3.4 Esfuerzos y direcciones principales.
Introducción Una aplicación inmediata e interesante de los métodos numéricos, en particular de
los
métodos
para
la
determinación
numérica
de
eigenvalores
y
eigenvectores, es la determinación de los esfuerzos principales, y de las direcciones principales asociadas al estado de esfuerzo en un punto. Estas notas muestran los fundamentos de la determinación del estado de esfuerzos en un punto y ejemplifican el cálculo de los esfuerzos y direcciones principales asociados al estado de esfuerzo en un punto. Las estructuras reales están compuestas de materiales reales. Cualquier material rea falla al someterse a un esfuerzo suficientemente grande. Muchas teorías de falla se basan en evidencia experimental que indica que los materiales fallan cuando el esfuerzo normal o cortante en un unto alcanza un valor crítico. Resulta entonces necesario determinar el esfuerzo normal y cortante máximos dentro de un cuerpo para compararlos con valores críticos asociados con las teorías de falla. Los esfuerzos normales máximo y mínimo en un punto se llaman l laman esfuerzos principales. Una de las tareas más importantes en la mecánica de sólidos es la determinación de los esfuerzos en un punto arbitrario de un elemento de máquina sujeto a fuerzas arbitrarias. Si es posible determinar el estado de esfuerzos en un punto arbitrario del elemento de máquina, será posible determinar si el elemento de máquina puede soportar las fuerzas a las que está sujeto. Esta determinación involucra la selección y aplicación de una teoría de falla apropiada al material de que está formado el elemento de máquina, sea dúctil o frágil, y el tipo de carga, sea estática o dinámica. El estado de esfuerzos en un punto, P, representa los esfuerzos a los que está sujeto el punto en tres planos —que usualmente se seleccionan mutuamente perpendiculares— perpendiculares— que pasan por el punto. El estado de esfuerzos en un punto, P, se representa como un cubo en cuyas caras aparecen los esfuerzos a los cuales está sujeto el punto. Es importante notar que los planos pasan por el
mismo punto P, y que por lo tanto, las dimensiones del cubo son infinitamente pequeñas.
Determinación de los Esfuerzos y Direcciones Principales. Considere que se desea obtener los esfuerzos en el punto P en un plano, que pasa por el mismo punto P tal que la normal al plano está dada por el vector unitario ˆn = (nx, ny, nz), puede entonces probarse, vea [1], que las componentes
cartesianas
del
esfuerzo
T
que aparece en el plano están dadas por : Tnx = σxx nx + τxy ny + τxz nz Tny = τxy nx + σyy ny + τyz nz Tnz = τxz nx + τyz ny + σzz nz
A fin de aplicar alguna de las teorías de falla, tanto para materiales frágiles como dúctiles, tanto para cuando las cargas aplicadas al elemento mecánico son estáticas o dinámicas, es necesario y frecuentemente indispensable determinar los esfuerzos principales que actúan sobre un punto. En la mecánica de los sólidos los esfuerzos principales, en un punto P, se definen como los esfuerzos que aparecen en ese punto P en planos, que se denominan principales, en los que el esfuerzo tiene la dirección de la normal al plano. Esta característica implica que en los planos asociados a las direcciones principales,
no
hay
esfuerzos
cortantes
y
en
esos
planos
T
= σ n. ˆ En esas circunstancias, debe quedar claro que la búsqueda de los esfuerzos y direcciones principales, se reduce a la determinación de los eigenvalores y eigenvectores del estado de esfuerzo en un punto, pues sustituyendo la ecuación.
Puede probarse que las direcciones principales, eigenvectores, de una matriz simétrica son mutuamente perpendiculares. Este resultado significa que los esfuerzos principales en un punto, aparecen en planos mutuamente perpendiculares. Dally, J. W. y Riley, W. F., (2005), Experimental Stress Analysis, Fourth Edition, Knoxville, Tennessee: College House Enterprises, L.L.C.
