maka matriks A ialah matriks singular. Sesuatu matriks segi empat sama A, mempunyai songsang jika dan hanya jika
2.9.2
Kaedah mencari songsang
(i)
Kaedah Operasi Baris Permulaan/Kaedah Gauss-Jordan
Contoh 2.7
− −
1 Cari songsang A = 2 1
2 2 3
1 4 dengan kaedah Gauss-Jordan. 3
42
≠
0.
MTE3110 LINEAR ALGEBRA
Penyelesaian:
−− −− − −− −− − − − − −− − −− − − − − − − − − − − −− − − −− 1 = 2 1
1 0 0
2 2 3
0 2 1
11 4 0 30
1 2 1
5 6 2
0 1 0
1 1 0
1
1 0 0
0 1 0
5 1 3 1 2
(ii)
5 2
2 =
1 1 2
2 2 1
1 0 0
0 1 1
1 5 3 1 2 1
2
1
1 1 6 2 2 1
0
0 1
2
2
3
1
2 1
3
1
1 0 0
2 =
2
0 0 1
1 1
9
Maka songsang A ialah
0 0 1
5 = 2 +3
1
1 0 0
3
3
0 1 0
0 0 1
1
+ =
2
0
3
0
2 0
2
=
1
3
9
2 1 1
5 2
2
5
3
1
− − ≠
≠ − =
1
3 1
Jika A ada songsang A-1, maka AA-1=I (identiti). Berdasar ini Jika A adalah tak singular (ia itu ada songsang), maka ia itu jika maka A ada songsang. 1
1 1
0 0 1
5
Kaedah Adjoin
Maka,
0 1 0
1
1 = = =1 0. Akas ini juga adalah benar,
( ).
Adj ( A) ialah adjoin A. Adjoin satu matriks segi empat sama ialah transposisi matriks kofaktornya.
Langkah-langkah mengira songsang dengan Kaedah Adjoin ialah seperti berikut. (i) Hitungkan penentu matriks. Jika penentu tidak sama dengan sifar sambung ke langkah (ii). (ii) Hitungkan matriks kofaktor. (iii) Dapatkan matriks adjoin dengan melakukan transposisi matriks kofaktor. 1 1 (iv) Gantikan penentu matriks dan adjoin matriks ke dalam rumus =
−
untuk mendapat songsang. Contoh 2.8
−
Diberi
=
0 1 1
2 3 0
2 2 . Hitungkan matriks songsang dengan menggunakan kaedah adjoin. 5
Penyelesaian: (i)
Cari penentu A.
≠ − − − − − − − − 3 2 1 2 1 2 +2 0 5 1 5 1 0 maka A ada songsang.
=0
3 =0 0
43
2
5
2 +2 0
3 = 14
6=8
MTE3110 LINEAR ALGEBRA
(ii)
Cari kofaktor setiap unsur A.
−− − − − − − − − −− − − − − − −− −− − − − − − − − − − − − 11
=
21
=
31
=
3 0
2 = 15 5
2 0
2 3
(iv) 15 8 7
Cari A 2
8 2
8 2
8 2
8
8
dengan
3 2 2
=
=
2 =7 5
13
1 1
=
3 = 0
3
0 1
2 = 5
2
23
=
0 1
2 =2 0
0 1
2 = 2
2
33
=
0 1
2 =2 3
15 = 7 3
10 2 2
menggunakan
2 2 2
1
rumus:
=
1
=
1 8
15 7 3
10 2 2
2 2 = 2
− −
8 3 8
1
10
8 2
22
32
7 2 2
1 1
=
10
2
15 10 2
-1
−
−
2 = 5
2 = 2
Maka, adj A =
12
15
=
2.10
8 7
−
8 3 8
− − − − 5
1
4 1
4 1
4 1
4 1
4
4
.
