(, , ) + 0, 0 < < , > 0
1. El desplazamiento transversal de una viga vibratoria de longitud determinado por una ecuación diferencial parcial de cuarto orden:
L
está
Si la viga esta simplemente apoyada, las condiciones de frontera (CF) y condiciones iniciales (CI) son:
Determine
(0, 0, ) 0, 0, = (0, 0, ) () , (, , )
(, , ) 0, >0 0, >0 = (), 0<< =
SOLUCION:
a. La ecuación diferencial es
Despejando
(1 + )′′ +2′ + 1 + 0 tan tan− 1 1 + [ 1 ] 1 2 1 + 1 + (1 + ) (1 +1) (1 +2) () 2 1 (1 + ) (1 + ) (1 + ) +2[1 +1 ] + 1 + 1 1 + + 1 + 0 tenemos
, y:
La ecuación diferencial puede ser la escrita en términos de
como:
+0
Las condiciones de contorno se convierten
(0) 0 ≤0 0 >0 cos√ + sen√ (0)0 0 sen√ 0 sen√ 0 ≠ 0 √ 16 1,2,3,… sen4 sen4tan− 1,2,3,… 1 ∫ +1 sen(4tan− )sen(4tan− ) .
Por
la única solución del problema de frontera-valor es
Por
la solución general de la ecuación diferencial es
La condición
.
.
implica
asi que
.
Ahora la condición implica . Por
implica
esta condición cuando está
o
, donde
Estos son los valores propios correspondientes con funciones propias , para b. Una relación de ortogonalidad es
2.
0, =
(,0) ,
0 = 0 =
(,)
Se describe el desplazamiento longitudinal condiciones en la frontera, para y extremo libre.
de una viga vibratoria. Las , se llaman las condiciones del
SOLUCION: a. Las raíces de la ecuación auxiliar
0
++0 (1±√ 1 4)− + + 0 +− 0 son
Cuando la solución general de la ecuación diferencial es Las condiciones iniciales implican y
.
.
.
Puesto que el determinante de los coeficientes no es 0, la única solución de este sistema homogéneo es , en ese caso . Del mismo modo, si
0 0 0 < < (−±√ −) +(−±√ −) 0 0 , la solución general es
En este caso las condiciones iniciales de nuevo implican por
>
y así
. Ahora,
, la solución general de la ecuación diferencial es
− cos√ 4 1+− sen√ 4 1 (0) 0 0 sen√ 4 1
La condición así que
implica
de
(2) − sen2√ 4 10 2√ 4 1 1,2,3,… + 1,2,3,… sen
vemos que los valores propios son determinados por Por lo tanto, los valores propios son funciones propias
para
para
, con sus correspondientes
.
b. La forma de auto adjunto es
′ + 0 c. una relación de ortogonalidad es
− − ∫ sen 2 cos 2 ∫ sen 2 cos 2 0
