ESFUERZOS PRINCIPALES Y ESFUERZOS CORTANTES MÁXIMOS Las ecuaciones de transformacion para esfuerzo plano muestran que los esfuerzos normales σ x 1 y los esfuerzos cortantes cortantes τ x 1 y 1 varian continuamente conforme se giran los ejes a traves de un angulo θ. Esta variacion se representa en la figura 7.3 para una combinacion particular de esfuerzos. En la figura observamos que los esfuerzos normales y los cortantes alcanzan valores maximos y minimos en intervalos de 90°. Estos valores maximos y minimos suelen requerirse para fines de diseno. Por ejemplo, las fallas por fatiga de estructuras como maquinas y aeronaves a menudo se asocian con los esfuerzos maximos, y de aqui que sus magnitudes y orientaciones se deban determinar como parte del proceso de diseno.
ESFUERZOS PRINCIPALES Los esfuerzos normales maximo y minimo, denominados esfuerzos principales, se pueden determinar a partir de la ecuacion de transformacion para el esfuerzo normal σ x 1 . Al derivar σ x 1 con respecto a θ y al igualar a cero, obtenemos una ecuacion para la cual podemos encontrar los valores de θ para los que σ x 1 es un maximo o un minimo. La ecuacion para la derivada es
(7.10)
de donde obtenemos
(7.11)
El subindice p indica que el angulo θ p define la orientacion de los planos principales, es decir, los planos sobre los que actuan los esfuerzos principales. Con la ecuacion se pueden encontrar dos valores del angulo 2 θ p en el intervalo de 0 a 360°. Estos valores difieren en 180°, con un valor entre 0 y 180° y el otro entre 180° y 360°. Por tanto, el angulo θ p tiene dos valores que difieren en 90°, un valor entre 0 y 90° y el otro entre 90° y 180°. Los dos valores de θ p se conocen como los ángulos principales. Para uno de estos angulos el esfuerzo normal σ x 1 es un esfuerzo principal máximo; máximo; para el otro, es un esfuerzo principal mínimo. mínimo. Dado que los angulos principales difieren en 90°, observamos que los esfuerzos principales ocurren sobre planos mutuamente mutuamente perpendiculare perpendicularess. Los esfuerzos principales se pueden calcular al sustituir cada uno de los dos valores de u p en la primera ecuacion de transformación y despejando σ x 1. Al determinar los esfuerzos principales de esta manera, no solo obtenemos los valores de los esfuerzos principales, sino que tambien aprendemos que esfuerzo principal esta asociado con que angulo principal. Tambien podemos obtener formulas generales para los esfuerzos principales. Para hacer esto nos referimos al triangulo rectangulo en la figura
7.10, que esta elaborado a partir de la ecuacion (7.11). Observe que la hipotenusa del triangulo, obtenida con el teorema de Pitagoras, es
La cantidad R siempre es un numero positivo y, al igual que los otros dos lados del triangulo, tiene unidades de esfuerzo. Del triangulo obtenemos dos relaciones adicionales:
Ahora sustituimos estas expresiones para cos 2θ p y sen 2θ p en la ecuación (7.4a) y obtenemos el más grande algebraicamente de los dos esfuerzos principales, denotado por σ1:
El menor de los esfuerzos principales, denotado σ2, se puede encontrar a partir de la condicion de que la suma de los esfuerzos normales sobre planos perpendiculares es constante.
Al sustituir la expresion para σ1 en la ecuacion y despejando σ2,obtenemos
Esta ecuacion tiene la misma forma que la ecuacion para s1 pero difiere por la presencia del signo menos antes de la raiz cuadrada. Las formulas anteriores para σ1 y σ2 se pueden combinar en una sola formula para los esfuerzos principales:
Ángulos principales Denotemos ahora los dos angulos que definen los planos principales como u p1 y u p2, que corresponden a los esfuerzos principales s1 y s2, respectivamente. Un procedimiento simple para hacer esta determinacion es tomar uno de los valores y sustituirlo en la ecuacion para σ x 1. El valor resultante de σ x 1 sera reconocido como σ1 o σ2 , para correlacionar asi los dos angulos principales con los dos esfuerzos principales. Otro metodo para correlacionar los angulos principales con los esfuerzos principales es emplear las ecuaciones y para encontrar θ p, puesto que el unico angulo que satisface las dos ecuaciones es θ p1. Por tanto, podemos reescribir estas ecuaciones como se muestra:
Esfuerzos cortantes sobre los planos principales Se puede obtener una caracteristica importante de los planos principales a partir de la ecuacion de transformacion para los esfuerzos cortantes (ecuación 7.4b). Si igualamos el esfuerzo cortante t x 1 y 1 a cero, obtenemos una ecuacion que es igual que la ecuacion (7.10). Por tanto, si despejamos el angulo 2u en esa ecuacion, obtenemos la misma expresion para tan 2u dada por la ecuacion (7.11). En otras palabras, los angulos con respecto a los planos de esfuerzo cortante cero son los mismos que los angulos con respecto a los planos principales. Asi pues, podemos hacer la siguiente observacion importante: los esfuerzos cortantes son cero sobre los planos principales.
Casos especiales Los planos principales para elementos en esfuerzo uniaxial y esfuerzo biaxial son los mismos planos x y y (figura 7.11), debido a que tan 2 θ p = 0 y los dos valores de θ p son 0 y 90°. Tambien sabemos que los planos x y y son los planos principales por el hecho de que los esfuerzos cortantes son cero sobre ellos.
Para un elemento en cortante puro , los planos principales estan orientados a 45° con respecto al eje x , debido a que tan 2 θ p es infinita y los dos valores de θ p estan a 45° y 135°. Si τ xy es positivo, los esfuerzos principales son s1 = τ xy y σ2 = –τ xy .
El tercer esfuerzo principal Los esfuerzos principales σ1 y σ2 e y el tercer esfuerzo principal (σ3) es igual a cero. Por definicion, σ1 es algebraicamente mayor que σ2, pero σ3 puede ser algebraicamente mayor o menor que σ1 y σ2 o tener un valor que este entre los dos. Por supuesto, tambien es posible que algunos o todos los esfuerzos principales sean iguales. Observe de nuevo que no hay esfuerzos cortantes sobre ninguno de los planos principales.*
Esfuerzos cortantes máximos Los esfuerzos cortantes τ x 1 y 1 que actuan sobre planos inclinados estan dados por la segunda ecuacion de transformacion. Al derivar τ x 1 y 1 con respecto a θ e igualando a cero, obtenemos
El esfuerzo cortante maximo correspondiente se obtiene al sustituir las expresiones para cos θs1 y sen θ p1 en la segunda ecuacion de transformacion, produce que
Si restamos la expresion para observamos que
σ2
de la expresion para
σ1
y luego la comparamos con la ecuacion,
Esfuerzos cortantes en el plano y fuera del plano El analisis anterior ha tratado solo con esfuerzos cortantes en el plano , es decir, aquellos que actuan en el plano xy . Para obtener los esfuerzos cortantes maximos en el plano , consideramos los elementos que se obtuvieron girando los ejes xyz con respecto al eje z , que es un eje principal . Determinamos que los esfuerzos cortantes maximos ocurren en planos a 45° Tambien podemos obtener esfuerzos cortantes maximos mediante rotaciones de 45° con respecto a otros dos ejes principales (los ejes x 1 y y 1 en la figura 7.13b). Como resultado, obtenemos tres conjuntos de esfuerzos cortantemáximos positivos y negativos.