Penyelesaian Sistem Persamaan Linear
2.10.1 Kaedah Matriks songsang Contoh 2.9 Selesaikan sistem persamaan linear dengan kaedah matriks songsang. 1+3 2 +3 3 = 1 1 +4 2 +3 3 = 2 1 +3 2 +4 3 = 3
−
Penyelesaian:
−
Menulis sistem persamaan liner dalam bentuk persamaan matriks. 1 1 3 3 1 1 4 3 2 2 = 3 1 3 4 3 AX = b, iaitu A matriks koefisien berperingkat n xn, X matriks pembolehubah berperingkat n x 1 dan b matriks pemalar berperingkat n x 1. Cari A-1 kerana A-1 AX = A-1b; IX = A-1b; X = A-1b.
− − − − −− −− 1 1 1
3 4 3
31 30 40
0 1 0
0 0 1
2 3
=
1 1
1 0 0
3 1 0
3 1 0 1 1 1
44
0 1 0
0 0 1
1
3 =
2
1 0 0
0 1 0
3 4 0 1 1 1
3 1 0
0 0 1
− −− − − − − −− −− − − − − − 1
3 =
3
1 0 0
0 1 0
0 7 0 1 1 1 7 1 1
-1
Maka, songsang A =
-1
= A B =
7 1 1
3 1 0
3 1 0
Maka, penyelesaian ialah
1
3 0 . 1
3 1 0
3 0 1
=
MTE3110 LINEAR ALGEBRA
3 0 1
1 2 = 3
22,
2
= 3,
22 3 4 3
= 4.
Teorem matriks songsang dan penyelesaian sistem persamaan linear (i) Jika A ialah suatu matriks tak singular , maka ia ada songsang. (ii) Ax = b ada penyelesaian unik. (iii) Ax =0 hanya ada penyelesaian remeh (trivial). (iv) Bentuk matriks eselon baris terturun A ialah I n.
2.10.2 Petua Cramer Diberi sistem persamaan linear AX = b, dengan A matriks koefisien berperingkat n xn, X matriks pembolehubah berperingkat n x 1 dan b matriks pemalar berperingkat n x 1. Jika 0, maka penyelesaian bagi sistem persamaan linear ialah
≠ =
, = 1,2,3,
… ,
dengan
, matriks yang diperoleh dengan menggantikan lajur ke-
i bagi A dengan matriks pemalar b.
Contoh 2.10 Selesaikan sistem persamaan linear dengan kaedah petua Cramer.
− −
2
1
1
3
1
+ 3=3 + 3=1 2 +4 3 = 0 2
Penyelesaian: Menulis sistem persamaan liner dalam bentuk persamaan matriks. 1 2 1 1 3 1 0 1 2 = 1 3 3 1 4 0 AX = b Cari penentu A. (Melalui baris 2)
− − − −− − − −−
= 1( 1)2 +1
1 1
2 1 + 0 ( 1)2 +2 4 3
= 1(-1)(-3) +0 + 1 (-1)(1) = 3+0-1=2
Cari penentu bagi A 1, A2 dan A3.
45
1 2 + 1( 1)2 +3 4 3
1 1
MTE3110 LINEAR ALGEBRA
− − − −− − − − − − − − − −− − − − − 1
3 = 1 0
2
2 = 1 3
3
2 = 1 3
1 0 1
3 1 0
1 1 = 1( 1)2 +1 4
1 1
1 3 1 = 1( 1)2 +1 0 4
1 0 1
3 1 =1( 1)2 +1 0
3 1 + 0 ( 1)2 +2 4 0
1 2 + 1( 1)2 +2 4 3
1 1
3 2 + 0 ( 1)2 +2 0 3
Oleh itu, daripada petua Cramer, 1
=
6 2
= 3, 2 =
2 2
= 1 dan
3
=
4
2
=
46
2 .
−− −−
1 3 + 1( 1)2 +3 4 0
1 2 + 1( 1)2 +3 4 3
1 =6 1
3 =2 0
3 2 + 1( 1)2 +3 0 3
1 =-4 1
